Hartogsの定理(別々正則性)

$r>0$ を、$K$ からの距離が $r$ 以下の点の集合 $K':=\{z\mid\operatorname{dist}(z,K)\le r\}$ が $\Omega$ に含まれるようにとる（$K'$ はコンパクトである）。仮定 1 により $M:=\max\bigl(C,\sup_k\sup_{K'}u_k\bigr)<\infty$ である。
$w_k:=\max(u_k,C-1)$ とおく。定数は劣調和なので、劣調和関数 の命題「和・最大値・上限」により $w_k$ は劣調和であり、$K'$ の上で $C-1\le w_k\le M$ を満たす。また各点で $\limsup_kw_k(z)\le\max(C,C-1)=C$ であり、$u_k\le w_k$ なので、$w_k$ について結論を示せばよい。
結論が成り立たないとすると、$\varepsilon>0$、部分列 $k_1< k_2<\cdots$、点 $x_i\in K$ があって $w_{k_i}(x_i)>C+\varepsilon$ となる。$K$ はコンパクトなので、部分列に取り替えて $x_i\to x\in K$ としてよい。$0<\delta< r$ を固定すると、十分大きい $i$ で $|x_i-x|<\delta$ であり、このとき $B(x,r-\delta)\subset B(x_i,r)$ である。閉円板 $\overline B(x_i,r)$ は $K'$ に含まれるので、劣調和関数 の定理「劣平均値の性質（すべての半径）」の円板の平均の形と、$B(x_i,r)\setminus B(x,r-\delta)$ の上での $w_{k_i}\le M$ により
$$ C+\varepsilon< w_{k_i}(x_i)\le\frac1{\pi r^2}\int_{B(x_i,r)}w_{k_i}\,d\lambda\le\frac1{\pi r^2}\Bigl(\int_{B(x,r-\delta)}w_{k_i}\,d\lambda+M\pi\bigl(r^2-(r-\delta)^2\bigr)\Bigr) $$
である。$B:=B(x,r-\delta)$ の上で $M-w_{k_i}\ge0$ は可測（上半連続関数は Borel 可測）なので、Fatouの補題 により $\int_B\liminf_i(M-w_{k_i})\,d\lambda\le\liminf_i\int_B(M-w_{k_i})\,d\lambda$ であり、$w_{k_i}$ が $B$ の上で有界なことから、これは
$$ \limsup_{i\to\infty}\int_Bw_{k_i}\,d\lambda\le\int_B\limsup_{i\to\infty}w_{k_i}\,d\lambda\le C\pi(r-\delta)^2 $$
と書き直せる。上の不等式で $i\to\infty$ とすると
$$ C+\varepsilon\le C\frac{(r-\delta)^2}{r^2}+M\Bigl(1-\frac{(r-\delta)^2}{r^2}\Bigr) $$
を得る。$\delta\to0$ とすると $C+\varepsilon\le C$ となり、矛盾である。$\square$

正の整数 $m$ に対し
$$ E_m:=\{z'\in D'\mid\text{すべての}\ t\in D_n\ \text{について}\ |f(z',t)|\le m\}=\bigcap_{t\in D_n}\{z'\in D'\mid|f(z',t)|\le m\} $$
とおく。帰納法の仮定により各 $t$ で $z'\mapsto f(z',t)$ は $D'$ を含む開集合の上で連続なので、右辺の各集合は $D'$ の閉集合であり、$E_m$ も閉集合である。一方、各 $z'\in D'$ について $t\mapsto f(z',t)$ は $D_n$ を含む開集合の上で正則、特に連続なので、コンパクト集合 $D_n$ の上で有界であり、$z'$ はある $E_m$ に属する。よって $D'=\bigcup_mE_m$ である。
$D'$ は $\mathbb{C}^{n-1}$ の閉集合なので空でない完備距離空間であり、Baireのカテゴリー定理 の系「閉集合による可算被覆」により、ある $E_m$ は $D'$ の中で空でない内部 $W$ をもつ。$D'$ の内部は $D'$ の中で稠密なので、$D'$ の開集合 $W$ は $D'$ の内部と交わり、その交わりは $\mathbb{C}^{n-1}$ の空でない開集合である。そこに開多重円板 $V'$ をとれば $V'\subset E_m$ であり、$V'\times D_n$ の上で $|f|\le m$ である。$\square$

平行移動して $c=0$ とする。$|f|\le M$（$M\ge1$）を $V$ の上の上界とする。$V$ の上で $f$ は有界で各変数について正則なので、Osgoodの補題 により $V$ 上で正則である。
係数関数。 各 $t\in\Delta(0,R)$ について $g_t(z'):=f(z',t)$ は帰納法の仮定により $\Delta(0,R)\subset\mathbb{C}^{n-1}$ 上で正則なので、多変数の正則関数 の定理「正則性の言い換え」により
$$ f(z',t)=\sum_{\alpha\in\mathbb{N}^{n-1}}a_\alpha(t)\,z'^\alpha,\qquad a_\alpha(t):=\frac{1}{\alpha!}\frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial z'^\alpha}(0,t) $$
が $\Delta(0,R)$ 上で成り立つ。$z'=0$ での $z'$ についての偏導関数は $V$ の上の $f$ だけで決まり、同じ定理により $V$ 上の正則関数の偏導関数は正則なので、$a_\alpha$ は $\Delta(0,R)$ 上の 1 変数の正則関数である。
2 つの評価。 (i) $g_t$ は $\Delta(0,(r,\dots,r))$ の上で $|g_t|\le M$ なので、多重円板 の系「Cauchy の評価式と Liouville の定理」により $|a_\alpha(t)|\le Mr^{-|\alpha|}$（すべての $t$）。(ii) $0< R_1< R_2< R_3< R$ を固定する。各 $t$ について $g_t$ は閉多重円板 $\overline{\Delta}(0,(R_3,\dots,R_3))$ の上で連続なので有界であり、その上界を $M_t\ge1$ とすると、同じ系により $|a_\alpha(t)|\le M_tR_3^{-|\alpha|}$ である。
Hartogs の補題を使う。 $|\alpha|\ge1$ の多重指数を、$|\alpha|$ が小さい順に（同じ $|\alpha|$ の中では任意の順に）$\alpha^{(1)},\alpha^{(2)},\dots$ と並べる。各次数の多重指数は有限個なので $|\alpha^{(k)}|\to\infty$ である。$u_k:=|\alpha^{(k)}|^{-1}\log|a_{\alpha^{(k)}}|$（$a_{\alpha^{(k)}}(t)=0$ となる $t$ では $-\infty$）は、劣調和関数 の例「平面の $\log|f|$」と命題「和・最大値・上限」により $\Delta(0,R)$ 上で劣調和である。(i) から $u_k\le\log M-\log r$、(ii) から各 $t$ で $u_k(t)\le|\alpha^{(k)}|^{-1}\log M_t-\log R_3$ なので $\limsup_ku_k(t)\le-\log R_3<-\log R_2$ である。lem-hartogs-sep-subharmonic を $K:=\{|t|\le R_1\}$、$C:=-\log R_2$、$\varepsilon:=\log(R_2/R_1)$ に使うと、有限個の $\alpha$ を除いて
$$ |a_\alpha(t)|\le R_1^{-|\alpha|}\qquad(|t|\le R_1) $$
が成り立つ。
正規収束。 $0< s< R_1$ とし、$Q_s:=\overline{\Delta}(0,(s,\dots,s))\times\{|t|\le R_1\}$ とおく。上の有限個を除く $\alpha$ について $\sup_{Q_s}|a_\alpha(t)z'^\alpha|\le(s/R_1)^{|\alpha|}$ であり、$\sum_{\alpha\in\mathbb{N}^{n-1}}(s/R_1)^{|\alpha|}=(1-s/R_1)^{-(n-1)}<\infty$ である。除いた有限個の $a_\alpha$ は連続なのでコンパクト集合の上で有界である。よって級数 $\sum_\alpha a_\alpha(t)z'^\alpha$ は $Q_s$ の上で正規収束する。各項 $a_\alpha(t)z'^\alpha$ は連続で各変数について正則、すなわち正則であり、有限部分和も正則である。多変数の正則関数 の定理「局所一様極限」により、和 $f$ は $Q_s$ の内部 $\Delta(0,(s,\dots,s))\times\Delta(0,R_1)$ で正則である。$s< R_1< R$ は任意なので、$f$ は $D$ 上で正則である。$\square$

$n=1$ では、各変数について正則であることは 1 変数の正則性そのものであり、正則関数 の定理「正則関数の冪級数展開」により定義の意味で正則である。$n\ge2$ とし、$n-1$ 変数で主定理が成り立つとする。
$\xi\in U$ をとり、閉多重円板 $\overline{\Delta}(\xi,(2R,\dots,2R))$ が $U$ に含まれるように $R>0$ をとる。$D':=\overline{\Delta}(\xi',(R,\dots,R))$、$D_n:=\{|t-\xi_n|\le R\}$ に lem-hartogs-sep-baire を使うと、$D'$ の内部に含まれる開多重円板 $V'$ があって、$f$ は $V'\times D_n$ の上で有界である。$V'$ の中心を $a'$ とし、$V'$ の半径のどれよりも小さい $r$ を $r< R$ となるようにとると、$\Delta(a',r)\subset V'$ である。$a'$ は $D'$ の内部にあるので $|a'_j-\xi_j|< R$ である。
$D:=\Delta(a',R)\times\Delta(\xi_n,R)$ とおく。$z\in D$ なら $|z_j-\xi_j|\le|z_j-a_j|+|a_j-\xi_j|<2R$（$j< n$）なので $D\subset U$ であり、$\xi\in D$ である。$f$ は $D$ の上で各変数について正則で、$\Delta(a',r)\times\Delta(\xi_n,R)$ の上で有界なので、lem-hartogs-sep-propagation により $D$ 上で正則である。$\xi$ は任意なので $f$ は $U$ 上で正則である。$\square$