倍数の判定法

同義語：divisibility tests

概要

前提知識: 合同式, 約数, 除法の原理

高校での出発点：割らずに割り切れるかを見る

大きな数が $9$ や $11$ で割り切れるかは、実際に割り算をしなくても、数字を見るだけで分かることがある。まず、教科書に出てくる判定法を計算で確かめる。

123456789 は 9 で割り切れる

$123456789$ の各位の数字の和は
$$ 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 $$
で、$45=9\cdot5$ は $9$ で割り切れる。判定法「各位の数字の和が $9$ で割り切れれば、もとの数も $9$ で割り切れる」により、$123456789$ は $9$ で割り切れる。実際 $123456789=9\cdot13717421$ である。
一方 $2026$ の各位の数字の和は $2+0+2+6=10$ で、$3$ でも $9$ でも割り切れない。実際 $2026=3\cdot675+1=9\cdot225+1$ である。

918082 は 11 で割り切れる

$918082$ の数字を、一の位から交互に足したり引いたりする。
$$ 2-8+0-8+1-9=-22 $$
$-22=11\cdot(-2)$ は $11$ で割り切れるので、$918082$ も $11$ で割り切れる。実際 $918082=11\cdot83462$ である。

下の桁で判定する・3 桁ずつ区切る

$123456$ は $8$ で割り切れるか。下 $3$ 桁 $456=8\cdot57$ が $8$ で割り切れるので、$123456$ も $8$ で割り切れる。実際 $123456=8\cdot15432$ である。
$123456$ を $7$ で割った余りは何か。$3$ 桁ずつ区切って $123$ と $456$ にし、$456-123=333$ を計算する。$333=7\cdot47+4$ なので、余りは $4$ である。実際 $123456=7\cdot17636+4$ である。

この記事で答える問いは次の 4 つである。

各位の数字の和で $3$ と $9$ の倍数が分かるのはなぜか。→ thm-dvt-nine
$11$ の判定で、なぜ足し引きを交互にするのか。→ thm-dvt-eleven
$4$ や $8$ は、なぜ下の桁だけで分かるのか。→ thm-dvt-last-digits

$7$ と $13$ は、なぜ $3$ 桁ずつ区切るのか。→ thm-dvt-thousand
答えはどれも同じ 1 つの原理 prop-dvt-principle から出る。「$10$ を $m$ で割った余りを何で置きかえられるか」を見ればよい。

高校の判定法	$10$ の置きかえ	この記事のボックス	大学の言葉
各位の和（$3$、$9$）	$10\equiv1$	thm-dvt-nine	多項式の $x=1$ での値
交代和（$11$）	$10\equiv-1$	thm-dvt-eleven	多項式の $x=-1$ での値
下の桁（$2^j$、$5^j$）	$10^k\equiv0$（$k\ge j$）	thm-dvt-last-digits	高い次数の項が消える
$3$ 桁ずつ（$7$、$11$、$13$）	$1000\equiv-1$	thm-dvt-thousand	$1000$ 進法での交代和
共通の原理	$10\equiv r$	prop-dvt-principle	環準同型 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$

10 の累乗 10^k を m で割った余り。灰色（0）が並ぶ m は下の桁で、青（1）が並ぶ m は各位の和で、青と赤（−1）が交互に並ぶ m は交代和で判定できる。7・13・37 は 10^3 のところで −1 か 1 になるので、3 桁ずつ区切る
図 1 の各行は、prop-dvt-principle で使う「$10^k$ の置きかえ先」の表である。どの判定法を使うかは、この行の並び方で決まる。

数字で書いた数と合同式

10 進法の表し方

正の整数 $N$ は、$0$ 以上 $9$ 以下の整数 $a_0,a_1,\dots,a_n$（$a_n\ne0$）を使って
$$ N=a_n10^n+a_{n-1}10^{n-1}+\cdots+a_110+a_0 $$
とただ 1 通りに書ける。$a_k$ が $10^k$ の位の数字である。書けることと 1 通りであることは整数の筆算の仕組みで証明している。この記事では、この表し方から出発する。

各位の数字の和と交代和

正の整数 $N$ の 10 進法の数字を上のように $a_0,a_1,\dots,a_n$ とする。

$S(N)=a_0+a_1+\cdots+a_n$ を $N$ の 各位の数字の和 という。
$T(N)=a_0-a_1+a_2-\cdots+(-1)^na_n$ を $N$ の 交代和 という。一の位 $a_0$ を $+$ にして、上の位へ向かって符号を交互に変える。

各位の数字の和と交代和の計算

$N=2026$：$a_0=6$、$a_1=2$、$a_2=0$、$a_3=2$ なので、$S(N)=6+2+0+2=10$、$T(N)=6-2+0-2=2$ である。
$N=918082$：$S(N)=2+8+0+8+1+9=28$、$T(N)=2-8+0-8+1-9=-22$ である（ex-dvt-start-eleven）。

共通の原理：10 を置きかえる

合同式では、和・差・積・累乗の中の数を、合同な数に置きかえてよい（合同式の計算規則）。10 進法の式に出てくる $10$ を置きかえると、次の原理が得られる。

10 を置きかえる原理

$m\ge2$ を整数とし、整数 $r$ が $10\equiv r\pmod m$ をみたすとする。正の整数 $N$ の 10 進法の数字を $a_0,\dots,a_n$ とすると
$$ N\equiv a_nr^n+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots+a_1r+a_0\pmod m $$
である。特に、$N$ が $m$ で割り切れることと、右辺の整数が $m$ で割り切れることは同値である。

累乗・積・和の順に置きかえる

方針：合同式の計算規則を、累乗 → 数字との積 → 和の順に使う。
段 1（累乗）。$k\ge0$ について $10^k\equiv r^k\pmod m$ であることを、$k$ についての数学的帰納法で示す。$k=0$ では両辺とも $1$ である。$10^k\equiv r^k$ とすると、これと $10\equiv r$ の両辺を掛けて（合同式は辺々掛けてよい）$10^{k+1}\equiv r^{k+1}$ である。
段 2（数字との積）。段 1 の両辺に整数 $a_k$ を掛けて $a_k10^k\equiv a_kr^k\pmod m$ である。
段 3（和）。段 2 の式を $k=0,1,\dots,n$ について辺々足すと（合同式は辺々足してよい）
$$ N=\sum_{k=0}^na_k10^k\equiv\sum_{k=0}^na_kr^k\pmod m $$
である。
段 4（割り切れること）。右辺の整数を $M$ とすると $N\equiv M\pmod m$、つまり $N-M$ は $m$ で割り切れる。$m\mid N$ なら $M=N-(N-M)$ も $m$ で割り切れ、$m\mid M$ なら $N=M+(N-M)$ も $m$ で割り切れる。$\square$

原理の右辺は、多項式 $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ に $x=r$ を代入した値 $f(r)$ である。$N=f(10)$ なので、原理は「$10\equiv r$ なら $f(10)\equiv f(r)$」と言いかえられる。多項式を $x-r$ で割った余りが $f(r)$ になる剰余の定理と因数定理と同じ形である。

原理をそのまま使う

$m=7$、$r=3$（$10=7+3$）：$N=2026$ なら
$$ 2\cdot3^3+0\cdot3^2+2\cdot3+6=54+0+6+6=66=7\cdot9+3 $$
なので $2026\equiv3\pmod7$ である。実際 $2026=7\cdot289+3$ である。
$m=8$、$r=2$：$N=2026$ なら $2\cdot8+0\cdot4+2\cdot2+6=26=8\cdot3+2$ なので $2026\equiv2\pmod8$ である。実際 $2026=8\cdot253+2$ である。
$m=7$ では $r=3$ のほかに $r=-4$ も使える（$10-(-4)=14$）。どの $r$ を選ぶかで計算の手間が変わる。$r$ が $0$、$1$、$-1$ になる $m$ で、計算がいちばん簡単になる。それが次の節の判定法である。

判定法

3 と 9：各位の数字の和

$10=9+1$ なので $10\equiv1\pmod9$ であり、$10=3\cdot3+1$ なので $10\equiv1\pmod3$ でもある。prop-dvt-principle で $r=1$ とすると、$1^k=1$ なので右辺は数字の和になる。

各位の数字の和による判定

正の整数 $N$ について
$$ N\equiv S(N)\pmod9,\qquad N\equiv S(N)\pmod3 $$
である。特に、$N$ が $9$ で割り切れることと $S(N)$ が $9$ で割り切れることは同値であり、$N$ が $3$ で割り切れることと $S(N)$ が $3$ で割り切れることは同値である。$N$ を $9$ で割った余りと $S(N)$ を $9$ で割った余りも等しい。

$r=1$ とおく

方針：prop-dvt-principle を $r=1$ で使う。
段 1。$m=9$ とする。$10\equiv1\pmod9$ なので、prop-dvt-principle により
$$ N\equiv a_n1^n+\cdots+a_11+a_0=a_n+\cdots+a_1+a_0=S(N)\pmod9 $$
である。$m=3$ でも $10\equiv1\pmod3$ なので、同じ式が法 $3$ で成り立つ。
段 2。割り切れることの同値は、prop-dvt-principle の後半（段 4）そのものである。余りが等しいことは、$N\equiv S(N)\pmod9$ が「$N$ と $S(N)$ を $9$ で割った余りが等しい」という意味であることから分かる（合同式の定義）。$\square$

各位の数字の和をくり返す

$N=987654321$：$S(N)=45$、$S(45)=9$。thm-dvt-nine を 2 回使って $N\equiv45\equiv9\equiv0\pmod9$ なので、$N$ は $9$ で割り切れる。
$N=2026$：$S(N)=10$、$S(10)=1$ なので、$2026$ を $9$ で割った余りも $3$ で割った余りも $1$ である。
掛け算の検算（九去法）。$1234\cdot5678=7006652$ が正しいかを、$9$ で割った余りで確かめる。$S(1234)=10\equiv1$、$S(5678)=26\equiv8$ なので、積の余りは $1\cdot8=8$ になるはずである。$S(7006652)=26\equiv8$ で一致する。余りが一致しなければ計算は必ず誤りである。一致しても正しいとは限らない（たとえば数字の順番を入れかえる誤りは見つからない）。

11：交代和

$10=11-1$ なので $10\equiv-1\pmod{11}$ である。prop-dvt-principle で $r=-1$ とすると、$(-1)^k$ が $+1,-1$ と交互に変わるので、右辺は交代和になる。

交代和による判定

正の整数 $N$ について $N\equiv T(N)\pmod{11}$ である。特に、$N$ が $11$ で割り切れることと $T(N)$ が $11$ で割り切れることは同値である。

$r=-1$ とおく

方針：prop-dvt-principle を $r=-1$ で使う。
$10\equiv-1\pmod{11}$ なので、prop-dvt-principle により
$$ N\equiv a_n(-1)^n+\cdots+a_2(-1)^2+a_1(-1)+a_0=a_0-a_1+a_2-\cdots+(-1)^na_n=T(N)\pmod{11} $$
である。割り切れることの同値は prop-dvt-principle の後半による。$\square$

交代和で余りを求める

$N=987654321$：$T(N)=1-2+3-4+5-6+7-8+9=5$ なので、$N$ を $11$ で割った余りは $5$ である。実際 $987654321=11\cdot89786756+5$ である。
$N=121$：$T(N)=1-2+1=0$ で、$121=11^2$ である。$N=1331=11^3$ でも $T(N)=1-3+3-1=0$ である。
余りを求めるときは、交代和が負になったら $11$ を足して $0$ 以上にする。$N=21$ では $T(N)=1-2=-1\equiv10$ なので、余りは $10$ である（$21=11+10$）。

2 の累乗と 5 の累乗：下の桁

$10^j=2^j5^j$ なので、$10^j$ は $2^j$ でも $5^j$ でも割り切れる。prop-dvt-principle の言葉では、法 $2^j$ や法 $5^j$ で「$10^k\equiv0$（$k\ge j$）」となり、上の位の項が消える。ここでは原理を使わずに直接示す。

下の桁による判定

$j$ を正の整数とし、正の整数 $N$ の下 $j$ 桁が表す数を $R$ とする（$N$ を $10^j$ で割った余り）。このとき、$m$ が $10^j$ の約数なら $N\equiv R\pmod m$ である。特に、$N$ が $2^j$ で割り切れることと $R$ が $2^j$ で割り切れることは同値であり、$5^j$ についても同じである。

上の位はまとめて $10^j$ の倍数

方針：$N$ を $10^j$ で割った商と余りに分けると、商の部分が $m$ の倍数になる。
段 1。$N$ を $10^j$ で割った商を $Q$ とすると $N=10^jQ+R$ である。$R$ は $N$ の下 $j$ 桁が表す数である（$N=\sum a_k10^k$ のうち $k\ge j$ の項は $10^j$ でくくれ、$k< j$ の項の和は $10^j$ 未満だから、割り算の商と余りの一意性による）。
段 2。$m\mid10^j$ なので $m\mid10^jQ$ であり、$N-R=10^jQ$ は $m$ で割り切れる。つまり $N\equiv R\pmod m$ である。
段 3。$2^j$ と $5^j$ はどちらも $10^j=2^j5^j$ の約数なので、段 2 が使える。割り切れることの同値は、prop-dvt-principle の証明の段 4 と同じ理由による。$\square$

下の桁で判定する

割る数	見る桁	例
$2$、$5$、$10$	下 $1$ 桁	$2026$：下 $1$ 桁 $6$ は $2$ で割り切れ、$5$ では割り切れない
$4$、$25$、$100$	下 $2$ 桁	$2026$：$26=4\cdot6+2$ なので $2026\equiv2\pmod4$
$8$、$125$、$1000$	下 $3$ 桁	$123456$：$456=8\cdot57$ なので $8$ で割り切れる
$16$	下 $4$ 桁	$123456$：$3456=16\cdot216$ なので $16$ で割り切れる

$4$ は $100$ の約数だが $10$ の約数ではないので、下 $1$ 桁では判定できない。下 $1$ 桁だけでは決まらない例は ex-dvt-counter-last で見る。

7、11、13：3 桁ずつ区切る

$1001=7\cdot11\cdot13$ である。したがって $1000\equiv-1$ が、法 $7$、法 $11$、法 $13$ のどれでも成り立つ。$N$ を下から $3$ 桁ずつ区切ると、$N$ は $1000$ 進法で書いた数になる。

3 桁ずつの交代和による判定

正の整数 $N$ を下から $3$ 桁ずつ区切り、区切った数を下から $B_0,B_1,\dots,B_l$ とする（$0\le B_i\le999$、$N=\sum_iB_i1000^i$）。$U(N)=B_0-B_1+B_2-\cdots+(-1)^lB_l$ とおくと
$$ N\equiv U(N)\pmod{1001} $$
である。したがって $m=7,11,13$ のどれについても $N\equiv U(N)\pmod m$ であり、$N$ が $m$ で割り切れることと $U(N)$ が $m$ で割り切れることは同値である。

1000 を −1 に置きかえる

方針：prop-dvt-principle の証明を、$10$ の代わりに $1000$、数字 $a_k$ の代わりに $3$ 桁の区切り $B_i$ で行う。
段 1。$1000=1001-1\equiv-1\pmod{1001}$ である。prop-dvt-principle の証明の段 1〜3 と同じく、累乗・積・和の順に置きかえると
$$ N=\sum_{i=0}^lB_i1000^i\equiv\sum_{i=0}^lB_i(-1)^i=U(N)\pmod{1001} $$
である（段 1〜3 は「数字が $0$〜$9$」であることを使っていない）。
段 2。$m$ が $1001$ の約数なら、$1001\mid N-U(N)$ から $m\mid N-U(N)$、すなわち $N\equiv U(N)\pmod m$ である。$1001=7\cdot11\cdot13$ なので $m=7,11,13$ で使える。割り切れることの同値は prop-dvt-principle の証明の段 4 と同じである。$\square$

3 桁ずつ区切る

$N=123456$：$U(N)=456-123=333$。$333=7\cdot47+4=11\cdot30+3=13\cdot25+8$ なので、$N$ を $7,11,13$ で割った余りは $4,3,8$ である（ex-dvt-start-blocks）。
$N=3141592$：区切ると $3\,|\,141\,|\,592$ で、$U(N)=592-141+3=454$。$454=13\cdot34+12$ なので $N$ を $13$ で割った余りは $12$、$454=7\cdot64+6$ なので $7$ で割った余りは $6$ である。
$N=abcabc$ の形の $6$ 桁の数（$123123$ など）は $U(N)=abc-abc=0$ なので、いつも $7$ でも $11$ でも $13$ でも割り切れる。実際 $123123=123\cdot1001$ である。

同じ考えで、$999=27\cdot37$ から $1000\equiv1\pmod{999}$ となり、法 $27$ と法 $37$ では「$3$ 桁ずつの和」で判定できる（図 1 の $m=37$ の行）。$111111=3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37$ である。

7 の判定：一の位を切り離す

$7$ にはもう 1 つよく知られた判定法がある。これは $10$ を置きかえるのではなく、逆元の考え方（合同式の割り算と逆元）を使う。ここでは逆元を具体的に「$3$ を掛けて戻す」形で使うので、証明はこの記事の中で完結している。

一の位を切り離す判定

正の整数 $N$ を $N=10q+b$（$b$ は一の位の数字、$q\ge0$）と書く。$N$ が $7$ で割り切れることと、$q-2b$ が $7$ で割り切れることは同値である。

−2 を掛ける

方針：$-2$ を掛けると $10$ が $1$ と合同になることを使う。$-2$ は法 $7$ で逆元（$-2\cdot3=-6\equiv1$）をもつので、掛けても割り切れるかどうかは変わらない。
段 1。$-2\cdot10=-20=-21+1\equiv1\pmod7$ なので
$$ -2N=-20q-2b\equiv q-2b\pmod7 $$
である。
段 2（$7\mid N$ ならば $7\mid q-2b$）。$7\mid N$ なら $7\mid-2N$ で、段 1 により $7\mid q-2b$ である。
段 3（$7\mid q-2b$ ならば $7\mid N$）。段 1 により $7\mid-2N$ である。両辺に $3$ を掛けると $7\mid-6N$ であり、$N=-6N+7N$ なので $7\mid N$ である。$\square$

一の位を切り離してくり返す

$N=2023$：$202-2\cdot3=196$、$19-2\cdot6=7$。$7$ は $7$ で割り切れるので $2023$ も割り切れる。実際 $2023=7\cdot289$ である。
$N=2026$：$202-12=190$、$19-0=19$。$19$ は $7$ で割り切れないので $2026$ も割り切れない。ただし、この判定法は余りを保たない（$19\equiv5$ だが $2026\equiv3\pmod7$）。$q-2b$ は $N$ ではなく $-2N$ と合同だからである。

同じように、$13$ では $4\cdot10=40\equiv1\pmod{13}$ なので、「$13\mid N\iff13\mid q+4b$」が成り立つ。

例と反例

判定法は「$10$ を何に置きかえられるか」で決まるので、置きかえが効かない数には使えない。

外した条件・誤解	崩れる主張	ボックス
$10\equiv1\pmod m$（$m=3,9$）	各位の数字の和での判定	ex-dvt-counter-27
$m$ が $10^j$ の約数	下 $j$ 桁での判定	ex-dvt-counter-last
2 つの判定を組み合わせるときの「互いに素」	「$a$ と $b$ で割り切れれば $ab$ で割り切れる」	ex-dvt-counter-coprime
交代和は一の位を $+$ にする	交代和と余りの一致	ex-dvt-counter-sign

反例：27 は各位の数字の和で判定できない

$27=3\cdot9$ だが、$10\equiv10\not\equiv1\pmod{27}$ なので thm-dvt-nine の証明は使えない。実際、判定は両方向とも崩れる。
(1) $1899$ は $S(1899)=27$ で、各位の数字の和は $27$ で割り切れる。しかし $1899=27\cdot70+9$ で、$27$ では割り切れない。
(2) $27$ 自身は $27$ で割り切れるが、$S(27)=9$ は $27$ で割り切れない。
$9$ で割り切れることは各位の数字の和で分かるが、$27$ で割り切れることは分からない。

反例：下 1 桁では 4 の倍数は分からない

$12$ と $22$ は下 $1$ 桁がともに $2$ だが、$12=4\cdot3$ は $4$ で割り切れ、$22=4\cdot5+2$ は割り切れない。$4$ は $10$ の約数でないので、thm-dvt-last-digits は $j=1$ では使えない。同じく $3$ も $10^j$ のどれの約数でもないので、下の桁で $3$ の倍数は判定できない（$13$ と $23$ は下 $1$ 桁が $3$ だが $3$ で割り切れない）。

反例：互いに素でない 2 つの判定を組み合わせる

$6$ の倍数は「$2$ の倍数かつ $3$ の倍数」で判定できる。$2$ と $3$ が互いに素なので、$2\mid N$ かつ $3\mid N$ なら $6\mid N$ である（$N=2u$、$3\mid2u$ から $3\mid u$。整数の割り算と互除法の互いに素な数による割り算）。
しかし $12$ の倍数を「$2$ の倍数かつ $6$ の倍数」で判定すると誤る。$N=18$ は $2$ でも $6$ でも割り切れるが、$12$ では割り切れない。$\gcd(2,6)=2\ne1$ だからである。正しくは、互いに素な $4$ と $3$ に分けて「下 $2$ 桁が $4$ の倍数、かつ各位の数字の和が $3$ の倍数」とする。

反例：交代和の符号の向き

割り切れるかどうかだけなら、交代和の符号を全部反対にしても変わらない（$11\mid T$ と $11\mid-T$ は同値）。しかし余りは変わる。$N=21$ を最上位から $2-1=1$ と計算すると、余りを $1$ と誤る。正しくは一の位を $+$ にして $T(21)=1-2=-1\equiv10$ で、$21=11+10$ である（ex-dvt-eleven の 3）。最上位を $+$ にした値は、$N$ の桁数が偶数のとき $-T(N)$ になる。

数学オリンピックの問題から

1960 年第 1 問：11 の倍数と数字の平方和

国際数学オリンピック（1960 年）第 1 問

$3$ 桁の整数 $N$ で、$N$ が $11$ で割り切れ、しかも $\dfrac N{11}$ が $N$ の各位の数字の平方の和に等しいものをすべて求めよ。
出典：国際数学オリンピック（1960 年）第 1 問 Oly60。筆者による和訳。答は $550$ と $803$ である。

高校数学で解く

方針：thm-dvt-eleven で「$11$ で割り切れる」を数字の式に直し、2 つの場合に分けて 2 次方程式の判別式で数字の範囲をしぼる。
段 1（交代和の場合分け）。$N=100a+10b+c$（$1\le a\le9$、$0\le b,c\le9$）とする。thm-dvt-eleven により $11\mid N$ は $11\mid a-b+c$ と同値である。$-9\le a-b+c\le18$ なので、$a-b+c=0$ か $a-b+c=11$ である。
段 2（$a-b+c=0$ の場合）。$b=a+c$ で、$N=100a+10(a+c)+c=11(10a+c)$、$\dfrac N{11}=10a+c$ である。条件は
$$ 10a+c=a^2+(a+c)^2+c^2=2a^2+2ac+2c^2 $$
である。右辺は偶数なので $c$ は偶数である。$a$ についての 2 次方程式 $2a^2+(2c-10)a+(2c^2-c)=0$ が実数解をもつので、判別式は
$$ (2c-10)^2-8(2c^2-c)=-12c^2-32c+100\ge0 $$
である。$c=2$ で $-48-64+100=-12<0$ となり、$c\ge2$ では左辺は $c$ について減少するので、$c\le1$ である。$c$ は偶数なので $c=0$ で、$2a^2=10a$、$a\ge1$ から $a=5$、$b=5$ である。$N=550$ で、$550=11\cdot50$、$5^2+5^2+0^2=50$ となり条件をみたす。
段 3（$a-b+c=11$ の場合）。$b=a+c-11$ で、$N=100a+10(a+c-11)+c=11(10a+c-10)$、$\dfrac N{11}=10a+c-10$ である。条件は
$$ 10a+c-10=a^2+(a+c-11)^2+c^2 $$
である。右辺は $a^2+b^2+c^2$ で、$a^2+b^2+c^2$ と $a+b+c=2a+2c-11$ の偶奇は同じ（$x^2-x=x(x-1)$ は偶数）なので右辺は奇数である。左辺 $10a+c-10$ の偶奇は $c$ と同じなので、$c$ は奇数である。整理すると $a$ についての 2 次方程式
$$ 2a^2+(2c-32)a+(2c^2-23c+131)=0 $$
になり、判別式を $4$ で割ったものは
$$ (c-16)^2-2(2c^2-23c+131)=-3c^2+14c-6\ge0 $$
である。$c=0$ で $-6$、$c=5$ で $-75+70-6=-11$ となり、$c\ge5$ では左辺は $c$ について減少するので、$1\le c\le4$ である。$c$ は奇数なので $c=1$ か $c=3$ である。

$c=1$：$2a^2-30a+110=0$、すなわち $a^2-15a+55=0$。判別式 $225-220=5$ は平方数でないので、整数解はない。
$c=3$：$2a^2-26a+80=0$、すなわち $a^2-13a+40=(a-5)(a-8)=0$。$a=5$ なら $b=5+3-11=-3<0$ で不適。$a=8$ なら $b=0$ で、$N=803$ である。$803=11\cdot73$、$8^2+0^2+3^2=73$ となり条件をみたす。
段 4。以上により $N=550,803$ である。$\square$

大学数学で見ると

段 1 で使ったのは、$N=f(10)$（$f(x)=ax^2+bx+c$）と $10\equiv-1\pmod{11}$ から $f(10)\equiv f(-1)=a-b+c$ となることである。大学の言葉では、余りをとる写像 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}$ が足し算と掛け算を保つ環準同型であり、多項式の値 $f(10)$ を $f(-1)$ に写すということになる。判定法は、この写像で「$10$ の像」がたまたま $\pm1$ や $0$ になる法 $m$ を選んだものである。
この写像が $3$ 桁の数を「$11$ で割り切れる」という 1 つの条件から「$a-b+c\in\{0,11\}$」という 2 つの場合に分けたので、あとは 2 次方程式の範囲の議論だけで済んだ。有限個の数字についての問題を合同式で場合分けし、不等式で候補を有限個にしぼる、という進め方は、常用対数と桁数の数学オリンピックの問題（各位の数字の和をくり返す）とも共通している。

さらに先へ

$b$ 進法では、$b\equiv1\pmod m$ となる $m$（$b-1$ の約数）は各位の数字の和で、$b\equiv-1\pmod m$ となる $m$（$b+1$ の約数）は交代和で判定できる。証明は prop-dvt-principle の $10$ を $b$ に変えるだけである（n進法と記数法）。
$1000\equiv-1\pmod{7}$ は、$10$ の法 $7$ での位数が $6$ であることと、$7$ が素数であることから来ている。位数が $6$ なので $(10^3)^2=10^6\equiv1$ で、しかも $10^3\not\equiv1\pmod7$ である。$7$ は素数なので、$x^2\equiv1\pmod7$、すなわち $7\mid(x-1)(x+1)$ となる $x$ は $x\equiv1$ か $x\equiv-1$ だけであり、$10^3$ は $1$ でないから $-1$ である。法 $13$ でも同じである。素数でない法ではこの議論は使えない。たとえば法 $21$ でも $10$ の位数は $6$ だが、$1000=21\cdot47+13$ なので $10^3\equiv13\pmod{21}$ で、$-1$ ではない。$10$ の累乗の余りの周期は循環小数と分数で扱う循環節の長さと同じものである（図 1 の $m=7,13$ の行は、$\dfrac17$、$\dfrac1{13}$ の筆算の余りの列と一致する）。
2 つの判定法を組み合わせるときに「互いに素」が必要なことは、大学では中国剰余定理の一部として整理される。