整モノイド

同義語：integral monoid消去的可換モノイドcancellative commutative monoid

概要

前提知識: 可換モノイド, 可換モノイドの群化
 整モノイドは、可換モノイドの加法で約分ができることを表す概念である。群化への自然な準同型が単射であることと消去律が同値になるため、整モノイドはその群化の部分モノイドとして扱える。本記事では加法記法を用い、可換モノイドの単位元を $0$ と書く。

定義

可換モノイド $M$ の群化を $M^{\mathrm{gp}}$、自然な準同型を
$$ \iota_M\colon M\longrightarrow M^{\mathrm{gp}} $$
とする。

整モノイド

可換モノイド $M$ が整モノイド（integral monoid）であるとは、自然な準同型 $\iota_M$ が単射であることをいう。整モノイドを消去的可換モノイド（cancellative commutative monoid）ともいう。

この定義でいう「整」は可換環の整拡大とは別の用語である。可換環の乗法モノイドとの類似よりも、次節の消去律による特徴づけを基本像とするのがよい。

擬整モノイド

可換モノイド $M$ の単元群を $M^*$ とする。包含 $M^*\hookrightarrow M$ と $\iota_M$ の合成
$$ M^*\longrightarrow M^{\mathrm{gp}} $$
が単射であるとき、$M$ を擬整モノイド（quasi-integral monoid）という。

整モノイドは擬整モノイドであるが、逆は一般に成り立たない。

消去律による特徴づけ

群化は $M\times M$ の元 $(a,b)$ を形式差 $a-b$ とみなし、
$$ (a,b)\sim(a',b') \quad\Longleftrightarrow\quad \text{ある }c\in M\text{ が存在して }a+b'+c=a'+b+c $$
で商を取ることによって構成できる。この構成から整性を加法だけで判定できる。

整性と消去律

可換モノイド $M$ について、次は同値である。

$M$ は整モノイドである。
任意の $a,b,c\in M$ に対し、$a+c=b+c$ ならば $a=b$ である。

$1\Rightarrow2$ を示す。$a+c=b+c$ ならば、群 $M^{\mathrm{gp}}$ で両辺から $\iota_M(c)$ を引けるので $\iota_M(a)=\iota_M(b)$ である。$\iota_M$ は単射だから $a=b$ となる。
$2\Rightarrow1$ を示す。$\iota_M(a)=\iota_M(b)$ とする。群化の同値関係の定義より、ある $c\in M$ が存在して $a+c=b+c$ となる。消去律から $a=b$ である。したがって $\iota_M$ は単射である。$\blacksquare$

擬整性にも同様の判定法がある。

擬整性の特徴づけ

可換モノイド $M$ について、次は同値である。

$M$ は擬整モノイドである。
$u\in M^*$ と $b\in M$ が $u+b=b$ を満たすならば $u=0$ である。

$1\Rightarrow2$ を示す。$u+b=b$ ならば $M^{\mathrm{gp}}$ で $\iota_M(u)=0$ である。$M^*\to M^{\mathrm{gp}}$ の単射性より $u=0$ となる。
$2\Rightarrow1$ を示す。$u,v\in M^*$ の像が $M^{\mathrm{gp}}$ で等しいとする。群化の構成より、ある $c\in M$ が存在して $u+c=v+c$ である。$-v$ を $v$ の $M^*$ における逆元と書けば、$u-v+(v+c)=v+c$ である。仮定を $u-v\in M^*$ と $v+c\in M$ に適用して $u-v=0$、すなわち $u=v$ を得る。$\blacksquare$

基本例と反例

自然数と自由可換モノイド

加法モノイド $\mathbb N$ は整モノイドである。実際、自然数の加法では消去律が成り立つ。より一般に、集合 $X$ 上の自由可換モノイド
$$ \mathbb N^{(X)}=\{f\colon X\to\mathbb N\mid f\text{ の台は有限}\} $$
も成分ごとの消去律により整モノイドである。その群化は $\mathbb Z^{(X)}$ であり、自然な写像は通常の包含である。

群と部分モノイド

任意のアーベル群は整モノイドである。また、アーベル群 $G$ の任意の部分モノイド $M$ は整モノイドである。等式 $a+c=b+c$ を $G$ で見れば、逆元 $-c$ を加えて $a=b$ とできるからである。

冪等元が作る反例

$M=\{0,e\}$ に $e+e=e$ で加法を定める。すると
$$ e+e=0+e $$
であるが $e\ne0$ なので、$M$ は整モノイドではない。一方、単元は $0$ だけなので $M^*=\{0\}$ から $M^{\mathrm{gp}}$ への写像は単射である。したがって $M$ は擬整だが整ではない。

非自明な冪等元は存在しない

整モノイド $M$ の元 $e$ が $e+e=e$ を満たすならば $e=0$ である。

$e+e=e+0$ に消去律を適用すると $e=0$ を得る。$\blacksquare$

この命題の逆は成り立たない。非自明な冪等元がないことだけでは、一般の三元 $a,b,c$ に対する消去律までは導けない。

保存性

部分モノイドと直積

次が成り立つ。

整モノイドの部分モノイドは整モノイドである。
整モノイドの任意の族 $(M_i)_{i\in I}$ に対し、直積 $\prod_{i\in I}M_i$ は整モノイドである。
整モノイドの有限台直和 $\bigoplus_{i\in I}M_i$ は整モノイドである。

$N\subseteq M$ を部分モノイドとし、$a+c=b+c$ が $N$ で成り立つとする。同じ等式は $M$ でも成り立つので、$M$ の消去律から $a=b$ である。
$(a_i)+(c_i)=(b_i)+(c_i)$ とする。各 $i$ について $a_i+c_i=b_i+c_i$ であり、$M_i$ の消去律から $a_i=b_i$ となる。したがって $(a_i)=(b_i)$ である。
有限台直和は直積の部分モノイドであるから、1. と2. を適用すればよい。$\blacksquare$

整モノイド準同型の像

$M$ を整モノイド、$f\colon M\to N$ を可換モノイド準同型とする。$f$ が単射ならば、像 $f(M)$ は整モノイドである。

$f(a)+f(c)=f(b)+f(c)$ とする。これは $f(a+c)=f(b+c)$ と同値である。$f$ の単射性から $a+c=b+c$、さらに $M$ の消去律から $a=b$ となる。よって $f(a)=f(b)$ である。$\blacksquare$

単射性を外すと像は整とは限らない。整モノイド $\mathbb N$ から二元冪等モノイド $\{0,e\}$ への準同型を $0\mapsto0$、正の自然数を $e$ へ送ることで定めると、その像は整でない。