臨界点

同義語：critical point停留点stationary point

概要

前提知識: 可微分多様体, 接空間, 偏微分

臨界点（critical point）とは、滑らかな写像 $F\colon M\to N$ の微分 $dF_p\colon T_pM\to T_{F(p)}N$ が全射でない点 $p$ のことである。値域が実数直線の関数 $f\colon M\to\mathbb{R}$ では、臨界点は微分 $df_p$ が $0$ になる点であり、局所座標では偏微分係数 $\partial f/\partial x_1,\dots,\partial f/\partial x_m$ がすべて $0$ になる点である。これは 1 変数の関数で $f'(a)=0$ となる点を多変数・多様体へ広げたものにあたる。臨界点の像を臨界値、$N$ の点で臨界値でないものを正則値という。
臨界点は 2 つの場面で現れる。1 つは極値の問題である。関数が極大・極小をとる点は臨界点なので（thm-crit-fermat）、最大・最小をとる点の候補は臨界点の中から探せばよい。もう 1 つは逆像の形である。正則値の逆像は部分多様体になるが、臨界値の逆像では形が崩れうる（正則値定理）。この記事では、臨界点であることが座標によらずに定まり、臨界点の集合が閉集合であることを示す。続いて、極値点が臨界点であること、空でないコンパクトな多様体（次元 $1$ 以上）の上の関数が臨界点を 2 つ以上もつこと、正則値の等位集合として表される部分多様体へ制限した関数の臨界点が Lagrange の乗数の条件で特徴づけられることを証明し、球面や複素平面の上の例を調べる。

定義

この記事では、多様体は Hausdorff かつ第 2 可算で境界のないものとし、「滑らか」は $C^\infty$ 級を指す。$M$ を $m$ 次元、$N$ を $n$ 次元の多様体とし、$F\colon M\to N$ を滑らかな写像とする。$p\in M$ のまわりの局所座標 $(U,\varphi)$、$\varphi=(x_1,\dots,x_m)$ と $F(p)$ のまわりの局所座標 $(V,\psi)$ をとり、局所表示 $\psi\circ F\circ\varphi^{-1}$ の $\varphi(p)$ での Jacobi 行列（$n\times m$ 行列）を $J_F(p)$ と書く。

臨界点・正則点・臨界値・正則値

点 $p\in M$ で微分 $dF_p\colon T_pM\to T_{F(p)}N$ が全射でないとき、$p$ を $F$ の 臨界点（critical point）という。$dF_p$ が全射になる点を 正則点（regular point）という。$F$ の臨界点全体の集合を $\operatorname{Crit}(F)$ と書く。
ある臨界点 $p$ によって $q=F(p)$ と書ける点 $q\in N$ を 臨界値（critical value）といい、$N$ の点で臨界値でないものを 正則値（regular value）という。

$F$ の像に入らない点は、逆像に臨界点がないので正則値である。この定義は Sardの定理と正則値定理の記事の定義と同じであり、Lee13 p. 105 の定義とも一致する。関数 $f\colon M\to\mathbb{R}$ の臨界点は、Mil63 §2（p. 4）では「$df_p=0$ となる点」として定義されている。次の命題の 3 により、2 つの定義は同じものを指す。

座標による判定

$p$ が $F$ の臨界点であることは、$\operatorname{rank}J_F(p)< n$ であることと同値である。この条件は局所座標のとり方によらない。
$m< n$ ならば、$M$ のすべての点が $F$ の臨界点である。
$n=1$ のとき、$p$ が臨界点であることは $dF_p=0$ と同値である。とくに関数 $f\colon M\to\mathbb{R}$ については、$p$ が臨界点であることは、局所座標で
$$ \frac{\partial f}{\partial x_1}(p)=\dots=\frac{\partial f}{\partial x_m}(p)=0 $$
となることと同値である。

1．接空間の命題「微分の局所座標表示」により、座標ベクトルの基底に関する $dF_p$ の表現行列は $J_F(p)$ である。線形写像が全射であることは、表現行列の階数が値域の次元 $n$ に等しいことと同値なので、$p$ が臨界点であることは $\operatorname{rank}J_F(p)< n$ と同値である。$dF_p$ は局所座標を使わずに定義されているので、この条件も局所座標のとり方によらない。直接にも、別の局所座標をとると Jacobi 行列は $BJ_F(p)A$（$A$、$B$ は座標変換の Jacobi 行列で正則）に変わり、正則行列を掛けても階数は変わらないことから確かめられる。
2．$J_F(p)$ は $n\times m$ 行列なので階数は $m$ 以下であり、$m< n$ なら $n$ 未満である。1 によりすべての点が臨界点である。
3．値域が 1 次元のベクトル空間である線形写像は、$0$ でなければ全射である（像は $0$ でない部分空間で、1 次元の空間の $0$ でない部分空間は全体に等しい）。よって $dF_p$ が全射でないことは $dF_p=0$ と同値である。$N=\mathbb{R}$ で $\psi$ を恒等写像にとれば、$J_f(p)$ は 1 行の行列 $\bigl(\partial f/\partial x_1(p),\dots,\partial f/\partial x_m(p)\bigr)$ であり、これが $0$ であることが $df_p=0$ と同値である。$\square$

呼び方と流儀

$\mathbb{R}^m$ の開集合の上の関数の臨界点は 停留点（stationary point）とも呼ばれる。極値の記事では、滑らかさを仮定せず、その点で偏微分可能で勾配が $0$ になる点を臨界点（停留点）と呼んでいる。滑らかな関数については、この記事の定義と一致する。
$m< n$ の写像について、$\operatorname{rank}J_F(p)< \min(m,n)$ となる点だけを臨界点と呼ぶ文献もある（正則値定理の注意「流儀の違い」）。$m\ge n$ なら 2 つの定義は一致する。この記事は $dF_p$ が全射でない点をすべて臨界点と呼ぶ流儀をとる。
集合論で初等埋め込み $j$ が動かす最小の順序数を $j$ の臨界点と呼ぶ（初等埋め込み）が、これはこの記事の臨界点とは別の概念である。

臨界点の集合と臨界値の集合は、大きさがまったく違いうる。定数写像ではすべての点が臨界点だが、臨界値は 1 点である。$\mathbb{R}^2$ 上の関数 $f(x,y)=x^2$ では、$df=2x\,dx$ なので臨界点の集合は $y$ 軸の全体であり、臨界値は $0$ だけである。一般に滑らかな写像の臨界値の集合は Lebesgue 測度の意味で測度零であり、正則値は $N$ の中で稠密にある。これが Sardの定理である。

臨界点の集合は閉集合

$\operatorname{Crit}(F)$ は $M$ の閉集合である。言い換えると、正則点の全体は $M$ の開集合である。

$p$ を正則点とする。上の局所座標をとり、$U':=U\cap F^{-1}(V)$ とおく。$U'$ は $p$ を含む開集合で、$U'$ の各点 $x$ での Jacobi 行列 $J_F(x)$ の成分は、局所表示の偏導関数なので $x$ について連続である。$\operatorname{rank}J_F(p)=n$ なので、$J_F(p)$ には値が $0$ でない $n$ 次の小行列式がある。その小行列式は $x$ の連続関数なので、$p$ のある開近傍 $W\subset U'$ の上で $0$ でない。$W$ の各点で $\operatorname{rank}J_F(x)=n$ であり、prop-crit-coordinates の 1 により $W$ の点はすべて正則点である。よって正則点の全体は開集合であり、その補集合 $\operatorname{Crit}(F)$ は閉集合である。$\square$

臨界点と極値

関数 $f\colon M\to\mathbb{R}$ が $p$ で極大をとるとは、$p$ のある近傍 $W$ のすべての点 $x$ で $f(x)\le f(p)$ となることをいう。不等号を逆にしたものを極小といい、合わせて極値という。

極値点は臨界点

$f\colon M\to\mathbb{R}$ を滑らかな関数とし、$f$ が $p\in M$ で極大または極小をとるとする。このとき $p$ は $f$ の臨界点である。

極大の場合を示す（極小なら $-f$ に当てる）。$W$ を上の定義の近傍とし、$v\in T_pM$ を任意にとる。$p$ のまわりの局所座標 $(U,\varphi)$ で $v$ の成分を $\hat v\in\mathbb{R}^m$ とし、$\gamma(t):=\varphi^{-1}(\varphi(p)+t\hat v)$ とおく。$\varphi(U)$ は開集合なので、$\varepsilon>0$ を小さくとれば $\lvert t\rvert< \varepsilon$ で $\gamma(t)$ は定義されて $W$ に属し、$\gamma$ は $\gamma(0)=p$、$\gamma'(0)=v$ を満たす滑らかな曲線である。
$g(t):=f(\gamma(t))$ は $(-\varepsilon,\varepsilon)$ 上の微分可能な関数で、$g(t)\le g(0)$ を満たす。$0< t< \varepsilon$ では $\bigl(g(t)-g(0)\bigr)/t\le0$、$-\varepsilon< t< 0$ では $\bigl(g(t)-g(0)\bigr)/t\ge0$ なので、$t\to0$ の極限 $g'(0)$ は $0$ 以下かつ $0$ 以上であり、$g'(0)=0$ である。連鎖律（接空間の定理「連鎖律」）により $g'(0)=df_p(\gamma'(0))=df_p(v)$ なので、$df_p(v)=0$ である。$v$ は任意なので $df_p=0$ であり、prop-crit-coordinates の 3 により $p$ は臨界点である。$\square$

$M$ が $\mathbb{R}^m$ の開集合なら、これは偏微分の記事の命題「極値での偏微分係数」の、滑らかな関数の場合である。逆は成り立たない。$\mathbb{R}$ 上の $x^3$ の原点や、$\mathbb{R}^2$ 上の $x^2-y^2$ の原点は臨界点だが、極値点でない（ex-crit-table）。臨界点が極大・極小・そのどちらでもない点のどれであるかは、2 階微分で調べる。

コンパクトな多様体の上の関数の臨界点

$M$ を空でないコンパクトな多様体、$f\colon M\to\mathbb{R}$ を滑らかな関数とする。$f$ は最大値と最小値をとり、最大点と最小点は $f$ の臨界点である。$\dim M\ge1$ ならば、$f$ は少なくとも 2 つの臨界点をもつ。

$f(M)$ はコンパクト集合の連続写像による像なので、$\mathbb{R}$ の空でないコンパクト集合であり、最大元と最小元をもつ。それをとる点を $p_+$、$p_-$ とする。最大点・最小点は極大点・極小点なので、thm-crit-fermat によりどちらも臨界点である。$f(p_+)\ne f(p_-)$ なら $p_+\ne p_-$ で、臨界点は 2 つ以上ある。$f(p_+)=f(p_-)$ なら $f$ は定数で、$df=0$ なのですべての点が臨界点である。$\dim M\ge1$ なら $M$ は $\mathbb{R}^m$ の開球と同相な開集合を含むので無限個の点をもち、臨界点は 2 つ以上ある。$\square$

臨界点が少なくとも 1 つあることは、沈め込みの系「コンパクトな多様体上の関数の臨界点」でも、値域の位相だけを使う別の証明で示されている。下界の 2 は最良である。球面 $S^m$ の高さ関数 $x\mapsto x_{m+1}$ の臨界点は北極と南極の 2 つだけである（正則値定理の例「球面の高さ関数」）。多様体の位相が複雑になると臨界点は増える。たとえばトーラス $T^m$ の上の滑らかな関数は少なくとも $m+1$ 個の臨界点をもつ（Lusternik–Schnirelmann圏数の定理「Lusternik–Schnirelmann の定理」）。

部分多様体の上の臨界点

条件 $g(x)=c$ のもとで関数 $f(x)$ の極値を探す問題は、等位集合 $S=g^{-1}(c)$ の上の関数 $f|_S$ の臨界点を探す問題として読める。$S$ が部分多様体なら、$f|_S$ の臨界点は $\mathbb{R}^N$ の中のベクトルの条件で特徴づけられる。
以下、$U\subset\mathbb{R}^N$ を開集合、$1\le k< N$、$g=(g_1,\dots,g_k)\colon U\to\mathbb{R}^k$ と $f\colon U\to\mathbb{R}$ を滑らかな写像とし、$c\in\mathbb{R}^k$ は $g$ の正則値で $S:=g^{-1}(c)$ は空でないとする。$S$ の各点 $q$ で Jacobi 行列 $Dg(q)$ の階数は $k$ なので、$S$ は $N-k$ 次元の部分多様体であり、各点 $p\in S$ で接空間は $T_pS=\ker Dg(p)\subset\mathbb{R}^N$ である（接空間の定理「等位集合の接空間」）。$\nabla f$ は勾配 $\bigl(\partial f/\partial x_1,\dots,\partial f/\partial x_N\bigr)$ を表す。

部分多様体へ制限した関数の臨界点

$p\in S$ について、次の 3 条件は同値である。

$p$ は $f|_S\colon S\to\mathbb{R}$ の臨界点である。
$\nabla f(p)=\lambda_1\nabla g_1(p)+\dots+\lambda_k\nabla g_k(p)$ となる $\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_k)\in\mathbb{R}^k$ がある。
ある $\lambda\in\mathbb{R}^k$ について、$(p,\lambda)$ は関数 $\mathcal{L}(x,\lambda):=f(x)-\sum_{i=1}^k\lambda_i\bigl(g_i(x)-c_i\bigr)$（$U\times\mathbb{R}^k$ の上の関数）の臨界点である。
2 の $\lambda$ はただ 1 つに定まり、3 の $\lambda$ はそれと一致する。

1 ⇔ 2．$v\in T_pS$ をとる。接空間の補題「部分多様体の接空間は速度ベクトルの全体」により、$S$ の中の滑らかな曲線 $\gamma$ で $\gamma(0)=p$、$\gamma'(0)=v$ となるものがある。$f|_S\circ\gamma=f\circ\gamma$ なので、連鎖律により
$$ d(f|_S)_p(v)=(f\circ\gamma)'(0)=\nabla f(p)\cdot v $$
である。よって 1 は、$\nabla f(p)$ が $T_pS=\ker Dg(p)$ のすべてのベクトルと直交することと同値である。$Dg(p)$ の第 $i$ 行は $\nabla g_i(p)$ なので、$\ker Dg(p)$ は $W:=\operatorname{span}\{\nabla g_1(p),\dots,\nabla g_k(p)\}$ の直交補空間 $W^\perp$ である。有限次元の内積空間では $(W^\perp)^\perp=W$ なので、$\nabla f(p)\perp W^\perp$ は $\nabla f(p)\in W$、すなわち 2 と同値である。$\operatorname{rank}Dg(p)=k$ なので $\nabla g_1(p),\dots,\nabla g_k(p)$ は 1 次独立であり、2 の係数 $\lambda$ はただ 1 つに定まる。
2 ⇔ 3．$\mathcal{L}$ は $U\times\mathbb{R}^k$（$N+k$ 次元）から $\mathbb{R}$ への関数なので、prop-crit-coordinates の 3 により、$(p,\lambda)$ が臨界点であることは $N+k$ 個の偏微分係数がすべて $0$ であることと同値である。
$$ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}(p,\lambda)=\nabla f(p)-\sum_{i=1}^k\lambda_i\nabla g_i(p),\qquad\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda_i}(p,\lambda)=-\bigl(g_i(p)-c_i\bigr) $$
であり、$p\in S$ なので後者はつねに $0$ である。よって $(p,\lambda)$ が臨界点であることは、$\lambda$ が 2 の等式を満たすことと同値である。$\square$

thm-crit-fermat と合わせると、$f|_S$ が $p$ で極値をとれば 2 が成り立つ。これが Lagrangeの未定乗数法の主定理であり、その記事では陰関数定理から直接に証明している。上の定理の内容は、条件 2 が極値点だけでなく $f|_S$ の臨界点をちょうど特徴づけることにある。条件 2 を解いて得られる点は、極値点とは限らないが、すべて $f|_S$ の臨界点である。

球面の上の 2 次形式

$A$ を $N$ 次の実対称行列、$f(x):=x^{\top}Ax$、$g(x):=\lvert x\rvert^2$、$c=1$ とし、$S=S^{N-1}$ を単位球面とする。$\nabla g(x)=2x$ は $S$ の上で $0$ でないので、$1$ は $g$ の正則値である。$\nabla f(x)=2Ax$ なので、thm-crit-lagrange により、$p\in S^{N-1}$ が $f|_S$ の臨界点であることは、ある $\lambda$ で $Ap=\lambda p$ となること、すなわち $p$ が $A$ の長さ $1$ の固有ベクトルであることと同値である。そのとき臨界値は $f(p)=p^{\top}(\lambda p)=\lambda$ で、固有値に等しい。

$A=\operatorname{diag}(1,2,3)$（$N=3$）なら、臨界点は $\pm e_1$、$\pm e_2$、$\pm e_3$ の 6 点で、臨界値は $1,2,3$ である。
$A=I$ なら、$f|_S$ は定数 $1$ で、$S^{N-1}$ のすべての点が臨界点である。
cor-crit-compact により $f|_S$ は最大値をとり、最大点は臨界点なので、実対称行列はつねに実数の固有値と長さ $1$ の固有ベクトルをもつ。最大値と最小値は、それぞれ $A$ の最大・最小の固有値である。

点からの距離の臨界点

$S$ を上のとおりとし、点 $q\in\mathbb{R}^N$ をとって $f(x):=\lvert x-q\rvert^2$ とおく。$\nabla f(x)=2(x-q)$ なので、$p\in S$ が $f|_S$ の臨界点であることは、$p-q$ が $T_pS$ に直交すること、つまり $q$ から $p$ への線分が $S$ に $p$ で直交することと同値である（thm-crit-lagrange の 1 ⇔ 2 の証明で見たとおり、2 は $\nabla f(p)\perp T_pS$ と同値である）。
単位円 $S^1\subset\mathbb{R}^2$ と $q\ne0$ では、$T_pS^1=p^\perp$ なので、条件は $p-q$ が $p$ の実数倍であること、すなわち $q$ が $p$ の実数倍であることになる。$\lvert p\rvert=1$ より臨界点は $p=\pm q/\lvert q\rvert$ の 2 点で、$q$ に最も近い点と最も遠い点である。$q=0$ なら $f|_{S^1}$ は定数 $1$ で、すべての点が臨界点である。

写像の臨界点の例

球面の平面への射影

$\pi\colon S^2\to\mathbb{R}^2$、$\pi(x,y,z):=(x,y)$ とする。$p\in S^2$ で $T_pS^2=p^\perp$ と同一視すると、$d\pi_p(v)=(v_1,v_2)$ である。$\dim T_pS^2=\dim\mathbb{R}^2=2$ なので、$d\pi_p$ が全射であることは単射であることと同値であり、核 $p^\perp\cap\mathbb{R}e_3$ が $0$ であること、すなわち $e_3\notin p^\perp$（$p$ の $z$ 座標が $0$ でないこと）と同値である。
したがって臨界点の集合は赤道 $\{z=0\}\cap S^2$、臨界値の集合は単位円 $\{x^2+y^2=1\}$ である。正則値 $w$ について、$\lvert w\rvert< 1$ なら逆像は $(w,\pm\sqrt{1-\lvert w\rvert^2})$ の 2 点、$\lvert w\rvert>1$ なら逆像は空である。臨界値 $\lvert w\rvert=1$ では逆像は 1 点 $(w,0)$ になる。臨界値の円を境に、逆像の点の個数が変わる。

正則関数の臨界点

$\Omega\subset\mathbb{C}$ を開集合、$h\colon\Omega\to\mathbb{C}$ を正則関数とし、$\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ とみて $h$ を $\mathbb{R}^2$ の開集合から $\mathbb{R}^2$ への滑らかな写像と考える。Cauchy–Riemann の方程式により、実の Jacobi 行列の行列式は $\lvert h'(z)\rvert^2$ に等しい（Cauchy–Riemannの方程式の定理「全微分の複素線形性」）。$2\times2$ 行列の階数が $2$ であることは行列式が $0$ でないことと同値なので、$z$ が臨界点であることは $h'(z)=0$ と同値である。
たとえば $d\ge1$ 次の多項式 $P$ の臨界点は $P'$ の根であり、$d-1$ 個以下で、臨界値も有限個である。$P(z)=z^2$ なら臨界点は $0$、臨界値は $0$ だけであり、$0$ でない $w$ はちょうど 2 つの逆像 $\pm\sqrt w$ をもち、臨界値 $0$ の逆像は 1 点である。

非退化臨界点

関数 $f\colon M\to\mathbb{R}$ の臨界点 $p$ では、局所座標での 2 階偏微分の行列（Hesse 行列）が定める $T_pM$ 上の対称双線形形式が、局所座標のとり方によらずに定まる（Morse関数の命題「Hesse形式」）。臨界点でない点では、この行列は座標とともに変わる。Hesse 行列が正則な臨界点を 非退化臨界点 といい、その近くでは $f$ の形が負の固有値の個数（指数）だけで決まる。非退化臨界点と指数、Morse の補題は Morse関数と Morseの補題で扱い、Hesse 行列の符号による極大・極小の判定は極値の記事の定理「2 階の十分条件」にある。退化臨界点は孤立するとは限らない。$\mathbb{R}^2$ 上の $x^2$ では $y$ 軸の全体が臨界点である。

反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
（逆向きの主張）	$\mathbb{R}$ 上の $x^3$ の $0$、$\mathbb{R}^2$ 上の $x^2-y^2$ の原点	臨界点は極値点である
多様体に境界がない	$[0,1]$ 上の $f(x)=x$ の $0$	極値点は臨界点である
$f$ が微分可能	$\mathbb{R}$ 上の $\lvert x\rvert$ の $0$	極値点で微分が $0$ になる
$M$ がコンパクト	$\mathbb{R}$ 上の $f(x)=x$	臨界点をもつ
$c$ が $g$ の正則値	$g(x,y)=y^2-x^3$、$c=0$、$f(x,y)=x$	条件 $g=c$ のもとでの最小点で $\nabla f$ が $\nabla g$ の実数倍

表の確かめ

1 行目：$x^3$ の微分 $3x^2$ は $0$ で $0$ なので原点は臨界点だが、$x>0$ で $x^3>0$、$x< 0$ で $x^3< 0$ なので極値点でない。$x^2-y^2$ の勾配 $(2x,-2y)$ は原点で $0$ だが、$f(t,0)=t^2>0$、$f(0,t)=-t^2< 0$（$t\ne0$）なので極値点でない。
2 行目：$0$ は $[0,1]$ 上の最小点だが、$f'(0)=1\ne0$ である。$0$ は境界の点であり、prf-crit-fermat で使った「$p$ の両側へ動く曲線」がとれない。
3 行目：$\lvert x\rvert$ は $0$ で最小値をとるが、$0$ で微分可能でない（右側の差分商は $1$、左側は $-1$）ので、この記事の意味の臨界点ではない。
4 行目：$f'(x)=1\ne0$ なので臨界点はない。$f$ は最大値も最小値もとらない。
5 行目：$S:=\{y^2=x^3\}$ の点は $x=y^{2/3}\ge0$ を満たすので、$S$ の上で $f=x\ge0$ であり、原点で最小値 $0$ をとる。しかし $\nabla g(x,y)=(-3x^2,2y)$ は原点で $0$ なので、$\nabla f=(1,0)$ はその実数倍でない。原点は $g$ の臨界点であり、$0$ は $g$ の正則値でない。$S$ は $t\mapsto(t^2,t^3)$ の像で、原点で尖った曲線（尖点）である。

補足

臨界点の個数と位相：コンパクトな多様体の上の関数の臨界点の個数は、多様体の位相から下から押さえられる。Morse 関数については Morse理論、一般の関数については Lusternik–Schnirelmann圏数で扱う。
無限次元の臨界点：測地線は曲線の長さ・エネルギーの、極小曲面は面積の臨界点として特徴づけられる（極小曲面(微分幾何学) の系「極小曲面は面積の臨界点」）。変分法は、関数の空間の上の汎関数の臨界点を調べる理論である。
余接束の言葉で：関数 $f$ の微分 $df$ は余接束 $T^*M$ の切断であり、$p$ が臨界点であることは $df_p$ が零切断の上にあることである。
文献：臨界点・正則点・臨界値・正則値の定義は Lee13 Ch. 5（p. 105）、関数の臨界点の定義は Mil63 §2（p. 4）による。