整モノイド
概要
整モノイド（integral monoid）とは、可換モノイド $M$ からその群化 $M^{\mathrm{gp}}$ への自然な準同型が単射となる可換モノイドである。これは消去律（$a+c=b+c$ なら $a=b$）と同値であり、整モノイドはちょうど可換群の部分モノイドとみなせるものである。自然数の加法モノイドは整だが、$e+e=e$ となる $e\ne0$ をもつモノイドは整でない。任意の可換モノイドは、群化で同じ元に写る元を同一視することで普遍的に整モノイドにでき、これを整モノイド化という。
整モノイドは、可換モノイドの加法で約分ができることを表す概念である。群化への自然な準同型が単射であることと消去律が同値になるため、整モノイドはその群化の部分モノイドとして扱える。本記事では加法記法を用い、可換モノイドの単位元を $0$ と書く。
定義
可換モノイド $M$ の群化を $M^{\mathrm{gp}}$、自然な準同型を
$$
\iota_M\colon M\longrightarrow M^{\mathrm{gp}}
$$
とする。
可換モノイド $M$ が整モノイド（integral monoid）であるとは、自然な準同型 $\iota_M$ が単射であることをいう。整モノイドを消去的可換モノイド（cancellative commutative monoid）ともいう。
この定義でいう「整」は可換環の整拡大とは別の用語である。可換環の乗法モノイドとの類似よりも、次節の消去律による特徴づけを基本像とするのがよい。
可換モノイド $M$ の単元群を $M^*$ とする。包含 $M^*\hookrightarrow M$ と $\iota_M$ の合成
$$
M^*\longrightarrow M^{\mathrm{gp}}
$$
が単射であるとき、$M$ を擬整モノイド（quasi-integral monoid）という。
整モノイドは擬整モノイドであるが、逆は一般に成り立たない。
消去律による特徴づけ
群化は $M\times M$ の元 $(a,b)$ を形式差 $a-b$ とみなし、
$$
(a,b)\sim(a',b')
\quad\Longleftrightarrow\quad
\text{ある }c\in M\text{ が存在して }a+b'+c=a'+b+c
$$
で商を取ることによって構成できる。この構成から整性を加法だけで判定できる。
可換モノイド $M$ について、次は同値である。
- $M$ は整モノイドである。
- 任意の $a,b,c\in M$ に対し、$a+c=b+c$ ならば $a=b$ である。
これは 可換モノイドの群化 の命題「自然写像が単射であるための条件」である。自然写像の像の等しさは、ある共通加数を加えて等しくなることと同値なので、単射性と消去律が一致する。
擬整性にも同様の判定法がある。
可換モノイド $M$ について、次は同値である。
- $M$ は擬整モノイドである。
- $u\in M^*$ と $b\in M$ が $u+b=b$ を満たすならば $u=0$ である。
$1\Rightarrow2$ を示す。$u+b=b$ ならば $M^{\mathrm{gp}}$ で $\iota_M(u)=0$ である。$M^*\to M^{\mathrm{gp}}$ の単射性より $u=0$ となる。
$2\Rightarrow1$ を示す。$u,v\in M^*$ の像が $M^{\mathrm{gp}}$ で等しいとする。群化の構成より、ある $c\in M$ が存在して $u+c=v+c$ である。$-v$ を $v$ の $M^*$ における逆元と書けば、$u-v+(v+c)=v+c$ である。仮定を $u-v\in M^*$ と $v+c\in M$ に適用して $u-v=0$、すなわち $u=v$ を得る。$\blacksquare$
基本例と反例
加法モノイド $\mathbb N$ は整モノイドである。実際、自然数の加法では消去律が成り立つ。より一般に、集合 $X$ 上の自由可換モノイド
$$
\mathbb N^{(X)}=\{f\colon X\to\mathbb N\mid f\text{ の台は有限}\}
$$
も成分ごとの消去律により整モノイドである。その群化は $\mathbb Z^{(X)}$ であり、自然な写像は通常の包含である。
任意のアーベル群は整モノイドである。また、アーベル群 $G$ の任意の部分モノイド $M$ は整モノイドである。等式 $a+c=b+c$ を $G$ で見れば、逆元 $-c$ を加えて $a=b$ とできるからである。
$M=\{0,e\}$ に $e+e=e$ で加法を定める。すると
$$
e+e=0+e
$$
であるが $e\ne0$ なので、$M$ は整モノイドではない。一方、単元は $0$ だけなので $M^*=\{0\}$ から $M^{\mathrm{gp}}$ への写像は単射である。したがって $M$ は擬整だが整ではない。
整モノイド $M$ の元 $e$ が $e+e=e$ を満たすならば $e=0$ である。
$e+e=e+0$ に消去律を適用すると $e=0$ を得る。$\blacksquare$
この命題の逆は成り立たない。非自明な冪等元がないことだけでは、一般の三元 $a,b,c$ に対する消去律までは導けない。
保存性
次が成り立つ。
- 整モノイドの部分モノイドは整モノイドである。
- 整モノイドの任意の族 $(M_i)_{i\in I}$ に対し、直積 $\prod_{i\in I}M_i$ は整モノイドである。
- 整モノイドの有限台直和 $\bigoplus_{i\in I}M_i$ は整モノイドである。
- $N\subseteq M$ を部分モノイドとし、$a+c=b+c$ が $N$ で成り立つとする。同じ等式は $M$ でも成り立つので、$M$ の消去律から $a=b$ である。
- $(a_i)+(c_i)=(b_i)+(c_i)$ とする。各 $i$ について $a_i+c_i=b_i+c_i$ であり、$M_i$ の消去律から $a_i=b_i$ となる。したがって $(a_i)=(b_i)$ である。
- 有限台直和は直積の部分モノイドであるから、1. と2. を適用すればよい。$\blacksquare$
$M$ を整モノイド、$f\colon M\to N$ を可換モノイド準同型とする。$f$ が単射ならば、像 $f(M)$ は整モノイドである。
$f(a)+f(c)=f(b)+f(c)$ とする。これは $f(a+c)=f(b+c)$ と同値である。$f$ の単射性から $a+c=b+c$、さらに $M$ の消去律から $a=b$ となる。よって $f(a)=f(b)$ である。$\blacksquare$
単射性を外すと像は整とは限らない。整モノイド $\mathbb N$ から二元冪等モノイド $\{0,e\}$ への準同型を $0\mapsto0$、正の自然数を $e$ へ送ることで定めると、その像は整でない。
整モノイド化
任意の可換モノイドから、消去律が成立する最大の商を作ることができる。
可換モノイド $M$ 上の関係を
$$
a\sim_{\mathrm{int}}b
\quad\Longleftrightarrow\quad
\text{ある }c\in M\text{ が存在して }a+c=b+c
$$
で定める。商モノイド
$$
M^{\mathrm{int}}=M/{\sim_{\mathrm{int}}}
$$
を $M$ の整モノイド化（integralization）という。
この関係は群化写像 $\iota_M$ の核合同関係である。したがって $M^{\mathrm{int}}$ は $M^{\mathrm{gp}}$ における $M$ の像と同一視できる。
$q\colon M\to M^{\mathrm{int}}$ を商準同型とする。
- $M^{\mathrm{int}}$ は整モノイドである。
- 任意の整モノイド $N$ と準同型 $f\colon M\to N$ に対し、$f=\overline f\circ q$ を満たす準同型 $\overline f\colon M^{\mathrm{int}}\to N$ がただ1つ存在する。
- $[a]+[c]=[b]+[c]$ とする。これはある $d\in M$ に対して
$$ a+c+d=b+c+d $$
となることを意味する。$c+d$ を補正項として $a\sim_{\mathrm{int}}b$、すなわち $[a]=[b]$ を得る。 - $a\sim_{\mathrm{int}}b$ とする。ある $c\in M$ に対して $a+c=b+c$ だから、$N$ では
$$ f(a)+f(c)=f(b)+f(c) $$
である。$N$ の消去律より $f(a)=f(b)$ となる。ゆえに $\overline f([a])=f(a)$ は代表元によらず定まり、準同型になる。$q$ は全射なので、この因子化は一意である。$\blacksquare$
この普遍性は、整モノイド化が可換モノイドの圏から整モノイドの充満部分圏への反射子であることを表す。特に $M$ がすでに整ならば $q$ は同型である。
群の部分モノイドとして見る
整性を仮定すると、群化内の計算とモノイド内の計算をはっきり区別できる。$a-b$ は群化に存在するが、一般には $M$ の元ではない。$M\subset M^{\mathrm{gp}}$ という記号は、群化への自然写像が単射であることを確認して初めて使える。
可換モノイド $M$ が整であることと、あるアーベル群 $G$ への単射モノイド準同型が存在することは同値である。
$M$ が整なら自然写像 $M\to M^{\mathrm{gp}}$ が必要な単射準同型を与える。逆に単射準同型 $j\colon M\to G$ があるとする。$a+c=b+c$ なら $G$ で $j(a)+j(c)=j(b)+j(c)$ となり、$j(c)$ を引いて $j(a)=j(b)$ を得る。$j$ の単射性から $a=b$ である。従って $M$ は消去的であり、整である。$\square$
この特徴づけは、整モノイドには最初から群の部分集合として与えられる例が多い理由を説明する。整数格子の中の非負整数の組や、実数の加法群の中の非負実数などは、加法で閉じ零を含むことを確かめれば整モノイドになる。群の全体を使う必要はなく、逆元を取り除いた部分にも消去律だけは残る。
$\mathbb Q_{\ge0}$ は加法について整モノイドであり、その群化は $\mathbb Q$ である。任意の有理数は非負有理数どうしの差として表せるからである。しかしこのモノイドは有限生成でない。有限個の生成元の分母の公倍数を $D$ とすると、その和で作れる数はすべて $D^{-1}\mathbb N$ に入るが、$1/(2D)$ はそこに入らない。従って整性は有限生成性を含意しない。
整性とねじれは異なる
消去律を何度も使うことと、同じ整数倍を取り除くことは異なる。消去律は共通の加数 $c$ に対する条件であるが、$na=nb$ から $a=b$ を導くときには、どちらにも同じ共通加数があるとは限らない。
$\mathbb Z/2\mathbb Z$ を加法モノイドとみると、群なので整である。しかし $2[1]=[0]=2[0]$ であり、$[1]\ne[0]$ である。したがって「整モノイドなら $na=nb$ から $a=b$ が従う」という含意は、正整数 $n$ について一般には偽である。
群化にねじれがない場合には、$n(a-b)=0$ から $a-b=0$ が従うので整数倍の消去も可能になる。反対に、整モノイド上で任意の正整数倍が単射なら、その群化にもねじれはない。実際、$n(a-b)=0$ なら $na=nb$ がモノイド内で成り立ち、仮定より $a=b$ となる。このように整数倍の消去は、整性に追加する別の性質である。
シャープ性も整性とは別の条件である。シャープモノイドは単元が零だけのモノイドであり、整モノイドは共通加数を消せるモノイドである。二元冪等モノイドはシャープだが整でなく、非自明なアーベル群は整だがシャープでない。$\mathbb N$ は両方の条件を満たす。二つの条件を分けることで、部分群を含む整モノイドと、正方向だけの整モノイドを区別できる。
冪等元がなくても消去律は保証されない
非零冪等元が整性を妨げることは既に見た。しかし、そのような元がないモノイドにも別の原因による消去律の破れがある。次の例では、すべての非零元に正の次数があるため冪等元は存在しない一方、同じ元を加えることで異なる元が等しくなる。
$\mathbb N^3$ の基底の像を $a,b,c$ と書き、関係 $a+c=b+c$ により生成される合同関係の商を $P$ とする。このとき $a\ne b$ だが $a+c=b+c$ なので $P$ は整でない。それでも $P$ の冪等元は零元だけである。
生成関係は係数ベクトルで $(1,0,1)\sim(0,1,1)$ である。関係式の各適用には第三座標が少なくとも $1$ 必要であり、関係式の両側の第三座標は等しい。そのため第三座標 $0$ の元には非自明な関係式を適用できず、$(1,0,0)$ と $(0,1,0)$ は同一視されない。従って $a\ne b$ である。
係数の総和を取る準同型 $\deg\colon\mathbb N^3\to\mathbb N$ は、生成関係の両側で値 $2$ となるから $P$ 上の準同型に降りる。次数 $0$ の係数ベクトルは零だけであり、同値なベクトルの次数も同じなので、$\deg(p)=0$ は $p=0$ と同値である。$p+p=p$ なら $2\deg(p)=\deg(p)$ より $\deg(p)=0$ だから $p=0$ である。$\square$
第三座標 $0$ の類が一元だけであることは、合同関係の有限連鎖によって厳密に確認できる。連鎖が一段でも進むには、出発点が生成関係の片側に非負の係数ベクトルを加えた形でなければならない。その第三座標は必ず正であるため、$a$ や $b$ からは最初の一段が進めない。この議論は、合同関係の生成において負の係数を使った差し引きを許してはいけないことの具体例でもある。
整モノイド化で何が変わるか
整モノイド化は消去できない等式を補う操作であり、すべての元に逆元を加える操作ではない。自然数はすでに整だから整モノイド化しても自然数のままであるが、群化すると整数になる。一般の $M$ に対しては、次の因子化がある。
$$
\xymatrix{
M \ar[r]^q \ar[dr]_{\iota_M} & M^{\mathrm{int}} \ar@{^{(}->}[d] \\
& M^{\mathrm{gp}}
}
$$
右の単射は $[a]\mapsto\iota_M(a)$ である。可換性は、この写像と $q$ の合成が $\iota_M$ になるという意味である。すなわち整モノイド化は、群化へ送る前にその像だけを取り出す。
商写像 $q\colon M\to M^{\mathrm{int}}$ により誘導される
$$
q^{\mathrm{gp}}\colon M^{\mathrm{gp}}\longrightarrow(M^{\mathrm{int}})^{\mathrm{gp}}
$$
は群同型である。
写像 $[a]\mapsto\iota_M(a)$ は整モノイド化の関係により正しく定まり、群化の普遍性から $\beta\colon(M^{\mathrm{int}})^{\mathrm{gp}}\to M^{\mathrm{gp}}$ に延長する。$\beta q^{\mathrm{gp}}$ は各 $\iota_M(a)$ をそのまま返すので、差の形で書けるすべての元もそのまま返す。逆の合成も各自然な像 $\iota_{M^{\mathrm{int}}}([a])$ をそのまま返すから恒等写像である。よって互いに逆の同型になる。$\square$
整モノイド化の普遍性により、これを二度行っても新しい同一視は生じない。$M^{\mathrm{int}}$ は消去的なので、その群化への自然写像は単射であり、さらに整モノイド化してももとの元の区別が保たれる。また準同型 $f\colon M\to N$ は $M^{\mathrm{int}}\to N^{\mathrm{int}}$ を誘導する。$a+c=b+c$ の像は $f(a)+f(c)=f(b)+f(c)$ なので、同じ整モノイド化の類へ写るからである。
前節の関係 $a+c=b+c$ をもつ例では、整モノイド化が $a$ と $b$ を同一視する。整性を持つ行き先でその等式を保つなら、必ず共通加数を消去して $f(a)=f(b)$ としなければならないためである。元の商では消去できなかった一段が、整モノイド化では許される。これは一つの元に逆元を追加して形式的に引くこととも区別できる。
部分モノイドと局所的な消去
整モノイドでは、任意の固定した $c$ に対して平行移動 $t_c(a)=a+c$ が単射である。しかし一般には全射でない。$\mathbb N$ の $t_1$ は $0$ に届かない。平行移動が全射になるのは $c$ が単元であるときであり、整性だけでは単元の存在を要求しない。
任意のモノイドで、単元 $u$ による平行移動は逆写像 $a\mapsto a-u$ をもつ。擬整性はこのような単元がある元を固定するとき、その単元は零でなければならないという条件である。整性はすべての加数について情報を保つのに対し、擬整性は単元の作用による固定だけを制限する。単元群が自明なモノイドでは擬整性は自動的に成り立つので、それだけでは非単元を加えたときの消去律の破れを検出できない。
$\mathbb N\cup\{\infty\}$ に $\infty+n=\infty$、$\infty+\infty=\infty$ と定める。単元は $0$ だけなので擬整である。しかし $0+\infty=1+\infty$、$0\ne1$ より整でなく、群化は自明群になる。従って擬整性は群化への単射性を保証しない。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 全体の消去律を単元だけの条件に弱める | 二元冪等モノイド | 擬整性から整性が従う |
| 消去律そのもの | $a+c=b+c$ の正次数表示 | 冪等元が零だけなら整である |
| 群化のねじれなし条件 | 二元巡回群 | 正整数倍の写像が単射になる |
| 商写像の単射性 | 自然数から二元冪等モノイドへの全射 | 整性が像に保存される |
整モノイドを調べるときには、まず共通加数を消せるかを確認し、その後で有限生成性、単元、整数倍の消去、飽和性を別々に判定するとよい。これらはそれぞれ異なる制約であり、群に埋め込めるという一つの条件からすべてが導かれるわけではない。
関連項目
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