Grothendieckの消滅定理

要点：すべて茎で確かめられ、$i_*$ は脆弱分解を脆弱分解に写して大域切断を変えない。

各 $\alpha$ について Godement の標準分解 $\mathcal{F}_\alpha\to\mathcal{C}^\bullet(\mathcal{F}_\alpha)$ をとる（層コホモロジー の命題「Godement 分解による計算」）。構成は関手的なので、$\alpha\le\beta$ の射は複体の射 $\mathcal{C}^\bullet(\mathcal{F}_\alpha)\to\mathcal{C}^\bullet(\mathcal{F}_\beta)$ を与え、複体の有向系ができる。$\mathcal{C}^\bullet:=\varinjlim_\alpha\mathcal{C}^\bullet(\mathcal{F}_\alpha)$ とおく。
まず $\varinjlim\mathcal{F}_\alpha\to\mathcal{C}^\bullet$ は完全である。茎は茎の帰納極限であり、アーベル群の有向帰納極限は完全列を完全列に写すからである。次に各 $\mathcal{C}^p$ は脆弱である。開集合 $V'\subset V$ について、切断が帰納極限と交換するので、制限 $\mathcal{C}^p(V)\to\mathcal{C}^p(V')$ は全射 $\mathcal{C}^p(\mathcal{F}_\alpha)(V)\to\mathcal{C}^p(\mathcal{F}_\alpha)(V')$ の帰納極限であり、全射である。
したがって $\mathcal{C}^\bullet$ は $\varinjlim\mathcal{F}_\alpha$ の脆弱分解であり、脆弱層 の系「flasque 分解によるコホモロジーの計算」と、切断と帰納極限の交換、有向帰納極限の完全性から
$$ H^q\bigl(X,\varinjlim\mathcal{F}_\alpha\bigr)\cong h^q\bigl(\Gamma(X,\mathcal{C}^\bullet)\bigr)=h^q\Bigl(\varinjlim_\alpha\Gamma\bigl(X,\mathcal{C}^\bullet(\mathcal{F}_\alpha)\bigr)\Bigr)\cong\varinjlim_\alpha h^q\bigl(\Gamma(X,\mathcal{C}^\bullet(\mathcal{F}_\alpha))\bigr)=\varinjlim_\alpha H^q(X,\mathcal{F}_\alpha) $$
を得る。この同型は各 $\mathcal{F}_\alpha\to\varinjlim\mathcal{F}_\beta$ が誘導する射の帰納極限である。直和 $\bigoplus_\lambda\mathcal{F}_\lambda$ は有限部分和の有向系の帰納極限であり、有限和についてはコホモロジーの加法性から交換するので、最後の主張が従う。$\square$

次の主張 $(\mathrm{P}_n)$ を $n\ge0$ に関する帰納法で示す：次元 $n$ 以下の Noether 空間 $X$ 上の任意の層 $\mathcal{F}$ と $i>n$ について $H^i(X,\mathcal{F})=0$。$n\ge1$ のときは $(\mathrm{P}_{n-1})$ を仮定する。$X=\emptyset$ なら層はすべて $0$ なので、$X\ne\emptyset$ とする。
段階 1：既約な場合への帰着。 $X$ の既約成分は有限個 $X_1,\dots,X_m$ である（Noether空間 の節「既約成分への分解と次元」）。$m$ に関する帰納法で、$m=1$（段階 2〜4）に帰着させる。$m\ge2$ とし、$Y:=X_1$、$U:=X\setminus Y$ とおく。$j\ge2$ では $X_j\not\subset Y$ なので、$X_j\cap U$ は既約空間 $X_j$ の空でない開集合で $X_j$ の中で稠密である。$U\subset X_2\cup\dots\cup X_m$ と合わせて $\overline{U}=X_2\cup\dots\cup X_m$ となる。lem-gv-extension の 1 の長完全列の一部
$$ H^i(X,\mathcal{F}_U)\longrightarrow H^i(X,\mathcal{F})\longrightarrow H^i(X,\mathcal{F}_Y) $$
を見る。$\mathcal{F}_U$ の茎は $\overline{U}$ の外で $0$ なので、lem-gv-extension の 3 により $H^i(X,\mathcal{F}_U)\cong H^i(\overline{U},\mathcal{F}_U|_{\overline{U}})$ であり、既約成分が $m-1$ 個で次元 $n$ 以下の $\overline{U}$ についての帰納法の仮定から $i>n$ で $0$ である。同様に $H^i(X,\mathcal{F}_Y)\cong H^i(Y,\mathcal{F}|_Y)$ で、$Y$ は既約である。よって既約な場合に示せばよい。
段階 2：既約で次元 $0$ の場合。 空でない真の閉集合 $C$ があれば、その既約成分 $C'$ について $C'\subsetneq X$ が長さ $1$ の鎖になる。よって開集合は $\emptyset$ と $X$ だけで、層は群 $\mathcal{F}(X)$ と同じものであり、$\Gamma(X,-)$ は完全である。したがって $i>0$ で $H^i=0$ である。
段階 3：既約で次元 $1$ 以上の場合、有限生成の層への帰着。 開集合 $W$ と $s\in\mathcal{F}(W)$ に対し、$W$ 上の定数層 $\mathbb{Z}$ の零延長 $\mathbb{Z}_W$ から $\mathcal{F}$ への射で $1\mapsto s$ となるものがただ 1 つある。その像を $s$ が生成する部分層という。切断の有限集合 $S$ が生成する部分層 $\mathcal{F}_S$ は包含について有向系をなし、すべての芽はどれかの切断から来るので $\varinjlim_S\mathcal{F}_S=\mathcal{F}$ である。prop-gv-colimit により $H^i(X,\mathcal{F}_S)=0$（$i>n$）を示せばよい。$S=S'\cup\{s\}$ について $0\to\mathcal{F}_{S'}\to\mathcal{F}_S\to\mathcal{F}_S/\mathcal{F}_{S'}\to0$ の商は $s$ の像で生成されるので、$|S|$ に関する帰納法により、$\mathbb{Z}_W$ の商 $\mathcal{F}=\mathbb{Z}_W/\mathcal{R}$ について $H^i(X,\mathcal{F})=0$（$i>n$）を示せばよい（$W=\emptyset$ なら $\mathcal{F}=0$）。長完全列 $H^i(X,\mathbb{Z}_W)\to H^i(X,\mathcal{F})\to H^{i+1}(X,\mathcal{R})$ により、次の (a)・(b) を示せば十分である。
段階 4：(a) 空でない開集合 $V$ について $H^i(X,\mathbb{Z}_V)=0$（$i>n$）、(b) 部分層 $\mathcal{R}\subset\mathbb{Z}_W$ について $H^i(X,\mathcal{R})=0$（$i>n$）。
(a) 定数層 $\mathbb{Z}_X$ は既約空間の上で脆弱である（脆弱層 の命題「既約空間上の定数層の flasque 性」）。lem-gv-extension の 1 の完全列 $0\to\mathbb{Z}_V\to\mathbb{Z}_X\to(\mathbb{Z}_X)_{X\setminus V}\to0$ の長完全列と lem-gv-extension の 2 から、$i\ge2$ で $H^i(X,\mathbb{Z}_V)\cong H^{i-1}(X\setminus V,\mathbb{Z})$ である。$X\setminus V$ は真の閉集合なので次元は $n-1$ 以下であり、$i>n$ なら $i-1>n-1$ だから $(\mathrm{P}_{n-1})$ により $0$ である。
(b) $\mathcal{R}=0$ なら明らかなので $\mathcal{R}\ne0$ とする。$x\in W$ で茎 $\mathcal{R}_x$ は $(\mathbb{Z}_W)_x=\mathbb{Z}$ の部分群 $d_x\mathbb{Z}$（$d_x\ge0$）である。正の $d_x$ の最小値 $d$ と、$d_x=d$ となる $x$ をとる。芽 $d\in\mathcal{R}_x$ を代表する切断 $t\in\mathcal{R}(V)$（$V\subset W$ は $x$ の開近傍）をとる。既約空間の空でない開集合は連結なので $\mathbb{Z}_W(V)=\mathbb{Z}$ であり、$t$ は $V$ 上の定数 $d$ である。よって各 $y\in V$ で $d\in\mathcal{R}_y$ となり、$d$ の最小性から $\mathcal{R}_y=d\mathbb{Z}$ である。したがって $\mathcal{R}|_V=d\mathbb{Z}|_V\cong\mathbb{Z}|_V$ であり、零延長 $\mathcal{R}_V\subset\mathcal{R}$ は $\mathbb{Z}_V$ と同型である。商 $\mathcal{Q}:=\mathcal{R}/\mathcal{R}_V$ の茎は $V$ の上と $W$ の外で $0$ なので、$\mathcal{Q}$ は閉集合 $C:=\overline{W\setminus V}\subset X\setminus V$ の外で $0$ であり、$\dim C\le n-1$ である。lem-gv-extension の 3 と $(\mathrm{P}_{n-1})$ により、$i>n-1$ で $H^i(X,\mathcal{Q})=0$ である。長完全列
$$ H^i(X,\mathcal{R}_V)\longrightarrow H^i(X,\mathcal{R})\longrightarrow H^i(X,\mathcal{Q}) $$
の両端は $i>n$ で $0$（左端は (a)）なので、$H^i(X,\mathcal{R})=0$ である。$\square$