ホモロジー球面

2 と 3 の同値。 $M$ は弧状連結なので、$H_1(M)$ は $\pi_1(M)$ の可換化 $\pi_1(M)/[\pi_1(M),\pi_1(M)]$ と同型である（Hat02 Theorem 2A.1、p. 166）。これが $0$ であることは、交換子部分群が $\pi_1(M)$ 全体であること、すなわち $\pi_1(M)$ が完全群であることにほかならない。
1 ⇒ 2 は定義から明らかである。
2 ⇒ 1。 $H_1(M)=0$ とする。まず $M$ が向き付け可能であることを示す。$\pi_1(M)$ に指数 $2$ の部分群 $K$ があったとすると、$K$ は正規部分群で、剰余群 $\pi_1(M)/K\cong\mathbb{Z}/2$ は可換なので、商写像 $\pi_1(M)\to\mathbb{Z}/2$ は可換化 $H_1(M)=0$ を経由する。すると商写像は $0$ 写像になり、全射であることに反する。よって $\pi_1(M)$ は指数 $2$ の部分群をもたず、$M$ は向き付け可能である（Hat02 Proposition 3.25、p. 234）。
$M$ は連結で向き付け可能な閉 $3$ 次元多様体なので、$H_0(M)\cong\mathbb{Z}$、$H_3(M)\cong\mathbb{Z}$ で、$k>3$ では $H_k(M)=0$ である（Hat02 Theorem 3.26、p. 236）。残りは $H_2(M)$ である。Poincaré双対（Hat02 Theorem 3.30、p. 241）により $H_2(M)\cong H^1(M)$ であり、コホモロジーの普遍係数定理（Hat02 Theorem 3.2、p. 195）により
$$ H^1(M)\cong\operatorname{Hom}(H_1(M),\mathbb{Z})\oplus\operatorname{Ext}(H_0(M),\mathbb{Z})=\operatorname{Hom}(0,\mathbb{Z})\oplus\operatorname{Ext}(\mathbb{Z},\mathbb{Z})=0 $$
である（自由加群 $\mathbb{Z}$ の $\operatorname{Ext}$ は $0$）。よって $H_*(M)\cong H_*(S^3)$ であり、$M$ はホモロジー球面である。$\square$

1． $g\in I^*$、$x\in S^3$ について $gx=x$ なら、右から $x^{-1}$ を掛けて $g=1$ である。よって作用は自由である。$I^*$ は有限群なので、$S^3$ への作用は固有であり（Lee13 Corollary 21.6、p. 544）、左からの積は $\mathbb{R}^4$ の線形写像の制限なので滑らかである。したがって $P=S^3/I^*$ は位相多様体で、商写像 $\pi\colon S^3\to P$ が滑らかな正規被覆写像になる滑らかな構造をただ 1 つもつ（Lee13 Theorem 21.13、p. 549）。$S^3$ はコンパクトで連結なので、$P$ もコンパクトで連結な $3$ 次元多様体である。
基本群を求めるため、作用が次の条件 (∗) をみたすことを確かめる：各 $x\in S^3$ に近傍 $U$ があって、$g\ne1$ なら $U\cap gU=\emptyset$。左からの積は距離を保つ（$\lvert gx-gy\rvert=\lvert g\rvert\lvert x-y\rvert=\lvert x-y\rvert$）。$\delta:=\min_{g\ne1}\lvert gx-x\rvert$ とおくと、$I^*$ は有限で作用は自由なので $\delta>0$ である。$U:=\{y\in S^3:\lvert y-x\rvert< \delta/2\}$ とし、$g\ne1$ と $y\in U\cap gU$ があったとすると、$y=gz$（$z\in U$）と書けて
$$ \lvert gx-x\rvert\le\lvert gx-gz\rvert+\lvert gz-x\rvert=\lvert x-z\rvert+\lvert y-x\rvert< \delta $$
となり、$\delta$ の定め方に反する。よって (∗) が成り立つ。$S^3$ は単連結で局所弧状連結なので、$\pi_1(P)\cong I^*$ である（Hat02 Proposition 1.40 (c)、p. 72）。
2． 交換子部分群を $C:=[I^*,I^*]$ とする。全射準同型は交換子部分群を交換子部分群の上へ写すので、$\mathrm{Ad}(C)=[I,I]$ である。$I\cong A_5$ は可換でない単純群なので（交代群 の定理「交代群の単純性」）完全群であり（完全群 の例「可換でない単純群」）、$[I,I]=I$ である。よって $\mathrm{Ad}(C)=I$ で、各 $g\in I^*$ について $\mathrm{Ad}(c)=\mathrm{Ad}(g)$ となる $c\in C$ があり、$g=\pm c$ となる。すなわち $I^*=C\cup(-1)C$ である。
$-1\in C$ なら $I^*=C$ で、$I^*$ は完全群である。$-1\notin C$ と仮定して矛盾を導く。このとき $\mathrm{Ad}$ の $C$ への制限の核は $C\cap\{\pm1\}=\{1\}$ なので、$\mathrm{Ad}|_C\colon C\to I$ は単射かつ全射で、$C\cong I\cong A_5$ である。$A_5$ には位数 $2$ の元（たとえば $(1\,2)(3\,4)$）があるので、$C$ にも位数 $2$ の元 $c$ がある。$\mathbb{H}$ の中で $c^2=1$ から $(c-1)(c+1)=c^2-1=0$ であり、$\mathbb{H}$ は零因子をもたない（斜体）ので $c=1$ か $c=-1$ である。$c\ne1$ なので $c=-1\in C$ となり、仮定に反する。よって $I^*$ は完全群である。
3． 1 と 2 により $\pi_1(P)\cong I^*$ は完全群なので、prop-hs-dim3 により $P$ はホモロジー $3$ 球面である。$\pi_1(P)$ は位数 $120$ で自明でないので、$P$ は単連結な $S^3$ とホモトピー同値でない（ホモトピー同値は基本群の同型を引き起こす。ホモトピー同値 の命題「基本群・ホモロジーへの帰結」）。$\square$

滑らかな円板 $f\colon D^n\to M$、$g\colon D^n\to N$ で連結和 $M\#N=M_f\cup_hN_g$ を作る。ここで $M_f=M\setminus f(\operatorname{Int}D^n)$ である。$M\#N$ は連結な $n$ 次元の閉多様体である（境界に沿った貼り合わせと連結和 の定理「連結和の基本性質」の 1）。
段 1：$\tilde H_*(M_f)=0$ と $\pi_1(M_f)\cong\pi_1(M)$。 点 $x:=f(0)$ について、$M_f$ は $M\setminus\{x\}$ の変形レトラクトである（円板の中を放射状に押し出す）。よって $H_k(M,M_f)\cong H_k(M,M\setminus\{x\})$ であり、これは $k=n$ で $\mathbb{Z}$、ほかの $k$ で $0$ である（切除で $\mathbb{R}^n$ の局所ホモロジーに帰着する。Hat02 p. 231）。$M$ は連結で向き付け可能な閉多様体なので、$H_n(M)\to H_n(M,M\setminus\{x\})$ は同型である（Hat02 Theorem 3.26 (a)、p. 236）。対 $(M,M_f)$ の長完全列
$$ H_{k+1}(M,M_f)\to H_k(M_f)\to H_k(M)\to H_k(M,M_f) $$
を見る。$k=n$ では左端が $0$ で右の写像が同型なので $H_n(M_f)=0$ である。$k=n-1$ では、$H_n(M)\to H_n(M,M_f)$ が全射で $H_{n-1}(M)=0$ なので $H_{n-1}(M_f)=0$ である。$1\le k\le n-2$ では両端が $0$ なので $H_k(M_f)\cong H_k(M)=0$ である。よって $\tilde H_*(M_f)=0$ である。
基本群については、$M$ を $M_f$ にカラーを足した開集合 $A_0$ と開円板 $f(\operatorname{Int}D^n)$ の和に書くと、共通部分は $S^{n-1}\times(0,1)$ と同相で、$n\ge3$ なので単連結である。Van Kampenの定理（Hat02 Theorem 1.20、p. 43）により $\pi_1(M)\cong\pi_1(A_0)*1\cong\pi_1(M_f)$ である。$N_g$ についても同じである。
段 2：Mayer–Vietoris。 $M\#N$ を、$M_f$ と $N_g$ に貼り合わせの部分のカラーを足した開集合 $A$、$B$ の和に書く。$A\simeq M_f$、$B\simeq N_g$ で、$A\cap B$ は $S^{n-1}\times(-1,1)$ と同相である。Mayer–Vietoris完全列 の命題「被約ホモロジーの Mayer–Vietoris 完全列」により
$$ \tilde H_k(A)\oplus\tilde H_k(B)\to\tilde H_k(M\#N)\to\tilde H_{k-1}(A\cap B)\to\tilde H_{k-1}(A)\oplus\tilde H_{k-1}(B) $$
は完全で、段 1 により両端は $0$ である。よって $\tilde H_k(M\#N)\cong\tilde H_{k-1}(S^{n-1})$ で、これは $k=n$ で $\mathbb{Z}$、ほかで $0$ である。したがって $M\#N$ はホモロジー球面である。
基本群は、$A\cap B$ が単連結（$n\ge3$）なので、Van Kampen の定理と段 1 により $\pi_1(M\#N)\cong\pi_1(A)*\pi_1(B)\cong\pi_1(M)*\pi_1(N)$ である。$\square$

prop-hs-sum と帰納法により、$P_k$ はホモロジー $3$ 球面で、$\pi_1(P_k)$ は $I^*$ の $k$ 個の自由積 $G_k:=I^**\cdots*I^*$ と同型である（$G_0$ は自明群）。
有限群 $H$ について $h(G):=\lvert\operatorname{Hom}(G,H)\rvert$ とおく。自由積の普遍性により $\operatorname{Hom}(G*G',H)\cong\operatorname{Hom}(G,H)\times\operatorname{Hom}(G',H)$ なので、$h(G_k)=h(I^*)^k$ である。$H=A_5$ とすると、$I^*$ は有限なので $h(I^*)$ は有限で、自明な準同型と全射 $I^*\xrightarrow{\mathrm{Ad}}I\cong A_5$ があるので $h(I^*)\ge2$ である。よって $h(G_k)=h(I^*)^k$ は $k$ ごとに異なる。
$P_k$ と $P_l$ がホモトピー同値なら $G_k\cong G_l$ で、$h(G_k)=h(G_l)$ となるので $k=l$ である。$\square$