円周率の無理性

$x^m$ の $k$ 階導関数の $x=0$ での値は、$k=m$ のとき $m!$、$k\ne m$ のとき $0$ である。よって $f^{(k)}(0)=k!\,c_k/n!$（$n\le k\le2n$）であり、それ以外の $k$ では $0$ である。$k\ge n$ なら $k!/n!=(n+1)(n+2)\cdots k$ は整数なので、$f^{(k)}(0)$ は整数である。$\square$

$N\ge2c$ となる整数 $N$ をとる。$n\ge N$ では $\frac{c^{n+1}/(n+1)!}{c^n/n!}=\frac{c}{n+1}\le\frac12$ なので、$\frac{c^n}{n!}\le\frac{c^N}{N!}\bigl(\frac12\bigr)^{n-N}$ であり、右辺は $n\to\infty$ で $0$ に収束する。$\square$

$\pi=a/b$（$a,b$ は正の整数）と仮定して矛盾を導く。正の整数 $n$ を後で選ぶことにし、
$$ f(x):=\frac{x^n(a-bx)^n}{n!},\qquad F(x):=f(x)-f''(x)+f^{(4)}(x)-\cdots+(-1)^nf^{(2n)}(x) $$
とおく。
(i) $n!f(x)=x^n(a-bx)^n$ を展開すると、$x^n$ から $x^{2n}$ までの整数係数の多項式になるので、lem-pi-irr-derivatives によりすべての $k$ で $f^{(k)}(0)$ は整数である。
(ii) $a-b(\pi-x)=a-a+bx=bx$ なので
$$ f(\pi-x)=\frac{(\pi-x)^n(bx)^n}{n!}=\frac{x^n(b\pi-bx)^n}{n!}=\frac{x^n(a-bx)^n}{n!}=f(x) $$
である。両辺を $k$ 回微分すると $(-1)^kf^{(k)}(\pi-x)=f^{(k)}(x)$ となり、$x=0$ とおいて $f^{(k)}(\pi)=(-1)^kf^{(k)}(0)$ を得る。よって $f^{(k)}(\pi)$ も整数である。(i) と合わせて $F(0)$ と $F(\pi)$ は整数である。
(iii) $f$ は $2n$ 次の多項式なので $f^{(2n+2)}=0$ であり、
$$ F''(x)=f''(x)-f^{(4)}(x)+\cdots+(-1)^{n-1}f^{(2n)}(x) $$
となって $F''+F=f$ である。したがって
$$ \frac{d}{dx}\bigl(F'(x)\sin x-F(x)\cos x\bigr)=F''(x)\sin x+F'(x)\cos x-F'(x)\cos x+F(x)\sin x=f(x)\sin x $$
であり、微分積分学の基本定理と $\sin0=\sin\pi=0$、$\cos0=1$、$\cos\pi=-1$ から
$$ I_n:=\int_0^\pi f(x)\sin x\,dx=\Bigl[F'(x)\sin x-F(x)\cos x\Bigr]_0^\pi=F(\pi)+F(0) $$
である。(ii) より $I_n$ は整数である。
(iv) $0< x<\pi$ では $0< x<\pi$、$0< a-bx< a$（$bx< b\pi=a$）、$0<\sin x\le1$ なので
$$ 0< f(x)\sin x<\frac{\pi^na^n}{n!} $$
である。被積分関数は $(0,\pi)$ で正の連続関数なので $I_n>0$ であり、また $I_n<\pi\cdot\frac{(\pi a)^n}{n!}$ である。lem-pi-irr-factorial により、$n$ を十分大きくとれば右辺は $1$ より小さい。そのような $n$ について $0< I_n<1$ となり、$I_n$ が整数であることに反する。よって $\pi$ は有理数でない。$\square$

$\pi^2=a/b$（$a,b$ は正の整数）と仮定する。正の整数 $n$ について
$$ f(x):=\frac{x^n(1-x)^n}{n!},\qquad G(x):=b^n\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\pi^{2n-2k}f^{(2k)}(x) $$
とおく。$f(1-x)=f(x)$ であり、lem-pi-irr-derivatives と同じ議論で $f^{(k)}(0)$、$f^{(k)}(1)=(-1)^kf^{(k)}(0)$ はすべて整数である。$b^n\pi^{2n-2k}=b^k(b\pi^2)^{n-k}=b^ka^{n-k}$ は整数なので、$G(0)$ と $G(1)$ は整数である。
$f^{(2n+2)}=0$ に注意して $G''$ と $\pi^2G$ を足すと、$k=1,\dots,n$ の項は打ち消し合い
$$ G''(x)+\pi^2G(x)=b^n\pi^{2n+2}f(x)=\pi^2a^nf(x) $$
が残る。よって
$$ \frac{d}{dx}\bigl(G'(x)\sin\pi x-\pi G(x)\cos\pi x\bigr)=\bigl(G''(x)+\pi^2G(x)\bigr)\sin\pi x=\pi^2a^nf(x)\sin\pi x $$
であり、$\sin0=\sin\pi=0$、$\cos0=1$、$\cos\pi=-1$ から
$$ \pi^2a^n\int_0^1f(x)\sin\pi x\,dx=\Bigl[G'(x)\sin\pi x-\pi G(x)\cos\pi x\Bigr]_0^1=\pi\bigl(G(1)+G(0)\bigr) $$
である。両辺を $\pi$ で割ると、$J_n:=\pi a^n\int_0^1f(x)\sin\pi x\,dx$ は整数 $G(0)+G(1)$ に等しい。
$0< x<1$ では $0< x(1-x)\le\frac14$、$0<\sin\pi x\le1$ なので $0< f(x)\sin\pi x\le\frac{1}{4^nn!}<\frac1{n!}$ であり、$0< J_n<\frac{\pi a^n}{n!}$ である。lem-pi-irr-factorial により $n$ を大きくとれば右辺は $1$ より小さく、$0< J_n<1$ が整数であることに反する。$\square$

1 は thm-pi-irr-main と 無理数 の記事の命題「小数表示による判定」から、2 は 連分数 の記事の定理「有理数の連分数展開」（有限単純連分数の値は有理数）から従う。3：$\pi=\sqrt r$ なら $\pi^2=r$ となり thm-pi-irr-square に反する。4：直径 $d$、周の長さ $\pi d$ がともに有理数なら、$d\neq0$ なので $\pi=(\pi d)/d$ が有理数となる。半径 $\rho\neq0$ が有理数なら面積 $\pi\rho^2$ は、有理数でない数と $0$ でない有理数の積なので無理数である。面積 $A=\pi\rho^2$ が $0$ でない有理数で $\rho$ も有理数なら、$A\neq0$ なので $\rho\neq0$ であり、$\pi=A/\rho^2$ が有理数となって矛盾する。$\square$