Vietoris位相

$F\in\langle U_1,\ldots,U_n\rangle\cap\langle V_1,\ldots,V_m\rangle$ とする。$F\cap U_i\cap V_j\neq\emptyset$ となる組 $(i,j)$ に対する開集合 $W_{ij}:=U_i\cap V_j$ だけを集める。
$F\subset(\bigcup_iU_i)\cap(\bigcup_jV_j)=\bigcup_{i,j}(U_i\cap V_j)$ なので、選んだ $W_{ij}$ の合併は $F$ を覆う。また、$F$ は各 $U_i$ と交わり、かつ $\bigcup_jV_j$ に含まれるため、各 $i$ に対して選ばれる $j$ が少なくとも一つある。同様に各 $j$ に対して選ばれる $i$ がある。
したがって選んだ有限族から作る $\langle W_{ij}\rangle$ は $F$ を含む。そこに属する閉集合はすべての $W_{ij}$ と交わり、その合併に含まれるので、各 $U_i$ および各 $V_j$ と交わり、$\bigcup_iU_i$ と $\bigcup_jV_j$ の両方に含まれる。よって
$$ F\in\langle W_{ij}\rangle\subset \langle U_1,\ldots,U_n\rangle\cap\langle V_1,\ldots,V_m\rangle. $$
また各 $U^-=\langle X,U\rangle$、各 $U^+=\langle U\rangle$ であるから、この開基が生成する位相は上下二つの Vietoris 位相の上限に一致する。$\square$

$T_1$ 性によりすべての単集合が閉なので $j_1$ は定義でき、全単射である。基本開集合について
$$ j_1^{-1}(\langle U_1,\ldots,U_n\rangle)=\bigcap_{i=1}^nU_i $$
だから $j_1$ は連続（連続写像）である。逆に開集合 $U\subset X$ に対し
$$ j_1(U)=U^-\cap\mathrm{Exp}_1(X) $$
は $\mathrm{Exp}_1(X)$ で開である。よって $j_1$ は開な連続全単射であり、同相写像である。$\square$

$q_k$ は全射である。基本開集合の逆像は
$$ q_k^{-1}(\langle U_1,\ldots,U_n\rangle) =\left(\bigcup_iU_i\right)^k\cap \bigcap_{i=1}^n\bigcup_{r=1}^k\pi_r^{-1}(U_i), $$
なので開であり、$q_k$ は連続である。
$A,B\in\mathrm{Exp}_k(X)$ が異なれば、必要なら $A,B$ を交換して $a\in A\setminus B$ を取れる。Hausdorff 性と $B$ の有限性から、$a$ の開近傍 $U$ と $B$ を含む開集合 $V$ を $U\cap V=\emptyset$ となるように取れる。このとき $A\in U^-$、$B\in V^+$ で、$U^-\cap V^+=\emptyset$ だから $\mathrm{Exp}_k(X)$ は Hausdorff である。
$X^k$ はコンパクトであり（Tychonoffの定理。有限直積なので Mun00 Theorem 26.7 で足りる）、コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続全射は閉写像（Mun00 §26、Theorem 26.3・26.5）、したがって商写像である（Mun00 §22）。なお $q_k$ は $k>1$ では座標の順列や重複を同一視するため、一般に埋込みではない。単集合埋込み $j_1$ と有限集合を作る商写像 $q_k$ を一括りにしてはならない。$\square$