Euler完全列
概要
Euler完全列（Euler sequence）とは、環 $A$ 上の射影空間 $\mathbb{P}^n_A$ の上の層の短完全列 $0\to\Omega_{\mathbb{P}^n_A/A}\to\mathcal{O}(-1)^{\oplus(n+1)}\to\mathcal{O}\to0$ である。微分 $df$ は偏導関数の組 $(\partial f/\partial x_i)_i$ に、右の射は同次座標との積の和に対応し、同次関数についての Euler の恒等式が完全性を支える。微分の層が階数 $n$ の局所自由層で標準層が $\mathcal{O}(-n-1)$ であることが従い、$A$ が Noether 環なら $H^q(\mathbb{P}^n_A,\Omega^p)$ は $p=q\le n$ で $A$、それ以外で $0$ である。
射影空間 $\mathbb{P}^n_A$ の微分形式は、同次座標 $x_0,\dots,x_n$ の言葉で直接は書けない。$x_i$ は関数ではなく、関数になるのは $x_i/x_j$ のような次数 $0$ の比だけだからである。Euler完全列（Euler sequence）は、この不便を一つの短完全列で解消する。
$$
0\longrightarrow\Omega_{\mathbb{P}^n_A/A}\longrightarrow\mathcal{O}(-1)^{\oplus(n+1)}\longrightarrow\mathcal{O}\longrightarrow0
$$
真ん中の層の切断は「次数 $-1$ の関数の $(n+1)$ 組」で、関数 $f$ の微分 $df$ はその偏導関数の組 $(\partial f/\partial x_0,\dots,\partial f/\partial x_n)$ に対応する。右の写像は $(f_i)\mapsto\sum_ix_if_i$ であり、次数 $0$ の $f$ について $\sum_ix_i\,\partial f/\partial x_i=0$ となるのは同次関数についての Euler の恒等式による。名前はここから来ている。この列から、$\mathbb{P}^n_A$ の微分の層が階数 $n$ の局所自由層であること、標準層が $\mathcal{O}(-n-1)$ であることが従い、$A$ が Noether 環なら、微分形式の層のコホモロジーが $H^q(\mathbb{P}^n_A,\Omega^p)\cong A$（$p=q\le n$）、$0$（それ以外）であることも導かれる。
定義
以下、$A$ を環、$n\ge0$、$S=A[x_0,\dots,x_n]$（$\deg x_i=1$）、$X=\mathbb{P}^n_A=\operatorname{Proj}S$ とする。正の次数の同次元 $h\in S$ について、基本開集合 $D_+(h)$ の上で
$$
\mathcal{O}_X(m)\bigl(D_+(h)\bigr)=(S_h)_m
$$
（局所化 $S_h$ の次数 $m$ の部分）である（$\mathcal{O}_X(m)$ の定義 Har77 p. 117 と II.5.11 (b)、II.2.5 (b)）。とくに $\mathcal{O}_X(D_+(h))=(S_h)_0$ である。$\mathcal{E}:=\mathcal{O}_X(-1)^{\oplus(n+1)}$ とおき、その切断を成分の組 $(f_0,\dots,f_n)$（各 $f_i$ は次数 $-1$）で書く。
$S$ の $A$ 上の偏微分 $\partial_i=\partial/\partial x_i$ は、商の微分法 $\partial_i(g/h^m)=(h\,\partial_ig-m\,g\,\partial_ih)/h^{m+1}$ によって局所化 $S_h$ の $A$ 導分に一意に延び、次数を $1$ 下げる。この延長は局所化の制限 $S_h\to S_{hh'}$ と可換である（導分の局所化への延長の一意性による）。
$h\in S$ を正の次数の同次元とし、$g\in S_h$ を次数 $d$ の同次元とする。このとき $\sum_{i=0}^nx_i\,\partial_ig=d\,g$ である。とくに $g$ が次数 $0$ なら $\sum_ix_i\,\partial_ig=0$ である。
要点：$\mathrm{Eu}:=\sum_ix_i\partial_i$ は単項式 $x^\alpha$ を $|\alpha|\,x^\alpha$ に送る導分で、商の公式で分母の次数が引かれる。
詳しい証明を開く
$\mathrm{Eu}(g):=\sum_ix_i\partial_ig$ とおくと、$\mathrm{Eu}$ は $S_h$ の $A$ 導分である。単項式 $x^\alpha=x_0^{\alpha_0}\cdots x_n^{\alpha_n}$ について $\mathrm{Eu}(x^\alpha)=\sum_i\alpha_ix^\alpha=|\alpha|\,x^\alpha$ なので、$S$ の同次元について主張が成り立つ。次数 $e$ の同次元 $g_1\in S$ と $h^m$（次数 $m\deg h$）について、導分の商の公式から $\mathrm{Eu}(g_1/h^m)=\mathrm{Eu}(g_1)/h^m-m\,g_1\,\mathrm{Eu}(h)/h^{m+1}=(e-m\deg h)\,g_1/h^m$ である。$S_h$ の次数 $d$ の元はこの形の元（$e-m\deg h=d$）なので、主張が従う。$\square$
正の次数の同次元 $h$ と $f\in\mathcal{O}_X(D_+(h))=(S_h)_0$ に対し
$$
\delta(f):=(\partial_0f,\dots,\partial_nf)\in\mathcal{E}\bigl(D_+(h)\bigr)
$$
とおく。これは制限と可換なので、$A$ 線型な層の射 $\delta\colon\mathcal{O}_X\to\mathcal{E}$ を定める。これを Euler導分と呼ぶ。また
$$
q\colon\mathcal{E}\longrightarrow\mathcal{O}_X,\qquad(f_0,\dots,f_n)\longmapsto\sum_{i=0}^nx_if_i
$$
とし、$\mathcal{K}:=\ker q$ とおく。後の thm-euler-sequence で構成する射 $\theta\colon\Omega_{X/A}\to\mathcal{E}$（$\theta(df)=\delta(f)$）とあわせた列
$$
0\longrightarrow\Omega_{X/A}\xrightarrow{\ \theta\ }\mathcal{O}_X(-1)^{\oplus(n+1)}\xrightarrow{\ q\ }\mathcal{O}_X\longrightarrow0
$$
を Euler完全列という。
基本開集合は $X$ の位相の基をなすので、制限と可換な切断ごとの写像は層の射を一意に定める。$\delta$ は Leibniz 則 $\delta(fg)=f\,\delta(g)+g\,\delta(f)$ をみたし、$A$ の元を $0$ に写す。lem-euler-sequence-identity により $q(\delta(f))=\sum_ix_i\partial_if=0$ なので、$\delta$ は $\mathcal{K}$ に値をとる $A$ 導分である。
主定理
$A$ を環、$n\ge0$、$X=\mathbb{P}^n_A$ とする。
- $\mathcal{O}_X$ 線型な射 $\theta\colon\Omega_{X/A}\to\mathcal{E}$ で、すべての局所切断 $f$ について $\theta(df)=\delta(f)$ をみたすものがただ一つ存在する。
- $\theta$ は $\Omega_{X/A}$ から $\mathcal{K}=\ker q$ への同型であり、$q$ は全射である。すなわち Euler完全列は完全である。
- $\Omega_{X/A}$ は階数 $n$ の局所自由層である。また双対をとった列
$$ 0\longrightarrow\mathcal{O}_X\longrightarrow\mathcal{O}_X(1)^{\oplus(n+1)}\longrightarrow T_{X/A}\longrightarrow0 $$
（$T_{X/A}:=\mathcal{H}om(\Omega_{X/A},\mathcal{O}_X)$、左の射は $1\mapsto(x_0,\dots,x_n)$）も完全である。
$j=0,\dots,n$ について $U_j:=D_+(x_j)$ とおく。$U_j=\operatorname{Spec}B_j$、$B_j=(S_{x_j})_0=A[t_i:i\ne j]$（$t_i:=x_i/x_j$、多項式環）であり（Har77 II.2.5）、$\Omega_{X/A}|_{U_j}$ は $dt_i$（$i\ne j$）を基底とする自由加群に付随する層である（Kähler微分 の命題「局所的な記述」と例「多項式環の Kähler 微分」）。便宜上 $t_j:=1$ とおく。
1。 $\delta$ は $A$ 導分 $B_j\to\mathcal{K}(U_j)$ を与えるので、Kähler 微分の普遍性により $B_j$ 線型写像 $\Omega_{B_j/A}\to\mathcal{K}(U_j)$、$dg\mapsto\delta(g)$ がただ一つ定まる。$\mathcal{K}$ は準連接層の射の核なので準連接であり、この写像は $U_j$ 上の層の射 $\theta_j\colon\Omega_{X/A}|_{U_j}\to\mathcal{K}|_{U_j}$ を与える。$U_j\cap U_l$ の上では $\Omega_{X/A}$ は局所切断の微分 $dg$ で局所的に生成され、$\theta_j$ も $\theta_l$ も $dg$ を $\delta(g)$ に送る（$\delta$ は制限と可換）。よって $\theta_j$ と $\theta_l$ は $U_j\cap U_l$ で一致し、貼り合わさって $\theta$ を与える。一意性は $\Omega_{X/A}$ が $dg$ で局所的に生成されることによる。
2。 主張は局所的なので $U_j$ 上で示す。$\mathcal{O}_X(-1)|_{U_j}$ は $x_j^{-1}\in(S_{x_j})_{-1}$ を基底とする自由加群に付随する（$(S_{x_j})_{-1}=x_j^{-1}B_j$）。$\varepsilon_i$ を、第 $i$ 成分が $x_j^{-1}$ で他の成分が $0$ の $\mathcal{E}$ の切断とすると、$\varepsilon_0,\dots,\varepsilon_n$ は $\mathcal{E}|_{U_j}$ の基底である。$q(\varepsilon_i)=x_i/x_j=t_i$ であり、とくに $q(\varepsilon_j)=1$ なので $q$ は $U_j$ 上で全射である。
$i\ne j$ について $\delta(t_i)$ を計算する。$t_i=x_i/x_j$ の偏微分は $\partial_it_i=1/x_j$、$\partial_jt_i=-x_i/x_j^2=-t_i\cdot x_j^{-1}$ で、他は $0$ である。よって
$$
\theta(dt_i)=\delta(t_i)=\varepsilon_i-t_i\,\varepsilon_j\qquad(i\ne j)
$$
である。一方、$\mathcal{E}|_{U_j}$ の切断 $\sum_ia_i\varepsilon_i$ が $\mathcal{K}$ に入ることは $\sum_ia_it_i=0$、すなわち $a_j=-\sum_{i\ne j}a_it_i$ と同値であり、このとき $\sum_ia_i\varepsilon_i=\sum_{i\ne j}a_i(\varepsilon_i-t_i\varepsilon_j)$ である。$\{\varepsilon_i-t_i\varepsilon_j\}_{i\ne j}\cup\{\varepsilon_j\}$ は基底 $\{\varepsilon_i\}$ から単位三角行列で移る $\mathcal{E}|_{U_j}$ の基底なので、$\varepsilon_i-t_i\varepsilon_j$（$i\ne j$）は $\mathcal{K}|_{U_j}$ の基底である。$\theta$ は $\Omega_{X/A}|_{U_j}$ の基底 $dt_i$ をこの基底に送るので、$U_j$ 上で同型 $\Omega_{X/A}\cong\mathcal{K}$ である。$U_0,\dots,U_n$ は $X$ を覆うので 2 が従う。
3。 2 の証明で $\Omega_{X/A}|_{U_j}$ は階数 $n$ の自由加群に付随する。また $q$ は各 $U_j$ 上で切断 $1\mapsto\varepsilon_j$ をもつので、Euler完全列は局所的に分裂する。局所的に分裂する短完全列に $\mathcal{H}om(-,\mathcal{O}_X)$ を施すと短完全列が得られる。$\mathcal{H}om(\mathcal{O}_X(-1),\mathcal{O}_X)\cong\mathcal{O}_X(1)$ であり、$q$ の双対は $1\mapsto(x_0,\dots,x_n)$ である。$\square$
$n=0$ のとき $X=\operatorname{Spec}A$、$\Omega_{X/A}=0$ で、$q$ は同型 $\mathcal{O}_X(-1)\to\mathcal{O}_X$ である。上の証明はこの場合も含む（$i\ne j$ となる添字がない）。
この証明では、貼り合わせの整合性を変換公式で確かめる必要がない。$\delta$ が同次座標の偏微分で大域的に定義されているからである。局所座標の変換公式で $\theta$ を貼り合わせる証明は Kähler微分 の例「射影空間の Euler 列」に、射影束 $\mathbb{P}(\mathcal{V})\to T$ への一般化は 射影束 の定理「相対 Euler 列」にある。
直感
$\mathbb{P}^n$ は $\mathbb{A}^{n+1}\setminus\{0\}$ を直線の方向で割ったものである。$\mathbb{A}^{n+1}$ の 1 次微分形式は $\sum_if_i\,dx_i$ と書けるが、$\mathbb{P}^n$ の上で意味をもつのは、(i) 各係数が次数 $-1$（$dx_i$ と合わせて全体が次数 $0$）で、(ii) 直線の方向の接ベクトル、すなわち Euler ベクトル場 $\sum_ix_i\partial_i$ との縮約 $\sum_ix_if_i$ が $0$ のものである。条件 (i) が $\mathcal{O}(-1)^{\oplus(n+1)}$ を、条件 (ii) が $\ker q$ を与える。
双対の列では、$\mathcal{O}(1)^{\oplus(n+1)}\to T_{X/A}$ は $(g_0,\dots,g_n)$ を導分 $f\mapsto\sum_ig_i\,\partial_if$ に送る（$\theta$ との対をとると $df\mapsto\sum_ig_i\partial_if$ である）。$\mathbb{P}^n$ のベクトル場は次数 $1$ の係数をもつ $\sum_ig_i\partial_i$ で書け、その表し方は Euler ベクトル場の倍だけの不定性をもつ。これが左の射 $1\mapsto(x_0,\dots,x_n)$ の意味である。
例
$n=1$ とする。$\mathcal{O}(-2)\to\mathcal{O}(-1)^{\oplus2}$、$g\mapsto(x_1g,-x_0g)$ は $\ker q$ への同型である。実際 $U_0$ 上で $x_0f_0+x_1f_1=0$ なら $g:=-f_1/x_0$ とおけば $(f_0,f_1)=(x_1g,-x_0g)$ と一意に書け、$U_1$ 上も同様である。$t=x_1/x_0$ について $\delta(t)=(-x_1/x_0^2,\,1/x_0)$ は $g=-1/x_0^2$ に当たる。よって $\Omega_{\mathbb{P}^1_A/A}\cong\mathcal{O}(-2)$ で、$dt$ は $-x_0^{-2}$ に対応する。
応用：微分形式のコホモロジー
$\Omega^p_{X/A}:=\bigwedge^p\Omega_{X/A}$ とおく。thm-euler-sequence の 3 により $\Omega^p_{X/A}$ は階数 $\binom{n}{p}$ の局所自由層であり、$p>n$ では $0$ である。
$(Y,\mathcal{O}_Y)$ を環付き空間、$0\to\mathcal{F}'\xrightarrow{\ \iota\ }\mathcal{F}\xrightarrow{\ \pi\ }\mathcal{O}_Y\to0$ を有限階数の局所自由層の短完全列とする。$p\ge1$ について、$\mathcal{O}_Y$ 線型な射 $\bigwedge^p\mathcal{F}\to\bigwedge^{p-1}\mathcal{F}'$ で
$$
0\longrightarrow\textstyle\bigwedge^p\mathcal{F}'\xrightarrow{\ \wedge^p\iota\ }\bigwedge^p\mathcal{F}\longrightarrow\bigwedge^{p-1}\mathcal{F}'\longrightarrow0
$$
が完全になるものがある。
要点：$\pi$ による縮約が $\bigwedge^p\mathcal{F}\to\bigwedge^{p-1}\mathcal{F}$ を与え、その像が $\bigwedge^{p-1}\mathcal{F}'$ に入る。
詳しい証明を開く
局所切断 $v_1,\dots,v_p$ に対し $c(v_1\wedge\cdots\wedge v_p):=\sum_{k=1}^p(-1)^{k-1}\pi(v_k)\,v_1\wedge\cdots\widehat{v_k}\cdots\wedge v_p$ とおく。右辺は各 $v_k$ について多重線型かつ交代的（$v_k=v_{k+1}$ なら 2 つの項が打ち消し、他の項は同じ元を 2 回含む）なので、$c\colon\bigwedge^p\mathcal{F}\to\bigwedge^{p-1}\mathcal{F}$ が定まる（前層の上で定めて層化する）。
主張は局所的なので、$\mathcal{F}'$ の基底 $e_1,\dots,e_r$ と $\pi(e)=1$ となる切断 $e$ がある開集合で考える。このとき $e_1,\dots,e_r,e$ は $\mathcal{F}$ の基底であり（$\pi$ の分裂）、$\bigwedge^p\mathcal{F}=\bigwedge^p\mathcal{F}'\oplus\bigl(\bigwedge^{p-1}\mathcal{F}'\bigr)\wedge e$ である。$c$ は第 1 成分を $0$ に送り（$\pi(e_i)=0$）、$w\wedge e$（$w\in\bigwedge^{p-1}\mathcal{F}'$）を $(-1)^{p-1}w$ に送る。よって $c$ の像は $\bigwedge^{p-1}\mathcal{F}'$（の $\wedge^{p-1}\iota$ による像）であり、$c$ の核は $\bigwedge^p\mathcal{F}'$ である。$\wedge^{p-1}\iota$ も局所的に直和因子への包含なので単射であり、$c$ を $\bigwedge^{p-1}\mathcal{F}'$ への射とみれば主張の列が完全になる。$\square$
この補題は Har77 II 演習 5.16 (d)（p. 128）の、$\mathcal{F}''=\mathcal{O}_Y$ の場合である。Euler完全列に当てると、$1\le p\le n+1$ について短完全列
$$
0\longrightarrow\Omega^p_{X/A}\longrightarrow\textstyle\bigwedge^p\mathcal{E}\longrightarrow\Omega^{p-1}_{X/A}\longrightarrow0,\qquad\bigwedge^p\mathcal{E}\cong\mathcal{O}_X(-p)^{\oplus\binom{n+1}{p}}
$$
を得る。$p=n+1$ では $\Omega^{n+1}_{X/A}=0$ なので $\Omega^n_{X/A}\cong\mathcal{O}_X(-n-1)$、すなわち標準層は $\omega_{X/A}\cong\mathcal{O}_X(-n-1)$ である。
$A$ を Noether 環、$n\ge1$、$X=\mathbb{P}^n_A$ とする。$p,q\ge0$ について
$$
H^q(X,\Omega^p_{X/A})\cong\begin{cases}A&(p=q\le n)\\0&(\text{それ以外})\end{cases}
$$
である。さらに $H^p(X,\Omega^p_{X/A})\cong A$ は、$H^0(X,\mathcal{O}_X)=A$ の $1$ を上の短完全列の連結準同型で $p$ 回送った元で生成される。
$\mathbb{P}^n_A$ の直線束のコホモロジーについて次を使う（射影空間上の直線束のコホモロジー の定理「射影空間上の直線束のコホモロジー」の 1・2・3・5、Har77 II.5.13（p. 118）、III.5.1 (a)(b)(d)（p. 225））。$H^0(X,\mathcal{O}_X(m))=S_m$（$m<0$ なら $0$）、$0< i< n$ ならすべての $m$ で $H^i(X,\mathcal{O}_X(m))=0$、$H^n(X,\mathcal{O}_X(m))$ は $H^0(X,\mathcal{O}_X(-m-n-1))$ と双対な有限生成自由 $A$ 加群である。また $X$ は $n+1$ 個のアフィン開集合 $U_0,\dots,U_n$ で覆われ、$X$ は Noether かつ分離的なので、交代 Čech 複体がコホモロジーを計算し（Har77 III.4.5、p. 222）、$i>n$ ではすべての準連接層で $H^i=0$ である。
これらから、$1\le p\le n$ についてすべての $i$ で $H^i(X,\mathcal{O}_X(-p))=0$ である。実際 $i=0$ では $-p<0$、$0< i< n$ は上のとおり、$i=n$ では $-(-p)-n-1=p-n-1<0$ なので双対の $H^0$ が $0$、$i>n$ も上のとおりである。また $H^0(X,\mathcal{O}_X)=S_0=A$、$i\ge1$ で $H^i(X,\mathcal{O}_X)=0$（$i=n$ は $H^0(\mathcal{O}(-n-1))=0$ の双対）である。
$p$ についての帰納法で示す。$p=0$ は直前に述べたとおりである。$1\le p\le n$ とし、$p-1$ で成り立つとする。短完全列 $0\to\Omega^p\to\bigwedge^p\mathcal{E}\to\Omega^{p-1}\to0$ のコホモロジー長完全列で、$\bigwedge^p\mathcal{E}\cong\mathcal{O}(-p)^{\oplus\binom{n+1}{p}}$ のコホモロジーはすべて $0$ である。したがって $H^0(\Omega^p)=0$ であり、$q\ge1$ では連結準同型 $H^{q-1}(\Omega^{p-1})\to H^q(\Omega^p)$ が同型である。帰納法の仮定から $H^{q-1}(\Omega^{p-1})$ は $q-1=p-1$ のとき $A$、それ以外で $0$ なので、$H^q(\Omega^p)$ は $q=p$ のとき $A$、それ以外で $0$ である。生成元についての主張もこの同型の連鎖から従う。$p>n$ では $\Omega^p=0$ である。$\square$
$A=k$ が体なら、$h^{p,q}:=\dim_kH^q(\mathbb{P}^n_k,\Omega^p)$ は $p=q$ で $1$、それ以外で $0$ である。$k=\mathbb{C}$ では、これは Hodge分解 の例「複素射影空間の Hodge 数」と同じ値で、そちらは Kähler 計量と Hodge 分解から計算される。
$A\ne0$、$n\ge1$ とする。
- Euler完全列は分裂しない。
- 被覆 $\mathfrak{U}=\{U_j\}$ についての Čech コホモロジーの連結準同型 $\check{H}^0(\mathfrak{U},\mathcal{O}_X)\to\check{H}^1(\mathfrak{U},\Omega_{X/A})$ は $1$ を、$U_j\cap U_l$ 上の $1$ コサイクル
$$ \frac{dg_{jl}}{g_{jl}},\qquad g_{jl}:=\frac{x_l}{x_j}\in\mathcal{O}_X(U_j\cap U_l)^\times $$
の類に送る。$g_{jl}$ は $\mathcal{O}_X(1)$ の局所生成元の比 $x_l=g_{jl}x_j$ である。$A$ が Noether なら、この類は $H^1(X,\Omega_{X/A})\cong A$ の生成元である（Čech コホモロジーと層のコホモロジーを Har77 III.4.5 で同一視する）。
要点：1 は大域切断を見ればよい。2 は $1$ の局所的な持ち上げ $s_j$ の差が $\delta(g_{jl})/g_{jl}$ に等しいことの計算である。
詳しい証明を開く
1。分裂するなら $\mathcal{O}_X$ は $\mathcal{E}$ の直和因子で、$H^0(X,\mathcal{O}_X)=A$ は $H^0(X,\mathcal{E})=(S_{-1})^{\oplus(n+1)}=0$ の直和因子となる（Har77 II.5.13、$n\ge1$ で任意の環 $A$ について成り立つ）。$A\ne0$ に矛盾する。
2。$1\in H^0(X,\mathcal{O}_X)$ の $U_j$ 上の持ち上げとして、第 $j$ 成分が $x_j^{-1}$ で他が $0$ の切断 $s_j$ をとる（$q(s_j)=1$）。連結準同型の定義により、$1$ の像はコサイクル $(s_l-s_j)|_{U_j\cap U_l}$（$\mathcal{K}\cong\Omega_{X/A}$ の切断）の類である。$g:=g_{jl}$ の偏微分は $\partial_lg=1/x_j$、$\partial_jg=-x_l/x_j^2$ で他は $0$ なので、$\delta(g)/g$ の第 $l$ 成分は $1/x_l$、第 $j$ 成分は $-1/x_j$ であり、$\delta(g)/g=s_l-s_j$ である。$\theta(dg/g)=\delta(g)/g$ なので主張のコサイクルを得る。
$A$ が Noether のとき。$X$ は分離的なので各 $U_{j_0\cdots j_p}$ はアフィンであり、Euler完全列は準連接層の列なので、Čech 複体の列 $0\to\check{C}^\bullet(\mathcal{K})\to\check{C}^\bullet(\mathcal{E})\to\check{C}^\bullet(\mathcal{O}_X)\to0$ は完全である。その長完全列 $\check{H}^0(\mathcal{E})\to\check{H}^0(\mathcal{O}_X)\to\check{H}^1(\mathcal{K})\to\check{H}^1(\mathcal{E})$ の両端は、III.4.5 により $H^0(\mathcal{E})=0$、$H^1(\mathcal{E})=H^1(\mathcal{O}(-1))^{\oplus(n+1)}=0$（thm-euler-sequence-hodge の証明の第 2 段）である。よって連結準同型 $A=\check{H}^0(\mathcal{O}_X)\to\check{H}^1(\mathcal{K})\cong H^1(X,\Omega_{X/A})$ は同型であり、$1$ の像は生成元である。$\square$
Čech の境界は $(dc)_{jl}=c_l-c_j$ の規約で書いた。2 は、Euler完全列の拡大類が「$\mathcal{O}(1)$ の変換関数の対数微分」であることを示している。
条件を外したときの反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $n\ge1$ | $n=0$：$X=\operatorname{Spec}A$ | prop-euler-sequence-class の 1：$q$ は同型で、列は分裂する |
| $X$ が射影空間 | $k$ 上のアフィン直線 $\mathbb{A}^1_k$ | thm-euler-sequence-hodge の $H^0(\Omega^1)=0$：$H^0(\mathbb{A}^1_k,\Omega^1)=k[t]\,dt\ne0$ |
1 行目：$n=0$ では $\Omega_{X/A}=0$ で、$q\colon\mathcal{O}(-1)\to\mathcal{O}$ は $f_0\mapsto x_0f_0$、$U_0=X$ 上で同型である。逆写像が分裂を与える。証明の 1 で使った $H^0(\mathcal{O}(-1))=S_{-1}=0$ は $n=0$ では成り立たない（$\mathbb{P}^0_A$ では $\mathcal{O}(-1)\cong\mathcal{O}$）。
2 行目：$\Omega_{k[t]/k}$ は $dt$ を基底とする自由 $k[t]$ 加群なので、$H^0(\mathbb{A}^1_k,\Omega^1)=k[t]\,dt$ は $0$ でない。$\mathbb{A}^1_k$ は $\mathbb{P}^1_k$ の開集合 $U_0$（座標 $t=x_1/x_0$）だが、ex-euler-sequence-p1 により $\Omega_{\mathbb{P}^1_k}\cong\mathcal{O}(-2)$ で $H^0(\mathbb{P}^1_k,\mathcal{O}(-2))=S_{-2}=0$ なので、$dt$ は $\mathbb{P}^1_k$ 全体には延びない。
補足
- 一般化：射影束 $\pi\colon\mathbb{P}(\mathcal{V})\to T$ では、相対版の列 $0\to\Omega_{\mathbb{P}(\mathcal{V})/T}\to\pi^*\mathcal{V}\otimes\mathcal{O}(-1)\to\mathcal{O}\to0$ が成り立つ（射影束 の定理「相対 Euler 列」）。$\mathcal{V}=\mathcal{O}_T^{\oplus(n+1)}$、$T=\operatorname{Spec}A$ の場合がこの記事の列である。
- Chern 類：複素射影空間では、Euler完全列にあたる束の同型から $c(T\mathbb{CP}^n)=(1+h)^{n+1}$（$h$ は超平面の類）が得られる（Chern類 の例「複素射影空間の接束」）。
- 出典：Euler完全列は Har77 II.8.13（p. 176）にある。そこでは次数付き $S$ 加群の核 $M\subset S(-1)^{\oplus(n+1)}$ を作り、各 $U_j$ 上で局所同型を定めて貼り合わせを確かめている。この記事の証明は、偏微分による大域的な導分 $\delta$ を先に作ることで貼り合わせの確認を省いた。
関連項目
参考文献
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