線形独立
概要
線形独立（linear independence）とは、体 $K$ 上のベクトル空間のベクトルの族 $v_1,\ldots,v_n$ について、$a_1v_1+\cdots+a_nv_n=0$ を満たす係数が $a_1=\cdots=a_n=0$ に限ることであり、無限族ではすべての有限部分族が独立であることをいう。これは、どのベクトルも残りの線形包に入らないこと、線形結合の表示が一意であること、係数空間からの写像 $K^n\to V$ が単射であることと同値である。独立性は部分族と単射線形写像で保たれ、極大な独立集合は基底であり、独立集合の鎖の合併も独立である。係数体を替えると独立性は変わりうる（$1,i$ は $\mathbb R$ 上独立だが $\mathbb C$ 上従属）ので、二つずつ独立でも全体が従属な例などに注意が要る。
体 $K$ 上のベクトル空間のベクトルの族 $v_1,\ldots,v_n$ が線形独立であるとは、$a_1v_1+\cdots+a_nv_n=0$ を満たす係数 $a_1,\ldots,a_n\in K$ がすべて $0$ のものしかないことをいう。直観的には、どのベクトルも残りのベクトルの線形結合として書けない、つまり余分なものを含まない族である。基底や次元を考える出発点になる。たとえば平面 $\mathbb{R}^2$ のベクトル $(1,0)$ と $(0,1)$ は線形独立だが、$(1,2)$ と $(2,4)$ は $2(1,2)-(2,4)=0$ により線形独立でない。
定義
任意の集合 $I$ で添字付けられた族 $(v_i)_{i\in I}$ は、すべての有限部分族が線形独立であるとき線形独立という。同値に、有限台（自由加群）の係数族 $(a_i)_{i\in I}$ について
$$
\sum_{i\in I}a_iv_i=0
\quad\Longrightarrow\quad
a_i=0\quad(i\in I)
$$
が成り立つことである。純粋なベクトル空間では無限和を使わず、線形関係は常に有限個のベクトルだけを含む。DF04
空族は線形独立と約束する。一方、零ベクトル（ベクトル空間）を含む族は、係数 $1$ を零ベクトルに掛け、他の係数を零にすれば非自明な線形関係が得られるので線形従属である。
集合 $S\subset V$ が線形独立であるとは、族 $(s)_{s\in S}$（各元をそれ自身で添字付けた族）が線形独立であることをいう。
直感
ベクトルを材料、係数をレシピと考える。与えられたベクトルから何を作れるかを問うのが線形包であり、同じ完成品を異なるレシピで作れてしまうかを問うのが線形独立である。材料の一つが他の材料の線形結合なら、その材料は新しい方向を加えておらず、レシピには重複がある。
線形独立性には三つの等価な読み方がある。
- 関係がない: 零を作る線形関係は、すべての係数が零の場合だけである。
- 余分な材料がない: 各 $v_j$ は、残りのベクトルの線形包に入らない。
- 座標が衝突しない: 同じベクトルを二通りの係数で表すことはできない。
二つの表示
$$ a_1v_1+\cdots+a_nv_n=b_1v_1+\cdots+b_nv_n $$
があれば、差を取って
$$ (a_1-b_1)v_1+\cdots+(a_n-b_n)v_n=0 $$
という線形関係が生じる。「零の自明な表示しかない」という一点の条件が、すべての線形結合表示の一意性を支配する。
生成が「必要なものを全部作れるか」という充足性を測るのに対し、独立性は「余分な材料がないか」という非冗長性を測る。両方を同時に満たす族が基底であり、そのとき各ベクトルは一意な座標を持つ。
有限族 $v_1,\ldots,v_n$ から線形写像
$$ T\colon K^n\to V, \qquad T(a_1,\ldots,a_n):=\sum_{i=1}^n a_iv_i $$
を作ると、線形独立性は $\ker T=\{0\}$、すなわち $T$ の単射性そのものである。列ベクトルを並べた行列で考える場合は、独立性の判定が斉次連立1次方程式の解空間、つまり核の計算へ翻訳される。
係数体は定義の一部である。同じ対象の族でも、許す係数を増やすと新しい線形関係が現れることがある。「何に関して独立か」を省略してよいのは、基礎体が文脈から明白な場合だけである。DF04
例
$K^n$ の標準基底をなすベクトル $e_1,\ldots,e_n$ は線形独立である。実際、
$$
a_1e_1+\cdots+a_ne_n=(a_1,\ldots,a_n)=0
$$
なら、各成分を比較して $a_1=\cdots=a_n=0$ となる。
$\mathbb R$ 上の $C^\infty$ 級関数の空間において、相異なる実数 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ に対する関数
$$
e^{\lambda_1x},\ldots,e^{\lambda_nx}
$$
は線形独立である（この等式は関数として、すなわちすべての $x$ で成り立つという意味である）。$x=0$ における $0$ 次から $n-1$ 次までの導関数を比較するとVandermonde行列が現れ、その行列式が非零になる。非零性は Vandermonde行列の記事の定理「Vandermonde の行列式の公式」から従う。
$\mathbb C$（複素数全体）を実ベクトル空間とみると $1,i$ は $\mathbb R$ 上線形独立である。しかし $\mathbb C$ 上では
$$
i\cdot1-1\cdot i=0
$$
という非自明な関係があるため線形従属である。
$\mathbb R$ を $\mathbb Q$ 上のベクトル空間とみると、$\{1,\sqrt2\}$ は線形独立である（$\sqrt2$ が無理数であることによる）。実際 $a+b\sqrt2=0$（$a,b\in\mathbb Q$）で $b\neq0$ なら $\sqrt2=-a/b\in\mathbb Q$ となり $\sqrt2$ の無理性に反するから $a=b=0$ である。また $\mathbb R$ は $\mathbb Q$ 上無限次元である。有限次元なら、有限基底に関する有理数係数の組全体 $\mathbb Q^n$ から全射があり可算となるが、実数全体は非可算なので矛盾する。
族に同じベクトル $v$ が二度現れれば $1\cdot v+(-1)\cdot v=0$ という非自明な関係がある。また零ベクトルを含めば $1\cdot0=0$ が非自明な関係になる。集合として同じ元を重複なく扱う場合と、添字付きの族として扱う場合を区別する必要がある。
性質
有限族 $v_1,\ldots,v_n$ について、次は同値である。
- $v_1,\ldots,v_n$ は線形独立である。
- 各 $j$ について $v_j\notin\operatorname{span}\{v_i\mid i\ne j\}$。
- $\operatorname{span}\{v_1,\ldots,v_n\}$ の各元は、この族の線形結合として一意に表される。
- 写像 $T\colon K^n\to V$, $T(a_1,\ldots,a_n)=\sum a_iv_i$ は単射である。
DF04
(1)から(2)を示す。もし $v_j=\sum_{i\ne j}a_iv_i$ なら
$$
1\cdot v_j-\sum_{i\ne j}a_iv_i=0
$$
は非自明な関係となる。逆に非自明な関係 $\sum a_iv_i=0$ があり $a_j\ne0$ なら、体の非零元は可逆なので
$$
v_j=-a_j^{-1}\sum_{i\ne j}a_iv_i
$$
となり(2)に反する。よって(1)と(2)は同値である。
(1)なら二つの表示の差に独立性を適用して係数が一致し、(3)を得る。逆に(3)が成り立てば零ベクトルの表示は全係数零の表示と一致するしかないので(1)を得る。
最後に $\ker T$ は
$$
\left\{(a_i)\in K^n\mid\sum a_iv_i=0\right\}
$$
である。従って(1)は $\ker T=\{0\}$、すなわち(4)と同値である。 $\square$
線形独立な族の任意の部分族は線形独立である。DF04
部分族に非自明な有限線形関係があれば、元の族の残りの係数をすべて零とすることで、元の族にも非自明な有限線形関係が得られる。これは元の族の独立性に反する。 $\square$
$v\in\operatorname{span}(S)$ なら、その表示を左辺へ移して $v$ の係数が $1$ の非自明な関係を得る。逆に $v\notin\operatorname{span}(S)$ とし、
$$
av+\sum_{s\in F}a_ss=0
$$
という有限線形関係を取る。もし $a\ne0$ なら $v=-a^{-1}\sum_{s\in F}a_ss\in\operatorname{span}(S)$ となり矛盾する。よって $a=0$ であり、残りの係数も $S$ の独立性からすべて零である。 $\square$
ここでは $v\notin S$ が必要である。既に $v\in S$ ならば $S\cup\{v\}=S$ は線形独立のままだが、$v\in\operatorname{span}(S)$ となる。集合への追加と、同じベクトルの再出現を許す添字付きの族への追加を区別する。
線形独立集合 $S\subset V$ が（包含関係に関して）極大であることと、$S$ が $V$ の基底であることは同値である。
$S$ が基底なら $S$ は $V$ を生成するので、任意の $v\in V\setminus S$ は $\operatorname{span}(S)$ に属し、prop-linear-independence-adjoinにより $S\cup\{v\}$ は線形独立でない。よって $S$ は極大である。逆に $S$ が極大な線形独立集合とし、$v\in V\setminus S$ を任意にとると、$S$ の極大性から $S\cup\{v\}$ は線形独立でなく、prop-linear-independence-adjoin（の対偶）により $v\in\operatorname{span}(S)$ である。したがって $V=\operatorname{span}(S)$ であり、$S$ は線形独立な生成系、すなわち基底である。 $\square$
$V$ を有限個のベクトルで生成されるベクトル空間とし、$\{w_1,\ldots,w_m\}$ を線形独立な部分集合、$\{u_1,\ldots,u_n\}$ を $V$ の生成系とする。このとき $m\leq n$ であり、$\{u_1,\ldots,u_n\}$ のうち $m$ 個を $w_1,\ldots,w_m$ と置き換え、残りの $n-m$ 個と合わせて再び $V$ の生成系にできる。
この補題は DF04 §11.1 の Corollary 2 と Theorem 3（pp.410–411）から従う。まず生成系から基底を選び、その基底の $m$ 個を独立な $w_1,\ldots,w_m$ で置き換え、初めに除いた生成元を戻せば上の言明を得る。交換の証明自体は同書に譲る（この記事では証明しない）。基底の元の個数の一意性は 基底 の定理「次元の一意性」を参照する。Steinitzの交換補題 は、この補題を扱う独立記事の題である。
単射線形写像 $T\colon V\to W$ は線形独立な族を線形独立な族へ送る。DF04
$(v_i)$ を線形独立とし、有限関係 $\sum a_iT(v_i)=0$ を取る。線形性から $T(\sum a_iv_i)=0$ である。$T$ は単射なので $\sum a_iv_i=0$、元の族の独立性からすべての $a_i=0$ となる。 $\square$
分野ごとの使われ方
- 線形代数: 基底・次元・階数(線形代数)の基礎になる。行列の列の独立性は核、固有ベクトル（固有値）の独立性は対角化へつながる。
- 代数学: 体の拡大 $L/K$ の元 $\alpha$ が $K$ 上代数的なら、$1,\alpha,\alpha^2,\ldots$ の非自明な有限線形関係があり、これに対応する零化多項式のうち次数最小のモニックなものが最小多項式(体論)である。加群でも独立性は定義できるが、非零スカラーが可逆元でない（体でない）と同値条件は崩れる：$\mathbb Z$ 上で $\{2,3\}\subset\mathbb Z$ は $3\cdot2-2\cdot3=0$ で従属だが互いに他方の生成する部分加群に入らない。また捩れ元（$\mathbb Z/n\mathbb Z$ の任意の元は $n\cdot x=0$）は単独で従属になる。環が零因子を持つ場合（$\mathbb Z/n\mathbb Z$ で $n$ が合成数のときなど）はこの現象がさらに顕著になる。DF04
- 解析学: 関数族の独立性は微分方程式の解空間、Fourier解析、特殊関数で現れる。ただし代数的線形独立性は有限和だけを見るため、無限級数による関係や閉包とは区別する。
- 幾何学: 接ベクトルの独立性は局所座標や部分多様体の次元を表す。微分の階数は像に現れる独立な方向の数として読める。
- 組合せ論: 線形マトロイドは、ベクトル族のどの部分族が独立かという情報を抽象化し、交換性を共通公理として取り出す。
線形代数へ進むなら基底と次元（基底と次元）を、体論へ進むなら最小多項式(体論)を、組合せ論へ進むなら線形マトロイドを読むとよい。
具体的な線形関係を探す
独立性の判定では、いきなり係数を計算する前に、ベクトルのどの成分や関数のどの値を使えば関係をほどけるかを考える。特定の成分を取る操作や、関数を一点で評価する操作は線形写像である。仮定した零の線形関係にこれらを適用し、係数だけの連立方程式を作ると、もとの対象の複雑さを避けられる。
$v_1,\ldots,v_n\in V$ と線形汎関数 $\ell_1,\ldots,\ell_n:V\to K$ を取る。行列 $C=(\ell_j(v_i))_{j,i}$ が可逆なら、$v_1,\ldots,v_n$ は線形独立である。
$\sum_i a_iv_i=0$ を仮定する。各 $\ell_j$ を適用すると線形性から $\sum_i a_i\ell_j(v_i)=0$ となる。この $n$ 本の式は $Ca=0$ とまとめられる。$C$ が可逆なので左から $C^{-1}$ を掛けると $a=0$ である。従ってすべての係数が零である。$\square$
たとえば実数上の関数 $1,x,x^2$ に対し、$x=0,1,-1$ で評価すると係数の行列は
$$
C=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix}
$$
となり、行列式は $2$ である。よってこの関数族は実数上で独立である。同じ計算を標数 $2$ の体でそのまま使うことはできない。$1=-1$ となって二つの評価点が一致するからである。評価点の相異性と係数体は、判定行列を作る際の仮定の一部となる。
対ごとの独立性では不足する
$K^2$ で $v_1=(1,0)$、$v_2=(0,1)$、$v_3=(1,1)$ とする。$v_1,v_2$ の独立性は成分比較から従う。$av_1+bv_3=(a+b,b)=0$ なら $b=0,a=0$、$av_2+bv_3=(b,a+b)=0$ なら $b=0,a=0$ なので、残りのどの二つも独立である。しかし $v_1+v_2-v_3=0$ は三つの非自明な関係である。これは任意の体で成立し、標数 $2$ でも $-1=1\ne0$ なので関係は非自明である。
線形独立な無限族の定義では、すべての有限部分族を調べるのであって、二つずつの比較に限らない。この反例の三つの関係を無限族へ含めれば、その無限族も従属になる。また無限族が従属なら、定義によって既に有限個の元に非自明な関係がある。純粋な線形代数では、従属性の失敗を検出するために無限和を導入する必要はない。
有向な合併と有限支持
包含関係で全順序に並ぶ線形独立部分集合の族の合併は、線形独立である。
合併の有限部分集合 $\{v_1,\ldots,v_r\}$ を取る。各 $v_i$ を含む族の集合を選ぶ。有限個の集合は包含関係で全順序に並ぶから、それらのうち最大の一つが存在し、すべての $v_i$ を含む。この集合は線形独立なので、これらの元の零の線形関係の係数はすべて零である。合併の任意の有限部分に適用できるため合併は独立である。空の族の合併は空集合であり、定義通り独立である。$\square$
全順序という条件を外すと、独立な集合の合併は独立とは限らない。$K^2$ の $S=\{(1,0),(0,1)\}$ と $T=\{(1,1)\}$ はそれぞれ独立だが、上の例で示したとおり合併は従属である。鎖の合併の証明では、有限関係のすべての元を一つの独立集合の内部へ集める段階が本質である。
多項式と多項式関数
形式的な多項式の等式と、各点での値が一致するという関数の等式は、係数体によっては異なる。体 $\mathbb F_2=\{0,1\}$ 上では零でない多項式 $x^2-x$ が、両方の点で零になる。従って形式的な多項式 $x,x^2$ は $\mathbb F_2[x]$ 内で独立だが、$\mathbb F_2$ 上の関数としては同じ関数であり従属である。既存の単項式の例の証明で使っていたのは、多項式の係数の一意性であって、有限集合上の値の一意性ではない。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| すべての有限部分族への条件 | $(1,0),(0,1),(1,1)$ | 二つずつ独立でも全体は従属 |
| 合併する集合の包含の比較可能性 | 上の $S,T$ | 独立集合の合併が独立とは限らない |
| 係数体の固定 | $1,i$ を実数係数から複素数係数へ移す | 独立性が保たれるとは限らない |
| 形式的な係数の比較 | $\mathbb F_2$ 上の $x,x^2$ の関数 | 形式的多項式の独立性と関数の独立性が一致しない |
関連項目
参考文献
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