至る所全射な関数

1：空でない開集合の像は $\mathbb R$ で開であり、空集合の像は空集合で開である。
2：点 $x$ と $x$ を含む開区間 $J$ について $f(J)=\mathbb R$ なので、$J$ 上で $f$ は有界でない。$f$ が $x$ で連続なら、$\varepsilon=1$ に対してある $\delta>0$ で $|t-x|< \delta$ なら $|f(t)-f(x)|< 1$ となり、$(x-\delta,x+\delta)$ 上で $f$ が有界になって矛盾する。
3：$J$ を空でない開区間とすると $f(J)=\mathbb R\ni y$ なので、$J$ は $f^{-1}(y)$ と交わる。グラフについては、平面の空でない開集合は長方形 $J\times K$（$J,K$ は空でない開区間）を含み、$y\in K$ を一つとれば $x\in J\cap f^{-1}(y)$ について $(x,y)\in J\times K$ である。
4：$f((a,b))=\mathbb R$ から明らかである。
5：各 $n\ge1$ について、$f((n,n+1))=\mathbb R$ なので $f(x_n)=1/(n+1)$ となる $x_n\in(n,n+1)$ を選ぶ。$D=\{x_n:n\ge1\}$ は、どの有界区間とも有限個の点でしか交わらないので集積点をもたず、閉集合である。一方 $f(D)=\{1/(n+1):n\ge1\}$ は $0$ に集積するが $0$ を含まないので閉集合でない。$\square$

1：$c\in C^\circ$ とする。$c\ne0$ なのである $x_k=2$ であり $\theta(c)>0$ である。$c\ne1$ なのである $x_k=0$ であり（すべて $2$ なら $c=1$）、そのとき $\theta(c)\le1-2^{-k-1}< 1$ である。逆に $t\in(0,1)$ の 2 進表示 $t=\sum_ks_k2^{-k-1}$（$s_k\in\{0,1\}$）を一つとり、$c=\sum_k2s_k3^{-k-1}$ とおくと $c\in C$、$\theta(c)=t$ である。$t\ne0$ からある $s_k=1$、$t\ne1$ からある $s_k=0$ なので、$0< c< 1$ である。よって $\theta(C^\circ)=(0,1)$ であり、$s\mapsto\tan(\pi(s-\tfrac12))$ は $(0,1)$ から $\mathbb R$ への全単射なので $g$ は全射である。
2：$C$ は閉集合で測度 $0$ である（Cantor集合 の命題「測度0のコンパクトな疎集合」）ので、$C^\circ=C\cap(0,1)$ は $(0,1)$ の相対閉集合で測度 $0$ である。
3：$C$ は $0,\tfrac13,\tfrac23,1$ を含む（$\tfrac13=\sum_{k\ge1}2\cdot3^{-k-1}$、$\tfrac23$ は $x_0=2$ で他が $0$）。長さが $1/3$ より大きい開区間 $(s,t)\subset(0,1)$ は、$(0,\tfrac13)$、$(\tfrac13,\tfrac23)$、$(\tfrac23,1)$ のどれにも含まれないので、$\tfrac13$ か $\tfrac23$ を含み、$C^\circ$ と交わる。よって $(0,1)\setminus C^\circ$ の連結成分の長さは $1/3$ 以下である。$\square$

開集合の列 $U_1\supset U_2\supset\cdots$ と、$f$ の値を段ごとに定める。$\mathbb R$ の開集合は、互いに交わらない高々可算個の開区間（連結成分）の和である（各成分は有理数を含むので高々可算個）。
$U_1=\mathbb R\setminus\mathbb Z$ とする。その成分は $(n,n+1)$（$n\in\mathbb Z$）で長さ $1$ である。$U_k$ が定まったとき、$U_k$ の各成分 $I$ について $Z_I$ の上で $f=g_I$ と定め、
$$ U_{k+1}=U_k\setminus\bigcup_{I}Z_I\qquad(I\text{ は }U_k\text{ の成分を動く}) $$
とおく。最後に、どの段でも値が定まらなかった点では $f=0$ とする。
定義の整合性。 $Z_I$ は $I$ に含まれ、$U_k$ の異なる成分は交わらないので、同じ段の $Z_I$ どうしは交わらない。また段 $k$ の $Z_I$ は $U_{k+1}$ と交わらず、後の段の $Z$ はすべて $U_{k+1}$ に含まれるので、異なる段の $Z$ も交わらない。よって $f$ は矛盾なく定まる。
$U_k$ の性質。 次を $k$ に関する帰納法で示す。(a) $U_k$ は開集合、(b) $U_k$ は $\mathbb R$ で稠密、(c) $U_k$ の各成分の長さは $3^{-(k-1)}$ 以下。$k=1$ では明らかである。$U_k$ について成り立つとする。$U_{k+1}\cap I=I\setminus Z_I$（$I$ は $U_k$ の成分）であり、$Z_I$ は $I$ の相対閉集合なのでこれは開集合で、$U_{k+1}$ はそれらの和なので開である。$Z_I$ は測度 $0$ なので区間を含まず、$I\setminus Z_I$ は $I$ で稠密である。よって $U_{k+1}$ は $U_k$ で稠密で、$U_k$ が $\mathbb R$ で稠密なので $U_{k+1}$ も稠密である。$U_{k+1}$ の成分は、ある $U_k$ の成分 $I$ の中の $I\setminus Z_I$ の成分に含まれるので、長さは $|I|/3\le3^{-k}$ 以下である。
至る所全射。 空でない開区間は空でない有界開区間を含むので、$J=(s,t)$ を空でない有界開区間とし、$\delta=(t-s)/3$ とおく。$3^{-k}< \delta$ となる $k\ge1$ をとる。$U_{k+1}$ は稠密なので、$x\in U_{k+1}\cap(s+\delta,t-\delta)$ がとれる。$x$ を含む $U_{k+1}$ の成分 $I$ の長さは (c) により $3^{-k}$ 以下で、$\delta$ より小さいので、$I$ の点と $x$ の距離は $\delta$ より小さく、$I\subset J$ である。段 $k+1$ で $Z_I\subset I$ の上に $f=g_I$ と定めたので、$f(J)\supset g_I(Z_I)=\mathbb R$ である。$3^{-k}< \delta$ を満たす $k$ はいくらでも大きくとれるので、次も分かる。
(d) 空でない任意の開区間 $J$ と任意の $k_0$ について、$k\ge k_0$ と $U_k$ の成分 $I$ で $I\subset J$ となるものがある。
ほとんど至る所 0。 $f\ne0$ となりうるのは $N=\bigcup_k\bigcup_IZ_I$ の点だけである。各段の成分は高々可算個なので、$N$ は測度 $0$ の集合の可算和で、測度 $0$ である。$\square$

thm-esf-existence の証明の $U_k$、成分 $I$、$Z_I$、$g_I$ をそのまま使う。$k$ が奇数のとき $U_k$ の成分 $I$ を奇数段の成分、偶数のとき偶数段の成分とよぶ。$h_1$ を
$$ h_1(x)=\begin{cases}g_I(x)&(x\in Z_I,\ I\text{ は奇数段の成分}),\\ \varphi(x)-g_I(x)&(x\in Z_I,\ I\text{ は偶数段の成分}),\\ 0&(\text{それ以外})\end{cases} $$
で定め、$h_2=\varphi-h_1$ とおく。$Z_I$ どうしは交わらないので $h_1$ は矛盾なく定まり、偶数段の成分 $I$ の $Z_I$ の上では $h_2=g_I$ である。
空でない開区間 $J$ をとる。(d) を $k_0$ を十分大きくして使い、奇数の $k$ と $U_k$ の成分 $I\subset J$ を一つ、偶数の $k'$ と $U_{k'}$ の成分 $I'\subset J$ を一つとる（(d) で $U_k$ の成分 $I_0\subset J$ を得たら、稠密な $U_{k+1}$ は $I_0$ と交わり、交わる $U_{k+1}$ の成分は連結で $U_{k+1}\subset U_k$ なので $I_0$ に含まれる。よって $k$ と $k+1$ の両方の段に $J$ に含まれる成分があり、奇数と偶数の段の両方がとれる）。すると $h_1(J)\supset g_I(Z_I)=\mathbb R$、$h_2(J)\supset g_{I'}(Z_{I'})=\mathbb R$ である。よって $h_1,h_2$ はともに至る所全射である。$\square$

thm-esf-sum により、各 $\varphi$ に至る所全射な $h_1$ と $h_2=\varphi-h_1$ を対応させると、$\varphi\mapsto(h_1,h_2)$ は単射である。至る所全射な関数全体を $E$ とすると $2^{2^{\aleph_0}}\le|E\times E|=|E|^2$ であり、$E$ は無限集合なので $|E|^2=|E|$（選択公理のもとでの基数の算術）から $|E|\ge2^{2^{\aleph_0}}$ である。逆向きの不等号は $E$ が関数全体の部分集合であることから従う。関数全体の濃度は $(2^{\aleph_0})^{2^{\aleph_0}}=2^{2^{\aleph_0}}$ である。$\square$