軟化子
概要
軟化子（mollifier）とは、$\mathbb{R}^n$ 上の $C^\infty$ 級関数 $\rho\ge0$ で、台が単位閉球に入り積分が $1$ のものであり、縮めた $\rho_\varepsilon$ との畳み込みで関数を滑らかな関数に近似する道具である。$\varepsilon\to0$ のとき $\rho_\varepsilon*f$ は、$f$ が連続ならコンパクト集合の上で一様に、$f\in L^p$（$1\le p<\infty$）なら $L^p$ ノルムで $f$ に収束する。ここから $C_c^\infty(\Omega)$ の $L^p(\Omega)$ での稠密性、変分法の基本補題、Sobolev 関数の滑らかな近似が導かれる。
前提知識: Lebesgue積分, Lp空間, 畳み込み, 隆起関数
微分できない関数や不連続な関数を、小さな範囲で平均すると滑らかな関数になる。重みとして使う、台が小さく積分が $1$ の滑らかな非負関数が軟化子（mollifier）である。軟化子との畳み込み $\rho_\varepsilon*f$ は何回でも微分でき、$\varepsilon\to0$ で $f$ に近づく。この「滑らかにして極限をとる」操作によって、$L^p$ 関数を台がコンパクトな滑らかな関数で近似でき、弱微分についての主張を滑らかな関数についての主張に帰着できる。Sobolev空間の基本事項 や Weylの補題 の証明はこの操作に支えられている。
定義
以下 $n\ge1$ とし、$\mathbb{R}^n$ に Lebesgue 測度を入れる。関数は実数値または複素数値とする。$B(x,r)$、$\overline B(x,r)$ はそれぞれ開球・閉球を表す。
$\rho\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ が軟化子であるとは、
$$
\rho\ge0,\qquad \operatorname{supp}\rho\subset\overline B(0,1),\qquad \int_{\mathbb{R}^n}\rho\,dx=1
$$
をみたすことをいう。$\varepsilon>0$ について $\rho_\varepsilon(x):=\varepsilon^{-n}\rho(x/\varepsilon)$ とおく。$f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$ に対し
$$
(\rho_\varepsilon*f)(x):=\int_{\mathbb{R}^n}\rho_\varepsilon(x-y)\,f(y)\,dy
$$
を $f$ の軟化（mollification）という。
変数変換 $x=\varepsilon z$ により、$\rho_\varepsilon$ も $\rho_\varepsilon\ge0$、$\operatorname{supp}\rho_\varepsilon\subset\overline B(0,\varepsilon)$、$\int\rho_\varepsilon=1$ をみたす。被積分関数は $y\in\overline B(x,\varepsilon)$ の外で $0$ なので、$f$ が局所可積分なら積分はすべての $x$ で絶対収束する。
文献によって細部が異なる。$\rho_k\ge0$、$\operatorname{supp}\rho_k\subset B(0,1/k)$、$\int\rho_k=1$ をみたす $C_c^\infty$ 関数の列 $(\rho_k)_{k\ge1}$ を「軟化子の列」と呼ぶ流儀Bre11（$\operatorname{supp}\rho\subset B(0,1)$ なら $\rho_{1/k}$ はその例）、$\rho$ が $|x|$ だけで決まること（球対称）を課す流儀（Weylの補題 の定義「軟化子」）、$\rho$ の台を開球に入れる流儀がある。この記事の主張はどの流儀でも同じに成り立つ。人名を付けて Friedrichs の軟化子ともいう。また 畳み込み の記事は定数 $(2\pi)^{-d/2}$ を付けた畳み込みを使うが、この記事の $*$ には定数を付けない。
$$
\rho(x):=\begin{cases}c\,\exp\Bigl(-\dfrac{1}{1-|x|^2}\Bigr)&(|x|<1)\\[1ex]0&(|x|\ge1)\end{cases}
$$
は、定数 $c>0$ を積分が $1$ になるように選べば軟化子である。$\rho(x)=c\,h(1-|x|^2)$ と書ける。ここで $h$ は 隆起関数 の例「平らに立ち上がる関数」の $h(t)=e^{-1/t}$（$t>0$）、$h(t)=0$（$t\le0$）であり、$C^\infty$ 級の $h$ と多項式 $1-|x|^2$ の合成なので $\rho$ は $C^\infty$ 級である。この $\rho$ は開球 $B(0,1)$ の上で正である。
開集合 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ の上の関数を扱うときは、Weylの補題 と同じく $\Omega_\varepsilon:=\{x\in\Omega\mid\overline B(x,\varepsilon)\subset\Omega\}$ とおき、$f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ に対し
$$
f_\varepsilon(x):=\int_\Omega\rho_\varepsilon(x-y)\,f(y)\,dy\qquad(x\in\Omega_\varepsilon)
$$
と定める。$f$ を $\Omega$ の外で $0$ と延ばした関数を $\tilde f$ とすると、$\Omega_\varepsilon$ の上で $f_\varepsilon=\rho_\varepsilon*\tilde f$ である。$\Omega_\varepsilon$ は開集合で、$\varepsilon$ が小さくなると大きくなり、和集合は $\Omega$ である。
滑らかさと台
$f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$ の台 $\operatorname{supp}f$ を、$f=0$ がほとんど至る所で成り立つ開集合すべての和集合の補集合と定める。和集合の上でも $f=0$ はほとんど至る所で成り立つ（$\mathbb{R}^n$ の開集合の族の和集合は、その可算個の和集合に等しいため）。
$f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$、$\varepsilon>0$ とする。
- $\rho_\varepsilon*f\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ であり、各多重指数 $\alpha$ について $\partial^\alpha(\rho_\varepsilon*f)=(\partial^\alpha\rho_\varepsilon)*f$ である。
- $\operatorname{supp}(\rho_\varepsilon*f)\subset\operatorname{supp}f+\overline B(0,\varepsilon)$ である。とくに $f$ の台がコンパクトなら $\rho_\varepsilon*f\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ である。
- $1\le p\le\infty$、$f\in L^p(\mathbb{R}^n)$ なら $\|\rho_\varepsilon*f\|_p\le\|f\|_p$ である。
- $f$ が実数値で、ほとんど至る所 $m\le f\le M$ なら、$m\le\rho_\varepsilon*f\le M$ である。とくに $f\ge0$ なら $\rho_\varepsilon*f\ge0$ である。
1 は積分記号下の微分による（Weylの補題 の補題「軟化の基本性質」の 1 と同じ議論で、球対称性は使わない）。
1 の証明を開く
$x_0\in\mathbb{R}^n$ を固定する。$|x-x_0|<1$ なら $y\mapsto\rho_\varepsilon(x-y)$ の台はコンパクト集合 $L:=\overline B(x_0,\varepsilon+1)$ に入る。$\beta$ を多重指数、$e_i$ を第 $i$ 単位ベクトルとすると、$0<|t|<1-|x-x_0|$ で差分商 $\bigl(\partial^\beta\rho_\varepsilon(x+te_i-y)-\partial^\beta\rho_\varepsilon(x-y)\bigr)/t$ は平均値の定理により $\sup|\partial_i\partial^\beta\rho_\varepsilon|\cdot\mathbf 1_L(y)$ で押さえられ、$t\to0$ で $\partial_i\partial^\beta\rho_\varepsilon(x-y)$ に収束する。$f$ は $L$ の上で可積分なので、優収束定理により積分記号の下で微分でき、$\beta$ についての帰納法で $\partial^\alpha(\rho_\varepsilon*f)=(\partial^\alpha\rho_\varepsilon)*f$ を得る。右辺が $x$ について連続であることも、$\partial^\alpha\rho_\varepsilon$ の一様連続性と同じ評価から分かる。
2．$F:=\operatorname{supp}f+\overline B(0,\varepsilon)$ は閉集合とコンパクト集合の和なので閉集合である。$x\notin F$ なら $\overline B(x,\varepsilon)$ は $\operatorname{supp}f$ と交わらないので、$f=0$ が $\overline B(x,\varepsilon)$ の上でほとんど至る所成り立ち、被積分関数 $\rho_\varepsilon(x-y)f(y)$ はほとんどすべての $y$ で $0$ である。よって $\rho_\varepsilon*f$ は開集合 $F^c$ の上で $0$ であり、台は $F$ に入る。
3．$p=\infty$ なら $|\rho_\varepsilon*f(x)|\le\|f\|_\infty\int\rho_\varepsilon=\|f\|_\infty$ である。$1\le p<\infty$ とする。$\rho_\varepsilon(x-y)\,dy$ は全測度 $1$ の測度なので、関数 $t\mapsto t^p$ の凸性（Jensen の不等式、または Hölderの不等式）により
$$ |\rho_\varepsilon*f(x)|^p\le\Bigl(\int\rho_\varepsilon(x-y)|f(y)|\,dy\Bigr)^p\le\int\rho_\varepsilon(x-y)|f(y)|^p\,dy $$
である。$x$ について積分し、非負関数なので Tonelli の定理で順序を入れ替えると、右辺の積分は $\int|f(y)|^p\bigl(\int\rho_\varepsilon(x-y)\,dx\bigr)dy=\|f\|_p^p$ になる。
4．$\rho_\varepsilon*f(x)-m=\int\rho_\varepsilon(x-y)\bigl(f(y)-m\bigr)\,dy\ge0$ であり、上からの評価も同じである。$\square$
$n=1$ とし、$H$ を Heaviside 関数（$x<0$ で $0$、$x\ge0$ で $1$）とする。$y=x-\varepsilon z$ と変数変換すると
$$
(\rho_\varepsilon*H)(x)=\int_0^\infty\rho_\varepsilon(x-y)\,dy=\int_{-\infty}^{x/\varepsilon}\rho(z)\,dz
$$
である。これは $C^\infty$ 級の単調増加関数で、$x\le-\varepsilon$ で $0$、$x\ge\varepsilon$ で $1$ になる。跳躍が幅 $2\varepsilon$ の滑らかな坂に置き換わり、$\varepsilon\to0$ で坂は急になる（隆起関数 の例「滑らかな階段関数」と同じ形の関数が得られる）。
軟化による近似
この記事の主定理は、$\varepsilon\to0$ のとき $\rho_\varepsilon*f$ が $f$ に近づくことである。近づき方は $f$ の属する空間で決まる。$L^p$ の場合の鍵は、平行移動の連続性である。$h\in\mathbb{R}^n$ について $(\tau_hf)(x):=f(x-h)$ と書く。
$1\le p<\infty$、$f\in L^p(\mathbb{R}^n)$ なら、$h\to0$ のとき $\|\tau_hf-f\|_p\to0$ である。
連続でコンパクトな台をもつ関数は $L^p(\mathbb{R}^n)$ で稠密である（Bre11 Theorem 4.12、p. 97。この記事では証明しない）。$\eta>0$ に対し $\|f-u\|_p<\eta$ となるそのような $u$ をとる。$|h|\le1$ なら $\tau_hu-u$ の台は $K:=\operatorname{supp}u+\overline B(0,1)$ に入り、$u$ は一様連続なので、$K$ の Lebesgue 測度を $\lambda(K)$ として $\|\tau_hu-u\|_p\le\lambda(K)^{1/p}\sup_x|u(x-h)-u(x)|\to0$ である。$\|\tau_hf-\tau_hu\|_p=\|f-u\|_p$ と合わせて $\limsup_{h\to0}\|\tau_hf-f\|_p\le2\eta$ であり、$\eta$ は任意である。$\square$
$\rho$ を軟化子とする。$\varepsilon\to0$ のとき次が成り立つ。
- $f\in C(\mathbb{R}^n)$ なら、$\rho_\varepsilon*f\to f$ は各コンパクト集合の上で一様である。$f$ が一様連続なら $\mathbb{R}^n$ 全体で一様である。
- $1\le p<\infty$、$f\in L^p(\mathbb{R}^n)$ なら、$\|\rho_\varepsilon*f-f\|_p\to0$ である。
- $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ を開集合、$1\le p<\infty$、$f\in L^p_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ とする。コンパクト集合 $K\subset\Omega$ を固定すると、十分小さい $\varepsilon$ で $K\subset\Omega_\varepsilon$ となり、$\|f_\varepsilon-f\|_{L^p(K)}\to0$ である。
どの場合も出発点は、$\int\rho_\varepsilon=1$ から従う等式
$$
(\rho_\varepsilon*f)(x)-f(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\rho_\varepsilon(y)\bigl(f(x-y)-f(x)\bigr)\,dy
$$
である。$\rho_\varepsilon(y)\,dy$ は全測度 $1$ で $\overline B(0,\varepsilon)$ に載った測度なので、右辺は「$f(x-y)-f(x)$ の $|y|\le\varepsilon$ での重み付き平均」である。
1．コンパクト集合 $K$ をとる。$f$ はコンパクト集合 $K+\overline B(0,1)$ の上で一様連続なので、$\omega(\varepsilon):=\sup\{|f(x-y)-f(x)|\mid x\in K,\ |y|\le\varepsilon\}$ は $\varepsilon\to0$ で $0$ に近づく（$\varepsilon\le1$）。上の等式から $\sup_{x\in K}|\rho_\varepsilon*f(x)-f(x)|\le\omega(\varepsilon)$ である。$f$ が一様連続なら $K$ を $\mathbb{R}^n$ に替えて同じ議論ができる。
2．prf-mollifier-basic の 3 と同じく凸性を使うと
$$
|\rho_\varepsilon*f(x)-f(x)|^p\le\int\rho_\varepsilon(y)\,|f(x-y)-f(x)|^p\,dy
$$
である。$x$ について積分し、Tonelli の定理で順序を入れ替えると
$$
\|\rho_\varepsilon*f-f\|_p^p\le\int\rho_\varepsilon(y)\,\|\tau_yf-f\|_p^p\,dy\le\sup_{|y|\le\varepsilon}\|\tau_yf-f\|_p^p
$$
を得る。右辺は lem-mollifier-translation により $0$ に近づく。
3．$\delta>0$ を、$\Omega\ne\mathbb{R}^n$ なら $K$ と $\Omega^c$ の距離の半分、$\Omega=\mathbb{R}^n$ なら $1$ とする。$L:=K+\overline B(0,\delta)$ は $\Omega$ に含まれるコンパクト集合で、$g:=f\mathbf 1_L$ は $L^p(\mathbb{R}^n)$ に属する。$\varepsilon<\delta$ なら $K\subset\Omega_\varepsilon$ であり、$x\in K$ での $f_\varepsilon(x)$ の積分は $y\in\overline B(x,\varepsilon)\subset L$ の範囲だけで決まるので $f_\varepsilon(x)=(\rho_\varepsilon*g)(x)$ である。$K$ の上では $f=g$ なので
$$
\|f_\varepsilon-f\|_{L^p(K)}=\|\rho_\varepsilon*g-g\|_{L^p(K)}\le\|\rho_\varepsilon*g-g\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}\to0
$$
である（2 による）。$\square$
$p=\infty$ では 2 は成り立たない。$L^\infty$ の元の軟化は連続関数だが、不連続な関数には連続関数で一様に近づけないからである（ex-mollifier-counter）。
$\Omega\subset\mathbb{R}^n$ を開集合、$1\le p<\infty$ とする。$C_c^\infty(\Omega)$ は $L^p(\Omega)$ で稠密である。
$f\in L^p(\Omega)$ とし、$\Omega$ の外で $0$ と延ばした関数を $\tilde f\in L^p(\mathbb{R}^n)$ とする。$k\ge1$ について
$$
K_k:=\{x\in\Omega\mid |x|\le k,\ \operatorname{dist}(x,\Omega^c)\ge2/k\}
$$
とおく（$\Omega=\mathbb{R}^n$ なら距離の条件はない）。$K_k$ は $\Omega$ に含まれるコンパクト集合で、$k$ について増加し、和集合は $\Omega$ である。$g_k:=\tilde f\mathbf 1_{K_k}$、$f_k:=\rho_{1/k}*g_k$ とおく。prop-mollifier-basic の 1・2 により $f_k$ は $C^\infty$ 級で、台は $K_k+\overline B(0,1/k)$ に入る。この集合は $\Omega^c$ から $1/k$ 以上離れたコンパクト集合なので、$f_k\in C_c^\infty(\Omega)$ である。prop-mollifier-basic の 3 により
$$
\|f_k-\tilde f\|_p\le\|\rho_{1/k}*(g_k-\tilde f)\|_p+\|\rho_{1/k}*\tilde f-\tilde f\|_p\le\|g_k-\tilde f\|_p+\|\rho_{1/k}*\tilde f-\tilde f\|_p
$$
であり、第 1 項は優収束定理により、第 2 項は thm-mollifier-approximation の 2 により $0$ に近づく。$\Omega$ の上に制限して $\|f_k-f\|_{L^p(\Omega)}\to0$ を得る。$\square$
$\Omega\subset\mathbb{R}^n$ を開集合、$u\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ とする。すべての $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ について $\int_\Omega u\varphi\,dx=0$ なら、$\Omega$ の上でほとんど至る所 $u=0$ である。
$x\in\Omega_\varepsilon$ なら $y\mapsto\rho_\varepsilon(x-y)$ は $C_c^\infty(\Omega)$ に属するので、仮定から $u_\varepsilon(x)=0$ である。コンパクト集合 $K\subset\Omega$ をとると、thm-mollifier-approximation の 3（$p=1$）により、十分小さい $\varepsilon$ で $u_\varepsilon=0$ が $K$ の上で成り立ち、$\|u\|_{L^1(K)}=\|u_\varepsilon-u\|_{L^1(K)}\to0$ である。よって $K$ の上でほとんど至る所 $u=0$ である。$\Omega$ は可算個のコンパクト集合（たとえば上の $K_k$）の和集合なので、主張が従う。$\square$
この系により、弱微分は存在すればほとんど至る所一意である（Sobolev空間の基本事項 の定義「弱微分」）。
弱微分との交換
軟化は微分と交換する。弱微分（Sobolev空間の基本事項 の定義「弱微分」）についてもそうであることが、Sobolev 空間の関数を滑らかな関数で近似するときの要になる。
$\Omega\subset\mathbb{R}^n$ を開集合、$u\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ とし、多重指数 $\alpha$ について弱微分 $v=\partial^\alpha u\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ が存在するとする。このとき $\Omega_\varepsilon$ の上で $\partial^\alpha(u_\varepsilon)=v_\varepsilon$ である。
$x\in\Omega_\varepsilon$ を固定し、$\varphi(y):=\rho_\varepsilon(x-y)$ とおくと $\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ で、連鎖律により $\partial^\alpha\varphi(y)=(-1)^{|\alpha|}(\partial^\alpha\rho_\varepsilon)(x-y)$ である。$\Omega_\varepsilon$ の上で $u_\varepsilon=\rho_\varepsilon*\tilde u$（$\tilde u$ は零延長）なので、prop-mollifier-basic の 1 と弱微分の定義から
$$
\partial^\alpha u_\varepsilon(x)=\int_\Omega u(y)(\partial^\alpha\rho_\varepsilon)(x-y)\,dy=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega u\,\partial^\alpha\varphi\,dy=\int_\Omega v\,\varphi\,dy=v_\varepsilon(x)
$$
である。$\square$
$k\ge0$、$1\le p<\infty$ とする。
- $u\in W^{k,p}(\mathbb{R}^n)$ なら、$\rho_\varepsilon*u\in C^\infty(\mathbb{R}^n)\cap W^{k,p}(\mathbb{R}^n)$ であり、$\varepsilon\to0$ で $\rho_\varepsilon*u\to u$ が $W^{k,p}(\mathbb{R}^n)$ のノルムで成り立つ。
- $\Omega$ を開集合、$u\in W^{k,p}(\Omega)$ とすると、各コンパクト集合 $K\subset\Omega$ と $|\alpha|\le k$ について $\|\partial^\alpha u_\varepsilon-\partial^\alpha u\|_{L^p(K)}\to0$ である。
prop-mollifier-weak-derivative により $|\alpha|\le k$ について $\partial^\alpha(\rho_\varepsilon*u)=\rho_\varepsilon*\partial^\alpha u$（1 では $\Omega=\mathbb{R}^n$、$\Omega_\varepsilon=\mathbb{R}^n$）、$\partial^\alpha u_\varepsilon=(\partial^\alpha u)_\varepsilon$ である。1 では prop-mollifier-basic の 3 から各 $\partial^\alpha(\rho_\varepsilon*u)$ が $L^p$ に入り、thm-mollifier-approximation の 2 を有限個の $\partial^\alpha u$ に当てればよい。2 は thm-mollifier-approximation の 3 を $\partial^\alpha u$ に当てればよい。$\square$
1 の $\rho_\varepsilon*u$ にさらに切り落とし関数を掛けると、$C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ が $W^{1,p}(\mathbb{R}^n)$ で稠密であることが示される（Bre11 Theorem 9.2、pp. 265–267）。一般の開集合 $\Omega$ で $C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ が稠密であること（Sobolev空間の基本事項 の定理「Meyers--Serrinの密度定理」）は、2 を 1 の分割と組み合わせて示される。
仮定を外したときの反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $p<\infty$（thm-mollifier-approximation の 2） | Heaviside 関数 $H\in L^\infty(\mathbb{R})$ | $\Vert\rho_\varepsilon*H-H\Vert_\infty\to0$ |
| $\rho\ge0$ | $\rho=2^{n+1}\rho_0(2x)-\rho_0(x)$（$\rho_0$ は標準的な軟化子） | $f\ge0\Rightarrow\rho_\varepsilon*f\ge0$ |
| $\rho$ の台がコンパクト | Gauss 関数 $\rho(x)=\pi^{-n/2}e^{-\lvert x\rvert^2}$ | $\operatorname{supp}(\rho_\varepsilon*f)\subset\operatorname{supp}f+\overline B(0,\varepsilon)$ |
| $\int\rho=1$ | $2\rho_0$ | $\rho_\varepsilon*f\to f$（極限は $2f$） |
| $f\in L^1_{\mathrm{loc}}$ | $f(x)=\lvert x\rvert^{-n}$（$f(0)=0$） | $\rho_\varepsilon*f$ が有限の値をとること |
1 行目：任意の連続関数 $g$ について $\|g-H\|_\infty\ge1/2$ である。実際 $c:=g(0)$ とおくと、どんな $\eta>0$ にも $|x|<\delta$ で $|g(x)-c|<\eta$ となる $\delta>0$ があり、$(-\delta,0)$ では $H=0$ なので $|g-H|>|c|-\eta$、$(0,\delta)$ では $H=1$ なので $|g-H|>|1-c|-\eta$ である。よって $\|g-H\|_\infty\ge\max(|c|,|1-c|)-\eta\ge1/2-\eta$ である。$\rho_\varepsilon*H$ は連続なので（ex-mollifier-heaviside）、$\|\rho_\varepsilon*H-H\|_\infty\ge1/2$ である。
2 行目：$\rho$ は $C_c^\infty$ 級、台は $\overline B(0,1)$ に入り、$\int\rho=2-1=1$ である。$\rho_0$ は開球 $B(0,1)$ で正なので、$1/2<|x|<1$ では第 1 項が $0$ で $\rho(x)=-\rho_0(x)<0$ である。$z_0:=(3/4,0,\dots,0)$、$r:=1/8$ とすると $B(z_0,r)$ の上で $\rho<0$ である。$f:=\mathbf 1_{B(0,\varepsilon r)}\ge0$ について、$y=\varepsilon w$ と変数変換すると $(\rho_\varepsilon*f)(\varepsilon z_0)=\int_{|w|< r}\rho(z_0-w)\,dw<0$ である。
3 行目：Gauss 関数は正で積分が $1$ の滑らかな関数だが、台は $\mathbb{R}^n$ 全体である。$f=\mathbf 1_{\overline B(0,1)}$ なら、$(\rho_\varepsilon*f)(x)=\int_{|y|\le1}\rho_\varepsilon(x-y)\,dy>0$ がすべての $x$ で成り立つ。したがって cor-mollifier-density の証明のように台を $\Omega$ の中に保つことはできない。
4 行目：$\rho_{0,\varepsilon}:=(\rho_0)_\varepsilon$ と書くと $(2\rho_0)_\varepsilon*f=2(\rho_{0,\varepsilon}*f)$ で、thm-mollifier-approximation により $2f$ に近づく。
5 行目：$\rho_0$ は $\overline B(0,1/2)$ の上で正の最小値 $m$ をとる。$|x|\le\varepsilon/4$、$|y|\le\varepsilon/4$ なら $|x-y|\le\varepsilon/2$ なので $\rho_{0,\varepsilon}(x-y)\ge\varepsilon^{-n}m$ であり、$(\rho_{0,\varepsilon}*f)(x)\ge\varepsilon^{-n}m\int_{|y|\le\varepsilon/4}|y|^{-n}\,dy=\infty$ である（極座標で $\int_0^{\varepsilon/4}r^{-n}r^{n-1}dr=\infty$）。
関連項目
参考文献
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