Heisenberg群

$m=0$ では両辺とも単位元である。$m\ge0$ で成り立つとすると$$g^{m+1}=g^mg=\Bigl((m+1)a,\;(m+1)b,\;mc+\binom{m}{2}a\cdot b+c+ma\cdot b\Bigr)$$であり、$\binom{m}{2}+m=\binom{m+1}{2}$ なので $m+1$ でも成り立つ。負の冪については $g^{-1}=(-a,-b,-c+a\cdot b)$ に $k\ge1$ 乗の公式を当てて$$g^{-k}=\Bigl(-ka,\;-kb,\;k(-c+a\cdot b)+\binom{k}{2}a\cdot b\Bigr)=\Bigl(-ka,\;-kb,\;-kc+\frac{k(k+1)}{2}a\cdot b\Bigr)$$を得る（$(-a)\cdot(-b)=a\cdot b$）。$m=-k$ とおくと $\binom{m}{2}=\frac{(-k)(-k-1)}{2}=\frac{k(k+1)}{2}$ なので、公式は負の $m$ でも成り立つ。$\square$

1：元は $(a,b,c)\in\mathbb{F}_p^n\times\mathbb{F}_p^n\times\mathbb{F}_p$ と一対一に対応するので位数は $p^{2n+1}$ である。残りは thm-heisenberg-center の $R=\mathbb{F}_p$ の場合である（$Z\cong(\mathbb{F}_p,+)$ は位数 $p$ の巡回群）。

2：$p$ が奇数なら $\binom{p}{2}=p\cdot\frac{p-1}{2}$ は $p$ の倍数である。prop-heisenberg-power により $g^p=(pa,\,pb,\,pc+\binom{p}{2}a\cdot b)=(0,0,0)$ であり、位数は $p$ を割る。単位元でなければ位数は $p$ である。

3：$r:=(1,1,0)$、$s:=(1,0,0)$ とおく。prop-heisenberg-power により $r^2=(0,0,1)$、$r^3=(1,1,1)$、$r^4=e$ なので $r$ の位数は $4$ であり、$s^2=(0,0,0)$（$a\cdot b=0$）なので $s$ の位数は $2$ である。$s^{-1}=s$ であり、$$srs^{-1}=(1,0,0)(1,1,0)(1,0,0)=(0,1,1)(1,0,0)=(1,1,1)=r^{-1}$$である（$\mathbb{F}_2$ では $1+1=0$）。$\langle r\rangle=\{e,(1,1,0),(0,0,1),(1,1,1)\}$ は $s$ を含まないので、$\langle r,s\rangle$ は位数 $4$ より大きい $8$ の約数、すなわち $8$ であり、$G=\langle r,s\rangle$ である。$\operatorname{Dih}_4$ は $\rho^4=\sigma^2=e$、$\sigma\rho\sigma^{-1}=\rho^{-1}$ を満たす元 $\rho,\sigma$ で生成され、これらの関係式で定まる位数 $8$ の群である（二面体群 の記事の定義「表示で定まる二面体群」）。$r,s$ は同じ関係式を満たすので $\rho\mapsto r$、$\sigma\mapsto s$ は全射準同型 $\operatorname{Dih}_4\to G$ に延び、位数がともに $8$ なので同型である。$\square$

$\varphi$ の逆写像は $(x,y,t)\mapsto(x,y,t+\frac12x\cdot y)$ なので全単射である。$g=(a,b,c)$、$h=(a',b',c')$ について、第 1・第 2 成分はどちらも $a+a'$、$b+b'$ である。第 3 成分は$$\varphi(gh)_3=c+c'+a\cdot b'-\tfrac12(a+a')\cdot(b+b')=c+c'-\tfrac12a\cdot b-\tfrac12a'\cdot b'+\tfrac12a\cdot b'-\tfrac12a'\cdot b$$であり、$$\bigl(\varphi(g)\ast\varphi(h)\bigr)_3=\bigl(c-\tfrac12a\cdot b\bigr)+\bigl(c'-\tfrac12a'\cdot b'\bigr)+\tfrac12(a\cdot b'-a'\cdot b)$$と一致する。$\ast$ は全単射 $\varphi$ で $H_{2n+1}(R)$ の積を写したものなので結合法則・単位元・逆元をもち、$\varphi$ は同型である。$\square$

$\gamma=(m,k,l)\in\Gamma$、$f=(s,t,u)$ について $\gamma f=(m+s,\;k+t,\;l+u+m\cdot t)$ である。$g=(a,b,c)$ が与えられたとき、$\gamma f=g$ となるには、まず $m+s=a$ から $m=\lfloor a\rfloor$、$s=a-m$（成分ごとの整数部分と小数部分）、同様に $k=\lfloor b\rfloor$、$t=b-k$ と決まる。次に $l+u=c-m\cdot t$ から $l=\lfloor c-m\cdot t\rfloor$、$u=c-m\cdot t-l$ と決まる。各段で整数部分と $[0,1)$ の部分への分け方はただ一通りなので、表し方は一意であり、上の式で存在もわかる。

$\Gamma g=\Gamma f$ なので、射影 $H_{2n+1}(\mathbb{R})\to\Gamma\backslash H_{2n+1}(\mathbb{R})$ はコンパクト集合 $[0,1]^{2n+1}$ の上ですでに全射である。連続写像によるコンパクト集合の像はコンパクトなので、$\Gamma\backslash H_{2n+1}(\mathbb{R})$ はコンパクトである。$\square$

平行移動と絶対値 $1$ の関数の掛け算は $L^2$ ノルムを保つ全単射なので、各 $\pi_\lambda(g)$ はユニタリ作用素である。$g=(a,b,c)$、$h=(a',b',c')$ について$$\bigl(\pi_\lambda(g)\pi_\lambda(h)f\bigr)(x)=e^{i\lambda(c+b\cdot x)}e^{i\lambda(c'+b'\cdot(x+a))}f(x+a+a')=e^{i\lambda(c+c'+a\cdot b'+(b+b')\cdot x)}f(x+a+a')$$であり、これは $\bigl(\pi_\lambda(gh)f\bigr)(x)$ に等しい。強連続性：$f$ が台がコンパクトな連続関数なら、$g\to g_0$ のとき $\pi_\lambda(g)f\to\pi_\lambda(g_0)f$ は各点収束し、$g$ が $g_0$ の近くにある間は被積分関数が一つのコンパクト集合の外で $0$ で一様に有界なので、優収束定理により $L^2$ で収束する。一般の $f$ は台がコンパクトな連続関数で $L^2$ 近似でき、各 $\pi_\lambda(g)$ の作用素ノルムは $1$ なので $\varepsilon/3$ の議論で収束が従う。最後の主張は定義から明らかである。$\square$

$G=H_{2n+1}(\mathbb{R})$ とし、$V$ を群環 $\mathbb{C}[G]$ 上の単純加群とみる。$z\in Z$ は中心の元なので $\rho(z)$ はすべての $\rho(g)$ と可換であり、$\mathbb{C}[G]$ 加群の自己準同型である。単純加群 の記事の命題「代数閉体上の Schur の補題」により、$\rho(z)=\mu(z)\,\mathrm{id}_V$（$\mu(z)\in\mathbb{C}^\times$）と書ける。$\mu\colon Z\to\mathbb{C}^\times$ は準同型である。

$d:=\dim V$ とする。thm-heisenberg-center の証明により $(0,0,r)=[(re_1,0,0),(0,e_1,0)]$ は交換子であり、交換子の像の行列式は $\det\rho(g)\det\rho(h)\det\rho(g)^{-1}\det\rho(h)^{-1}=1$ なので、$\mu(0,0,r)^d=\det\rho(0,0,r)=1$ である。任意の $r\in\mathbb{R}$ について $(0,0,r)=(0,0,r/d)^d$ だから$$\mu(0,0,r)=\mu(0,0,r/d)^d=1$$であり、$Z$ は自明に働く。したがって $\rho$ は $G/Z\cong\mathbb{R}^{2n}$（thm-heisenberg-center の 2）を経由し、$\rho(G)$ は可換である。すると各 $\rho(g)$ が $\mathbb{C}[G]$ 加群の自己準同型になり、再び Schur の補題によりスカラーである。スカラー作用素はどの部分空間も保つので、既約性から $\dim V=1$ である。$\square$

$\pi_k$ が準同型であることは、prop-heisenberg-schrodinger の証明と同じ計算で $\mathbb{F}_p$ の中で確かめられる。$V$ に内積 $\langle f,h\rangle:=\sum_xf(x)\overline{h(x)}$ を入れると、平行移動と絶対値 $1$ の関数の掛け算はこれを保つので、$\pi_k$ はユニタリである。

既約性：$T\colon V\to V$ がすべての $\pi_k(g)$ と可換であるとする。関数 $e_b(x):=\zeta^{kbx}$（$b\in\mathbb{F}_p$）の値を並べた $p$ 次正方行列 $(\zeta^{kbx})_{b,x}$ は、相異なる $p$ 個の数 $\zeta^{kx}$（$k\neq0$ なので $x$ ごとに異なる）の Vandermondeの行列式 の行列なので正則であり、$e_b$ は $V$ を張る。$\pi_k(0,b,0)$ は $e_b$ を掛ける作用素なので、$T$ は任意の関数 $u$ を掛ける作用素 $M_u$ と可換である。$y$ だけで $1$、ほかで $0$ の関数を $\delta_y$ とすると $T\delta_y=TM_{\delta_y}\delta_y=M_{\delta_y}T\delta_y$ なので $T\delta_y$ は $y$ の外で $0$ であり、$T\delta_y=t_y\delta_y$ と書ける。$S:=\pi_k(1,0,0)$ は $S\delta_y=\delta_{y-1}$ を満たすので、$TS\delta_y=t_{y-1}\delta_{y-1}$ と $ST\delta_y=t_y\delta_{y-1}$ を比べて $t_{y-1}=t_y$ であり、$T$ はスカラーである。いま $W\subset V$ が $\pi_k$ で保たれる部分空間なら、ユニタリ性により直交補空間 $W^\perp$ も保たれ、$W$ への直交射影 $P$ はすべての $\pi_k(g)$ と可換である。よって $P$ はスカラーで $P^2=P$ なので $P=0$ か $P=\mathrm{id}$、すなわち $W=0$ か $W=V$ である。

すべてであること：$\pi_k(0,0,c)=\zeta^{kc}\,\mathrm{id}$ なので、$k$ の異なる $\pi_k$ は中心の働き方が違い同値でない。$1$ 次元表現は $G/Z\cong\mathbb{F}_p^2$ を経由する指標で、$p^2$ 個が互いに異なり、中心が自明に働くので $\pi_k$ とも同値でない。次元の 2 乗の和は $p^2\cdot1+(p-1)p^2=p^3=|G|$ である。有限群の既約表現の次元の 2 乗の和は群の位数に等しい（FH91 Corollary 2.18 と式 (2.19)）ので、ほかに既約表現はない。$\square$