整スキーム

1 ⇒ 2。整域は被約環であり、$\mathcal{O}_X(\emptyset)$ は零環で被約なので、$X$ は被約である。$X$ は空でない。$X$ が既約でないとすると、交わらない空でない開集合 $U_1,U_2$ がある（既約成分 の記事の補題「既約性の言い換え」の 1）。層の条件により $\mathcal{O}_X(U_1\cup U_2)\cong\mathcal{O}_X(U_1)\times\mathcal{O}_X(U_2)$ であり（交わらない開集合の上の切断は自由に貼り合わさる）、$\mathcal{O}_X(U_i)\neq0$ なので、$(1,0)$ と $(0,1)$ は $0$ でないのに積が $0$ である。これは $\mathcal{O}_X(U_1\cup U_2)$ が整域であることに反する。よって $X$ は既約である。
2 ⇒ 1。$X$ は既約なので空でない。空でない開集合 $U$ をとり、$f,g\in\mathcal{O}_X(U)$、$fg=0$ とする。$Z_f:=\{x\in U\mid f(x)=0\}$ は $U$ の閉集合である（$U$ は $U$ に含まれるアフィン開集合 $V\cong\operatorname{Spec}B$ で覆われ、$f|_V$ に対応する $b\in B$ について $Z_f\cap V=V(b)$ は $V$ の閉集合なので、$U\setminus Z_f$ は開集合 $V\setminus V(b)$ たちの和として開集合である）。各点 $x$ で $f(x)g(x)=(fg)(x)=0$ は体 $\kappa(x)$ の中の等式なので、$f(x)=0$ か $g(x)=0$ であり、$U=Z_f\cup Z_g$ である。既約な空間の空でない開集合 $U$ は既約である（既約成分 の記事の命題「開集合と連続像」の 1）から、たとえば $U=Z_f$、すなわち $f$ は $U$ の全点で値 $0$ をとる。$X$ は被約なので $f=0$ である（被約スキーム の記事の命題「値による切断の決定」）。また $\mathcal{O}_X(U)\neq0$ である。よって $\mathcal{O}_X(U)$ は整域である。
1 ⇒ 3 は定義から直ちに従う（$\mathcal{O}_X(U)\cong A$）。
3 ⇒ 2。整域は被約環なので、被約スキーム の記事の定理「被約性の同値条件」の 3 により $X$ は被約である。$X$ が既約でないとすると、交わらない空でない開集合 $U_1,U_2$ があり、それぞれに含まれる空でないアフィン開集合 $V_i\cong\operatorname{Spec}A_i$ がとれる（アフィン開集合は開基をなす）。交わらない 2 つのアフィン開集合の和 $V_1\cup V_2$ はアフィンで $\operatorname{Spec}(A_1\times A_2)$ に同型である（Vak25 Exercise 3.6.A、Stacks Tag 01I5）。3 により $A_1\times A_2$ は整域であるが、$A_i\neq0$ なので $(1,0)(0,1)=0$ となり矛盾する。よって $X$ は既約である。$\square$

$\operatorname{Spec}A$ が整なら、$\operatorname{Spec}A$ は空でない開集合で $\mathcal{O}(\operatorname{Spec}A)\cong A$ なので $A$ は整域である。逆に $A$ が整域とする。$A$ は被約環なので $\operatorname{Spec}A$ は被約であり（被約スキーム の記事の定理「被約性の同値条件」）、$\sqrt{0}=(0)$ は素イデアルなので $\operatorname{Spec}A$ は既約である（Zariski位相 の記事の命題「既約閉集合と素イデアルの対応」の 3）。thm-integral-scheme-reduced-irreducible により $\operatorname{Spec}A$ は整である。$\square$

$X$ は空でない。閉集合 $F_1,F_2$ で $X=F_1\cup F_2$ とする。各 $U_i=(U_i\cap F_1)\cup(U_i\cap F_2)$ は既約なので、$U_i\subset F_1$ または $U_i\subset F_2$ である。$i_0\in I$ をとり、$U_{i_0}\subset F_1$ としてよい。任意の $j\in I$ について、$U_{i_0}\cap U_j$ は既約な $U_j$ の空でない開集合なので $U_j$ の中で稠密であり（既約成分 の記事の命題「開集合と連続像」の 1）、$U_j$ の閉集合 $U_j\cap F_1$ に含まれるから $U_j\subset F_1$ である。よって $X=\bigcup_jU_j\subset F_1$ である。$\square$

1. $U\subset X$ を空でない開集合とする。$U$ の空でない開集合は $X$ の空でない開集合でもあり、$\mathcal{O}_U=\mathcal{O}_X|_U$ なので、その上の切断の環は整域である。
2. $x$ を含むアフィン開集合 $U\cong\operatorname{Spec}A$ をとり、$x$ に対応する素イデアルを $\mathfrak{p}$ とする。$A=\mathcal{O}_X(U)$ は整域であり、$\mathcal{O}_{X,x}\cong A_{\mathfrak{p}}$（スキーム の記事の注意「アフィンスキームから使う事実」の 2）は整域 $A$ の商体の部分環 $\{a/s\mid a\in A,\ s\notin\mathfrak{p}\}$ に同型なので整域である（整域では標準写像 $A_{\mathfrak{p}}\to\operatorname{Frac}A$ が単射）。$\square$

1. $\eta\notin U$ なら $\eta$ は閉集合 $X\setminus U$ に属し、$X=\overline{\{\eta\}}\subset X\setminus U$ となって $U=\emptyset$ に反する。
2. 1 により $\eta\in U$ であり、$U$ での $\{\eta\}$ の閉包は $\overline{\{\eta\}}\cap U=U$ である。$A=\mathcal{O}_X(U)$ は整域なので、$\operatorname{Spec}A$ の中で $\overline{\{(0)\}}=V(0)=\operatorname{Spec}A$ であり、$\operatorname{Spec}A$ の既約閉集合の生成点はただ 1 つ（Zariski位相 の記事の命題「既約閉集合と素イデアルの対応」の 2）なので、$\eta$ は $(0)$ に対応する。よって $\mathcal{O}_{X,\eta}\cong A_{(0)}$ であり、これは $A\setminus\{0\}$ による局所化、すなわち商体 $\operatorname{Frac}A$ である（局所化 の記事の例「整域の商体」）。
3. $s\in\mathcal{O}_X(U)$ の芽が $s_\eta=0$ とする。$U$ を空でないアフィン開集合 $W\cong\operatorname{Spec}B$（$W\subset U$）で覆う（空のものは除いてよい）。2 により芽をとる写像 $\mathcal{O}_X(W)=B\to\mathcal{O}_{X,\eta}\cong\operatorname{Frac}B$ は整域からその商体への標準写像なので単射であり、$s|_W$ の芽は $s_\eta=0$ なので $s|_W=0$ である。層の局所性により $s=0$ である。後半について、$V\subset U$ が空でないとき、$\mathcal{O}_X(U)\to\mathcal{O}_{X,\eta}$ は制限 $\mathcal{O}_X(U)\to\mathcal{O}_X(V)$ と $\mathcal{O}_X(V)\to\mathcal{O}_{X,\eta}$ の合成である（$\eta\in V$）。合成が単射なので、最初の写像も単射である。$\square$

要点：アフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$ の上では $\mathcal{O}_{X,x}\to K$ は $A_{\mathfrak{p}}\to\operatorname{Frac}A$ であり単射である。右辺の元は各点の近くで切断から来ており、それらの局所的な切断は $K$ の中で同じ元なので、prop-integral-scheme-generic-point の 3 の単射性により重なりで一致し、貼り合わさる。