冪対象

$1\times A\cong A$ により、各対象 $A$ の部分対象 $S$ は、$S=g^*(\in_1)$ となるただ 1 つの射 $g\colon A\to P1$ をもつ。$T\rightarrowtail P1$ を $\in_1$ の定義域とする。射 $g\colon A\to P1$ について、$g^*(T)$ が $A$ 全体であることと、$g$ が $T$ を経由することは同値である（モノ射の引き戻しが同型になるのは、射がそのモノ射を経由するときに限る）。$A$ 全体という部分対象はただ 1 つなので、$T$ を経由する射 $A\to P1$ はただ 1 つであり、$T\rightarrowtail P1$ はモノ射だから、$A$ から $T$ への射はただ 1 つである。よって $T$ は終対象である。このとき「$S=g^*(\mathrm{true})$ となる $g$ がただ 1 つある」は部分対象分類子の定義そのものである。$\square$

部分対象分類子の定義により $\operatorname{Sub}(X)\cong\operatorname{Hom}(X,\Omega)$ は $X$ について自然である（$f\colon X'\to X$ に対し $f^*$ と $f$ との合成が対応する）。
1。$A$ について自然な全単射の合成
$$ \operatorname{Sub}(B\times A)\cong\operatorname{Hom}(B\times A,\Omega)\cong\operatorname{Hom}(A\times B,\Omega)\cong\operatorname{Hom}(A,\Omega^B) $$
がある。2 つ目は入れ替え $A\times B\cong B\times A$ との合成、3 つ目は転置である。右辺の $\mathrm{id}_{\Omega^B}$ に対応する左辺の元は、$\mathrm{ev}\circ\sigma$ が分類する部分対象 $\in_B$ である。上の注意（米田の補題）により $(\Omega^B,\in_B)$ は冪対象である。
2。prop-power-object-omega により $\Omega=P1$ は部分対象分類子である。自然な全単射
$$ \operatorname{Hom}(A,PB)\cong\operatorname{Sub}(B\times A)\cong\operatorname{Hom}(B\times A,\Omega)\cong\operatorname{Hom}(A\times B,\Omega) $$
により、$PB$ は関手 $A\mapsto\operatorname{Hom}(A\times B,\Omega)$ を表現する。これは指数対象 $\Omega^B$ の定義（Cartesian閉圏）の $\Omega$ での条件そのものである。$\square$

1。$(h\times\mathrm{id}_{PC})\circ(\mathrm{id}_B\times g)=h\times g=(\mathrm{id}_C\times g)\circ(h\times\mathrm{id}_A)$ だから
$$ (\mathrm{id}_B\times(Ph\circ g))^*(\in_B)=(\mathrm{id}_B\times g)^*(h\times\mathrm{id}_{PC})^*(\in_C)=(h\times\mathrm{id}_A)^*(\mathrm{id}_C\times g)^*(\in_C)=(h\times\mathrm{id}_A)^*(R). $$
2。$k\colon C\to D$ とする。$\mathrm{id}_{PD}$ は $\in_D$ の転置なので、1 を 2 回使うと $Ph\circ Pk$ は $(h\times\mathrm{id})^*(k\times\mathrm{id})^*(\in_D)=((k\circ h)\times\mathrm{id})^*(\in_D)$ の転置であり、これは $P(k\circ h)$ の定義である。$P(\mathrm{id}_B)$ は $\in_B$ 自身の転置なので $\mathrm{id}_{PB}$ である。$\square$

射 $b\colon X\to B$ に対し、$(\mathrm{id}_B\times b)^*(\Delta_B)$ は $b$ のグラフ $(b,\mathrm{id}_X)\colon X\rightarrowtail B\times X$ である。実際、射 $(y,x)\colon T\to B\times X$ が引き戻しを経由するのは $(y,b\circ x)$ が対角射を経由するとき、すなわち $y=b\circ x$ のときであり、そのとき $(y,x)=(b,\mathrm{id}_X)\circ x$ とただ 1 通りに書ける。
$b,b'\colon X\to B$ が $\{\cdot\}_B\circ b=\{\cdot\}_B\circ b'$ をみたすとする。引き戻しの合成 $(\mathrm{id}_B\times(\{\cdot\}_B\circ b))^*=(\mathrm{id}_B\times b)^*(\mathrm{id}_B\times\{\cdot\}_B)^*$ により、$\{\cdot\}_B\circ b$ は $(\mathrm{id}_B\times b)^*(\Delta_B)$ の転置なので、2 つのグラフは同じ部分対象である。よって同型 $u\colon X\to X$ で $(b,\mathrm{id}_X)\circ u=(b',\mathrm{id}_X)$ となるものがある。第 2 成分から $u=\mathrm{id}_X$、第 1 成分から $b=b'$ である。$\square$

prop-power-object-omega により $\Omega=P1$ は部分対象分類子である。モノ射 $m\colon S\rightarrowtail X$ の分類射を $\chi$ とすると、$m$ は $\chi$ と $\mathrm{true}\circ!_X$ の等化子である。射 $x\colon T\to X$ について、$\chi\circ x=\mathrm{true}\circ!_T$ と $x$ が $m$ を経由することは、分類射の引き戻しの性質により同値だからである。$m$ がさらにエピ射なら、$\chi\circ m=\mathrm{true}\circ!_X\circ m$ から $\chi=\mathrm{true}\circ!_X$ となり、これは $X$ 全体の分類射なので $S=X$、すなわち $m$ は同型である。$\square$

$S\subset h_U\times F$ と $v\colon V\to U$ について、$(h_v\times\mathrm{id}_F)^*(S)$ は $(w,x)\mapsto$「$(v\circ w,x)\in S$」で定まる部分前層なので、
$$ (\mathrm{id}_V,x)\in(h_v\times\mathrm{id}_F)^*(S)(V)\iff(v,x)\in S(V) $$
である。この同値を ($*$) と呼び、これを使って順に確かめる。

$t\colon\Omega\to\Omega$ を、部分対象 $\mathrm{false}\colon1\rightarrowtail\Omega$（終対象からの射はモノ射）の分類射とする。$t$ が点の不動点をもたないことを示す。そうすれば、$\mathcal E$ は Cartesian 閉（MM92 IV.2 Theorem 1）なので、Cartesian閉圏 の Lawvere の不動点定理により $B\to\Omega^B$ の弱い点全射はなく、点全射は弱い点全射だから、$PB\cong\Omega^B$（thm-power-object-exponential）への点全射もない。
点 $p\colon1\to\Omega$ が $t\circ p=p$ をみたすとする。$p$ が分類する $1$ の部分対象を $m\colon U\rightarrowtail1$ とする。$t\circ p$ は $p^*(\mathrm{false})$ を分類するので、仮定は $U=p^*(\mathrm{false})$ を意味する。すると $p\circ m$ は $\mathrm{true}$ と $\mathrm{false}$ の両方を経由し、
$$ \mathrm{true}\circ!_U=p\circ m=\mathrm{false}\circ!_U $$
となる。左辺は $U$ 全体を、右辺は $!_U^*(0\rightarrowtail1)=U\times0$ を分類するので、射影 $U\times0\to U$ は同型である。Cartesian 閉圏では $U\times0\cong0$（Cartesian閉圏 の定理「指数法則」の (5)）なので $U\cong0$ であり、$p$ は $0\rightarrowtail1$ を分類する、すなわち $p=\mathrm{false}$ である。このとき $p^*(\mathrm{false})=\mathrm{false}^*(\mathrm{false})$ は $1$ 全体なので、$U=p^*(\mathrm{false})$ は $0\cong1$ を意味し、仮定に反する。$\square$