体のノルムとトレース

1：$T_{\alpha+\beta}=T_\alpha+T_\beta$、$T_{c\alpha}=cT_\alpha$（$c\in K$）、$T_{\alpha\beta}=T_\alpha\circ T_\beta$、$T_1=\mathrm{id}$ であり、跡は線形、行列式は乗法的である。2：$T_a=a\,\mathrm{id}_L$ である。3：$\alpha\ne0$ なら $T_\alpha$ は逆写像 $T_{\alpha^{-1}}$ をもつので $\det T_\alpha\ne0$ である。$T_0=0$ なので $N(0)=0$ である。4：$\chi_\alpha=m_\alpha^{\,r}$ は 最小多項式(体論) の命題「乗法写像の最小多項式と固有多項式」の 2 である（MilFT Proposition 5.44, p. 106）。$n=rd$ で、$m_\alpha^{\,r}$ の定数項は $a_0^r$、$x^{n-1}$ の係数は $ra_{d-1}$ なので、$N(\alpha)=(-1)^{rd}a_0^r$、$\operatorname{Tr}(\alpha)=-ra_{d-1}$ である。$\square$

要点：導関数が $0$ でない既約多項式は重根をもたない。導関数が $0$ なら $x^p$ の多項式なので、$p$ 乗の変数に取り替えて次数を下げ、最後に Frobenius で $p$ 乗根を取り出す。

要点：準同型 $\rho\colon F_i\to\Omega$ を $F_{i+1}=F_i(\gamma_i)$ へ延ばす方法は、$m_i$ の係数を $\rho$ で移した多項式 $\rho m_i$ の相異なる根と一対一に対応し（分離拡大 の命題「単純拡大の埋め込みの個数」とその証明の後半）、その個数は $\rho$ によらず $\deg g_i$ である。

生成元の列を $\gamma_1:=\alpha,\gamma_2,\dots,\gamma_\ell$ と $\alpha$ から始めてとり、lem-fnt-tower の記号を使う。lem-fnt-irreducible により $\Omega$ の中で $m_\alpha=m_1=\prod_{\beta}(x-\beta)^{p^{\mu_1}}$ と書ける。ここで $\beta$ は $m_\alpha$ の相異なる $t:=\deg g_1$ 個の根を動く。
$K$ 上の埋め込み $\tau\colon K(\alpha)\to\Omega$ は $\tau(\alpha)$ で決まり、$\tau(\alpha)$ は $m_\alpha$ の根の全体を動く（分離拡大 の命題「単純拡大の埋め込みの個数」）。lem-fnt-tower の 1 を拡大 $L/K(\alpha)$ と生成元 $\gamma_2,\dots,\gamma_\ell$ に当てると、各 $\tau$ は $e:=\prod_{i\ge2}\deg g_i$ 通りに $L$ へ延びる。延長 $\sigma$ は $\sigma(\alpha)=\tau(\alpha)$ をみたすので、
$$ \prod_{i}\bigl(x-\sigma_i(\alpha)\bigr)=\prod_{\beta}(x-\beta)^{e} $$
である。一方 $r=[L:K(\alpha)]=\prod_{i\ge2}p^{\mu_i}\deg g_i=e\,p^{\sum_{i\ge2}\mu_i}$ なので、prop-fnt-basic の 4 により
$$ \chi_\alpha=m_\alpha^{\,r}=\prod_\beta(x-\beta)^{p^{\mu_1}r}=\prod_\beta(x-\beta)^{e\,q}=\Bigl(\prod_i\bigl(x-\sigma_i(\alpha)\bigr)\Bigr)^{q} $$
である（$q=p^{\sum_{i\ge1}\mu_i}$）。$\chi_\alpha$ の定数項と $x^{n-1}$ の係数を比べると、$n=sq$ より $N(\alpha)=(-1)^n\prod_i(-\sigma_i(\alpha))^q=(\prod_i\sigma_i(\alpha))^q$、$\operatorname{Tr}(\alpha)=q\sum_i\sigma_i(\alpha)$ を得る。$\square$

1：$\Omega$ を $L$ を含むようにとる。$L/K$ は正規なので $K$ 上の埋め込み $\sigma\colon L\to\Omega$ の像は $L$ であり、$\sigma$ は $G$ の元と包含写像の合成である。分離的なので $q=1$ で、thm-fnt-embeddings から従う。2：lem-fnt-tower の 2 により $q$ は $p$ の正の冪なので、$K$ の中で $q=0$ である。thm-fnt-embeddings から $\operatorname{Tr}(\alpha)=q\sum_i\sigma_i(\alpha)=0$ である。$\square$

要点：最も短い関係をとり、変数を $zy$ に替えた式との差をとると、より短い関係ができる。

1 ⇒ 2：分離的なら thm-fnt-embeddings により $\operatorname{Tr}=\sum_i\sigma_i$ であり、lem-fnt-dedekind を $c_i=1$ に当てると、$\sum_i\sigma_i(y)\ne0$ となる $y$ がある。
2 ⇒ 3：$\operatorname{Tr}(z)\ne0$ となる $z$ をとる。$x\ne0$ なら $y:=x^{-1}z$ について $\operatorname{Tr}(xy)=\operatorname{Tr}(z)\ne0$ である。
3 ⇒ 1：分離的でなければ cor-fnt-galois-inseparable の 2 により $\operatorname{Tr}$ は恒等的に $0$ で、$x=1$ がすべての $y$ で $\operatorname{Tr}(xy)=0$ をみたすので、トレース形式は退化している。$\square$

$[M:K]=m$、$[L:M]=r$ とし、$M$ の $K$ 上の基底 $\gamma_1,\dots,\gamma_m$ と $L$ の $M$ 上の基底 $\beta_1,\dots,\beta_r$ をとる。$\beta_j\gamma_k$ は $L$ の $K$ 上の基底である（有限次拡大 の定理「拡大次数の塔の公式」の証明）。$a\in M$ について、$a$ を掛ける写像 $M\to M$ の $\gamma$ に関する表現行列を $C(a)\in M_m(K)$ とすると、$C$ は環準同型 $M\to M_m(K)$ である。
段 1（行列の対応）：$A=(a_{ij})\in M_r(M)$ に、各成分 $a_{ij}$ を $m$ 次の区分 $C(a_{ij})$ に置き換えた $rm$ 次の行列 $\Phi(A)\in M_{rm}(K)$ を対応させる。区分ごとの積の計算と $C$ が環準同型であることから、$\Phi(AB)=\Phi(A)\Phi(B)$、$\Phi(I_r)=I_{rm}$ である。$\alpha\beta_j=\sum_ia_{ij}\beta_i$ で $A=(a_{ij})$ を定めると、$A$ は $\alpha$ を掛ける写像の $M$ 上の表現行列で、$\alpha\beta_j\gamma_k=\sum_i\beta_i(a_{ij}\gamma_k)$ なので、$\Phi(A)$ は同じ写像の基底 $\beta_j\gamma_k$ に関する $K$ 上の表現行列である。よって
$$ N_{L/M}(\alpha)=\det A,\quad \operatorname{Tr}_{L/M}(\alpha)=\operatorname{tr}A,\quad N_{L/K}(\alpha)=\det\Phi(A),\quad \operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha)=\operatorname{tr}\Phi(A) $$
である。
段 2（トレース）：$\operatorname{tr}\Phi(A)=\sum_i\operatorname{tr}C(a_{ii})=\sum_i\operatorname{Tr}_{M/K}(a_{ii})=\operatorname{Tr}_{M/K}(\operatorname{tr}A)$ である。
段 3（ノルム）：すべての $A\in M_r(M)$ について $\det\Phi(A)=N_{M/K}(\det A)$ を示せばよい。$A$ が正則でなければ、$Ax=0$ となる $0$ でない $x\in M^r$ をとり、$x$ の各成分 $x_i$ を $C(x_i)$ の第 1 列に置き換えた $K^{rm}$ のベクトル $\tilde x$ を考えると $\Phi(A)\tilde x=0$、$\tilde x\ne0$ なので、両辺とも $0$ である。ここで $\Phi(A)\tilde x$ の第 $i$ 区分は $\sum_jC(a_{ij})C(x_j)$ の第 1 列 $=C\bigl(\sum_ja_{ij}x_j\bigr)$ の第 1 列 $=0$ であり、$x_j\ne0$ なら $C(x_j)$ は正則なので $\tilde x\ne0$ である。$A$ が正則なら、基本行列 の系「体と整数環の場合」の 1 により、$A$ は $T_{ij}(c)=I+cE_{ij}$（$i\ne j$、$c\in M$）の積と $D_r(u)=\mathrm{diag}(1,\dots,1,u)$（$u=\det A$）の積である。両辺とも積を保つので、これらの行列で確かめればよい。$\Phi(T_{ij}(c))$ は対角区分が $I_m$ の区分三角行列なので行列式は $1=N_{M/K}(1)=N_{M/K}(\det T_{ij}(c))$ である。$\Phi(D_r(u))$ は対角区分 $I_m,\dots,I_m,C(u)$ の区分対角行列なので行列式は $\det C(u)=N_{M/K}(u)$ である。$\square$

要点：$x\mapsto x^{q^i}$（$0\le i\le n-1$）が $K$ 上の埋め込みの全体であることを示して thm-fnt-embeddings を使う。全射性は、トレースが次数の低い多項式であることと、乗法群が巡回群であることから従う。