Dirichletの原理

$j$ を固定し、$F:=\varphi\,\partial_ju$ を $\Omega$ の外で $0$ と延ばすと、$F$ は $\mathbb{R}^n$ 上の台がコンパクトな $C^1$ 級関数である（$\varphi$ の台は $\Omega$ のコンパクト集合で、その外の近くで $F=0$）。Fubiniの定理 で $x_j$ について先に積分すると、微積分学の基本定理 とコンパクトな台から $\int_{\mathbb{R}}\partial_jF\,dx_j=0$ なので $\int_{\mathbb{R}^n}\partial_jF\,dx=0$ である。$\partial_jF=\partial_j\varphi\,\partial_ju+\varphi\,\partial_j^2u$ を $j=1,\dots,n$ について足せば主張を得る。$\square$

1 ⇒ 2：lem-dir-ibp から $\int\nabla u\cdot\nabla\varphi=-\int(\Delta u)\varphi=0$ なので、$\delta_u(\varphi)=\int|\nabla\varphi|^2=D(\varphi)\ge0$ である。これは最後の主張も示している。$\varphi$ を $\Omega$ の外で $0$ と延ばすと $\mathbb{R}^n$ 上の台がコンパクトな $C^1$ 級関数になるので、$\nabla\varphi\equiv0$ なら $\varphi$ は $\mathbb{R}^n$ 上で定数、すなわち $0$ である。よって $\varphi\ne0$ なら $\nabla\varphi\ne0$ となる点があり、連続性から $D(\varphi)>0$ である。
2 ⇒ 1：$\varphi\in C_c^1(\Omega)$ と実数 $t$ について $t\varphi\in C_c^1(\Omega)$ なので
$$ 0\le\delta_u(t\varphi)=2t\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla\varphi\,dx+t^2D(\varphi) $$
がすべての $t$ で成り立つ。$t$ の 2 次式が $t=0$ で値 $0$ をとり、つねに $0$ 以上なので、1 次の係数は $0$ であり、lem-dir-ibp から $\int_\Omega(\Delta u)\varphi\,dx=0$ を得る。ある点 $x_0$ で $\Delta u(x_0)\ne0$ と仮定し、たとえば $\Delta u(x_0)>0$ とする。$\Delta u$ は連続なので、$\overline B(x_0,\rho)\subset\Omega$ の上で $\Delta u>0$ となる $\rho>0$ がある。$\varphi(x):=(\rho^2-|x-x_0|^2)^2$（$|x-x_0|< \rho$）、$\varphi(x):=0$（それ以外）とおくと $\varphi\in C_c^1(\Omega)$、$B(x_0,\rho)$ の上で $\varphi>0$ なので $\int(\Delta u)\varphi>0$ となり、矛盾する。$\Delta u(x_0)< 0$ でも同様である。よって $\Delta u=0$ である。$\square$

$v\in H^1(\Omega)$ なら $|\int fv|\le\|f\|_{L^2}\|v\|_{L^2}< \infty$ なので $J(v)$ は有限である。$u\in K_G$、$\varphi\in H^1_0(\Omega)$ について、展開すると
$$ J(u+\varphi)=J(u)+\ell_u(\varphi)+\frac12D(\varphi),\qquad\ell_u(\varphi):=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla\varphi\,dx-\int_\Omega f\varphi\,dx $$
である。$K_G$ の元はちょうど $u+\varphi$（$\varphi\in H^1_0(\Omega)$）の形の関数である。
1．すべての $\varphi$ で $\ell_u(\varphi)=0$ なら、$J(u+\varphi)-J(u)=\frac12D(\varphi)\ge0$ なので $u$ は最小点である。逆に $u$ が最小点なら、実数 $t$ について $0\le J(u+t\varphi)-J(u)=t\,\ell_u(\varphi)+\frac{t^2}2D(\varphi)$ がすべての $t$ で成り立つので、$\ell_u(\varphi)=0$ である。
2．$H^1_0(\Omega)$ に内積 $D(\cdot,\cdot)$ を入れた Hilbert 空間を考え、$\varphi\in H^1_0(\Omega)$ について
$$ \Lambda(\varphi):=\int_\Omega f\varphi\,dx-\int_\Omega\nabla G\cdot\nabla\varphi\,dx $$
とおく。$\Lambda$ は線形で、Cauchy–Schwarz の不等式と Poincaré の不等式から
$$ |\Lambda(\varphi)|\le\|f\|_{L^2}\|\varphi\|_{L^2}+\|\nabla G\|_{L^2}\|\nabla\varphi\|_{L^2}\le\bigl(d\,\|f\|_{L^2}+\|\nabla G\|_{L^2}\bigr)\|\nabla\varphi\|_{L^2} $$
なので有界である。Rieszの表現定理 の定理「Rieszの表現定理」により、$w\in H^1_0(\Omega)$ で、すべての $\varphi$ について $D(\varphi,w)=\Lambda(\varphi)$ となるものがある。$u:=G+w\in K_G$ とおくと
$$ \int_\Omega\nabla u\cdot\nabla\varphi\,dx=\int_\Omega\nabla G\cdot\nabla\varphi\,dx+\Lambda(\varphi)=\int_\Omega f\varphi\,dx $$
であり、$u$ は 1 の等式を満たす。一意性：$u_1,u_2\in K_G$ が 1 の等式を満たせば、$\varphi:=u_1-u_2\in H^1_0(\Omega)$ について、2 つの等式の差から $D(\varphi)=D(u_1-u_2,\varphi)=0$ である。$\|\nabla\cdot\|_{L^2}$ は $H^1_0(\Omega)$ 上のノルムなので $\varphi=0$ である。最小点の存在と一意性は 1 による。
3．$v\in K_G$ について $\varphi:=v-u\in H^1_0(\Omega)$ とおけば、$\ell_u(\varphi)=0$ なので冒頭の展開式から $J(v)-J(u)=\frac12D(v-u)$ である。$\square$

$f=0$ なら $J=\frac12D$ なので、最小点の存在と一意性は thm-dir-main の 2 である。1 の等式を $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ に使うと、弱微分の定義（$\partial_j\varphi$ を試験関数として $\int\partial_ju\,\partial_j\varphi=-\int u\,\partial_j^2\varphi$）から
$$ 0=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla\varphi\,dx=-\int_\Omega u\,\Delta\varphi\,dx $$
となる。よって $u$ は弱調和であり、Weylの補題 の定理「Weylの補題」により、$\Omega$ 上の調和関数 $h$ でほとんど至る所 $u=h$ となるものがある。$\square$

$h$ はコンパクト集合 $\overline\Omega$ 上で連続なので有界で、$\Omega$ は有界なので $h\in L^2(\Omega)$ である。$h$ は $\Omega$ 上 $C^1$ 級で $\nabla h\in L^2$ なので $h\in H^1(\Omega)$ である。$h-G\in H^1(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ は $\partial\Omega$ 上で $0$ なので、零境界Sobolev空間 の定理「境界で $0$ になる連続関数」の 1 により $h-G\in H^1_0(\Omega)$、すなわち $h\in K_G$ である。
$\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ なら lem-dir-ibp から $D(h,\varphi)=-\int(\Delta h)\varphi=0$ である。$\varphi\mapsto D(h,\varphi)$ は $H^1(\Omega)$ のノルムについて連続で（Cauchy–Schwarz の不等式）、$C_c^\infty(\Omega)$ は $H^1_0(\Omega)$ で稠密なので、すべての $\varphi\in H^1_0(\Omega)$ で $D(h,\varphi)=0$ である。これは thm-dir-main の 1 の等式（$f=0$）なので、$h$ は最小点であり、2 によりただ 1 つである。$\square$

1．$\sin mt=(e^{imt}-e^{-imt})/(2i)$ と一様収束から、$g$ の Fourier 係数は $\hat g(\pm k!)=\pm\frac1{2i\,k^2}$（$k\ge1$）で、ほかは $0$ である（$k!$ は $k$ ごとに異なる）。Poisson核 の命題「平面の Poisson 核の展開」により $P[g](re^{i\theta})=\sum_k\hat g(k)r^{|k|}e^{ik\theta}=u(re^{i\theta})$ であり、同じ記事の系「Poisson 積分による球の Dirichlet 問題の解」から主張が出る。
2．$D(v)< \infty$ と仮定して矛盾を導く。$0\le r\le1$、$m\in\mathbb{Z}$ について $v_m(r):=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}v(re^{i\theta})e^{-im\theta}\,d\theta$ とおく。次の 3 つを使う（確かめは下の折りたたみ）。

• (a) $v_m$ は $[0,1]$ 上で連続で、$v_m(1)=\hat g(m)$、$m\ne0$ なら $v_m(0)=0$ である。
• (b) $v_m$ は $(0,1)$ 上で $C^1$ 級で、$\theta\mapsto\partial_rv(re^{i\theta})$ の第 $m$ Fourier 係数は $v_m'(r)$、$\theta\mapsto\partial_\theta\bigl(v(re^{i\theta})\bigr)$ の第 $m$ Fourier 係数は $im\,v_m(r)$ である。
• (c) $|\nabla v|^2=(\partial_rv)^2+r^{-2}(\partial_\theta v)^2$ である。
  $M$ を $0$ を含まない整数の有限集合、$0< \varepsilon< \rho< 1$ とする。極座標で積分し、各円周の上で Bessel の不等式（連続関数 $h$ について $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|h|^2\,d\theta\ge\sum_{m\in M}|\hat h(m)|^2$）を (b) の 2 つの関数に使うと
  $$ D(v)\ge\int_\varepsilon^\rho\!\!\int_0^{2\pi}|\nabla v|^2\,r\,d\theta\,dr\ge2\pi\sum_{m\in M}\int_\varepsilon^\rho\Bigl(r\,|v_m'(r)|^2+\frac{m^2}r|v_m(r)|^2\Bigr)dr $$
  である。相加相乗平均の不等式と $\bigl(|v_m|^2\bigr)'=2\operatorname{Re}(\overline{v_m}\,v_m')\le2|v_m||v_m'|$ から、被積分関数は $2|m||v_m||v_m'|\ge|m|\bigl(|v_m|^2\bigr)'$ 以上である。したがって
  $$ D(v)\ge2\pi\sum_{m\in M}|m|\bigl(|v_m(\rho)|^2-|v_m(\varepsilon)|^2\bigr) $$
  であり、(a) により $\varepsilon\to0$、$\rho\to1$ として $D(v)\ge2\pi\sum_{m\in M}|m||\hat g(m)|^2$ を得る。$M=\{\pm1!,\pm2!,\dots,\pm N!\}$ とすると、右辺は $2\pi\sum_{k=1}^N2\cdot k!\cdot\frac1{4k^4}=\pi\sum_{k=1}^N\frac{k!}{k^4}$ であり、$k!/k^4\to\infty$ なので $N\to\infty$ で発散する。これは $D(v)< \infty$ に反する。$u$ は 1 によりこの条件を満たす $v$ の 1 つなので、$D(u)=\infty$ である。$\square$
  (a)・(b)・(c) の確かめを開く

  (a)：$v$ はコンパクト集合 $\overline B$ 上で一様連続なので、$r\mapsto v(re^{i\theta})$ は $\theta$ について一様に連続であり、$v_m$ は連続である。$v(e^{i\theta})=g(e^{i\theta})$ から $v_m(1)=\hat g(m)$ である。$r\to0$ で $v(re^{i\theta})\to v(0)$ が $\theta$ について一様に成り立ち、$m\ne0$ なら $\int_0^{2\pi}e^{-im\theta}d\theta=0$ なので $v_m(0)=v(0)\cdot0=0$ である。

  (b)：$0< \varepsilon\le r\le\rho< 1$ の範囲で、$\partial_rv(re^{i\theta})=\nabla v\cdot(\cos\theta,\sin\theta)$ は $(r,\theta)$ について連続なので、積分記号の下で微分できて $v_m'(r)=\frac1{2\pi}\int\partial_rv\,e^{-im\theta}d\theta$ である。$\partial_\theta\bigl(v(re^{i\theta})\bigr)=r\,\nabla v\cdot(-\sin\theta,\cos\theta)$ は $\theta$ について連続で周期 $2\pi$ なので、部分積分で $\frac1{2\pi}\int\partial_\theta v\,e^{-im\theta}d\theta=\frac{im}{2\pi}\int v\,e^{-im\theta}d\theta=im\,v_m(r)$ である。

  (c)：$(\cos\theta,\sin\theta)$ と $(-\sin\theta,\cos\theta)$ は正規直交基底なので、$|\nabla v|^2$ はこの 2 方向の成分の 2 乗の和 $(\partial_rv)^2+(r^{-1}\partial_\theta v)^2$ に等しい。

要点：原点の近くの部分を 1 点を除いた平面の零境界 Sobolev 空間の例に帰着させ、残りは境界で $0$ になる連続関数として扱う。$G\in H^1_0(\Omega)$ が示せれば、$K_G=H^1_0(\Omega)$ は $0$ を含み、$D(0)=0\le D(v)$ なので、thm-dir-main の最小点は $u\equiv0$ である。