一般化されたSeveri–Brauer多様体

同義語：generalized Severi–Brauer variety一般化されたBrauer–Severi多様体generalized Brauer–Severi variety

概要

前提知識: 中心単純環, Severi–Brauer多様体, Grassmann多様体

一般化された Severi–Brauer 多様体（generalized Severi–Brauer variety）は、中心単純環 $A$ の決まった次元の右イデアル全体のなす多様体である。$A$ が行列環 $\operatorname{End}(V)$ なら、右イデアルは $V$ の部分空間と対応し、この多様体は Grassmann 多様体 $\operatorname{Gr}(r,V)$ になる。一般の $A$ では、係数を広げると Grassmann 多様体になるが、もとの体の上では Grassmann 多様体と同型とは限らない「Grassmann 多様体の捻れた形」である。$r=1$ の場合が Severi–Brauer多様体（射影空間の捻れた形）である。
Severi–Brauer 多様体では、有理点をもつことと $A$ が分裂することが同値だった（Châtelet の定理）。一般化された Severi–Brauer 多様体では、有理点の有無は $A$ の指数（$A\cong M_m(D)$ と書いたときの斜体 $D$ の次数）で決まり、$r$ 番目の多様体が有理点をもつことは指数が $r$ を割り切ることと同値である。この記事では、右イデアルの次元の計算からこの判定を証明し、さらに有理点があれば多様体がアフィン空間を開集合として含み有理であることを、右イデアルの補空間を使って示す。

定義

以下、$k$ を体、$A$ を $k$ 上の次数 $n$ の中心単純環（$\dim_kA=n^2$）とする。Wedderburn の定理（中心単純環の定理「斜体上の行列代数としての表示」）により $A\cong M_m(D)$ となる中心斜体 $D$ があり、$D$ の次数 $d$（$\dim_kD=d^2$）を $A$ の指数といい $\operatorname{ind}A$ と書く。$n=md$ である。体の拡大 $K/k$ について $A_K:=A\otimes_kK$ は $K$ 上の次数 $n$ の中心単純環である。
$A$ の右イデアル $I$ の $k$ 上の次元は $n$ の倍数になる（下の lem-gsb-ideals）。$\dim_kI=rn$ のとき、$r$ を $I$ の 被約次元 という。

一般化された Severi–Brauer 多様体

$0\le r\le n$ とする。$A$ を $k$ 上の $n^2$ 次元のベクトル空間とみた Grassmann 多様体 $\operatorname{Gr}(rn,A)$ の中で、右イデアルであるという閉条件で定まる閉部分スキームを $\operatorname{SB}_r(A)$ と書き、$A$ の $r$ 番目の 一般化された Severi–Brauer 多様体 という。可換 $k$ 代数 $R$ について、$\operatorname{SB}_r(A)(R)$ は、右イデアル $I\subset A_R:=A\otimes_kR$ で $A_R/I$ が階数 $n^2-rn$ の射影的 $R$ 加群になるもの全体である。

体の拡大 $K/k$ について、$\operatorname{SB}_r(A)(K)$ は $A_K$ の被約次元 $r$ の右イデアル全体である。関手による定義と閉部分スキームであることは Kra02 §2.1（式 (2), p. 6）による。$\operatorname{SB}_1(A)$ は Severi–Brauer多様体の注意「右イデアルと直線」の右イデアルによる記述の Severi–Brauer 多様体である。文献によっては、同じ多様体を $V_r(A)$（Kra02 §2.1。式 (1) は左イデアルによる記述）や $X_r(A)$（Mat09 定義 2.1）と書く。

右イデアルの分類

行列環の右イデアル

$D$ を $k$ 上の次数 $d$ の中心斜体、$W$ を右 $D$ ベクトル空間で $\dim_DW=m$、$E:=\operatorname{End}_D(W)$（$\cong M_m(D)$）とする。$D$ 部分空間 $U\subset W$ に
$$ I_U:=\{f\in E\mid f(W)\subset U\}=\operatorname{Hom}_D(W,U) $$
を対応させると、$D$ 部分空間全体から $E$ の右イデアル全体への全単射が得られ、$\dim_kI_U=md^2\dim_DU$ である。とくに $E$ の右イデアルの被約次元は $d\dim_DU$ で、$0,d,2d,\dots,md$ のどれかである。

像の和で部分空間を復元する

$f\in I_U$、$g\in E$ なら $(f\circ g)(W)\subset f(W)\subset U$ なので、$I_U$ は右イデアルである。$\dim_kI_U$：$W\cong D^m$、$U\cong D^s$（$s=\dim_DU$）と基底をとると、$\operatorname{Hom}_D(W,U)$ は $D$ 成分の $s\times m$ 行列の空間で、$k$ 上の次元は $smd^2$ である。$n=md$ なので被約次元は $smd^2/n=sd$ である。
単射：$U=\sum_{f\in I_U}f(W)$ を示す。$\supset$ は定義による。$0\ne u\in U$ について、$0$ でない $D$ 線形写像 $\lambda\colon W\to D$ をとり $f(w):=u\lambda(w)$ とおくと $f\in I_U$ で、$\lambda$ は全射なので $u\in f(W)$ である。
全射：$I$ を右イデアルとし、$U:=\sum_{f\in I}f(W)$ とおく。$I\subset I_U$ は明らかである。$U$ の $D$ 基底 $u_1,\dots,u_s$ を、$u_j=f_j(w_j)$（$f_j\in I$、$w_j\in W$）となるようにとる（$U$ は像の元で張られるので、張る元から基底を選べる）。$g\in I_U$ をとり、$g(w)=\sum_ju_j\lambda_j(w)$（$\lambda_j\colon W\to D$ は $D$ 線形）と書く。$e_j\in E$ を $e_j(w):=w_j\lambda_j(w)$ で定めると、$(f_j\circ e_j)(w)=f_j(w_j)\lambda_j(w)=u_j\lambda_j(w)$ なので $g=\sum_jf_j\circ e_j\in I$ である。よって $I=I_U$ である。$\square$

$A$ が分裂する場合（$D=k$、$d=1$、$A=\operatorname{End}_k(W)$）、被約次元 $r$ の右イデアルは $r$ 次元の部分空間 $U$ と 1 対 1 に対応する。この対応は $R$ 値点にも延び、$I\mapsto(I$ の元の像の和$)$ が同型 $\operatorname{SB}_r(\operatorname{End}(W))\cong\operatorname{Gr}(r,W)$ を与える（Kra02 §2.1 式 (3), p. 6）。体の拡大 $K$ で $A_K\cong M_n(K)$ となるもの（分裂体）をとれば、$\operatorname{SB}_r(A)_K\cong\operatorname{Gr}(r,n)_K$ である。したがって $\operatorname{SB}_r(A)$ は $k$ 上の $r(n-r)$ 次元の滑らかで幾何的に整な射影多様体である。$0< r< n$ では $\operatorname{Gr}(r,n)$ の捻れた形として本質的な多様体になり、$r=0,n$ では 1 点である。

有理点と指数

有理点の判定

$0\le r\le n$ とし、$K/k$ を体の拡大とする。$\operatorname{SB}_r(A)$ が $K$ 有理点をもつことと、$\operatorname{ind}A_K$ が $r$ を割り切ることは同値である。

被約次元の候補

$A_K\cong M_{m'}(D')$（$D'$ は $K$ 上の次数 $d'=\operatorname{ind}A_K$ の中心斜体、$n=m'd'$）と書き、$A_K\cong\operatorname{End}_{D'}(D'^{m'})$ とみる。lem-gsb-ideals により、$A_K$ の右イデアルの被約次元は $sd'$（$0\le s\le m'$）の形の数全体である。$0\le r\le n=m'd'$ なので、$r$ がこの形であることは $d'\mid r$ と同値である。$\square$

$r=1$ では「$\operatorname{SB}_1(A)$ が $k$ 有理点をもつ $\Leftrightarrow$ $\operatorname{ind}A=1$ $\Leftrightarrow$ $A$ が分裂する」となり、Severi–Brauer多様体の定理「有理点による分裂の判定」の一部が再び得られる。$r=\operatorname{ind}A$ とおくと、$\operatorname{SB}_{\operatorname{ind}A}(A)$ はつねに $k$ 有理点をもつ。また、$\operatorname{SB}_r(A)$ の関数体 $L=k(\operatorname{SB}_r(A))$ の上では生成点が $L$ 有理点を与えるので、$\operatorname{ind}A_L$ は $r$ を割り切る。

素数次数の斜体

$A=D$ を $k$ 上の素数次数 $p$ の中心斜体とする（$n=p$、$\operatorname{ind}A=p$）。$0< r< p$ では $p\nmid r$ なので、thm-gsb-points により $\operatorname{SB}_r(D)$ は $k$ 有理点をもたない。一方 $L=k(\operatorname{SB}_1(D))$ の上では $\operatorname{ind}D_L$ が $1$ を割り切るので $D_L$ は分裂し、$L$ の上ではすべての $\operatorname{SB}_r(D)$ が Grassmann 多様体 $\operatorname{Gr}(r,p)_L$ と同型になって $L$ 有理点をもつ。このように、ある $\operatorname{SB}_r(A)$ の関数体へ係数を広げることで $A$ の指数を下げられる。

有理点があれば有理

有理点をもつ一般化された Severi–Brauer 多様体

$\operatorname{SB}_r(A)$ が $k$ 有理点 $I_0$ をもつとする。$A=I_0\oplus J$ となる右イデアル $J$ をとると、$\operatorname{SB}_r(A)$ の開部分スキーム
$$ \Omega:=\{I\mid I\cap J=0\} $$
は、$k$ ベクトル空間 $H:=\operatorname{Hom}_A(I_0,J)$（右 $A$ 加群の準同型の空間）のアフィン空間と同型である。とくに $\operatorname{SB}_r(A)$ は $k$ 上の有理多様体で、$\dim_kH=r(n-r)$ である。

$J$ がとれるのは、$A\cong M_m(D)$ が右 $A$ 加群として半単純で、右イデアル $I_0$ が直和因子になるからである（lem-gsb-ideals の記号では、$I_0=I_U$ に対し $W=U\oplus U'$ と補空間をとって $J=I_{U'}$ とすればよい）。

Grassmann 多様体の座標近傍の中のグラフ

$\operatorname{Gr}(rn,A)$ の中で、$J$ と $0$ でしか交わらない $rn$ 次元部分空間の全体は、$k$ 線形写像 $\psi\colon I_0\to J$ のグラフ $\Gamma_\psi:=\{x+\psi(x)\mid x\in I_0\}$ 全体と 1 対 1 に対応し、$\operatorname{Hom}_k(I_0,J)$ のアフィン空間と同型な開集合（アフィン座標近傍）をなす（Grassmann多様体の定義「アフィン座標近傍」のあとの注意）。$R$ 値点でも同じで、$A_R=I_{0,R}\oplus J_R$ の $J_R$ 成分への写像として $\psi\in\operatorname{Hom}_k(I_0,J)\otimes R$ が定まる。
この開集合の中で、$\Gamma_\psi$ が右イデアルであることは、$\psi$ が右 $A$ 加群の準同型であることと同値である。実際、$\psi$ が $A$ 線形なら $(x+\psi(x))a=xa+\psi(xa)\in\Gamma_\psi$ である。逆に $\Gamma_\psi$ が右イデアルなら、$x\in I_0$、$a\in A$ について $(x+\psi(x))a=xa+\psi(x)a$ で、$xa\in I_0$、$\psi(x)a\in J$（$J$ は右イデアル）なので、$\Gamma_\psi$ の元としての分解の一意性から $\psi(xa)=\psi(x)a$ である。$R$ 値点でも、$I_{0,R}$ と $J_R$ が $A_R$ の右イデアルなので同じ議論が通る。$A$ 線形性は $\psi$ の成分についての一次方程式なので、$\Omega$ は線形部分空間 $H\otimes R\subset\operatorname{Hom}_k(I_0,J)\otimes R$ に対応し（$I_0$ は有限生成射影的 $A$ 加群なので $\operatorname{Hom}_{A_R}(I_{0,R},J_R)=H\otimes_kR$）、$\Omega\cong\mathbb{A}(H)$ である。
$\Omega$ は $I_0$（$\psi=0$）を含む空でない開集合で、$\operatorname{SB}_r(A)$ は既約なので、$\dim_kH=\dim\operatorname{SB}_r(A)=r(n-r)$ であり、$\operatorname{SB}_r(A)$ は有理多様体である（有理多様体の定理「関数体による特徴づけ」の 3）。$\square$

指数による 3 つの同値な条件

$0\le r\le n$ について、次は同値である。

$\operatorname{ind}A$ が $r$ を割り切る。
$\operatorname{SB}_r(A)$ は $k$ 有理点をもつ。
$\operatorname{SB}_r(A)$ は $k$ 上の有理多様体である。

1 と 2 の同値は thm-gsb-points（$K=k$）、2 ⇒ 3 は thm-gsb-rational である。3 ⇒ 2：$k$ が無限体なら、有理多様体の $k$ 有理点は稠密で、とくに空でない（有理多様体の命題「有理点の稠密性」）。$k$ が有限体なら、有限体上の中心単純環は分裂するので（有限体上の有限次元斜体は可換体である。Wedderburn の定理、GS06 §6.2, p. 143）、$\operatorname{ind}A=1$ で 1 が成り立つ。$\square$

例と反例

四元数斜体の上の $2\times2$ 行列

$D$ を $k$ 上の四元数斜体（次数 $2$。たとえば $k=\mathbb{R}$ と Hamilton の四元数）、$A=M_2(D)$ とする。$n=4$、$\operatorname{ind}A=2$ で、$A$ は分裂しない。有限体の上の中心斜体は可換なので、このとき $k$ は無限体である。

$r$	$\dim\operatorname{SB}_r(A)$	分裂体の上での姿	$k$ 有理点	$k$ 上の有理性
$1$	$3$	$\mathbb{P}^3$	なし	有理でない（$k$ が無限体のとき）
$2$	$4$	$\operatorname{Gr}(2,4)$	あり	有理
$3$	$3$	$\operatorname{Gr}(3,4)\cong\mathbb{P}^3$	なし	有理でない（$k$ が無限体のとき）

$r=2$ の有理点は、lem-gsb-ideals で $W=D^2$ の 1 次元 $D$ 部分空間 $U$ をとった右イデアル $I_U$（被約次元 $2\cdot1=2$）である。

外す条件	反例	成り立たなくなること
Châtelet の判定（Severi–Brauer多様体）の $r=1$	$M_2(D)$ と $r=2$（ex-gsb-m2d）	$k$ 有理点をもてば $A$ が分裂すること
cor-gsb-criterion の $\operatorname{ind}A\mid r$	$M_2(D)$ と $r=1$（ex-gsb-m2d）	$k$ 有理点をもつこと、有理であること

1 行目では、$\operatorname{SB}_2(M_2(D))$ は有理点をもち有理だが、$A=M_2(D)$ は分裂しない。一般化された Severi–Brauer 多様体は $r>1$ では有理点だけで $A$ の Brauer 類を決めない。

補足

左イデアルと反対環：左イデアルを右零化域に送ると、被約次元 $r$ の右イデアルと被約次元 $n-r$ の左イデアルが対応し、左イデアルは反対環 $A^{\mathrm{op}}$ の右イデアルなので、$\operatorname{SB}_r(A)\cong\operatorname{SB}_{n-r}(A^{\mathrm{op}})$ である（Kra02 §2.1 式 (1)(2) とその間の注意, p. 6）。分裂する場合は $\operatorname{Gr}(r,n)\cong\operatorname{Gr}(n-r,n)$（Grassmann多様体の命題「双対性」）にあたる。さらに $\operatorname{SB}_r(A)$ と $\operatorname{SB}_r(A^{\mathrm{op}})$ は双有理同値である（Kra02 定理 3.1, p. 9。この記事では証明しない）。
関数体と Brauer 類：Amitsur の予想（2 つの Severi–Brauer 多様体の関数体が同型になる条件）の一般化された Severi–Brauer 多様体への拡張と、その部分的な解決が Kra02 にある。
有理点と分裂の比較：thm-gsb-points から、$\operatorname{SB}_r(A)$ と $\operatorname{SB}_{r'}(A)$ は、$\gcd(\operatorname{ind}A,r)=\gcd(\operatorname{ind}A,r')$ なら同じ拡大体で有理点をもつ（$\operatorname{ind}A_K$ は $\operatorname{ind}A$ を割り切るので。Mat09 定義 2.1 の後, p. 2）。