余極限(圏論)

同義語：圏論の余極限圏論的余極限

概要

前提知識: 圏, 関手

定義

余極限は、図式の各対象から出る写像を、整合条件を保ったまま一つにまとめる普遍的な対象である。以下、$\mathcal J$ は小さい圏、$D\colon\mathcal J\to\mathcal C$ は関手とする。小さいとは対象と射が集合をなすこと、関手とは対象と射を移し、恒等射と合成を保つ対応である。Rie16 §3.1

余錐

頂点 $X$ を持つ $D$ からの余錐（cocone）は、各対象 $j$ に射 $\lambda_j\colon D(j)\to X$ を与え、任意の射 $\alpha\colon j\to k$ について
$$ \lambda_k\circ D(\alpha)=\lambda_j $$
を満たすものである。すべての対象を $X$、すべての射を $\operatorname{id}_X$ に送る定値関手を $\Delta X$ と書くと、これは自然変換 $D\Rightarrow\Delta X$ である。

余極限

余極限（colimit）とは余錐 $(C,(\iota_j)_j)$ で、任意の余錐 $(X,(\lambda_j)_j)$ に対し、
$$ u\circ\iota_j=\lambda_j\quad\text{for all }j $$
を満たす射 $u\colon C\to X$ がただ一つ存在するものをいう。$C=\operatorname{colim}_{\mathcal J}D$ と書くが、余極限には脚 $\iota_j$ の指定も含まれる。

余極限からの射を作るには、図式の各部分からの射を作って、重なりや関係に沿って一致することを確かめればよい。これが貼り合わせや商構成を統一する見方である。

例と反例

空図式の余極限：始対象

$\mathcal J$ が空なら、条件は任意の $X$ への射 $C\to X$ がただ一つあることになる。このような $C$ を始対象という。集合の圏では空集合 $\emptyset$ が始対象である。空集合からの写像には値を指定する元が一つもなく、空の対応が唯一の写像となる。

二つの対象の余極限：余積

二対象と恒等射だけからなる図式の余極限を余積(圏論) という。集合 $A,B$ の余積は、タグを付けた非交和
$$ A\sqcup B=(A\times\{0\})\cup(B\times\{1\}) $$
である。写像 $a\colon A\to X,\ b\colon B\to X$ に対し、$u(a_0,0)=a(a_0),\ u(b_0,1)=b(b_0)$ とすれば写像 $A\sqcup B\to X$ が一意に定まる。

反例：普通の和集合では区別が失われる

$A=B=\{0\}$ の普通の和集合は一元集合だが、余積ではない。二つの写像 $a,b\colon\{0\}\to\{0,1\}$ を $a(0)=0,\ b(0)=1$ とすると、一元集合 $A\cup B$ からの一つの写像では両方を同時に延長できない。余積のタグは、元がたまたま等しくても出所を区別するために必要である。

平行二射の余極限：余等化子

集合の写像 $f,g\colon A\rightrightarrows B$ に対し、すべての $a\in A$ について $f(a)\sim g(a)$ を含む最小の同値関係 $\sim$ を取り、商写像 $q\colon B\to B/{\sim}$ を考える。これを余等化子という。
写像 $h\colon B\to X$ が $hf=hg$ を満たすとき、「$h$ の値が等しい」という同値関係は生成関係を含むので、$\sim$ も含む。従って $u([b])=h(b)$ は well-defined で、$uq=h$ を満たす。$q$ は全射なので $u$ は唯一である。平行二射への余錐の $A$ 成分は $hf=hg$ により定まるため、これが余極限の性質である。

二本の射の余極限：押し出し

図式 $A\xleftarrow f C\xrightarrow g B$ の余極限を押し出しという。集合の圏では、$A\sqcup B$ で $(f(c),0)$ と $(g(c),1)$ を同一視して得る商集合である。
$a\colon A\to X,\ b\colon B\to X$ が $af=bg$ を満たすと、非交和上の写像はすべての生成関係で値が等しいので商へ一意に降りる。逆に商からの写像はこの等式を満たす二つの写像を与える。

基本性質と作り方

余錐を保つ同型までの一意性

同じ図式の二つの余極限 $(C,\iota),(C',\iota')$ の間には、$u\iota_j=\iota'_j$ を満たす同型 $u\colon C\to C'$ がただ一つある。

普遍性で得た射が互いに逆になる

$C$ の普遍性で $u\colon C\to C'$、$C'$ の普遍性で $v\colon C'\to C$ を得る。$vu\iota_j=v\iota'_j=\iota_j$ なので、$C$ の唯一性から $vu=\operatorname{id}_C$ である。同様に $uv=\operatorname{id}_{C'}$ となる。$u$ の唯一性も普遍性から従う。

余積と余等化子による構成

すべての小さい余積と、任意の平行二射の余等化子を持つ圏は、すべての小さい余極限を持つ。

余積に整合関係を課す

図式 $D\colon\mathcal J\to\mathcal C$ に対し、
$$ P=\coprod_{j\in\operatorname{Ob}\mathcal J}D(j),\qquad Q=\coprod_{\alpha:j\to k}D(j) $$
を取り、$D(j)\to P$ を $i_j$ と書く。$s,t\colon Q\rightrightarrows P$ を、$\alpha:j\to k$ に対応する $D(j)$ 上でそれぞれ
$$ s_\alpha=i_j,\qquad t_\alpha=i_kD(\alpha) $$
と定める。ここでは二つの写像の出発点を合わせるため、$Q$ に射の始域の $D(j)$ を並べている。
余等化子 $q\colon P\to C$ を取り $\iota_j=qi_j$ とすると、$qs=qt$ より余錐になる。任意の余錐 $\lambda_j\colon D(j)\to X$ は、余積の普遍性によりただ一つの $h\colon P\to X$ を定める。余錐条件から $hs=ht$ なので、ただ一つの $u\colon C\to X$ が存在して $uq=h$ となる。従って $u\iota_j=\lambda_j$ である。逆にこの等式から余積の唯一性により $uq=h$ が従い、余等化子の唯一性により $u$ が一意となる。

集合の圏では、この構成は「すべての $D(j)$ の非交和を取り、$(j,x)$ と $(k,D(\alpha)x)$ を同一視する」という具体式になる。存在と一意性の証明は上の構成で同時に与えられている。Rie16 §§3.2, 3.5–3.6

随伴との関係

左随伴は余極限を保存する

関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal A,\ G\colon\mathcal A\to\mathcal C$ に両変数で自然な全単射
$$ \Phi_{Y,X}\colon\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(FY,X) \cong\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(Y,GX) $$
があるとき、$F$ を左随伴という（随伴関手）。$D\colon\mathcal J\to\mathcal C$ の余極限 $(C,\iota)$ が存在すれば、$(FC,F\iota)$ は $FD$ の余極限になる。

随伴対応で余錐を移す

余錐 $\lambda_j\colon FD(j)\to X$ を $\bar\lambda_j=\Phi_{D(j),X}(\lambda_j)$ に移す。第1変数に関する自然性から $\bar\lambda_k D(\alpha)=\bar\lambda_j$ なので、$C$ の普遍性によりただ一つの $h\colon C\to GX$ が存在して $h\iota_j=\bar\lambda_j$ となる。$u=\Phi^{-1}_{C,X}(h)$ とすれば、自然性から $uF\iota_j=\lambda_j$ である。逆にそのような $u$ は $\Phi$ によって同じ $h$ に移るので唯一である。

この保存定理は Rie16 §4.5 にある。左随伴だから元の圏のすべての余極限が存在する、という主張ではない。

補足

極限との双対性と存在

圏の射をすべて反転した反対圏を $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ と書く。余錐 $D(j)\to C$ とその普遍性を反転すると、$D^{\mathrm{op}}\colon\mathcal J^{\mathrm{op}}\to\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の極限（極限(圏論)）の定義になる。これが極限と余極限の双対性である。どちらも常に存在するとは限らない。例えば正の整数の順序圏では、$1\to2\to3\to\cdots$ の余錐の頂点は全正整数の上界を要するが、そのような正整数はない。

豊穣圏での余極限

Hom がモノイダル圏 $\mathcal V$ の対象である豊穣圏では、余錐の普遍性も Hom 対象の同型として扱う。さらに重みが、各対象をどう組み合わせるかを指定する重み付き余極限を用いる。$\mathcal V=\mathbf{Set}$ の定値一点の重みでは、本記事の余錐と一意な因子化が得られる。台圏における普通の余極限と、豊穣余極限が自動的に同じとは限らない。詳説は余極限(豊穣圏) で扱う。Kel82 §§3.1, 3.4, 3.8

∞圏での余極限

準圏モデルでは図式は単体的写像 $p\colon K\to\mathcal C$、余錐は右に頂点を加える延長 $K\star\Delta^0\to\mathcal C$ である。余錐の準圏 $\mathcal C_{p/}$ の始対象を余極限と定義する。これは他の余錐への射の空間が可縮、すなわちホモトピー的に一点と同じであることを要求する。HTT09 §§1.2.12–1.2.13
普通の圏の図式を脈体で移した場合は、離散的な射の空間が可縮であることは「射がただ一つ」に戻る。一方、一般の空間を扱うときには、単なる集合の商だけでは同一視に伴うホモトピーの情報を表せない。詳説は余極限(∞圏) で扱う。