藤田予想
概要
藤田予想（Fujita's conjecture）とは、複素数体上の $n$ 次元の滑らかな射影多様体 $X$ と豊富な因子 $L$ について、$m\ge n+1$ なら $\lvert K_X+mL\rvert$ は基点をもたず、$m\ge n+2$ なら $K_X+mL$ は非常に豊富である、という予想である。前者は $n\le5$ で証明され、$n\ge6$ では 2024 年の時点で未解決、後者は 2019 年の文献で $n\le2$ まで知られている。$\mathbb{P}^n$ で下限は改良できない。$K_X+(n+1)L$ はネフで半豊富であり、$L$ が大域切断で生成されるなら自由性は成り立つ。
藤田予想（Fujita's conjecture）は、滑らかな射影多様体の標準因子に豊富な因子の倍数を足すと、次元だけで決まる倍数から先は線形系の振る舞いがよくなる、という予想で、2024 年の時点で一般には未解決である。$X$ を複素数体上の $n$ 次元の滑らかな射影多様体、$L$ を豊富な因子とする。このとき $m\ge n+1$ なら $\lvert K_X+mL\rvert$ は基点をもたず（自由性予想）、$m\ge n+2$ なら $K_X+mL$ は非常に豊富である（非常に豊富性予想）。藤田隆夫（Takao Fujita）が 1987 年の論文で述べた（GL24 §1、Mur19 Conjecture 1.3）。
$L$ が豊富なら $mL$ は十分大きな $m$ で非常に豊富になるが、どの $m$ からそうなるかは $X$ と $L$ によって決まり、次元だけでは決まらない（ex-fc-counter の「$K_X$ を外す」）。ところが $K_X$ を足すと、消滅定理が使えるようになり、$X$ にも $L$ にもよらない線形の下限が期待できる。それが予想の内容である。
自由性予想は $n\le5$ で証明されているが、$n\ge6$ では 2024 年の時点で未解決である（CKMS24 §1, p. 2）。非常に豊富性予想は 2019 年の文献で $n\le2$ までしか知られていない（Mur19 §2.1, p. 16）。一般の次元で知られている下限は線形でない。
この記事では予想を述べ、次のことを示す。
| 結果 | 内容 |
|---|---|
| ex-fc-pn | $\mathbb{P}^n$ で下限 $n+1,n+2$ は改良できない |
| prop-fc-curve | $n=1$ で予想は成り立ち、どの曲線でも下限は改良できない |
| prop-fc-cohomology | 予想はコホモロジーの消滅と同値である |
| prop-fc-nef | $K_X+(n+1)L$ はネフで半豊富、$K_X+(n+2)L$ は豊富 |
| prop-fc-seshadri | Seshadri 定数が $n$ より大きければ基点をもたない |
| cor-fc-gg | $L$ が大域切断で生成されるなら予想は成り立つ |
| prop-fc-surface | $n=2$ で予想は成り立つ（Reider の定理を引用） |
| prop-fc-abelian | アーベル多様体では $2L$ が基点をもたない |
予想の主張
この記事では多様体は複素数体上で考え、$X$ は $n$ 次元の滑らかな射影多様体、$K_X$ はその標準因子、$L$ は豊富な Cartier 因子とする。Cartier 因子 $D$ について、$\lvert D\rvert$ が基点をもたないとは、$\mathcal{O}_X(D)$ が大域切断で生成されることをいう。すなわち、すべての点 $x$ で評価写像 $H^0(X,\mathcal{O}_X(D))\to\mathcal{O}_X(D)\otimes k(x)$ が全射である。
$X$ を $n$ 次元の滑らかな射影多様体、$L$ を豊富な因子とする。
- 自由性予想：$m\ge n+1$ なら $\lvert K_X+mL\rvert$ は基点をもたない。
- 非常に豊富性予想：$m\ge n+2$ なら $K_X+mL$ は非常に豊富である。
1 が $L$ によらず成り立つなら、$L$ が非常に豊富である場合の 2 はただちに従う（cor-fc-gg の証明と同じ）。$L$ が豊富なだけのときは、この議論は使えない。また、$K_X+mL$ が大域切断で生成されるという 1 の結論は、$K_X$ を何倍もしない点に強さがある。十分大きな倍数 $l$ について $l(K_X+(n+1)L)$ が基点をもたないことは、prop-fc-nef で証明する。
川又雄二郎（Yujiro Kawamata）の論文では、次の補足も藤田の予想として述べられている。$(L^n)\ge2$ なら $\lvert K_X+nL\rvert$ も基点をもたない（Kaw97 Conjecture 1）。藤田自身も「$(L^n)=1$ でなければ $K_X+nL$ は大域切断で生成される」と述べ、$n=3$ で証明した（Fuj93 Introduction）。
小さな場合
$X=\mathbb{P}^n$、$L=\mathcal{O}(1)$ とすると、$K_X=\mathcal{O}(-n-1)$ なので $K_X+mL=\mathcal{O}(m-n-1)$ である。
- $m=n$ なら $\mathcal{O}(-1)$ で、大域切断は $0$ だけである。$\lvert K_X+nL\rvert$ は空である。
- $m=n+1$ なら $\mathcal{O}$ で、大域切断で生成されるが、$n\ge1$ なので非常に豊富でない。
- $m=n+2$ なら $\mathcal{O}(1)$ で、非常に豊富である。
よって conj-fc-main の下限 $n+1$、$n+2$ はどちらも改良できない。
$X$ を種数 $g$ の滑らかな射影曲線、$L$ を次数が正の因子とする。
- $m\ge2$ なら $\lvert K_X+mL\rvert$ は基点をもたず、$m\ge3$ なら $K_X+mL$ は非常に豊富である。
- $L=P$ が 1 点なら、$K_X+P$ は大域切断で生成されず、$K_X+2P$ は非常に豊富でない。
$\deg K_X=2g-2$ で（Riemann–Rochの定理）、$\deg D>2g-2$ なら $h^1(D)=0$、$h^0(D)=\deg D+1-g$ である。
1：$D=K_X+mL$ とする。$m\ge2$ なら $\deg D\ge2g$ なので、任意の点 $P$ で $\deg(D-P)>2g-2$ であり、$h^0(D-P)=h^0(D)-1$ となる。よって $P$ は基点でない。$m\ge3$ なら $\deg D\ge2g+1$ なので、任意の 2 点 $P,Q$（$P=Q$ を許す）で $\deg(D-P-Q)>2g-2$ であり、$h^0(D-P-Q)=h^0(D)-2$ となる。これは非常に豊富であることの判定条件である（Har77 IV, Proposition 3.1(b), p. 307）。
2：$h^0(K_X+P)$ は、Riemann–Roch の定理と Serre 双対性により $(2g-1)+1-g+h^0(-P)=g$ で、$h^0(K_X)=g$ に等しい。よって $K_X+P$ の切断はすべて $P$ で $0$ である（$g=0$ なら切断がない）。また $D=K_X+2P$ は $\deg D=2g$ なので $h^0(D)=g+1$ で、$h^0(D-2P)=h^0(K_X)=g$ である。差が $2$ でないので、$D$ は $P$ の接方向を分離せず、非常に豊富でない。$\square$
$n=1$ の予想の下限は $m\ge2,3$ であり、2 はこれがどの曲線でも改良できないことを示す。
同値な言い換え
予想の結論は、小平の消滅定理のおかげで、コホモロジーの消滅に言い換えられる。
$X,L$ を上のとおりとし、$m\ge1$、$D:=K_X+mL$ とする。$\mathfrak{m}_x$ を点 $x$ のイデアル層とする。
- $\lvert D\rvert$ が $x$ を基点にもたないことは、$H^1(X,\mathfrak{m}_x\otimes\mathcal{O}_X(D))=0$ と同値である。
- $D$ が非常に豊富であることは、長さ $2$ のすべての $0$ 次元部分スキーム $Z\subset X$ について $H^1(X,\mathcal{I}_Z\otimes\mathcal{O}_X(D))=0$ であることと同値である。
$mL$ は豊富なので、小平の消滅定理 により $H^1(X,\mathcal{O}_X(K_X+mL))=0$ である。$0$ 次元の部分スキーム $Z$ について、完全列 $0\to\mathcal{I}_Z(D)\to\mathcal{O}_X(D)\to\mathcal{O}_Z(D)\to0$ のコホモロジーをとると
$$
H^0(X,\mathcal{O}_X(D))\to H^0(Z,\mathcal{O}_Z(D))\to H^1(X,\mathcal{I}_Z(D))\to0
$$
が完全である。よって左の写像が全射であることと $H^1(X,\mathcal{I}_Z(D))=0$ は同値である。$Z=\{x\}$ なら 1 である。長さ $2$ の $Z$ のすべてで全射であることは、$\lvert D\rvert$ が相異なる 2 点と接ベクトルを分離することであり、$D$ が非常に豊富であることと同値である（Har77 II, Proposition 7.3, p. 152）。$\square$
数値的な形
大域切断ではなく交点数の言葉では、予想の形の主張が証明できる。
$X,L$ を上のとおりとする。
- $K_X+(n+1)L$ はネフである。
- $K_X+(n+2)L$ は豊富である。
- 十分大きなすべての整数 $l$ について $\lvert l(K_X+(n+1)L)\rvert$ は基点をもたない。
1：$M:=K_X+(n+1)L$ がネフでないとする。$\overline{NE}(X)$ の元 $z$ で $M\cdot z<0$ となるものがある。錐定理 の 1 により $z=z_0+\sum_jz_j$（$K_X\cdot z_0\ge0$、$z_j$ は $K_X$ 負の端射線 $R_j$ の元で、和は有限）と書ける。$M\cdot z_0\ge0$ なので、ある $j$ で $M\cdot z_j<0$ である。森重文の定理により $R_j$ は有理曲線 $C$ で張られ、$-K_X\cdot C\le n+1$ にとれる（JLR25 §1.1, p. 1 の紹介による。錐定理 の 3 の上限 $2\dim X$ は、滑らかな $X$ ではこの形に改良される）。すると $(n+1)L\cdot C<-K_X\cdot C\le n+1$ なので $L\cdot C<1$ である。$L$ は豊富な Cartier 因子なので $L\cdot C$ は正の整数であり、矛盾する。
2：$K_X+(n+2)L=M+L$ はネフと豊富の和なので豊富である（Kleimanの判定法(豊富性)）。
3：基点自由定理 を、$B=0$、$a=1$、ネフな Cartier 因子 $M$ に使う。$M-K_X=(n+1)L$ は豊富である。$\square$
3 は、$K_X+(n+1)L$ が半豊富であることを述べている。自由性予想は、この $l$ を $1$ にとれるという主張である。$L$ の豊富性を外すと 1 も崩れる（ex-fc-counter の「豊富性を外す」）。
大域切断で生成される因子
$L$ 自身が大域切断で生成されるなら、予想は完全に証明できる。ここでは Seshadri 定数を通して示す。
$L$ を豊富な因子、$x\in X$ とする。
$$
\varepsilon(L;x):=\inf_{C\ni x}\frac{L\cdot C}{\operatorname{mult}_xC}
$$
を $x$ での Seshadri 定数 という。下限は $x$ を通る既約な曲線 $C$ 全体にわたる。
$\pi\colon\widetilde X\to X$ を $x$ での爆発、$E$ を例外因子とする。$0\le t$ について、$\pi^*L-tE$ がネフであることと $t\le\varepsilon(L;x)$ は同値である。実際、$E$ に含まれる既約な曲線 $\widetilde C$ では $E\cdot\widetilde C<0$、$\pi^*L\cdot\widetilde C=0$ である。それ以外の $\widetilde C$ は曲線 $C=\pi(\widetilde C)$ の強変換で、$E\cdot\widetilde C=\operatorname{mult}_xC$（$x\notin C$ なら $0$）、$\pi^*L\cdot\widetilde C=L\cdot C$ である。
$L$ を豊富な因子、$x\in X$ とする。$\varepsilon(L;x)>n$ なら、$\lvert K_X+L\rvert$ は $x$ を基点にもたない。
要点：$\pi^*L-nE$ が豊富になるので、小平の消滅定理が $\widetilde X$ の上で使える。
証明を開く
$a\ge2$ を、$A:=a\pi^*L-E$ が豊富になるようにとる（Har77 II, Proposition 7.10, p. 161）。有理数 $t$ を $n< t<\varepsilon(L;x)$ にとり、$(1-u)t+u/a=n$ となる有理数 $u\in(0,1)$ をとる（$1/a< n< t$ なのでとれる）。すると $\pi^*L-nE=(1-u)(\pi^*L-tE)+\frac{u}{a}A$ はネフと豊富の和なので豊富である。$K_{\widetilde X}=\pi^*K_X+(n-1)E$ なので $K_{\widetilde X}+(\pi^*L-nE)=\pi^*(K_X+L)-E$ であり、小平の消滅定理 により $H^1(\widetilde X,\mathcal{O}_{\widetilde X}(\pi^*(K_X+L)-E))=0$ である。
$X$ は正規なので $\pi_*\mathcal{O}_{\widetilde X}(-E)=\mathfrak{m}_x$ であり、射影公式により $\pi_*\mathcal{O}_{\widetilde X}(\pi^*(K_X+L)-E)=\mathfrak{m}_x\otimes\mathcal{O}_X(K_X+L)$ である。Leray のスペクトル系列の低次の部分から、$H^1(X,\pi_*\mathcal{G})\to H^1(\widetilde X,\mathcal{G})$ は単射である。よって $H^1(X,\mathfrak{m}_x\otimes\mathcal{O}_X(K_X+L))=0$ であり、prop-fc-cohomology の証明と同じく（$m=1$）、$x$ は基点でない。$\square$
この判定法は Demailly による（Mur19 Proposition 2.2.6, p. 19。そこでは $L$ がネフかつ巨大な形で、川又–Viehweg の消滅定理を使って述べられている）。
$L$ を豊富な因子とする。
- $L$ が大域切断で生成されるなら、$m\ge n+1$ で $\lvert K_X+mL\rvert$ は基点をもたない。
- $L$ が非常に豊富なら、$m\ge n+2$ で $K_X+mL$ は非常に豊富である。
1：すべての $x$ で $\varepsilon(L;x)\ge1$ であることを示す。$x$ を通る既約な曲線 $C$ をとる。$\lvert L\rvert$ が定める射 $\varphi\colon X\to\mathbb{P}^N$ は、$L$ が豊富なので有限である。よって $\varphi(C)$ は曲線で、$\varphi(x)$ を通り $\varphi(C)$ を含まない超平面がある。その引き戻しを $D\in\lvert L\rvert$ とすると、$x\in D$、$C\not\subset D$ である。$\nu\colon\widetilde C\to C$ を正規化、$s$ を $D$ の局所方程式とすると、$s\in\mathfrak{m}_x$ なので
$$
L\cdot C=\deg\nu^*D\ge\sum_{p\in\nu^{-1}(x)}\operatorname{ord}_p(\nu^*s)\ge\sum_{p\in\nu^{-1}(x)}\min_{h\in\mathfrak{m}_x}\operatorname{ord}_p(\nu^*h)=\operatorname{mult}_xC
$$
である。よって $\varepsilon(mL;x)=m\,\varepsilon(L;x)\ge m\ge n+1>n$ であり、prop-fc-seshadri を豊富な因子 $mL$ に使えばよい。
2：$K_X+mL=(K_X+(m-1)L)+L$ で、1 により第 1 項は大域切断で生成され、第 2 項は非常に豊富である。大域切断で生成される可逆層と非常に豊富な可逆層のテンソル積は非常に豊富である。$\square$
$L$ が豊富で大域切断で生成されるだけのときも、$m\ge n+2$ で $K_X+mL$ は非常に豊富である（Mur19 Example 2.1.10, p. 15。この記事では証明しない）。1 は Castelnuovo–Mumford正則性 からも出る。$m\ge n+1$ なら、小平の消滅定理により $H^i(X,\mathcal{O}_X(K_X+(m-i)L))=0$（$i>0$）なので、$K_X+mL$ は豊富で大域切断で生成される $L$ に関して $0$ 正則である（Mur19 Example 2.1.10）。
Seshadri 定数の下限が次元によらず $1$ 以上なら、自由性予想はここまでの議論で解決する。しかし、そうはならない。$X$ と豊富な $L$ と点 $x$ をすべて動かすと、$\varepsilon(L;x)$ はいくらでも $0$ に近くなる（Bau09 §2.2 の Miranda の例の紹介。この記事では証明しない）。
曲面の場合
$n=2$ の予想は、Reider の定理の系である。
$X$ を滑らかな射影曲面、$N$ をネフな因子とする。
- $N^2\ge5$ とする。$P$ が $\lvert K_X+N\rvert$ の基点なら、$P$ を通る曲線 $D$ で、$N\cdot D=0,\ D^2=-1$ または $N\cdot D=1,\ D^2=0$ をみたすものがある。
- $N^2\ge9$ とし、$P,Q$ は $\lvert K_X+N\rvert$ の基点でないとする。$\lvert K_X+N\rvert$ が $P,Q$（無限に近い点でもよい）を分離しなければ、$P,Q$ を通る曲線 $D$ で、次のどれかをみたすものがある。$N\cdot D=0,\ D^2=-2,-1$。$N\cdot D=1,\ D^2=-1,0$。$N\cdot D=2,\ D^2=0$。$N^2=9$ で、$N$ は捩れを除いて $3D$ とコホモロジー同値、$D^2=1$。
これは BHPV04 IV 章 (11.4) Theorem（p. 176）であり、この記事では証明しない。証明は、基点から階数 $2$ のベクトル束を作り、その $c_1^2-4c_2>0$ から Bogomolov の不安定性定理を使うものである（同 pp. 176–180）。
$X$ を滑らかな射影曲面、$L$ を豊富な因子とする。
- $m\ge3$ なら $\lvert K_X+mL\rvert$ は基点をもたない。
- $L^2\ge2$ なら $\lvert K_X+2L\rvert$ は基点をもたない。
- $m\ge4$ なら $K_X+mL$ は非常に豊富である。
$L$ は豊富なので、曲線 $D$ について $L\cdot D\ge1$ である。
1：$N=mL$ は豊富で $N^2\ge9$ である。基点があれば thm-fc-reider の 1 の $D$ があって $N\cdot D\le1$ だが、$N\cdot D=mL\cdot D\ge3$ である。
2：$N=2L$ は $N^2=4L^2\ge8$ をみたす。基点があれば $N\cdot D\le1$ の $D$ があるが、$N\cdot D=2L\cdot D\ge2$ である。
3：$N=mL$ は $N^2\ge16$ をみたし、1 により基点はない。$\lvert K_X+N\rvert$ が 2 点（無限に近い点でもよい）を分離しなければ thm-fc-reider の 2 の $D$ がある。$N^2\ne9$ なので最後の場合はなく、$N\cdot D\le2$ となるが、$N\cdot D=mL\cdot D\ge4$ である。$\square$
アーベル多様体の場合
アーベル多様体では $K_X=0$ であり、予想の下限より小さな倍数で済む。
$A$ を $n$ 次元のアーベル多様体、$L$ を豊富な因子とする。$\lvert 2L\rvert$ は基点をもたない。
$\omega_A\cong\mathcal{O}_A$ なので、小平の消滅定理 により $H^i(A,\mathcal{O}_A(L))=0$（$i>0$）である。Riemann–Roch の定理（$A$ の Todd 類は $1$）により $h^0(L)=\chi(L)=(L^n)/n!>0$ である。よって $D\in\lvert L\rvert$ がとれる。
$a\in A$ について、平方定理(アーベル多様体) により $t_a^*L\otimes t_{-a}^*L\cong L^{\otimes2}$ である。よって $(D-a)+(D+a)\in\lvert 2L\rvert$ である。点 $x\in A$ を固定する。$x$ がこの因子に含まれないことは、$x+a\notin D$ かつ $x-a\notin D$ と同値である。$a$ についての 2 つの条件の補集合は $D-x$ と $x-D$ で、どちらも $A$ の真の閉集合なので、両方を満たす $a$ がある。よって $x$ は基点でない。$\square$
さらに $3L$ は非常に豊富である（Mur19 Example 2.1.5, p. 13 の Lefschetz の定理の紹介。この記事では証明しない）。トーリック多様体でも藤田予想は成り立つ（同 Example 2.1.7, p. 15。この記事では証明しない）。
現状
自由性予想について、知られている結果は次のとおりである。どれも標数 $0$ の結果で、この記事では証明しない。
| 次元 | 結果 | 文献の所在 |
|---|---|---|
| $n=2$ | Reider（1988） | GL24 §1 |
| $n=3$ | Ein–Lazarsfeld（1993） | GL24 §1 |
| $n=4$ | 川又（1997） | Kaw97 Theorem 4.1 |
| $n=5$ | Ye–Zhu（2020） | YZ20 |
| $n=6$ | $m\ge8$ で基点をもたない | GL24 Theorem 1.2 |
| 一般の $n$ | $m\ge\frac12n(n+1)+1$（Angehrn–Siu） | Kaw97 Introduction |
| 一般の $n$ | $m\ge(e+\frac12)n^{4/3}+\frac12n^{2/3}+1$ | Hei02 Theorem 1.4 |
| 一般の $n$ | $m\ge\max\{n+1,\ n(\log\log n+2.34)\}$ | GL24 Theorem 1.1 |
$n\ge3$ の結果に共通する方法の筋は次のとおりである（YZ20 §1）。$N:=mL$ とおき、点 $x$ について、$cN$（$0< c<1$）と線形同値な有効 $\mathbb{Q}$ 因子 $G$ で、$(X,G)$ が $x$ で対数標準的になるものを作り、$x$ を通る極小な対数標準中心 $M$ をとる。$M$ が 1 点なら、川又–Viehwegの消滅定理 から $x$ が $\lvert K_X+N\rvert$ の基点でないことが出る。$M$ が正の次元をもつときは、$G$ を取り替えて中心の次元を下げる。高い次元では $M$ の特異点が悪くなりうることが、この帰納法の困難である。
局所的な形の強い予想もある。$X$ を $n$ 次元の正規射影多様体、$x_0$ を滑らかな点、$L$ を豊富な Cartier 因子とする。正の数 $\sigma_1,\dots,\sigma_n$ があって、$x_0$ を通る $p$ 次元の部分多様体 $W$ のすべてで $\sqrt[p]{(L^p\cdot W)}\ge\sigma_p$ であり、すべての $p$ で $\sigma_p\ge n$、かつ $\sigma_n>n$ なら、$\lvert K_X+L\rvert$ は $x_0$ で基点をもたない、という予想である（Kaw97 Conjecture 2）。$n=3$ では成り立つ（同 Theorem 3.1）。
反例：条件を外すと
| 外す条件 | 例 | 崩れること |
|---|---|---|
| $L$ の豊富性（ネフかつ巨大にする） | $\mathbb{P}^2$ の 1 点の爆発、$L=h$ | すべての $m$ で例外曲線 $E$ が $\lvert K_X+mL\rvert$ の基点集合に含まれる |
| 下限 $m\ge n+1$（$m=n$ にする） | $\mathbb{P}^n$、$L=\mathcal{O}(1)$ | $K_X+nL$ は $0$ でない切断をもたない |
| 下限 $m\ge n+2$（$m=n+1$ にする） | $\mathbb{P}^n$、$L=\mathcal{O}(1)$ | $K_X+(n+1)L$ は非常に豊富でない |
| $K_X$（$mL$ だけにする） | 種数 $g\ge1$ の曲線、$L=P$ は Weierstrass 点でない点 | $m\le g$ の $\lvert mP\rvert$ は基点 $P$ をもち、$m$ の下限は次元で決まらない |
| 補足の $(L^n)\ge2$ | $\mathbb{P}^n$、$L=\mathcal{O}(1)$ | $(L^n)=1$ で、$K_X+nL$ は切断をもたない |
豊富性を外す．$\mathbb{P}^2$ の 1 点の爆発 $X$ で、$h$ を直線の引き戻しとすると $K_X=-3h+E$ である。$h$ はネフで $h^2=1>0$ なのでネフかつ巨大だが、$h\cdot E=0$ なので豊富でない。$(K_X+mh)\cdot E=E^2=-1< 0$ なので、$K_X+mh$ はネフでなく、$\mathcal{O}_X(K_X+mh)|_E$ は次数 $-1$ で切断をもたない。よって $\lvert K_X+mh\rvert$ のすべての元は $E$ を含む。
下限を下げる、$(L^n)\ge2$ を外す．ex-fc-pn による。
$K_X$ を外す．$P$ が Weierstrass 点でなければ、$1\le m\le g$ で $h^0(mP)=1$ である（Weierstrass点）。このとき $H^0(\mathcal{O}_X(mP))$ は定数 $1$ で張られ、その切断は $P$ で $0$ になる。曲線の次元はつねに $1$ だが $g$ はいくらでも大きいので、$\lvert mL\rvert$ が基点をもたなくなる $m$ は次元だけでは決まらない。$K_X+mL$ ならば $m\ge2$ で足りる（prop-fc-curve）。
関連項目
- 前提: 豊富な可逆層, 非常に豊富な可逆層, 標準因子, 小平の消滅定理
- 比較: 基点自由定理, 川又–Viehwegの消滅定理, Castelnuovo–Mumford正則性
- 例: Weierstrass点, アーベル多様体
- 発展: 錐定理, 双有理幾何学, 飯高予想
参考文献
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