∞圏のホモトピー圏
概要
∞圏のホモトピー圏（homotopy category of an ∞-category）とは、射をホモトピーで同一視して得られる通常の圏である。合成や対象の同値を通常の圏の言葉で扱える一方、射の間の高次の変形は忘れられる。
定義
∞圏のホモトピー圏は、射をホモトピーで同一視して得られる通常の圏である。合成や同型を通常の圏の言葉で調べる入口になるが、射の間の変形そのものは保持しない。
準圏 $C$ とは、内角 $\Lambda_i^n\to C$ が $0< i< n$ のとき $\Delta^n$ へ延長できる単体的集合である。頂点を対象、辺を射と呼ぶ。$\Delta^2\to C$ の辺を $f\colon x\to y$, $g\colon y\to z$, $h\colon x\to z$ と読むと、この2単体は $h$ を $g$ と $f$ の合成として指定するデータである。
準圏 $C$ の ホモトピー圏 $hC$ は、対象を $C$ の頂点、射集合を
$$
\operatorname{Hom}_{hC}(x,y)=\pi_0\operatorname{Map}_C(x,y)
$$
とする通常の圏である。ここで写像空間（写像空間(∞圏)）の $n$ 単体は、端の列をそれぞれ $x,y$ に固定した写像 $\Delta^n\times\Delta^1\to C$ であり、$\pi_0$ は辺で結ばれる関係が生成する同値類の集合である。
合成は、代表辺 $f,g$ を境界の一部に持つ2単体を選び、その長辺 $h$ の類として $[g]\circ[f]=[h]$ と定める。恒等射は退化辺 $\operatorname{id}_x$ の類である。
上の合成と恒等射により $hC$ は通常の圏になる。すなわち、合成 $[g]\circ[f]$ は代表辺 $f,g$ と2単体の選択によらず定まり、単位律と結合律を満たす。
合成の選択および代表辺への非依存性、および単位律は、3単体の内角を充填して二つの長辺をホモトピーで結ぶことから従う。これは圏の定義を成立させる重要な基礎補題であり、HTT09 §1.2.3、とくに命題1.2.3.5, 1.2.3.7–1.2.3.9 に証明されている。本記事ではこれを引用し、結合律だけを次に示す。単に任意のグラフをホモトピーで割っただけでは、この構造は得られない。
$f\colon x_0\to x_1$, $g\colon x_1\to x_2$, $k\colon x_2\to x_3$ を取る。面 $012$ で $g f$、面 $123$ で $k g$ を選び、面 $023$ で $k(g f)$ を選ぶ。この三面は内角 $\Lambda_2^3$ を作るので、3単体へ延長できる。残る面 $013$ は同じ長辺 $03$ を $(k g)f$ の合成として表す。したがって $[k]([g][f])=([k][g])[f]$ である。合成が選択に依存しないという前述の補題と合わせ、結合律を得る。
例
通常の圏 $A$ の脈体 $N(A)$ では、$n$ 単体は $n$ 本の合成可能な射の列である。このとき $hN(A)\cong A$ が成り立つ。
端を固定した $[n]\times[1]\to A$ は一本の射 $x\to y$ を各位置に置く関手なので、$\operatorname{Map}_{N(A)}(x,y)$ は $\operatorname{Hom}_A(x,y)$ に対応する離散単体集合である。よって $\pi_0$ を取っても射は同一視されない。また脈体の2単体の長辺は $A$ の合成そのものだから、合成と恒等射も一致する。
同値の辺と関手
辺 $f\colon x\to y$ が $C$ の 同値 であるとは、$[f]$ が $hC$ の同型であることをいう。つまり、ある辺 $g\colon y\to x$ に対し、$[g][f]=[\operatorname{id}_x]$, $[f][g]=[\operatorname{id}_y]$ となることである。
逆は辺の厳密な等式として要求しない。∞圏で対象を「同じ」とみなす際に使うのは、この同値である。一方、∞圏そのものの同値（圏同値(∞圏)）は全写像空間の情報を保つ必要があり、$hC$ だけで判定できるとは限らない。
準圏の関手、すなわち単体写像 $F\colon C\to D$ は、通常の関手 $hF\colon hC\to hD$ を誘導し、同値の辺を同値の辺へ送る。
端固定の円柱に $F$ を後合成すると、$\operatorname{Map}_C(x,y)\to\operatorname{Map}_D(Fx,Fy)$ を得る。これは連結成分の写像を誘導する。$F$ は2単体と退化辺を保つので、合成と恒等射を保つ。通常の関手は同型を保つから、同値の辺も保たれる。
$M=N(\mathbb Z)$ を整数群の一対象亜群の脈体とする。二対象の単体的豊穣圏 $A_M$ で、$0$ から $1$ への Hom だけを $M$、各自己 Hom を一点、$1$ から $0$ への Hom を空とし、合成は単位で定める。すべての Hom はKan複体である。$C=N_{\mathrm{hc}}(A_M)$ から $N([1])$ への関手は $M$ を一点に潰して得られる。$M$ は連結なので $hC\to[1]$ は同型だが、写像空間上では $M\to\Delta^0$ となり、基本群 $\pi_1(M)=\mathbb Z$ を失う。したがって元の関手は充満忠実（充満忠実関手(∞圏)）でなく、∞圏の同値ではない。
豊穣モデルから見た意味
単体的豊穣圏 $A$ が局所Kanなら
$$
\operatorname{Hom}_{hN_{\mathrm{hc}}(A)}(x,y)
\cong\pi_0 A(x,y)
$$
となり、この全単射は合成を保つ。基礎は HTT09 Proposition 1.1.5.10 と Theorem 2.2.0.1 の写像空間比較である。任意の豊穣圏でそのまま準圏が得られるという主張ではない。
ホモトピー圏は、豊穣 Hom の各連結成分を一つの射へ圧縮する操作と理解できる。上の反例では $\pi_1(N(\mathbb Z))=\mathbb Z$ は、辺を整数で表し、2単体が関係 $[a][b]=[a+b]$ を与えることから分かる。この整数で測られる自己変形は、連結成分の集合には現れない。
「ホモトピー圏」という名前は、複体と鎖ホモトピーから作るホモトピー圏 $K(A)$ にも用いられる。ここでは任意の準圏に対する操作 $C\mapsto hC$ を扱っており、特定の複体の圏を指していない。
関連項目
参考文献
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