Hermite行列

1：$H,H'$ が Hermite で $c\in\mathbb{R}$ なら $(H+H')^{*}=H+H'$、$(cH)^{*}=\bar cH^{*}=cH$ である。$(iH)^{*}=\bar iH^{*}=-iH$ なので $iH$ は歪 Hermite である。次元を求める。$E_{jk}$ を $(j,k)$ 成分だけが $1$ の行列とすると、Hermite 行列 $A$ は $a_{jj}\in\mathbb{R}$、$a_{kj}=\overline{a_{jk}}$ を満たすので
$$ A=\sum_ja_{jj}E_{jj}+\sum_{j< k}\Bigl(\operatorname{Re}a_{jk}\,(E_{jk}+E_{kj})+\operatorname{Im}a_{jk}\,i(E_{jk}-E_{kj})\Bigr) $$
と書ける（右辺の $(j,k)$ 成分は $\operatorname{Re}a_{jk}+i\operatorname{Im}a_{jk}=a_{jk}$、$(k,j)$ 成分は $\overline{a_{jk}}$ である）。現れる $n+2\cdot\frac{n(n-1)}2=n^2$ 個の行列はどれも Hermite であり、実係数の線形結合が $O$ なら各成分の実部と虚部を比べて係数はすべて $0$ なので、実数上で線形独立である。よって $\dim_{\mathbb{R}}\operatorname{Herm}_n=n^2$ である。
2：$H^{*}=\frac{A^{*}+A}2=H$、$K^{*}=\frac{A^{*}-A}{\overline{2i}}=\frac{A^{*}-A}{-2i}=K$ であり、$H+iK=\frac{A+A^{*}}2+\frac{A-A^{*}}2=A$ である。一意性：$H+iK=H'+iK'$ なら $U:=H-H'=i(K'-K)$ は Hermite であり、1 により歪 Hermite でもある。$U=U^{*}=-U$ から $U=O$ なので、$H=H'$、$K=K'$ である。
3：$A^{*}=H-iK$ なので
$$ A^{*}A=(H-iK)(H+iK)=H^2+K^2+i(HK-KH),\qquad AA^{*}=H^2+K^2-i(HK-KH) $$
であり、$A^{*}A-AA^{*}=2i(HK-KH)$ である。よって $A^{*}A=AA^{*}$ と $HK=KH$ は同値である。$\square$

$A^{*}=A$ なら、$1\times1$ 行列の複素共役は共役転置に等しいので $\overline{x^{*}Ax}=(x^{*}Ax)^{*}=x^{*}A^{*}x=x^{*}Ax$ であり、$x^{*}Ax$ は実数である。逆を示す。$B:=A-A^{*}$ とおく。$x^{*}A^{*}x=(x^{*}Ax)^{*}=\overline{x^{*}Ax}$ なので、仮定により $x^{*}Bx=x^{*}Ax-\overline{x^{*}Ax}=0$ がすべての $x$ で成り立つ。$x+cy$（$c\in\mathbb{C}$）を代入して展開すると、$x^{*}Bx=y^{*}By=0$ により
$$ 0=(x+cy)^{*}B(x+cy)=c\,x^{*}By+\bar c\,y^{*}Bx $$
である。$c=1$ とすると $x^{*}By+y^{*}Bx=0$、$c=i$ とすると $i\,x^{*}By-i\,y^{*}Bx=0$ なので、2 式から $x^{*}By=0$ がすべての $x,y$ で成り立つ。$x=e_j$、$y=e_k$ とおけば $B$ の $(j,k)$ 成分は $0$ なので $B=O$、すなわち $A^{*}=A$ である（内積 の記事の命題「複素半双線形形式の共役対称性」も同じ偏極の考え方による）。
固有値：$Ax=\lambda x$、$x\ne0$ とすると $x^{*}Ax=\lambda x^{*}x$ であり、$x^{*}x=|x|^2>0$、$x^{*}Ax\in\mathbb{R}$ なので $\lambda=x^{*}Ax/x^{*}x$ は実数である。直交性：$Ax=\lambda x$、$Ay=\mu y$、$\lambda\ne\mu$ とすると、$\lambda,\mu$ は実数なので
$$ \lambda\langle x,y\rangle=\langle Ax,y\rangle=\langle x,A^{*}y\rangle=\langle x,Ay\rangle=\bar\mu\langle x,y\rangle=\mu\langle x,y\rangle $$
となり、$\langle x,y\rangle=0$ である。$\square$

1 ⇒ 2：$n$ についての帰納法で、ユニタリ行列 $U$ で $U^{*}AU$ が実対角行列になるものを作る（$UU^{*}=I_n$ は $U^{*}U=I_n$ から従うので、これは $A=UDU^{*}$ と同じである）。$n=1$ では $A=(a_{11})$ で $a_{11}$ は実数なので $U=(1)$ でよい。$n\ge2$ とする。代数学の基本定理 により $A$ の固有多項式は根 $\lambda$ をもち、$Au=\lambda u$、$|u|=1$ となる $u\in\mathbb{C}^n$ がある（固有値 の記事の命題「固有空間と特性方程式」）。prop-herm-real-form により $\lambda$ は実数である。$u$ を 内積空間 の記事の定理「Gram–Schmidtの直交化法」により $\mathbb{C}^n$ の正規直交基底 $u,w_2,\dots,w_n$ に延長し、これを列とする行列を $U_1$ とすると、$U_1$ はユニタリ行列である（正規直交基底 の記事の定理「正規直交基底の取り替えとユニタリ行列」）。$B:=U_1^{*}AU_1$ は $B^{*}=U_1^{*}A^{*}U_1=B$ なので Hermite であり、$U_1^{*}u=e_1$ から第 1 列は $Be_1=U_1^{*}Au=\lambda e_1$ である。$B$ は Hermite で $\lambda$ は実数なので、第 1 行は第 1 列の共役転置 $(\lambda,0,\dots,0)$ であり、$B=\begin{pmatrix}\lambda&0\\0&A'\end{pmatrix}$（$A'$ は $n-1$ 次の Hermite 行列）となる。これは $u$ に直交するベクトルの全体が $A$ で自分自身に移ること（$\langle Ax,u\rangle=\langle x,Au\rangle=\lambda\langle x,u\rangle$）を行列で書いたものである。帰納法の仮定により、ユニタリ行列 $U'$ で $U'^{*}A'U'$ は実対角行列になる。$U:=U_1\begin{pmatrix}1&0\\0&U'\end{pmatrix}$ はユニタリ行列の積なのでユニタリであり、$U^{*}AU=\begin{pmatrix}\lambda&0\\0&U'^{*}A'U'\end{pmatrix}$ は実対角行列である。この部分は スペクトル定理 の記事の定理「有限次元の自己共役スペクトル定理」と同じ内容である。
2 ⇒ 1：$D$ は実対角行列なので $D^{*}=D$ であり、$A^{*}=(U^{*})^{*}D^{*}U^{*}=UDU^{*}=A$ である。2 ⇔ 3：$A=UDU^{*}$ は $AU=UD$ と同値であり、その第 $j$ 列は $Au_j=d_ju_j$（$u_j$ は $U$ の第 $j$ 列）である。$U$ がユニタリであることは列が正規直交基底をなすことと同値である（正規直交基底 の記事の定理「正規直交基底の取り替えとユニタリ行列」）。対角行列 $D$ の対角成分は $A$ の重複を込めた固有値である（$A$ と $D$ は相似）。$\square$

$R_{A+E}(x)=R_A(x)+R_E(x)$ であり、$\lambda_n(E)\le R_E(x)\le\lambda_1(E)$ である。$k$ 次元部分空間 $W$ を 1 つとり、$W$ の上で $R_A$ の最小値を与える $x_0$ をとる（$W$ の単位ベクトルの全体はコンパクトで、$R_A$ はその上で連続である）。すると
$$ \min_{x\in W\setminus\{0\}}R_{A+E}(x)\le R_{A+E}(x_0)\le\min_{x\in W\setminus\{0\}}R_A(x)+\lambda_1(E) $$
であり、$k$ 次元の $W$ 全体についての最大をとると、min-max 原理の最初の等号により $\lambda_k(A+E)\le\lambda_k(A)+\lambda_1(E)$ を得る。同様に、すべての $x\ne0$ で $R_{A+E}(x)\ge R_A(x)+\lambda_n(E)$ なので、各 $W$ で $\min_WR_{A+E}\ge\min_WR_A+\lambda_n(E)$ であり、最大をとって下からの評価を得る。残りの主張は、この 2 つの不等式と、半正定値なら $\lambda_n(E)\ge0$ であることから従う。$\square$