楕円型複体

階数．$n\ge1$ なので $0$ でない $\xi\in T^*_xM$ がある。有限次元の完全列 $0\to E_{0,x}\to\cdots\to E_{N,x}\to0$ では次元の交代和が $0$ になる（各項で次元公式 $\dim E_{j,x}=\dim\ker\sigma_j+\dim\operatorname{im}\sigma_j$ と $\ker\sigma_j=\operatorname{im}\sigma_{j-1}$ を使って足し合わせる）ので、$\operatorname{rank}E_{\mathrm{ev}}=\operatorname{rank}E_{\mathrm{odd}}$ である。

楕円性．$\sigma:=\bigoplus_j\sigma_j(x,\xi)$ とおくと、$P^*$ の主表象は $(-1)^m\sigma^*$ なので $D$ の主表象は $s:=\sigma+(-1)^m\sigma^*$（$E_{\mathrm{ev},x}$ に制限したもの）である。$\sigma^2=0$、$(\sigma^*)^2=0$ から、$e\in E_{\mathrm{ev},x}$ について $|se|^2=\langle(\sigma^*\sigma+\sigma\sigma^*)e,e\rangle$ であり、lem-ellcx-linear により $\xi\neq0$ で $e\neq0$ なら正である。$s$ は単射で、始域と終域の次元が等しいので同型である。

核．$u\in C^\infty(M,E_{\mathrm{ev}})$ について、$Pu$ と $P^*u$ はともに奇数次で、$\langle\!\langle Pu,P^*u\rangle\!\rangle=\langle\!\langle P^2u,u\rangle\!\rangle=0$ なので $\|Du\|^2=\|Pu\|^2+\|P^*u\|^2$ である。よって $Du=0$ は $Pu=0$ かつ $P^*u=0$、すなわち主定理の 1 により各成分が調和であることと同値である。$D$ の形式的随伴は $P+P^*$ を $E_{\mathrm{odd}}$ に制限したもので、同じ計算から $\ker D^*=\bigoplus_i\mathcal H^{2i+1}$ である。$u_{2i}$ を主定理の 2 により $h+P\alpha+P^*\beta$ と分けると $Pu_{2i}=PP^*\beta$、$P^*u_{2i}=P^*P\alpha$ なので、$Pu_{2i}$ と $P^*u_{2i}$ はそれぞれ $P_{2i}C^\infty(M,E_{2i})$ と $P_{2i-1}^*C^\infty(M,E_{2i})$ の任意の元に互いに独立に選べる。よって $D(C^\infty(M,E_{\mathrm{ev}}))$ は $\bigoplus_i\bigl(P_{2i}C^\infty(M,E_{2i})\oplus P_{2i+1}^*C^\infty(M,E_{2i+2})\bigr)$ に等しく、主定理の 2 により $C^\infty(M,E_{\mathrm{odd}})=D(C^\infty(M,E_{\mathrm{ev}}))\oplus\ker D^*$ であり、$\ker D^*$ は $D$ の余核と同型である。主定理の 3 の $\dim\mathcal H^j=\dim H^j(E_\bullet)$ から $\operatorname{ind}D=\chi(E_\bullet)$ となる。$\square$

段 1：主表象の恒等式．点 $x$ と $\xi\in T_x^*M$ について $e(\xi)a:=\xi\wedge a$（ex-ellcx-de-rham の $\varepsilon(\xi)$）とおき、$e(\xi)^*$ をその随伴とする。$\xi\neq0$ なら $\theta^1:=\xi/|\xi|$ から始まる $T_x^*M$ の正規直交基底 $\theta^1,\dots,\theta^n$ をとると、$\theta^I$（$I$ は増加列）は $\Lambda^q_x$ の正規直交基底である。$a\in\Lambda^q_x$ を $a=\theta^1\wedge\beta+\gamma$（$\beta,\gamma$ は添字 $1$ を含まない $\theta^I$ の一次結合）と書くと、$e(\xi)$ は添字 $1$ を含まない $\theta^I$ を $|\xi|\theta^1\wedge\theta^I$ に、添字 $1$ を含む $\theta^I$ を $0$ に送るので、$e(\xi)a=|\xi|\theta^1\wedge\gamma$、$e(\xi)^*a=|\xi|\beta$ であり$$|e(\xi)a|^2+|e(\xi)^*a|^2=|\xi|^2\bigl(|\gamma|^2+|\beta|^2\bigr)=|\xi|^2|a|^2\qquad(1)$$が成り立つ（$\xi=0$ でも成り立つ）。$P:=(d,\delta)\colon\Lambda^q\to\Lambda^{q+1}\oplus\Lambda^{q-1}$ の主表象は、ex-ellcx-de-rham と 楕円型作用素 の命題「形式的随伴の主表象」により $\sigma(x,\xi)=(e(\xi),-e(\xi)^*)$ で、(1) は $|\sigma(x,\xi)a|^2=|\xi|^2|a|^2$ を意味する。

段 2：係数を止めた評価．座標近傍で $q$ 形式を枠 $dx^I$ の成分により $\mathbb C^N$ 値関数とみると、$Pf=\sum_jA_j(x)\partial_jf+B(x)f$（$A_j$、$B$ は滑らかな行列値関数、$\sum_j\xi_jA_j(x)=\sigma(x,\xi)$）である。点 $x$ での両側の計量を表す正定値行列を $G(x)$、$\tilde G(x)$ とする。点 $x_0$ を中心とする閉球 $\overline{B_0}$ を座標の像の中にとると、その上で計量はユークリッド計量と一様に比べられるので、$\lambda,c_1>0$ があって $x\in\overline{B_0}$ について $|\xi|_{g(x)}^2|a|_{G(x)}^2\ge\lambda|\xi|^2|a|^2$、$|w|_{\tilde G(x)}\le c_1|w|$ である（右辺はユークリッドのノルム）。$P_0:=\sum_jA_j(x_0)\partial_j$ とし、$f\in C_c^\infty(\mathbb R^n;\mathbb C^N)$ の Fourier 変換を $\hat f(\xi):=(2\pi)^{-n/2}\int f(x)e^{-ix\cdot\xi}\,dx$ と規格化すると（Plancherelの定理 の規格化から変数の尺度を変えたもので、$L^2$ ノルムを保ち、$\widehat{\partial_jf}=i\xi_j\hat f$ となる） $\widehat{P_0f}(\xi)=i\sigma(x_0,\xi)\hat f(\xi)$ なので、Plancherelの定理 と (1) から$$\int|P_0f|_{\tilde G(x_0)}^2dx=\int|\xi|_{g(x_0)}^2|\hat f(\xi)|_{G(x_0)}^2d\xi\ge\lambda\int|\xi|^2|\hat f|^2d\xi=\lambda\|\nabla f\|^2$$である（$\|\nabla f\|^2:=\sum_j\|\partial_jf\|^2$、ノルムはユークリッドの $L^2$ ノルム）。$\omega(r):=\max_j\sup_{|x-x_0|\le r}\|A_j(x)-A_j(x_0)\|$ は $r\to0$ で $0$ に近づき、$\beta:=\sup_{\overline{B_0}}\|B\|$ とおく。$\overline{B_0}$ の半径以下で $c_1\sqrt n\,\omega(r)\le\sqrt\lambda/2$ となる $r$ をとると、台が $B(x_0,r)$ に入る $f\in C_c^\infty$ について$$\sqrt\lambda\|\nabla f\|\le\Bigl(\int|P_0f|_{\tilde G(x_0)}^2dx\Bigr)^{1/2}\le c_1\|P_0f\|\le c_1\bigl(\|Pf\|+\sqrt n\,\omega(r)\|\nabla f\|+\beta\|f\|\bigr)$$なので$$\|\nabla f\|\le\frac{2c_1}{\sqrt\lambda}\bigl(\|Pf\|+\beta\|f\|\bigr)\qquad(2)$$である。

段 3：$L^2$ の関数への延長．$f\in L^2(\mathbb R^n;\mathbb C^N)$ の台が $B(x_0,r/2)$ に入り、超関数として $Pf\in L^2$ とする。$A_j$、$B$ を $\overline{B(x_0,r)}$ の近傍の外で切り落として、有界で導関数も有界なものに取り替えても、台が $B(x_0,r)$ に入る関数への作用は変わらない。$\varepsilon< r/2$ なら $f_\varepsilon:=\rho_\varepsilon*f$ は台が $B(x_0,r)$ に入る滑らかな関数である。軟化子 の補題「Friedrichsの交換子の補題」を各成分と $0$ 階の項に当てると $Pf_\varepsilon-\rho_\varepsilon*(Pf)\to0$、同記事の定理「軟化による近似」の 2 により $\rho_\varepsilon*(Pf)\to Pf$、$f_\varepsilon\to f$ が $L^2$ で成り立つ。(2) を $f_\varepsilon-f_\eta$ に当てると $(\nabla f_\varepsilon)$ は $L^2$ の Cauchy 列で、その極限を $h$ とすると、$\int f_\varepsilon\,\partial_j\varphi\,dx=-\int\partial_jf_\varepsilon\,\varphi\,dx$ の極限から $h$ は $f$ の弱勾配である。よって $f\in H^1(\mathbb R^n;\mathbb C^N)$ で、(2) は $f$ についても成り立つ。

段 4：大域化．$H^1$ を定める座標近傍 $\kappa_i$ と 1 の分割 $\chi_i$ について、コンパクト集合 $K_i:=\kappa_i(\operatorname{supp}\chi_i)$ を、段 2 の球 $B(x_{ik},r_{ik}/2)$ の有限個で覆い、1の分割 により台が $B(x_{ik},r_{ik}/2)$ に入り $K_i$ の上で和が $1$ となる滑らかな $\psi_{ik}$ をとる。$\phi:=(\psi_{ik}\circ\kappa_i)\chi_i$ は台が座標近傍に入る滑らかな関数で、滑らかな試験形式 $\varphi$ について $\phi\,\delta\varphi=\delta(\phi\varphi)+e(d\phi)^*\varphi$（$d(\phi\omega)=\phi\,d\omega+d\phi\wedge\omega$ の形式的随伴をとる）と $\phi\,d\varphi=d(\phi\varphi)-d\phi\wedge\varphi$ が成り立つことから、弱い意味で $d(\phi u)=\phi\,du+d\phi\wedge u$、$\delta(\phi u)=\phi\,\delta u-e(d\phi)^*u$ であり、どちらも $L^2$ で $C(\|u\|+\|du\|+\|\delta u\|)$ 以下のノルムをもつ。座標では、この弱い意味の $(d,\delta)$ は $P$ を超関数に施したものに一致する（試験形式の台を座標近傍に限り、$\delta$ が $d$ の形式的随伴であることを使う）。よって段 3 を $f_{ik}:=\psi_{ik}\cdot(\chi_iu\text{ の成分})$ に当てられ、$\|f_{ik}\|_{H^1}\le C(\|u\|+\|du\|+\|\delta u\|)$ である（ユークリッドと Riemann の $L^2$ ノルムはコンパクト集合の上で比べられる）。$\chi_iu$ の成分は有限和 $\sum_kf_{ik}$ なので、$u\in H^1(M,\Lambda^q)$ と評価を得る。$\square$

この命題は、楕円正則性 の定理「閉多様体上の楕円正則性」を 1 階の楕円型作用素 $d+\delta$ に当てたときの $k=0$ の場合にもあたる。

prop-ellcx-de-rham-h1 の証明の段 1 だけを取り替え、段 2〜4 を $P:=(\bar\partial,\vartheta)$ と、正則座標・$F$ の正則な局所枠から作った枠 $dz^I\wedge d\bar z^J\otimes s_k$ に当てればよい。$\Lambda^{p,q}\otimes F$ の計量は、$\Lambda^{1,0}_x$ のユニタリ基底 $\theta^1,\dots,\theta^n$ と $F_x$ の正規直交基底 $s_k$ について $\theta^I\wedge\bar\theta^J\otimes s_k$ が正規直交になるものとする（各 $(p,q)$ ごとに正の定数倍だけ違う流儀もあるが、定数 $C$ が変わるだけである）。

段 1 の取り替え．prop-ellcx-dolbeault と 楕円型作用素 の命題「形式的随伴の主表象」により、$P$ の主表象は $\sigma(x,\xi)=(e(\eta),-e(\eta)^*)$（$\eta:=\xi^{0,1}$、$e(\eta)a:=\eta\wedge a$。$F$ の因子には恒等写像で働く）である。$\eta\neq0$ なら、$\Lambda^{0,1}_x$ の正規直交基底を $\eta/|\eta|$ から始めてとり、その複素共役を $\theta^1,\dots,\theta^n$ とすれば $\bar\theta^1=\eta/|\eta|$ である。$a$ を添字 $1$ を $J$ に含む部分と含まない部分に分けて $a=\bar\theta^1\wedge\beta+\gamma$ と書けば、段 1 と同じ計算で $|e(\eta)a|^2+|e(\eta)^*a|^2=|\eta|^2|a|^2$ を得る。実余接ベクトル $\xi\mapsto\xi^{0,1}$ は実線形な単射なので（prop-ellcx-dolbeault の証明の「完全性」）、単位余接ベクトルの全体（$X$ がコンパクトなのでコンパクト）の上の連続関数 $|\xi^{0,1}|$ は正の最小値 $c$ をもち、$|\sigma(x,\xi)a|^2\ge c^2|\xi|^2|a|^2$ である。段 2 ではこの不等式を (1) の代わりに使う。$\square$