レムニスケート

1. 原点 $O$：$OF_1\cdot OF_2=\dfrac1{\sqrt2}\cdot\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac12$ である。
2. 点 $(1,0)$：距離は $1+\dfrac1{\sqrt2}$ と $1-\dfrac1{\sqrt2}$ で、積は $1-\dfrac12=\dfrac12$ である。
3. 点 $P\left(\dfrac{\sqrt6}4,\dfrac{\sqrt2}4\right)$：
   $$ PF_2^2=\left(\frac{\sqrt6}4-\frac{\sqrt2}2\right)^2+\frac2{16}=\frac6{16}-\frac{\sqrt{12}}4+\frac12+\frac2{16}=1-\frac{\sqrt3}2 $$
   で、同じ計算で $PF_1^2=1+\dfrac{\sqrt3}2$ である。よって $(PF_1\cdot PF_2)^2=\left(1+\dfrac{\sqrt3}2\right)\left(1-\dfrac{\sqrt3}2\right)=1-\dfrac34=\dfrac14$、$PF_1\cdot PF_2=\dfrac12$ である。
4. $y$ 軸の上の点 $(0,y)$（$y\ne0$）：距離はどちらも $\sqrt{\dfrac12+y^2}$ で、積は $\dfrac12+y^2>\dfrac12$ である。原点以外の $y$ 軸の点は条件を満たさない。

$a=1$ のとき、$r^2=\cos2\theta$ の点を並べる。

1. 向き：$r^2=\cos2\theta\ge0$ が必要なので、点があるのは $-\dfrac\pi4\le\theta\le\dfrac\pi4$（右の輪）と $\dfrac{3\pi}4\le\theta\le\dfrac{5\pi}4$（左の輪）の向きだけである。
2. 大きさ：$r^2=\cos2\theta\le1$ なので、どの点も原点からの距離が $1$ 以下で、距離 $1$ になるのは $(\pm1,0)$ だけである。一般の $a$ では、どの点も原点から距離 $a$ 以下で、$(\pm a,0)$ で距離 $a$ になる。
3. いちばん高い点：$y^2=r^2\sin^2\theta=\cos2\theta\sin^2\theta=\left(1-2\sin^2\theta\right)\sin^2\theta$ である。$s=\sin^2\theta$ とおくと $(1-2s)s=-2\left(s-\dfrac14\right)^2+\dfrac18$ なので、$y^2$ は $s=\dfrac14$、つまり $\theta=\dfrac\pi6$ で最大値 $\dfrac18$ をとる。いちばん高い点は $\left(\dfrac{\sqrt6}4,\dfrac{\sqrt2}4\right)$ で、ex-lemn-start (3) の点 $P$ である。高さ $\dfrac{\sqrt2}4=\dfrac1{2\sqrt2}$ は、横幅の半分 $1$ の約 $0.354$ 倍である。
4. 面積：極座標で表された図形の面積 の例「公式を使う面積の計算」で、$a=1$ のとき 2 つの輪を合わせた面積が $1$ と求めた。一般の $a$ では各点を原点から $a$ 倍した図形なので、面積は $a^2$ である。

$a=1$ とする。双曲線 $x^2-y^2=1$ の点は、正の数 $s$ を使って $\left(\dfrac{s+s^{-1}}2,\ \dfrac{s-s^{-1}}2\right)$ と書ける（$x^2-y^2=\dfrac{\left(s+s^{-1}\right)^2-\left(s-s^{-1}\right)^2}4=\dfrac{4}{4}=1$）。

たとえば $s=2$ では $x^2+y^2=\dfrac{25}{16}+\dfrac9{16}=\dfrac{34}{16}=\dfrac{17}8$ なので、$P'=\left(\dfrac54\cdot\dfrac8{17},\ \dfrac34\cdot\dfrac8{17}\right)=\left(\dfrac{10}{17},\dfrac6{17}\right)$ である。これがレムニスケートの上にあることを確かめる：$x^2+y^2=\dfrac{100+36}{289}=\dfrac{136}{289}=\dfrac8{17}$、$x^2-y^2=\dfrac{100-36}{289}=\dfrac{64}{289}$ で、$\left(\dfrac8{17}\right)^2=\dfrac{64}{289}$ である。
頂点 $(1,0)$ は反転の円の上にあるので動かない。$s$ が大きくなると、双曲線の点は漸近線 $y=x$ に沿って遠ざかり、反転した点は原点に近づく（$s=10$ で $(0.1009\ldots,\ 0.0989\ldots)$）。その向きは $45^\circ$ に近づく。レムニスケートが原点を直線 $y=\pm x$ の向きに通るのは、双曲線が漸近線 $y=\pm x$ に近づくことを反転で見たものである。

$a=1$ とする。レムニスケートは半径 $1$ の円の中にあり（ex-lemn-shape (2)）、全長は $5.2441\ldots$ である。半径 $1$ の円周は $2\pi=6.2831\ldots$ なので、その約 $0.83$ 倍である。
円の $\dfrac14$ の長さも同じ形の積分で書ける。単位円の第 1 象限の部分を $(\sqrt{1-t^2},\ t)$（$0\le t\le1$）と表すと、速さは $\dfrac1{\sqrt{1-t^2}}$ で、長さは
$$ \int_0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\frac\pi2=1.5707\ldots $$
である（$t=\sin\varphi$ と置換すると $\displaystyle\int_0^{\pi/2}d\varphi$ になる）。レムニスケートでは根号の中の $t^2$ が $t^4$ に変わり、$\displaystyle\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}=1.3110\ldots$ となる。$1-t^4\ge1-t^2$ なので、レムニスケートの方が小さい。

$c^2=\dfrac12$ とし、$PF_1\cdot PF_2=b^2$ の曲線を調べる。式は $\left(x^2+y^2\right)^2-\left(x^2-y^2\right)+\dfrac14=b^4$ である。原点では左辺が $\dfrac14$ なので、原点を通るのは $b^4=\dfrac14$、つまり $b^2=\dfrac12$（レムニスケート）のときだけである。
(1) $b^2=\dfrac14$。$y=0$ とおくと $\left(x^2-\dfrac12\right)^2=\dfrac1{16}$ で、$x^2=\dfrac34$ または $\dfrac14$、つまり $x=\pm\dfrac{\sqrt3}2,\ \pm\dfrac12$ である。$x=0$ とおくと $\left(y^2+\dfrac12\right)^2=\dfrac1{16}$ で、$y^2=-\dfrac14$ または $y^2=-\dfrac34$ となり、どちらも解がない。曲線は $y$ 軸と交わらないので、$x>0$ の部分と $x<0$ の部分に分かれる（図 5 の青の 2 つの卵形。どちらの部分も $x$ 軸と 2 点で交わる）。
(2) $b^2=\dfrac34$。$y=0$ では $x^2=\dfrac54$（$x^2=-\dfrac14$ は解でない）、$x=0$ では $y^2=\dfrac14$、$y=\pm\dfrac12$ である。曲線は $y$ 軸と交わるが原点は通らない。図 5 の緑の破線のように、原点を囲む 1 つの閉じた曲線になる。
どちらも原点で交差する 8 の字ではない。距離の積の値を焦点の中点での値 $c^2$ に合わせたことが、8 の字になるための条件だった。

$a=1$ とし、双曲線 $x^2-y^2=1$ を、頂点 $C(1,0)$ を中心とする半径 $1$ の円に関して反転する。$s=1.1$ の双曲線の点（ex-lemn-inversion の書き方）は $P\left(\dfrac{221}{220},\dfrac{21}{220}\right)$ で、$C$ との距離は
$$ CP=\frac{\sqrt{1^2+21^2}}{220}=\frac{\sqrt{442}}{220}=0.0955\ldots $$
である。反転した点 $P'$ は $CP\cdot CP'=1$ を満たすので、$CP'=10.46\ldots$ である。$s$ を $1$ に近づけると $P$ は $C$ に近づき、$CP'$ はいくらでも大きくなる。像は有界でない（図 6）。
一方、レムニスケート $r^2=a^2\cos2\theta$ のどの点も原点から距離 $a$ 以下にあり（ex-lemn-shape (2)）、拡大・縮小・回転・平行移動した図形も有界である。よって、この像はどんな大きさ・位置のレムニスケートでもない。thm-lemn-inversion では、双曲線の中心（原点）が双曲線の上になく、双曲線の遠い部分だけが中心の近くに集まった。

双曲線 $x^2-\dfrac{y^2}4=1$（漸近線 $y=\pm2x$ は直交しない）を単位円に関して反転する。像の点を $(u,v)$ とすると、もとの点は $\left(\dfrac u{u^2+v^2},\dfrac v{u^2+v^2}\right)$ なので、代入して $\left(u^2+v^2\right)^2$ を掛けると、像の式は
$$ \left(u^2+v^2\right)^2=u^2-\frac{v^2}4 $$
である。極座標では $r^2=\cos^2\theta-\dfrac14\sin^2\theta=\dfrac38+\dfrac58\cos2\theta$ で、点があるのは $\tan^2\theta\le4$ の向きである。これもレムニスケートに似た 8 の字（図 7 の赤）だが、次のようにして、どんな大きさ・位置のレムニスケートでもないことが分かる。
理由の要点：図形の面積と直径（最も離れた 2 点の距離）$d$ の比 $\dfrac{\text{面積}}{d^2}$ は拡大・縮小・回転・平行移動で変わらない。レムニスケートではこの比が $\dfrac14$ だが、この像では $0.3325\ldots$ である。