曲面の極小三角形分割

1：2 次元の三角形分割は組合せ的であり（三角形分割可能な多様体 の定理「2 次元以下の三角形分割は組合せ的」）、各頂点 $u$ のリンク $\operatorname{Lk}(u,K)$（PL多様体 の定義「星状体とリンク」）は PL 1 次元球面、すなわち多角形である。単体複体の多角形は 3 個以上の頂点をもつ。辺 $[u,w]$ を面にもつ三角形 $[u,w,x]$ は、リンク $\operatorname{Lk}(u,K)$ の中で頂点 $w$ を端点にもつ辺 $[w,x]$ と 1 対 1 に対応する。多角形の各頂点はちょうど 2 本の辺の端点なので、$[u,w]$ を含む三角形はちょうど 2 つである。
2：辺と、それを含む三角形の組を数える。各三角形は 3 辺をもち、1 により各辺はちょうど 2 つの三角形に含まれるので $3f=2e$ である。$|K|$ の Euler 標数は $v-e+f$ である（単体複体 の系「多面体の基本性質」の (R3)）ので、$\chi=v-e+\frac23e=v-\frac e3$、すなわち $e=3(v-\chi)$、$f=\frac23e=2(v-\chi)$ である。
3：頂点 $u$ のリンクは 3 個以上の頂点をもち、それらは $u$ と異なるので $v\ge1+3=4$ である。$\square$

辺はその 2 頂点で決まるので $e\le\binom v2=\frac{v(v-1)}2$ である。lem-mt-counts の 2 の $e=3(v-\chi)$ を代入すると $6(v-\chi)\le v^2-v$、すなわち $v^2-7v+6\chi\ge0$ を得る。等号は $e=\binom v2$、すなわち任意の 2 頂点が辺で結ばれるときに限る。
閉曲面の Euler 標数は $2$ 以下である（閉曲面の分類定理 の定理「閉曲面の分類定理」と定理「Euler 標数と型による判定」により、閉曲面は $S^2$（$\chi=2$）、$T_n$（$\chi=2-2n$）、$P_m$（$\chi=2-m$）のどれかと同相である）。よって $D:=49-24\chi\ge1$ で、2 次式 $v^2-7v+6\chi$ は 2 つの実根 $\frac{7\pm\sqrt D}2$ をもち、$v^2-7v+6\chi\ge0$ は $v\le\frac{7-\sqrt D}2$ または $v\ge\frac{7+\sqrt D}2$ と同値である。$\frac{7-\sqrt D}2\le3$ であり、lem-mt-counts の 3 により $v\ge4$ なので、$v\ge\frac{7+\sqrt D}2$ である。$v\ge4>\frac72$ の範囲では $v^2-7v+6\chi$ は $v$ について狭義単調増加なので、2 つの不等式の等号は同時に成り立つ。$\square$

$\chi=2,1,0$ では $\sqrt{49-24\chi}=1,5,7$ なので、thm-mt-lower の右辺は $4,6,7$ である。$\chi=-2$ では $\sqrt{97}$ は $9$ と $10$ の間にあるので右辺は $8$ と $8.5$ の間にあり、$v\ge9$ である。$e=3(v-\chi)$、$f=2(v-\chi)$ に代入すれば $e,f$ の値を得る。各曲面の Euler 標数は Euler標数 の例「基本的な空間の Euler 標数」と 閉曲面の分類定理 の定理「Euler 標数と型による判定」による。$\square$

段 1（組合せの確認）． 3 元部分集合 $S\subset\mathbb{Z}/7$ の元を円周上に順に並べたとき、隣り合う元の差を巡回的に並べた列（和は $7$）を $S$ の 間隔列 という。間隔列は巡回的な並べ替えを除いて $S$ から決まり、逆に間隔列と始点で $S$ は決まる。$A_i$ の間隔列は $(1,2,4)$、$B_i$ の間隔列は $(2,1,4)$ であり、両者は巡回的な並べ替えで移り合わないので $A_i\ne B_j$ である。$(1,2,4)$ の 3 つの成分は異なるので、間隔 $1$ の始点として $i$ が $A_i$ から決まり、$A_i=A_j$ なら $i=j$ である。$B_i$ も同様である。よって 14 個の三角形は互いに異なる。$A_i$ と $B_i$ の辺の差はどちらも $\pm1,\pm2,\pm3$ で、これは $\mathbb{Z}/7$ の $0$ でない元のすべてなので、任意の 2 頂点 $j,j+d$（$d\in\{1,2,3\}$）は辺で結ばれる。
段 2（平面からの写像）． $\varphi\colon\mathbb{Z}^2\to\mathbb{Z}/7$ を $\varphi(a,b):=a+2b\bmod7$ で定め、$L:=\ker\varphi$ とおく。$L$ は $(7,0)$ と $(-2,1)$ で生成される指数 $7$ の部分群である。平面を、各単位正方形 $[a,a+1]\times[b,b+1]$ を対角線で 2 つに分けた三角形
$$ \Delta^A_x:=[x,\ x+(1,0),\ x+(1,1)],\qquad \Delta^B_x:=[x,\ x+(0,1),\ x+(1,1)]\qquad(x\in\mathbb{Z}^2) $$
で敷き詰め、その頂点・辺・三角形を タイルの単体 とよぶ。$\varphi(1,0)=1$、$\varphi(0,1)=2$、$\varphi(1,1)=3$ なので、$\varphi$ は $\Delta^A_x$、$\Delta^B_x$ の頂点を $A_{\varphi(x)}$、$B_{\varphi(x)}$ の頂点に 1 対 1 に写す。各タイルの三角形の上でアフィンになるように頂点の写像 $\varphi$ を延長した写像 $q\colon\mathbb{R}^2\to|\mathcal{T}|$ は、共有する辺の上で一致するので矛盾なく定まり、敷き詰めは局所有限なので連続である（貼り合わせの補題）。$\ell\in L$ について $\varphi(x+\ell)=\varphi(x)$ なので $q(y+\ell)=q(y)$ であり、$\mathcal{T}$ の各単体はタイルの単体の像なので $q$ は全射である。
段 3（$L$ を法とする単射性）． $y\in\mathbb{R}^2$ を内部（頂点ならその点自身）に含むタイルの単体 $\sigma_y$ はただ 1 つで、$q$ は $\sigma_y$ を $\mathcal{T}$ の同じ次元の単体 $q(\sigma_y)$ の上にアフィン同型に写し、$q(y)$ はその内部にある。$q(y)=q(y')$ とすると、$|\mathcal{T}|$ の各点はただ 1 つの単体の内部に属する（単体複体 の補題「各点の台」）ので $q(\sigma_y)=q(\sigma_{y'})$ である。タイルの単体の像から、その単体は $L$ の平行移動を除いて頂点の対応も込めて決まる。実際、頂点では $\varphi(x)=\varphi(x')\iff x-x'\in L$ である。辺は $[x,x+u]$（$u\in\{(1,0),(0,1),(1,1)\}$）の形で、像は $\{\varphi(x),\varphi(x)+\varphi(u)\}$、$\varphi(u)\in\{1,2,3\}$ である。$\{1,2,3\}$ と $\{-1,-2,-3\}$ は $\mathbb{Z}/7$ で交わらないので、像の辺から $u$ と $\varphi(x)$ が決まる。三角形では段 1 により像から型（$A$ か $B$）と $\varphi(x)$ が決まる。よって $\sigma_{y'}=\sigma_y+\ell$（$\ell\in L$）で、頂点の対応も平行移動で与えられる。$y'-\ell\in\sigma_y$ と $y$ は $q$ で同じ点に写り、$q$ は $\sigma_y$ の上で単射なので $y'-\ell=y$ である。
段 4（同相）． 以上により、$q$ は連続な全単射 $\bar q\colon\mathbb{R}^2/L\to|\mathcal{T}|$ を誘導する。$(7,0)$ と $(-2,1)$ を標準基底に写す線形同型は $\mathbb{R}^2/L$ から $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ への同相写像を誘導し、$\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ はトーラスと同相でコンパクトである（トーラス の定理「3 つのモデルはどれもトーラスと同相」）。$|\mathcal{T}|$ は Hausdorff（単体複体 の系「多面体の基本性質」の (R1)）なので、コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射 $\bar q$ は同相写像である。頂点・辺・三角形は $7,21,14$ 個で、cor-mt-table の下限に等しい。$\square$

$|K|$ はコンパクト Hausdorff であり（単体複体 の系「多面体の基本性質」）、有限単体複体の多面体として Euclid 空間の部分空間とみなせるので第 2 可算である。各頂点 $u$ について、開星状近傍 $\operatorname{st}u$ は $|K|$ の開集合で、$|\operatorname{St}(u,K)|$ は $u$ を頂点とする $|\operatorname{Lk}(u,K)|$ 上の錐である（PL多様体 の補題「星状体は錐である」）。リンクは円周と同相なので、この錐は $u$ を中心とする閉円板と同相であり、$\operatorname{st}u=|\operatorname{St}(u,K)|\setminus|\operatorname{Lk}(u,K)|$ は開円板と同相である。$|K|$ の各点はある頂点の重心座標が正なので、ある $\operatorname{st}u$ に含まれる。よって $|K|$ は 2 次元の位相多様体であり、閉曲面である。$\square$

各頂点のリンク（その頂点を含む 5 つの三角形から、その頂点を除いた 5 辺）は次の 5 角形である。

各リンクは残りの 5 頂点をすべて通るので、任意の 2 頂点は辺で結ばれ、辺は 15 本である。とくに $|\mathcal{P}|$ は連結であり、lem-mt-surface により閉曲面である。Euler 標数は $6-15+10=1$ である。閉曲面は $S^2$（$\chi=2$）、$T_n$（$\chi=2-2n$）、$P_m$（$\chi=2-m$）のどれかと同相であり（閉曲面の分類定理 の定理「閉曲面の分類定理」と定理「Euler 標数と型による判定」）、Euler 標数は同相で変わらない（Euler標数 の系「2 つの Euler 標数は一致する」）ので、$|\mathcal{P}|\cong P_1$ である。$P_1$ は実射影平面である（閉曲面の分類定理 の例「標準的な記号列」）。頂点・辺・三角形は $6,15,10$ 個で、cor-mt-table の下限に等しい。$\square$