双楕円曲面

最初の主張は 複素トーラス の定理「複素トーラスの間の正則写像」の 2 である（逆写像にも当てはめると $\zeta^{-1}\Lambda_F\subset\Lambda_F$ なので $\zeta\Lambda_F=\Lambda_F$）。$(\zeta w+c)\circ(\zeta'w+c')=\zeta\zeta'w+(\zeta c'+c)$ なので線形部分は積になる。$\zeta$ 倍は階数 $2$ の自由加群 $\Lambda_F$ の自己同型で、その行列 $A\in\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ は、$\mathbb{C}=\Lambda_F\otimes\mathbb{R}$ の上の実線形写像として固有値 $\zeta,\bar\zeta$ をもつ。よって $\det A=|\zeta|^2=\pm1$ から $|\zeta|=1$ であり、$t:=\operatorname{tr}A=2\operatorname{Re}\zeta$ は $|t|\le2$ の整数である。$A$ の固有多項式は $x^2-tx+1$ で、$t=2,1,0,-1,-2$ に応じて $\zeta$ は位数 $1,6,4,3,2$ の 1 の冪根である。$\square$

1：$0$ でない $g\in G$ は $E$ を自明でなく平行移動するので、$G$ の $Y$ への作用には固定点がない。このとき $X$ は滑らかな射影曲面で、$\pi$ は次数 $|G|$ の有限エタール射（不分岐な被覆）である（重複ファイバー の命題「楕円曲線と曲線の積の商による構成」の 1。$D=F$ とする）。
形式の降下．$\pi$ は局所的に双正則で、$G$ は $\pi$ の被覆変換群なので、$X$ 上の正則な $p$ 形式、および $nK_X$ の正則な切断は、引き戻しによって $Y$ 上の $G$ 不変なものと 1 対 1 に対応する（不変な形式は、局所的な逆写像の取り方によらずに $X$ へ降りる）。$Y$ 上では $dz$、$dw$ が正則 1 形式の層の大域的な基底で、コンパクトな $Y$ 上の正則関数は定数なので（複素トーラス の命題「複素トーラス上の正則関数は定数」）、
$$ H^0(Y,\Omega^1_Y)=\mathbb{C}\,dz\oplus\mathbb{C}\,dw,\qquad H^0(Y,\mathcal{O}(nK_Y))=\mathbb{C}\,(dz\wedge dw)^{\otimes n} $$
である。$g$ による引き戻しは $g^*dz=dz$、$g^*dw=\zeta_g\,dw$、$g^*(dz\wedge dw)^{\otimes n}=\zeta_g^n(dz\wedge dw)^{\otimes n}$ である。
2：$\zeta_g\ne1$ となる $g$ があるので、$G$ 不変な正則 1 形式は $dz$ の定数倍だけで、$h^0(\Omega^1_X)=1$ である。$X$ は射影的なので Kähler 曲面であり、Hodge数 の命題「コンパクト Kähler 曲面の Hodge 菱形」により $q(X)=h^{0,1}=h^{1,0}=1$ である。$p_g(X)=h^0(K_X)=P_1(X)$ は 3 で $n=1$ とした値で、$m\ge2$ なので $0$ である。よって $\chi(\mathcal{O}_X)=1-q+p_g=0$ である。
3：$(dz\wedge dw)^{\otimes n}$ がすべての $g$ で不変であることは、すべての $g$ で $\zeta_g^n=1$、すなわち $\mu_m$ の生成元について $\zeta^n=1$、つまり $m\mid n$ と同値である。よって $P_n(X)$ は $m\mid n$ なら $1$、そうでなければ $0$ である。$mK_X$ の $0$ でない切断 $s$ の引き戻しは $(dz\wedge dw)^{\otimes m}$ の定数倍で零点をもたないので、$s$ も零点をもたず、$\mathcal{O}_X(mK_X)\cong\mathcal{O}_X$ である。$0< n< m$ なら $P_n=0$ なので $nK_X\not\sim0$ である。$P_n$ は $0$ か $1$ で、$0$ でないものがあるので小平次元は $0$ である（多重種数 の定義「多重種数と小平次元」）。$mK_X\sim0$ から $m^2K_X^2=0$、$K_X^2=0$ である。
4：Hodge数 の同じ命題から $b_1=2q=2$ である。Noetherの公式 の定理「Noether の公式」から $e(X)=12\chi(\mathcal{O}_X)-K_X^2=0$ であり、同命題の $e(X)=2-4q+2p_g+h^{1,1}$ から $h^{1,1}=2$、$b_2=2p_g+h^{1,1}=2$ である。$\square$

1：$(z,w)\mapsto z\bmod G$ は $G$ 不変なので $\Phi$ が定まる。$E/G$ は複素トーラスを有限な平行移動の群で割ったものなので、格子 $\Lambda_E$ を $G$ の代表元で大きくした格子による複素トーラス、すなわち楕円曲線である。$z_0\in E$ のまわりの小さい円板 $U$ を、$g\ne0$ について $U\cap(U+g)=\emptyset$ となるようにとる。$\Phi^{-1}(\text{$U$ の像})$ の各点の $G$ 軌道は $U\times F$ とちょうど 1 点で交わるので、$\pi$ は $U\times F$ から $\Phi^{-1}(\text{$U$ の像})$ への双正則写像を与え、$\Phi$ はその上で第 1 射影になる。よって $\Phi$ はファイバー $F$ の局所自明なファイバー束である。
2：$\Psi$ が定まることは 1 と同じである。$F/G$ の正則 1 形式を $F$ に引き戻すと $G$ 不変な正則 1 形式になるが、それは $c\,dw$ で $\zeta_gc=c$（すべての $g$）を満たすので $c=0$ である。引き戻しは単射なので $F/G$ の種数は $0$ で、$F/G\cong\mathbb{P}^1$ である（Riemann–Rochの定理 の定理「射影直線の特徴づけ」）。ファイバーの主張は 重複ファイバー の命題「楕円曲線と曲線の積の商による構成」の 3・4（$D=F$、$C=F/G$）である。$\square$