Fortissimo空間

1：$\emptyset$ は 1 を、$X$ は 2 を満たす。開集合の族 $\{U_\lambda\}$ の和 $U$ について、$p\notin U$ なら 1 を満たす。$p\in U$ なら、ある $U_\mu$ が $p$ を含んで 2 を満たし、$X\setminus U\subset X\setminus U_\mu$ は可算である。2 つの開集合 $U,U'$ の共通部分は、どちらかが $p$ を含まなければ $p$ を含まず、どちらも $p$ を含むなら補集合 $(X\setminus U)\cup(X\setminus U')$ は可算集合 2 つの和で可算である。
2：開集合の補集合をとる。1 の型の開集合 $U$ の補集合は $p$ を含む任意の集合であり、2 の型の開集合の補集合は $p$ を含まない可算集合、すなわち $D$ の可算部分集合である。
3：$d\in D$ について $\{d\}$ は $p$ を含まないので開集合である。$D$ も $p$ を含まないので開集合で、$D$ のすべての部分集合が開集合なので、部分空間 $D$ は離散である。
4：$X\setminus\{p\}=D$ は非可算なので $\{p\}$ は開集合でない。$p$ の開近傍 $U$ は補集合が可算なので、非可算な $D$ と交わる。よって $p\in\overline D$ で、$\overline D=X$ である。$\square$

1：$D$ の異なる 2 点 $d,e$ は開集合 $\{d\}$、$\{e\}$ で分離される。$d\in D$ と $p$ は、開集合 $\{d\}$ と $X\setminus\{d\}$（補集合が 1 点なので $p$ の開近傍）で分離される。
2：$d\in D$ では $\{d\}$ が開かつ閉である（$p$ を含まない可算集合なので閉）。$p$ の開近傍 $U$ について、$X\setminus U$ は $D$ の可算部分集合なので開集合であり、$U$ は閉集合でもある。したがって $p$ の開近傍はすべて開かつ閉である。Tychonoff であることを示す。閉集合 $F$ と点 $x\notin F$ をとり、$x$ の開かつ閉な近傍 $W$ で $W\cap F=\emptyset$ となるものをとる（$x=d$ なら $W=\{d\}$、$x=p$ なら $F$ は $D$ の可算部分集合なので $W=X\setminus F$）。$f$ を $W$ の上で $0$、$X\setminus W$ の上で $1$ と定めると、$I$ の開集合の逆像は $\emptyset$、$W$、$X\setminus W$、$X$ のいずれかなので $f$ は連続で、$f(x)=0$、$f(F)\subset\{1\}$ である。1 と合わせて $X$ は Tychonoff である。
3：開被覆 $\mathcal U$ をとり、$p$ を含む $U_0\in\mathcal U$ を 1 つ選ぶ。$X\setminus U_0$ は可算なので、その各点 $x$ に $x\in U_x\in\mathcal U$ を選べば、$\{U_0\}\cup\{U_x\}$ は $X$ を覆う可算な部分被覆である。
4：2 から $X$ は正則であり、3 と パラコンパクト空間 の命題「正則 Lindelöf 空間」によりパラコンパクトである。正規性は Lindelöf空間 の命題「正則なLindelöf空間の分離」から従う。$\square$

1：無限なコンパクト集合 $K$ があるとする。$K\setminus\{p\}$ は無限集合なので、可算無限部分集合 $S\subset K\cap D$ がとれる。$X\setminus S$ は補集合が可算なので $p$ の開近傍であり、$\{X\setminus S\}\cup\{\{s\}\mid s\in S\}$ は $K$ の開被覆である。$X\setminus S$ は $S$ の点を含まず、各 $\{s\}$ は $S$ の点を 1 つしか含まないので、有限個では無限集合 $S$ を覆えない。これは $K$ のコンパクト性に反する。
2：$X$ と $p$ の任意の近傍は非可算集合なので、1 からコンパクトでない。
3：1 によりコンパクト集合は有限なので、その可算個の和は可算であり、非可算な $X$ にならない。$\square$

1：$p$ の開近傍の可算族 $\{U_n\}$ をとる。各 $X\setminus U_n$ は可算なので、その和 $C$ も可算であり、非可算な $D$ の点 $d\notin C$ がとれる。$d$ はすべての $U_n$ に入るので、$p$ の開近傍 $X\setminus\{d\}$ を含む $U_n$ はない。よって $\{U_n\}$ は基本近傍系でない。距離空間は第 1 可算なので、$X$ は距離化可能でない。
2：十分性は明らかである。$x_n\to p$ で $x_n\neq p$ となる $n$ が無限にあるとし、$S:=\{x_n\mid x_n\neq p\}$ とおく。$S$ は $D$ の可算部分集合なので、$X\setminus S$ は $p$ の開近傍である。収束の定義から十分大きな $n$ で $x_n\in X\setminus S$、すなわち $x_n=p$ となり、仮定に反する。
3：prop-fs-topology の 4 と 2 による。
4：可算集合 $C$ について、$C\setminus\{p\}$ は $D$ の可算部分集合なので閉集合で、$\overline C\subset C\cup\{p\}$ は可算である。よって $\overline C\neq X$ である。$\square$

$X$ は Hausdorff なので弱 Hausdorff であり（コンパクト生成空間 の命題「弱 Hausdorff 空間の性質」の 1）、同命題の 3 により、$A\subset X$ が $k$-閉集合であることは、すべてのコンパクト Hausdorff 部分空間 $C$ について $A\cap C$ が $C$ の閉集合であることと同値である。thm-fs-compact の 1 により $C$ は有限集合で、Hausdorff な有限空間は離散なので、$A\cap C$ はつねに $C$ の閉集合である。よってすべての部分集合が $k$-閉集合である。
一方 $D$ は prop-fs-topology の 4 により閉集合でない。よって $X$ は $k$-空間でない。thm-fs-separation の 2 により $X$ は Tychonoff である。$k$ 化の閉集合は $k$-閉集合の全体なので、$k$ 化は離散空間である。$\square$

$f$ が連続とする。各 $n\ge1$ について $U_n:=\{x\mid|f(x)-f(p)|<\frac1n\}$ は $p$ の開近傍なので $C_n:=X\setminus U_n$ は可算であり、$C:=\bigcup_nC_n$ も可算である。$x\notin C$ ならすべての $n$ で $|f(x)-f(p)|<\frac1n$ なので $f(x)=f(p)$ である。
逆に条件が成り立つとし、$V\subset\mathbb R$ を開集合とする。$f(p)\notin V$ なら $f^{-1}(V)$ は $p$ を含まないので開集合である。$f(p)\in V$ なら $X\setminus f^{-1}(V)\subset C$ は可算なので、$f^{-1}(V)$ は開集合である。$\square$

1：$A\subset D$ で、$D$ は離散な部分空間である（prop-fs-topology の 3）。2：$A\cap D$ の各点は $A$ の中で孤立点である。また $X\setminus(A\cap D)$ は補集合が可算なので $p$ の開近傍で、$A$ との共通部分は $\{p\}$ である。よって $\{p\}$ も $A$ の開集合である。3：$A$ の開集合は $X$ の開集合 $U$ との共通部分 $A\cap U$ である。$p\notin U$ なら $A\cap U$ は $A\cap D$ の任意の部分集合になりうる。$p\in U$ なら $A\setminus(A\cap U)\subset X\setminus U$ は可算である。逆に $p$ を含み $A$ での補集合 $S$ が可算な集合 $W\subset A$ は、$W=A\cap(X\setminus S)$ と書けて $X\setminus S$ は開集合である。よって $A$ の位相は def-fs-main のものに一致する。$\square$