Bottの周期性定理(古典群のループ空間)

rem-bpc-model により $\pi_i(\mathcal G)\cong\pi_{i-1}(U)$ である。一方 $\pi_i(\Omega SU)\cong\pi_{i+1}(SU)$ で（ループ空間 の定理「ホモトピー群のずれ」）、$i+1\ge2$ なので $\pi_{i+1}(SU)\cong\pi_{i+1}(U)$ である（古典群のホモトピー群 の命題「行列式で分ける」の 2 を有限段に当て、コンパクト集合が有限段に入ることを使う）。thm-bpc-main の 1 により $\pi_i(\mathcal G)\cong\pi_i(\Omega SU)$ なので第 1 の主張を得る。$\pi_0(U)=0$、$\pi_1(U)\cong\mathbb Z$ なので（古典群のホモトピー群 の定理「低い次数のホモトピー群の表」と安定性）、第 2 の主張が帰納法で従う。$\square$

$\mathbb{CP}^n$ は $\mathbb{CP}^{n-1}$ に $2n$ 胞体を 1 つ付けたものなので（複素射影空間 の命題「胞体の構造」）、$X:=\mathbb{CP}^n/\mathbb{CP}^{n-1}$ は $S^{2n}$ と同相で、商写像 $c$ は $[\mathbb{CP}^n]$ を $H_{2n}(X)$ の生成元に写す（対の長完全列で $H_{2n}(\mathbb{CP}^{n-1})=H_{2n-1}(\mathbb{CP}^{n-1})=0$）。$Q_n$ はスマッシュ積 $S^1\wedge X$ と同じ同値関係による $S^1\times\mathbb{CP}^n$ の商なので $Q_n=S^1\wedge X$ であり、$\kappa\colon X\to\Omega(S^1\wedge X)$、$\kappa(x)(u):=[u,x]$ とおくと、定義から $(\Omega p_n)\circ g_n=\Omega\bar\varepsilon\circ\kappa\circ c$ である。連結な CW 複体 $X$ と体 $k$ について、$H_*(\Omega(S^1\wedge X);k)$ は $\kappa_*$ で埋め込んだ $\tilde H_*(X;k)$ の上のテンソル代数である（Hat02 Theorem 4J.1 の証明、pp. 471–473、Lemma 4J.2）。$\tilde H_*(X;k)$ は次数 $2n$ の $k$ だけなので、これは $\kappa_*c_*[\mathbb{CP}^n]$ の多項式環であり、同相写像で H 写像の $\Omega\bar\varepsilon$ で移して $H_*(\Omega S(Y_n);k)=k[u_n]$ を得る。整数係数では $H_{2n}(\Omega S(Y_n);\mathbb Z)\cong\mathbb Z$、$H_{2n-1}=0$ で（Serreスペクトル系列 の例「ループ空間 $\Omega S^n$ のコホモロジー」と 普遍係数定理）、$u_n$ の像はどの素数 $p$ の $\mathbb F_p$ 係数でも $0$ でないので、$u_n$ は生成元である。$\square$

閉道を $t\in[0,1]$ で径数付けし、$1$ を定値ループとする。$\alpha*1$ は前半で $\alpha$ をたどり後半は止まる閉道、$1*\beta$ は前半は止まり後半で $\beta$ をたどる閉道で、点ごとの積 $(\alpha*1)(1*\beta)$ は $\alpha*\beta$ に等しい。径数の取り替え $\alpha_s(t):=\alpha(\min(1,(1+s)t))$、$\beta_s(t):=\beta(\max(0,(2t-s)/(2-s)))$ は $\alpha,\beta$ について連続で、$s=0$ で $\alpha,\beta$、$s=1$ で $\alpha*1$、$1*\beta$ になるので、$\alpha\beta\simeq(\alpha*1)(1*\beta)=\alpha*\beta$ である。同様に $(1*\alpha)(\beta*1)=\beta*\alpha$ で、$\alpha*1\simeq1*\alpha$、$1*\beta\simeq\beta*1$（どちらも径数の取り替え）の点ごとの積をとれば $\alpha*\beta\simeq\beta*\alpha$ を得る。最後の主張は $(s,\alpha)\mapsto\phi_s\circ\alpha$ がホモトピーを与えることによる。$\square$

束．$E:=\Omega G_n$、$F:=\Omega G_{n-1}$、$Y:=\Omega S(Y_n)$、$q:=\Omega p_n$、$i\colon F\to E$ を包含とする。$p_n$ はすべての CW 対についてホモトピー持ち上げ性質をもつ（Hat02 Proposition 4.48、p. 379）。円板 $D^m$ からのホモトピーの持ち上げを、随伴で CW 対 $(D^m\times S^1,D^m\times\{1\})$ についての持ち上げに直せば、$q$ は定値ループの上のファイバーが $F$ の Serre ファイブレーションである。道の空間の構成で $q$ をファイブレーションに置き換えると、全空間とファイバーの比較写像はホモトピー完全列と五項補題により弱ホモトピー同値で、ホモロジーの同型を誘導するので（Hat02 Proposition 4.21、p. 356）、下の Serre スペクトル系列は $q$ にも使える（Hat04 p. 17 でファイバー束について述べる議論と同じ）。$\pi_0(Y)=\pi_1(S^{2n+1})=0$、$\pi_1(Y)=\pi_2(S^{2n+1})=0$ である。

加法の構造．$n=0$ では $E$ は 1 点である。$n\ge1$ とし $F$ について主張を仮定する。$H_*(Y;\mathbb Z)$ は次数 $2nj$ の $\mathbb Z$ だけなので（Serreスペクトル系列 の例「ループ空間 $\Omega S^n$ のコホモロジー」と 普遍係数定理）、係数 $\mathbb Z$ と体 $k$ の Serre スペクトル系列（Hat04 Theorem 1.3、p. 8）は $E^2_{a,b}=H_a(Y)\otimes H_b(F)$ で、すべて全次数が偶数の位置にあるので $d^r=0$、$E^2=E^\infty$ である。商が自由なフィルトレーションをもつので $H_m(E)$ は自由で、奇数次は $0$、階数は $\sum_j\operatorname{rank}H_{m-2nj}(F)$ である。フィルトレーションの最初の項は $F_0=\operatorname{Im}(i_*)$ で（同 p. 7。底を 0 胞体 1 つの CW 近似に取り替えて）、$E^2_{0,*}=H_*(F)$ から $E^\infty_{0,*}=F_0$ への写像が $i_*$ なので、$E^2=E^\infty$ から $i_*$ は単射であり、体係数でも同じである。

積の構造．体 $k$ について $\Theta\colon H_*(F;k)\otimes k[T]\to H_*(E;k)$、$a\otimes T^j\mapsto i_*(a)z_n^j$（$T$ は次数 $2n$ の変数） とおく。両辺の各次数の次元は等しい。$\rho:=(1\otimes q_*)\circ\Delta\colon H_*(E;k)\to H_*(E;k)\otimes H_*(Y;k)$（$\Delta$ は対角写像と Künneth 同型）は環準同型である（対角写像は積と両立し、$q$ は閉道の連結を保つ。次数はすべて偶数なので符号は出ない）。$q\circ i$ は定値なので $\rho(i_*a)=i_*a\otimes1$、$0< d< 2n$ では $H_d(Y;k)=0$ なので $\rho(z_n)=z_n\otimes1+1\otimes u_n$ である。$\sum_{j\le m}i_*(a_j)z_n^j=0$、$a_m\ne0$ とすると、$\rho$ を当てた式の $H_*(E;k)\otimes ku_n^m$ の成分は $i_*(a_m)\otimes u_n^m$ で、$u_n^m\ne0$（lem-bpc-sphere の 2）と $i_*$ の単射性に反する。よって $\Theta$ は単射で、同型である。整数係数の $\Theta$ は各次数で同じ階数の自由加群の間の写像で、$\mathbb Q$ とすべての $\mathbb F_p$ への係数拡大が同型なので、行列式は $\pm1$ で同型である。$H_*(E)$ は可換で（lem-bpc-pointwise）、$i_*$ は環準同型なので、$H_*(E)=H_*(F)[z_n]=\mathbb Z[z_1,\dots,z_n]$ である。

安定化．$G_\infty:=\bigcup_nG_n$ とする。$Y_n\subset V_N$（$N\ge n$）について、包含 $G_n\to SU(V_N)$ は標準的な包含 $SU(n+1)\to SU(2N)$ とユニタリ変換による共役で移り合い、$i\le2n+1$ で $\pi_i$ の同型を誘導する（古典群のホモトピー群 の定理「最初のブロックへの包含の安定性」を $U$ の包含にくり返し当て、命題「行列式で分ける」の 2 で $i\ge2$ の $SU$ に移す。$i\le1$ では両辺とも $0$ である）。コンパクト集合とそのホモトピーは有限段に入るので（古典群の分類空間のコホモロジー の命題「BU のコホモロジー環と余積」の証明の折りたたみと同じ議論）、$G_\infty\to SU$ と $\Omega G_\infty\to\Omega SU$ は弱ホモトピー同値で、ホモロジーの同型を誘導する（Hat02 Proposition 4.21、p. 356）。$H_*(\Omega G_\infty)$ は $H_*(\Omega G_n)$ の帰納極限で、推移写像は単射なので 2 を得る。$\square$

$\iota_1(x):=T(x\oplus I)T^{-1}$、$\iota_2(y):=T(I\oplus y)T^{-1}$ とおくと $T(x\oplus y)T^{-1}=\iota_1(x)\,\iota_2(y)$ である。$\iota_1$ と標準的な包含 $SU(V_N)\subset SU(V_{N+M})$ は $U(V_{N+M})$ の元による共役で移り合い、$U(V_{N+M})$ は弧状連結なので、共役の族で $\Omega\iota_1$ は標準的な包含とホモトピックである（lem-bpc-pointwise）。$\iota_2$ と包含 $SU(V_M)\subset SU(V_{N+M})$ についても同じである。よって $h\circ\mu_T$ は $(W,W')\mapsto h(W)h(W')$（点ごとの積）とホモトピックで、lem-bpc-pointwise により主張を得る。$\square$

$V_N$ の基底を $e_{-N},\dots,e_{-1},e_1,\dots,e_N$ の順に並べて Schubert 胞体を作ると、$\mathcal G_N$ は $N\times N$ の長方形に収まる Young 図形を添字とする胞体をもつ CW 複体で、Young 図形 $\lambda$ の胞体の次元は $2|\lambda|$ である（Schubert胞体 の定理「Schubert 胞体による CW 構造」と系「胞体の個数と Gauss の 2 項係数」）。$V_{N+1}$ では $e_{-N-1}$ を先頭に、$e_{N+1}$ を末尾に置く。$W$ の跳びの列が $(\sigma_1,\dots,\sigma_N)$ なら $s_N(W)$ のそれは $(1,\sigma_1+1,\dots,\sigma_N+1)$ で、Young 図形は変わらない。$s_N$ の像 $\{X\mid e_{-N-1}\in X,\ X\perp e_{N+1}\}$ は $\sigma_1=1$ かつ $\sigma_{N+1}\le2N+1$ の胞体の和で、閉包の胞体も $\tau_1\le\sigma_1=1$、$\tau_{N+1}\le\sigma_{N+1}\le2N+1$ を満たすので部分複体である。像に入らない胞体は $\sigma_1\ge2$ か $\sigma_{N+1}=2N+2$ である。前者では Young 図形の $N+1$ 個の行がどれも長さ $1$ 以上、後者では最も長い行の長さが $N+1$ なので、次元は $2N+2$ 以上である。$X\ni e_{-N-1}$、$X\perp e_{N+1}$ なら $X=\mathbb Ce_{-N-1}\oplus(X\cap V_N)$ なので、$s_N$ は各胞体を同じ Young 図形の胞体の上に同相に写す。胞体はすべて偶数次元なので胞体鎖複体の境界は $0$ で、$H_{2m}(\mathcal G_N)$ は胞体を基底とする自由加群、$s_N$ は基底を基底に写す。ホモロジーは帰納極限と可換なので（特異単体の像はある $\mathcal G_N$ に入る）、$H_{2m}(\mathcal G)$ は $m$ のすべての分割を基底とする自由加群である。

1．$\omega(x,y):=\langle Jx,y\rangle$ は複素双線形で交代的である（$\langle Jx,x\rangle=\overline{\langle J^2x,Jx\rangle}=-\langle Jx,x\rangle$）。$JL\perp L$ は $\omega|_L=0$ と同じで、このとき $V=L\oplus JL$ である。$L$ の正規直交基底 $\ell_i$ について $\ell_i,J\ell_i$ は $V$ の正規直交基底なので、2 つの Lagrange 部分空間の基底の間で $\ell_i\mapsto\ell'_i$、$J\ell_i\mapsto J\ell'_i$ と定めた線形写像は $Sp(V)$ の元である。$L$ の固定部分群は制限 $T\mapsto T|_L$ で $U(L)$ と同型である。$\operatorname{Lag}(V)$ は Grassmann 多様体の閉集合でコンパクトなので、軌道写像は同相 $Sp(n)/U(n)\cong\operatorname{Lag}(V)$ を与え、等質空間 の定理「剰余類多様体」により次元 $\dim Sp(n)-\dim U(n)=n(2n+1)-n^2$ の多様体である。

2・3．$n$ についての帰納法。$n=0$ は 1 点である。$\omega(e,x)=\langle f,x\rangle$ は $x$ の $f$ 成分で、$\omega(e,f)=1$、$\{x\mid\omega(e,x)=0\}=\mathbb Ce\oplus V'$ である。$A_e:=\{L\ni e\}$、$A_f:=\{L\ni f\}$、$U_e,U_f$ をその補集合とする。$e,f\in L$ なら $\omega(e,f)=0$ となり矛盾なので、$U_e\cup U_f=\operatorname{Lag}(V)$ である。$W\in\operatorname{Lag}(V')$、$\varphi\in W^*$ について $\omega(v_\varphi,w)=\varphi(w)$（$w\in W$）となる $v_\varphi\in JW$ がただ 1 つある（$\omega(Jx,w)=-\langle x,w\rangle$）。$\Xi$ をファイバー $W^*\oplus\mathbb C$ の $\operatorname{Lag}(V')$ 上の複素ベクトル束とし、$\Psi(W,\varphi,z):=\operatorname{span}\bigl(\{w+\varphi(w)e\mid w\in W\}\cup\{f+v_\varphi+ze\}\bigr)$ とおく。$\omega(f,e)=-1$ から $\omega(f+v_\varphi+ze,\,w+\varphi(w)e)=-\varphi(w)+\varphi(w)=0$ で、$\Psi(W,\varphi,z)\in U_e$ である。逆に $L\in U_e$ なら $\omega(e,\cdot)|_L\ne0$（さもなくば $e\in L$）なので、$R:=L\cap(\mathbb Ce\oplus V')$ は $n-1$ 次元、$R\cap\mathbb Ce=0$ で、$R$ の $V'$ への射影 $W$ は $\operatorname{Lag}(V')$ に属し、$R=\{w+\varphi(w)e\}$ と書ける。$L$ の $f$ 成分 $1$ の元を $R$ でずらして $V'$ 成分を $JW$ に入れると $f+v+ze$ の形で、等方性から $v=v_\varphi$ である。よって $\Psi$ は全単射 $\Xi\to U_e$ である。$W$ の局所的な連続な正規直交枠 $w_i$ をとると $v_\varphi=-\sum_i(Jw_i)\varphi(w_i)$ なので $\Psi$ は連続で、両側は $n(n+1)$ 次元の多様体なので、領域不変性 により $\Psi$ は同相写像である。$f\in\Psi(W,\varphi,z)$ は $\varphi=0$、$z=0$ と同値なので、$U_e\cap U_f$ は $\Xi$ から零切断を除いたものにあたり、$\Xi$ の単位球面束 $S(\Xi)$ とホモトピー同値である。$e\mapsto f$、$f\mapsto-e$、$V'$ の上で恒等写像となる $T\in Sp(V)$ は $U_e$ を $U_f$ に写し、$T\Psi(W,0,0)=\mathbb Ce\oplus W$ である。

$\Xi$ は消えない切断 $(0,1)$ をもつので、$S(\Xi)\to\operatorname{Lag}(V')$ は切断をもち引き戻しは単射で、Gysin 完全列（Serreスペクトル系列 の命題「Gysin 完全列」、構造群 $U(n)$ は連結なので作用は自明）は短完全列 $0\to H^k(\operatorname{Lag}(V'))\to H^k(S(\Xi))\to H^{k-2n+1}(\operatorname{Lag}(V'))\to0$ に分かれる。帰納法の仮定と 普遍係数定理 から、$H_k(S(\Xi))$ は自由で、$k$ が偶数なら射影が同型 $H_k(S(\Xi))\cong H_k(\operatorname{Lag}(V'))$ を誘導し、$k$ が奇数なら $H_{k-2n+1}(\operatorname{Lag}(V'))$ と同じ階数である。Mayer–Vietoris完全列 $H_k(U_e\cap U_f)\to H_k(U_e)\oplus H_k(U_f)\to H_k(\operatorname{Lag}(V))\to H_{k-1}(U_e\cap U_f)\to\cdots$ で $U_e\simeq U_f\simeq\operatorname{Lag}(V')$（零切断）を使うと、偶数の $k$ では最初の写像の $U_e$ 成分が同型で、短完全列 $0\to H_k(U_f)\to H_k(\operatorname{Lag}(V))\to H_{k-1}(U_e\cap U_f)\to0$ を得る。奇数の $k$ では $H_k(\operatorname{Lag}(V))=0$ である。よって $H_k(\operatorname{Lag}(V))$ は自由で、階数は $\operatorname{Lag}(V')$ の $k$ 次と $k-2n$ 次の階数の和であり、Poincaré 多項式は $(1+t^{2n})$ 倍になる。$H_k(U_f)\to H_k(\operatorname{Lag}(V))$ は 3 の写像なので、$k\le2n-1$ では同型である。$\square$

$Sp/U$ の Poincaré 級数は $\prod_{j\ge1}(1+t^{2j})$ である（prop-bpc-lag）。$T\mapsto Te$ はファイバー $Sp(V')$ の束 $Sp(V)\to S^{4n-1}$ で（古典群のホモトピー群 の命題「球面への評価写像」）、prf-bpc-loop と同じく、ループをとった束の Serre スペクトル系列は偶数次に集中して退化する。よって $H_*(\Omega Sp;\mathbb Z)$ は自由で Poincaré 級数は $\prod_{k\ge1}(1-t^{4k-2})^{-1}$ である。$1+t^{2j}=(1-t^{4j})/(1-t^{2j})$ から両者は等しい。$\square$