Chevalley–Warningの定理

$(0,\dots,0)\in V$ なので $\lvert V\rvert\ge1$ である。thm-cw-main により $p\mid\lvert V\rvert$ なので $\lvert V\rvert\ge p\ge2$ である。$\square$

$k=0$ なら $S_0=q\cdot1=0$ である（$q$ は標数 $p$ の倍数）。以下 $k\ge1$ とすると、$0^k=0$ なので $S_k=\sum_{a\in\mathbb{F}_q^\times}a^k$ である。
有限体 の記事の定理「有限体の乗法群の構造」により、$\mathbb{F}_q^\times$ は位数 $q-1$ の巡回群である。その生成元を $g$ とする。
$q-1\mid k$ なら、どの $a\in\mathbb{F}_q^\times$ も $a^{q-1}=1$ を満たすので $a^k=1$ であり、$S_k=(q-1)\cdot1=-1$ である。
$q-1\nmid k$ なら $g^k\neq1$ である。$a\mapsto ga$ は $\mathbb{F}_q^\times$ の全単射なので
$$ g^kS_k=\sum_{a\in\mathbb{F}_q^\times}(ga)^k=\sum_{b\in\mathbb{F}_q^\times}b^k=S_k $$
であり、$(g^k-1)S_k=0$、$g^k-1\neq0$ から $S_k=0$ である。$\square$

和は $P$ について線形なので、$P$ が単項式 $x_1^{e_1}\cdots x_n^{e_n}$（$e_1+\dots+e_n< n(q-1)$）の場合に示せばよい。このとき
$$ \sum_{a\in\mathbb{F}_q^{\,n}}a_1^{e_1}\cdots a_n^{e_n}=\prod_{j=1}^n\Bigl(\sum_{a_j\in\mathbb{F}_q}a_j^{e_j}\Bigr)=S_{e_1}\cdots S_{e_n} $$
である（$0^0=1$ の約束は、$x_j$ を含まない単項式の値が $1$ であることと合っている）。指数の和が $n(q-1)$ より小さいので、ある $j$ で $e_j< q-1$ である。このとき $e_j=0$ でも $1\le e_j< q-1$ でも、lem-cw-power-sum により $S_{e_j}=0$ であり、積は $0$ である。$\square$

$d_i:=\deg f_i$ とし、
$$ P:=\prod_{i=1}^r\bigl(1-f_i^{\,q-1}\bigr)\in\mathbb{F}_q[x_1,\dots,x_n] $$
とおく。
$P$ は $V$ の指示関数である。 $a\in V$ なら各因子は $1-0=1$ なので $P(a)=1$ である。$a\notin V$ なら、ある $i$ で $f_i(a)\neq0$ であり、$\mathbb{F}_q^\times$ の位数は $q-1$ なので $f_i(a)^{q-1}=1$、その因子が $0$ になって $P(a)=0$ である。したがって
$$ \sum_{a\in\mathbb{F}_q^{\,n}}P(a)=\lvert V\rvert\cdot1\quad(\mathbb{F}_q\text{ の元として}) $$
である。
$P$ の次数は低い。 $\deg(1-f_i^{\,q-1})\le(q-1)d_i$ なので
$$ \deg P\le(q-1)(d_1+\dots+d_r)<(q-1)n $$
である。よって lem-cw-low-degree-sum により左辺の和は $0$ である。
以上から $\lvert V\rvert\cdot1=0$ が $\mathbb{F}_q$ で成り立つ。$\mathbb{F}_q$ の標数は $p$ なので、これは $p\mid\lvert V\rvert$ を意味する。$\square$

要点：1 は cor-cw-chevalley の $r=1$、$d=2<3\le n$ の場合で、2 と 3 は 1 を 3 変数の形に当てはめる。

斉次多項式の零点の集合は $\mathbb{F}_q^\times$ 倍で閉じているので、$V\setminus\{0\}$ は $q-1$ 個ずつの元からなる類に分かれ、$\lvert V\rvert-1=(q-1)M$ である。thm-cw-main により $\lvert V\rvert\equiv0\pmod p$、また $q-1\equiv-1\pmod p$ なので、$-1\equiv-M\pmod p$、すなわち $M\equiv1\pmod p$ である。$\square$

段 1（$n=p$ が素数の場合）． $\mathbb{F}_p$ 上の $2p-1$ 変数の 2 つの多項式
$$ f_1=\sum_{i=1}^{2p-1}x_i^{\,p-1},\qquad f_2=\sum_{i=1}^{2p-1}a_ix_i^{\,p-1} $$
を考える（$a_i$ は法 $p$ の像）。次数の和は $2(p-1)=2p-2<2p-1$ で、定数項は $0$ なので、cor-cw-chevalley により $0$ でない共通零点 $x=(x_i)$ がある。$I:=\{i\mid x_i\neq0\}$ とおくと $I\neq\emptyset$ で、$x_i^{p-1}$ は $i\in I$ なら $1$、それ以外は $0$ である。よって
$$ f_1(x)=\lvert I\rvert\cdot1=0,\qquad f_2(x)=\sum_{i\in I}a_i=0\quad(\mathbb{F}_p\text{ で}) $$
となる。$1\le\lvert I\rvert\le2p-1$ かつ $p\mid\lvert I\rvert$ なので $\lvert I\rvert=p$ であり、$\{a_i\}_{i\in I}$ が求める $p$ 個である。
段 2（$m$ と $n$ で成り立てば $mn$ で成り立つ）． $2mn-1$ 個の整数が与えられたとする。残りが $2m-1$ 個以上ある限り、$m$ での主張から、和が $m$ で割り切れる $m$ 個を取り除ける。$k$ 組取り除いたあとの残りは $2mn-1-km$ 個で、これが $2m-1$ 以上であるのは $k\le2n-2$ のときなので、互いに交わらない $m$ 個組 $T_1,\dots,T_{2n-1}$ が得られる。$T_j$ の和を $mb_j$（$b_j\in\mathbb{Z}$）とおく。$n$ での主張により、$b_1,\dots,b_{2n-1}$ から和が $n$ で割り切れる $n$ 個 $b_{j_1},\dots,b_{j_n}$ を選べる。$T_{j_1}\cup\dots\cup T_{j_n}$ は $mn$ 個の整数からなり、その和 $m(b_{j_1}+\dots+b_{j_n})$ は $mn$ で割り切れる。
段 3． $n=1$ では主張は自明である。$n\ge2$ は素数の積なので、段 1 と段 2 からすべての $n$ で成り立つ。$\square$