楕円型複体

$v\in V$ について $\langle Qv,v\rangle=|A^*v|^2+|Bv|^2\ge0$ である。
完全なら可逆．$Qv=0$ とすると $A^*v=0$ かつ $Bv=0$ である。$Bv=0$ と完全性から $v\in\operatorname{im}A$ であり、$A^*v=0$ は $v$ が $\operatorname{im}A$ に直交することを意味するので、$v=0$ である。$Q$ は単射なので可逆で、$\langle Qv,v\rangle>0$（$v\neq0$）から正定値である。
可逆なら完全．$BA=0$ から $\operatorname{im}A\subset\ker B$ である。$v\in\ker B$ をとり、$v=Qw$ と書く。$BA=0$ から $0=Bv=BAA^*w+BB^*Bw=BB^*Bw$ なので、$|B^*Bw|^2=\langle BB^*Bw,Bw\rangle=0$ となり $B^*Bw=0$ である。よって $v=AA^*w\in\operatorname{im}A$ である。$\square$

楕円型作用素 の命題「主表象の乗法性」と命題「形式的随伴の主表象」により、$2m$ 階の作用素としての主表象は
$$ \sigma_{\Delta_j}(x,\xi)=(-1)^m\bigl(\sigma_j(x,\xi)^*\sigma_j(x,\xi)+\sigma_{j-1}(x,\xi)\sigma_{j-1}(x,\xi)^*\bigr) $$
である。$\sigma_j\sigma_{j-1}=0$ なので、lem-ellcx-linear を $U=E_{j-1,x}$、$V=E_{j,x}$、$W=E_{j+1,x}$、$A=\sigma_{j-1}(x,\xi)$、$B=\sigma_j(x,\xi)$ に当てると、主表象の列が $E_{j,x}$ で完全であることと $\sigma_{\Delta_j}(x,\xi)$ が可逆であることは同値で、そのとき $(-1)^m\sigma_{\Delta_j}(x,\xi)$ は正定値である。これをすべての $x$、$\xi\neq0$、$j$ について合わせればよい。$\square$

主表象．$F$ の局所的な正則枠 $s_1,\dots,s_r$ をとると $\bar\partial(\sum_k\alpha_k\otimes s_k)=\sum_k\bar\partial\alpha_k\otimes s_k$ なので、$F$ が自明な場合に示せばよい。実数値の滑らかな関数 $f$ について Leibniz 則 $\bar\partial(e^{tf}\alpha)=te^{tf}\,\bar\partial f\wedge\alpha+e^{tf}\bar\partial\alpha$ が成り立ち、$\bar\partial f=(df)^{0,1}$ なので、$e^{-tf}\bar\partial(e^{tf}\alpha)$ の $t^1$ の係数は $(df_x)^{0,1}\wedge\alpha$ である。楕円型作用素 の命題「主表象を取り出す公式」から $\sigma_{\bar\partial}(x,\xi)=\varepsilon(\xi^{0,1})$ である。
完全性．$\xi\neq0$ を実余接ベクトルとし、$\theta:=\xi^{0,1}$ とおく。$\xi$ は実なので $\xi^{1,0}=\bar\theta$ で $\xi=\bar\theta+\theta$ であり、$\xi\neq0$ から $\theta\neq0$ である。$T^{*0,1}_xX$ の基底 $\theta_1=\theta,\theta_2,\dots,\theta_n$ と $T^{*1,0}_xX$ の基底をとると、$\Lambda^{p,q}_x$ は「$(1,0)$ 側の $p$ 個の基底の積」と「$\theta_{j_1}\wedge\cdots\wedge\theta_{j_q}$（$j_1< \dots< j_q$）」の外積を基底にもつ。$\Lambda^{p,q}_x$ の元を、添字 $1$ を含む基底の部分と含まない部分に分けて $\alpha=\theta\wedge\beta+\gamma$（$\beta,\gamma$ は添字 $1$ を含まない基底の一次結合）と一意に書く。$\theta\wedge\alpha=\theta\wedge\gamma$ であり、$\theta\wedge$ は添字 $1$ を含まない基底を相異なる基底に（符号を除いて）写すので、$\theta\wedge\alpha=0$ なら $\gamma=0$、すなわち $\alpha=\theta\wedge\beta$ は $\varepsilon(\theta)$ の像に入る。$q=0$ では $\gamma=\alpha$ なので $\varepsilon(\theta)$ は単射である。$F_x$ とのテンソル積をとっても完全性は保たれる。$\square$

全体の束 $E:=\bigoplus_jE_j$ の上で、$P:=\bigoplus_jP_j$（次数を $1$ 上げる）、$P^*$（次数を $1$ 下げる）、$\Delta:=\bigoplus_j\Delta_j$ を考える。$P^2=0$ から $\Delta=PP^*+P^*P$ であり、$\Delta$ は $E$ に働く形式的に自己随伴な $2m$ 階の楕円型作用素である（主表象は各 $E_j$ ごとのブロック対角で、各ブロックが可逆）。$\mathcal H_\Delta=\bigoplus_j\mathcal H^j$ で、$\Delta$ の Green 作用素は $G=\bigoplus_jG_j$、核への射影は $H=\bigoplus_jH_j$ である（各成分ごとの条件を満たす $\bigoplus_jG_j$ が Green作用素 の主定理の 2 の条件を満たすので、一意性による）。
1．有限次元性と滑らかさは Green作用素 の補題「楕円型作用素の核と核の補空間での評価」の 1 による。$u\in C^\infty(M,E_j)$ について
$$ \langle\!\langle\Delta_ju,u\rangle\!\rangle=\|P_ju\|^2+\|P_{j-1}^*u\|^2 $$
なので、$\Delta_ju=0$ と「$P_ju=0$ かつ $P_{j-1}^*u=0$」は同値である。
4．$P^2=0$ から $\Delta P=PP^*P=P\Delta$、$\Delta P^*=P^*PP^*=P^*\Delta$ である。Green作用素 の命題「$L$ と可換な作用素は $H$ と $G$ とも可換」を $L=\Delta$、$T=P$ と $T=P^*$ に当てると $GP=PG$、$HP=PH$、$GP^*=P^*G$、$HP^*=P^*H$ を得る。次数ごとの成分を比べれば 4 の等式になる。$PH=0$、$P^*H=0$ は 1 による。
2．$\omega\in C^\infty(M,E_j)$ について、Green作用素 の主定理の 3 により
$$ \omega=H\omega+\Delta G\omega=H\omega+P(P^*G\omega)+P^*(PG\omega) $$
であり、各項はそれぞれ $\mathcal H^j$、$P_{j-1}C^\infty(M,E_{j-1})$、$P_j^*C^\infty(M,E_{j+1})$ に属する。直交性は、$h\in\mathcal H^j$ について $\langle\!\langle h,P\alpha\rangle\!\rangle=\langle\!\langle P^*h,\alpha\rangle\!\rangle=0$、$\langle\!\langle h,P^*\beta\rangle\!\rangle=\langle\!\langle Ph,\beta\rangle\!\rangle=0$（1 による）と、$\langle\!\langle P\alpha,P^*\beta\rangle\!\rangle=\langle\!\langle P^2\alpha,\beta\rangle\!\rangle=0$ による。直交する部分空間の和は直和である。
3．右辺が左辺に含まれることは 1 と $P^2=0$ による。逆に $P\omega=0$ なら、4 により $PG\omega=GP\omega=0$ なので、2 の式は $\omega=H\omega+P(P^*G\omega)$ となる。よって $\ker P_j=\mathcal H^j\oplus P_{j-1}C^\infty(M,E_{j-1})$ であり、$h\mapsto[h]$ は全射である。$h\in\mathcal H^j$ が $h=P\alpha$ なら $\|h\|^2=\langle\!\langle h,P\alpha\rangle\!\rangle=\langle\!\langle P^*h,\alpha\rangle\!\rangle=0$ なので単射である。$\square$

要点：$P^2=0$ から $\|(P+P^*)u\|^2=\|Pu\|^2+\|P^*u\|^2$ となり、$D$ の核は調和な切断になる。主表象についても同じ計算で $D$ の楕円性が分かる。