関手圏(∞圏)
概要
関手圏(∞圏)（functor infinity-category）とは、∞圏の関手・自然変換・その高次の整合性をまとめた∞圏である。準圏モデルでは、各次元の単体を標準単体でパラメータ付けされた図式として定める。通常圏の脈体に適用すると、通常の関手圏の脈体を正確に回収する。
定義
本記事では $(\infty,1)$-圏（∞圏）を準圏で表示する。単体的集合とは、標準単体の圏 $\Delta$ 上の集合値反変関手である。準圏とは、すべての内角（内部ホーン）$\Lambda_i^n\subset\Delta^n$（$0< i< n$）からの写像が $\Delta^n$ まで延長できる単体的集合である。対象は頂点、射は辺で、高次単体が合成とその整合性を記録する。
小さい単体的集合 $K$ と準圏 $\mathcal D$ に対し、関手圏(∞圏)（functor infinity-category）を指数単体的集合
$$
\operatorname{Fun}(K,\mathcal D)_n
=\operatorname{Hom}_{\mathrm{sSet}}(K\times\Delta^n,\mathcal D)
$$
で定める。面写像・退化写像は標準単体への前合成で与える。$K$ も準圏なら、これは $K$ から $\mathcal D$ への関手∞圏である。一般の $K$ については $K$ 型の図式の∞圏ともいう。
任意の単体的集合 $T$ に対して、自然な全単射
$$
\operatorname{Hom}_{\mathrm{sSet}}(T,\operatorname{Fun}(K,\mathcal D))
\cong\operatorname{Hom}_{\mathrm{sSet}}(K\times T,\mathcal D)
$$
が成り立つ。これが指数対象の普遍性である。値域が大きい場合は、必要に応じて大きい宇宙でこの構成を行う。HTT09 Notation 1.2.7.2。
頂点は関手、辺 $\eta$ は $K\times\Delta^1\to\mathcal D$ で表される自然変換である。2単体は自然変換の合成を表す整合的なデータであり、その先の整合性もすべての高次単体に含まれる。
なぜ準圏になるのか
$\mathcal D$ が準圏なら、任意の単体的集合 $K$ に対して $\operatorname{Fun}(K,\mathcal D)$ は準圏である。HTT09 Proposition 1.2.7.3(1)。
指数随伴によって、内角 $\Lambda_i^n\to\operatorname{Fun}(K,\mathcal D)$ の充填問題は
$$K\times\Lambda_i^n\longrightarrow\mathcal D$$
を $K\times\Delta^n$ まで延長する問題に等しい。
内角の包含から押し出し・超限合成・レトラクトで作られる写像を内部anodyneという。ここで「内部anodyneな包含は、任意の単体的集合との積で内部anodyneのままである」という積の補題を用いる。これは HTT09 Corollary 2.3.2.4の、もう一方の包含を $\emptyset\to K$ とした場合である。
準圏は内角に対する延長性を持ち、延長性は上の三操作を通じて保たれる。従って $K\times\Lambda_i^n\subset K\times\Delta^n$ に対して延長でき、必要な充填を得る。積の補題自体の組合せ論的証明は、ここでは引用した基礎として区別する。
例と反例
各次元で直接
$$
\operatorname{Fun}(\Delta^0,\mathcal D)\cong\mathcal D,\qquad
\operatorname{Fun}(\emptyset,\mathcal D)\cong\Delta^0
$$
となる。一点図式は一対象を選び、空図式は一つしかない。
$K=\Delta^0\amalg\Delta^0$ なら
$\operatorname{Fun}(K,\mathcal D)\cong\mathcal D\times\mathcal D$。
$n$ 単体は $\mathcal D$ の $n$ 単体を二つ選ぶことに等しく、射も高次の整合性も独立に二組現れる。
$\operatorname{Fun}(\Delta^1,\mathcal D)$ の対象は $\mathcal D$ の射である。その間の射は
$\Delta^1\times\Delta^1\to\mathcal D$ で表される。単体的な四角は共通の対角線を持つ二つの2単体からなり、四辺だけでなく二つの合成を結ぶデータを含む。通常圏の脈体の場合は、通常の可換四角になる。
$\mathcal D=N(\mathbf{FinSet})$ とし、$K=\Delta^1$ の図式 $F=G$ を、二点集合 $X$ の恒等写像 $X\to X$ とする。始点で恒等写像、終点で二点の交換を選ぶと、どちらも同型である。しかし四角の可換性が失敗するため、$F$ から $G$ への自然変換を定めない。指定済みの自然変換の性質を調べることと、成分だけから自然変換を作ることは別問題である。
パラメータと通常版への帰着
任意の小さい単体的集合 $A,B$ に対し、自然な単体的集合の同型
$$
\operatorname{Fun}(A\times B,\mathcal D)
\cong\operatorname{Fun}(A,\operatorname{Fun}(B,\mathcal D))
$$
がある。$\mathcal D$ が準圏なら両辺も準圏である。
任意の $T$ から右辺への写像は、指数随伴を二度使うと
$$
A\times T\to\operatorname{Fun}(B,\mathcal D)
\quad\longleftrightarrow\quad
B\times A\times T\to\mathcal D
$$
に対応する。直積の入れ替えにより、これは $(A\times B)\times T\to\mathcal D$、すなわち $T$ から左辺への写像と同じである。対応は $T$ に自然で、評価とカリー化が互いに逆なので、実際の単体的同型を得る。特に $T=\Delta^n$ の対応は面・退化のすべてと可換する。
小圏 $A,B$ の脈体について
$$
\operatorname{Fun}(N(A),N(B))
\cong N(\operatorname{Fun}(A,B))
$$
が成り立つ。
左辺の $n$ 単体は
$N(A)\times\Delta^n=N(A\times[n])\to N(B)$
である。脈体間の写像は通常の関手と一致する。実際、0・1単体から対象・射の対応を読み、退化1単体が恒等射保存、2単体が合成保存を与える。脈体の高次単体は合成可能な射の列で決まるため、この対応は一意である。
従って左辺の $n$ 単体は関手 $A\times[n]\to B$ である。これは関手 $F_0,\ldots,F_n:A\to B$ と合成可能な自然変換の列 $F_0\to\cdots\to F_n$ に一致する。逆方向の関手は、射 $(u:i\to j\text{ in }A,\ r\le s\text{ in }[n])$ を「$F_r(u)$ の後に $r\to s$ の変換成分を合成する」ことによって定め、自然性が合成保存を保証する。これは右辺の $n$ 単体そのものである。面は列の合成・端の削除、退化は恒等変換の挿入なので、対応は単体的同型となる。
評価と合成
各頂点 $k\in K$ での評価 $\operatorname{ev}_k:\operatorname{Fun}(K,\mathcal D)\to\mathcal D$ は、$\{k\}\times\Delta^n$ への制限で与えられる。関手圏の射が同値であれば、その評価も同値になる。ここで同値とは、射のホモトピー類を取った∞圏のホモトピー圏で可逆になる射のことである。評価が単体的写像として逆射・合成を表す単体を保つためである。
関手圏同士の合成は、同じパラメータを使う
$$
\operatorname{Fun}(\mathcal D,\mathcal E)\times
\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal D)
\longrightarrow\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal E)
$$
で与えられる。$n$ 単体 $H,F$ を $(c,t)\mapsto H(F(c,t),t)$ に送る。この式は評価と対角写像による単体的写像の略記であり、面・退化と可換し、結合律・単位律を満たす。
豊穣表示との接続
通常の関手圏を脈体へ移すと上の定理により正確に一致する。一方、一般の単体的豊穣圏では、厳密な関手と厳密な自然変換を集めただけでは、対応する関手∞圏にならない場合がある。
各HomがKan複体である局所Kan表示は、ホモトピー整合的脈体によって準圏を与える。一般の表示では必要なファイブラント置換などを使うが、関手圏の比較はさらに注意を要する。源をコファイブラントにするだけで十分な自然変換が得られるとは限らず、源と区間の積が適切なコファイブラント表示になっているかも問題になる。HTT09 Remark 1.2.7.1、§2.2.5。
準圏モデルでは、関手圏を直積と指数によって直接定義できることが利点である。ただし指数が準圏になる根拠は上で明記した積の補題であり、非自明な基礎を定義の陰に隠しているわけではない。
関連項目
参考文献
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