Zermelo集合論

写像 $u$ が 近似 であるとは、ある $n\in\omega$ について $u$ の定義域が $n+1$ で、値がすべて $A$ に入り、$u(0)=a$ かつ各 $k< n$ について $u(k+1)=g(u(k))$ を満たすことをいう。近似は $\omega\times A$ の部分集合なので、近似全体 $P$ は $\mathcal P(\omega\times A)$ から分出で得られる集合である。
(1) 二つの近似 $u,v$ は、定義域の共通部分の上で一致する。実際、$S=\{k\in\omega\mid k\in\operatorname{dom}u\cap\operatorname{dom}v\to u(k)=v(k)\}$ は分出で得られ、$0\in S$ である。$k\in S$ で $k+1$ が両方の定義域に入れば、$k$ も入るので $u(k+1)=g(u(k))=g(v(k))=v(k+1)$ となり $k+1\in S$ である。帰納法により $S=\omega$。
(2) 各 $n\in\omega$ について、定義域が $n+1$ の近似がある。$n=0$ では $\{\langle0,a\rangle\}$ が近似である。$u$ が定義域 $n+1$ の近似なら、$u\cup\{\langle n+1,g(u(n))\rangle\}$ は定義域 $n+2$ の近似である。帰納法による。
$h:=\bigcup P$ とおく。(1) により $h$ は写像であり、(2) により定義域は $\omega$、値は $A$ に入る。$k\in\omega$ について、定義域が $k+2$ の近似 $u$ をとると $u\subseteq h$ なので $h(k+1)=u(k+1)=g(u(k))=g(h(k))$、また $h(0)=a$ である。一意性：同じ条件を満たす $h'$ について $\{k\in\omega\mid h(k)=h'(k)\}$ は帰納的なので $\omega$ に等しい。$\square$

1. 前半は $V_{\omega+\omega}\cap\mathrm{Ord}=\omega+\omega$ による。$\omega$ 上の順序 $\prec$ を「$n\prec m\iff$（$n,m$ の偶奇が同じで $n< m$）または（$n$ が偶数で $m$ が奇数）」で定める。偶数を小さい順に並べたあとに奇数を小さい順に並べる順序なので、$2k\mapsto k$、$2k+1\mapsto\omega+k$ は $(\omega,\prec)$ から $\omega+\omega$ への順序同型である。自然数の順序対は $V_\omega$ に属するので $\prec\subseteq V_\omega$、すなわち $\prec\in V_{\omega+1}\subseteq M$ である。$\alpha\in M$ を順序数とし、$f\colon(\omega,\prec)\to(\alpha,\in)$ が順序同型なら、$\omega+\omega$ と $\alpha$ が順序同型になり、順序数 の補題「順序同型な順序数は等しい」により $\alpha=\omega+\omega\notin M$ となって矛盾する。「$f$ は順序同型である」は量化がすべて有界な論理式で書けるので、$M$ の中で判定しても外と同じである（内部モデル の補題「有界な論理式の絶対性」）。「$\alpha$ は順序数である」も、基礎の公理のもとで「推移的で $\in$ について全順序」という有界な論理式で書けるので同様である。また $\omega$ の部分集合はすべて $V_{\omega+1}\subseteq M$ に属するので、「$\omega$ の空でない部分集合はどれも $\prec$ に関する最小元をもつ」も $M$ の中で成り立ち、$M$ の中でも $(\omega,\prec)$ は整列集合である。
2. $X\in M$ なら $X\in V_{\omega+k}$ となる $k\in\omega$ があり、$V_{\omega+k}$ は推移的なので $X\subseteq V_{\omega+k}$、よって $\lvert X\rvert\le\beth_k<\beth_{k+1}\le\beth_\omega$ である。
3. $M$ が $\sigma_{\mathcal P}$ を満たすとし、$x=\omega\in M$ に当てて $f\in M$ をとる。まず、$y,z\in M$ について「$z=\mathcal P(y)$」は $M$ の中で判定しても外と同じである。実際「$z=\mathcal P(y)$」は「任意の $u$ について $u\subseteq y\leftrightarrow u\in z$」であり、$y\in V_\alpha$（$\alpha<\omega+\omega$）なら $y$ の部分集合はすべて $V_{\alpha+1}\subseteq M$ に属し、$z$ の元も推移性から $M$ に属するので、$u$ を $M$ の中に限っても外で考えても同じ条件になる。写像であること、定義域、値をとることは有界な論理式で書ける。したがって外から見て $f(n)=\mathcal P^n(\omega)$（$\mathcal P$ を $n$ 回施したもの）がすべての $n\in\omega$ で成り立つ。$f\in V_{\omega+k}$ となる $k$ をとると、$f(n)\in\{n,f(n)\}\in\langle n,f(n)\rangle\in f$ と推移性から $\mathcal P^n(\omega)\in V_{\omega+k}$、よって $\mathcal P^n(\omega)\subseteq V_{\omega+k}$ である。$n=k+1$ とすると $\beth_{k+1}=\lvert\mathcal P^{k+1}(\omega)\rvert\le\lvert V_{\omega+k}\rvert=\beth_k$ となり、Cantorの定理 に反する。$\square$

$\sigma$ を (a)(b)(c) のどれかとする。ZFC の中で $M=V_{\omega+\omega}$ をとると、ZC の各公理は $M$ で成り立ち（ZFC公理系 の定理「$V_{\omega+\omega}$ は置換を満たさない」。証明は公理ごとの確かめである）、thm-zst-v-omega-omega により $\lnot\sigma$ も $M$ で成り立つ。(b) については、$M$ に属する順序数は $\omega+\omega$ 未満だけで、$\omega$ より大きいものは後続順序数 $\omega+n+1$ であることと、「$\alpha$ は $\omega$ より大きい極限順序数である」が有界な論理式（パラメータ $\omega$）で書けることによる。公理的集合論 の定理「相対的無矛盾性の原理」を、相対化の論理式 $x\in V_{\omega+\omega}$ と理論 $\mathsf{ZC}+\lnot\sigma$ に使うと、ZFC が無矛盾なら $\mathsf{ZC}+\lnot\sigma$ も無矛盾、すなわち ZC は $\sigma$ を証明しない。
ZF での証明：(a) は 順序数 の定理「整列集合の順序数による表現」、(b) は順序数の和 $\omega+\omega$（同記事の定義「順序数の算術」）が $\omega$ より大きい極限順序数であることから従う。(c) は、置換図式により写像 $n\mapsto\mathcal P^n(x)$ を再帰で定めればよい（超限再帰 の定理「超限再帰定理」）。$\square$