素分解(3次元多様体)

$\Sigma$ を $\partial X$ の成分とする。$\Sigma$ は $S^3$ を 2 つの球体に分け、$X$ は連結で内部が $\Sigma$ と交わらないので一方に含まれる。もう一方を $B_\Sigma$ とする。$\operatorname{Int}B_\Sigma$ は連結で $X$ と交わらないので、$S^3\setminus X$ の連結成分である。$S^3\setminus X$ の成分の閉包は $\partial X$ の成分を境界に含むので、$S^3\setminus X$ の成分はこの形のものに尽きる。よって $X=S^3\setminus\bigcup_\Sigma\operatorname{Int}B_\Sigma$ で、$B_\Sigma$ は互いに交わらない。$\square$

1：$\Sigma$ を $M$ を分けない球面とする。$\Sigma$ の積近傍 $\Sigma\times[0,1]$ と、$\Sigma\times\{0\}$ と $\Sigma\times\{1\}$ を補集合の中で結ぶ弧の管状近傍の和を $N$ とする。$M$ は向き付け可能なので、$N$ は $S^1\times S^2$ から球体の内部を除いたものと微分同相である。$\partial N$ は 1 つの球面で、$M\cong M'\#(S^1\times S^2)$ を与える。$S^1\times S^2$ は $S^3$ でないので、$M$ が素なら $M'\cong S^3$ である。
2：$\Sigma$ が $M$ を $X_1,X_2$ に分けるとする。$M\cong\widehat X_1\#\widehat X_2$ で $M$ は素なので、たとえば $\widehat X_1\cong S^3$ である。$X_1$ は $S^3$ から球体の内部を除いたものなので球体である。
3：$\{*\}\times S^2$ は分けない球面なので既約でない。素であることを示す。$\Sigma\subset S^1\times S^2$ が 2 つの成分 $V,W$ に分けるとする。$\Sigma$ は単連結なので、van Kampenの定理 により $\mathbb{Z}\cong\pi_1(V)*\pi_1(W)$ である。自明でない 2 つの群の 自由積 は可換でないので、たとえば $V$ は単連結である。すると $V$ は普遍被覆 $\mathbb{R}\times S^2\cong\mathbb{R}^3\setminus\{0\}$ に持ち上がり、$V$ と微分同相なコンパクト領域 $\widetilde V\subset\mathbb{R}^3$ を与える。Alexander の定理により $\partial\widetilde V$ は球体を囲み、$\widetilde V$ は $\partial\widetilde V$ を境界とするコンパクト領域なので、その球体に一致する。よって $V$ は球体で、$\widehat V\cong S^3$ である。$\square$

$\Sigma,\Sigma',\Sigma''$ は穴が 3 個の穴あき球面 $R$ を囲む。$M\parallel S$ の成分で $D$ を含むものを $C$、$\Sigma$ の反対側の成分を $A$ とする。$\Sigma$ は $M$ を分けるので $A\neq C$ である。$\Sigma',\Sigma''$ は $C$ を $R$ と $B',B''$ に分ける。$\Sigma'$ が $M$ を分けるので、$B'$ と $B''$ は別の成分である。
$B',B''$ がともに穴あき球面なら、$C=B'\cup R\cup B''$ も穴あき球面となり、条件 (P) に反する。よってたとえば $B'$ は穴あき球面でない。$\Sigma$ を $\Sigma'$ に替えると、$\Sigma'$ に接する成分は $B'$ と $A\cup R\cup B''$ である。後者が穴あき球面なら、$A$ は $S^3$ の部分で境界が球面の和なので、lem-pd-sub-punctured により穴あき球面となり、条件 (P) に反する。ほかの成分は変わらない。$\square$

要点：条件 (P) と成分の個数を保ったまま $S$ を動かして、各 3 単体と円板で、各 2 単体と「隣り合う辺を結ぶ弧」で交わるようにする。すると $M\parallel S$ の成分は、2 単体の余りの領域をもつもの（$4t$ 個以下）と、$\mathbb{RP}^3$ の因子を与えるものに分かれる。

$M$ が分けない球面を含むなら、prop-pd-prime-irreducible の証明の 1 により $M\cong M_1\#(S^1\times S^2)$ である。$H_1(S^1\times S^2)=\mathbb{Z}$ なので、$H_1(M_1)$ の階数は $H_1(M)$ より $1$ 小さい。これを繰り返すと、有限回で $M\cong N\#\ell(S^1\times S^2)$ となり、$N$ の中の球面はどれも $N$ を分ける。
$N$ の素分解を作ればよい。$N\cong S^3$ なら素である。そうでなければ空の球面系は条件 (P) をみたすので、prop-pd-bound により、条件 (P) をみたす球面系で成分の個数が最大のもの $S$ がある。$N\parallel S$ の成分 $X$ について、$\widehat X$ は素である。実際 $\widehat X\cong A\#B$（$A,B\not\cong S^3$）なら、これを与える球面を充填の球体から離して $X$ の中の球面 $\Sigma$ にできる。$X$ を $\Sigma$ で切った成分の充填は $A$、$B$ で $S^3$ でないので、$S\cup\Sigma$ も条件 (P) をみたし、$S$ の最大性に反する。$N$ は成分の充填たちの連結和である。$\square$

1：$\Sigma$ を含む $M\parallel S$ の成分を $X$ とする。$\widehat X$ は $S^3$ か $P_i$ で既約なので、$\Sigma$ は $\widehat X$ の球体 $B$ を囲む。$\Sigma$ は $X$ を、$B$ の内側 $X_2$ と外側 $X_1$ に分ける。$\widehat X_2\cong S^3$ で、$\widehat X_1$ は $\widehat X$ の $B$ を球体に取り替えたものなので $\widehat X_1\cong\widehat X$ である。
2：1 により $S\cup\Sigma'\cup\Sigma''$ は還元する。$\Sigma,\Sigma',\Sigma''$ は穴が 3 個の穴あき球面 $R$ を囲み、$\Sigma$ の反対側の成分を $A$ とする。$\Sigma$ を除くと $A$ と $R$ がつながるが、$A\cup R$ は $A$ に穴を 1 つ足したもので充填は変わらない。$\square$

2 つの分解を
$$ M\cong P_1\#\cdots\#P_k\#\ell(S^1\times S^2),\qquad M\cong Q_1\#\cdots\#Q_m\#\ell'(S^1\times S^2) $$
と書く（$P_i,Q_j$ は既約で $S^3$ でない）。
連結和を与える球面と、各 $S^1\times S^2$ の因子の $\{*\}\times S^2$ を合わせると、$(P_i)$ に還元する球面系 $S$ ができる。$S^1\times S^2$ の因子の部分は、$S^2\times[0,1]$ に穴があいたものになるからである。同様に $(Q_j)$ に還元する球面系 $T$ がある。$S$ と $T$ は横断的に交わるとしてよい。
$S\cap T\ne\emptyset$ なら、$T$ の中で最も内側の円が囲む円板 $D\subset T$ は $D\cap S=\partial D$ をみたす。lem-pd-reducing の 2 で $S$ を取り替えると、新しい球面は $T$ から押し離せるので、$S\cap T$ の円の個数は減る。有限回で $S\cap T=\emptyset$ となる。
すると lem-pd-reducing の 1 により、$S\cup T$ は $(P_i)$ にも $(Q_j)$ にも還元する。よって $k=m$ で、番号を付け替えて $P_i\cong Q_i$ である。
最後に $N:=P_1\#\cdots\#P_k$ とおくと $H_1(M)\cong H_1(N)\oplus\mathbb{Z}^\ell\cong H_1(N)\oplus\mathbb{Z}^{\ell'}$ で、$H_1(N)$ は有限生成なので $\ell=\ell'$ である。$\square$

$n=2$ で示せばよい。$P\#Q$ を $P$ から球体を除いたものと $Q$ から球体を除いたものの和に分ける。共通部分は単連結な $S^2$ の近傍なので、van Kampenの定理 により $\pi_1(P\#Q)$ は 2 つの基本群の自由積である。球体を除いても基本群は変わらない（3 次元では除いた球体の境界が単連結である）。$H_1$ は可換化で得られる。$\square$

$M$ を素分解する。prop-pd-pi1 により各因子の基本群は自由群の部分群なので自由群である。$P$ を既約な因子とする。
$\pi_1(P)=1$ なら、Poincaré予想（この記事では証明しない）により $P\cong S^3$ である。$\pi_1(P)\ne1$ とする。$\pi_1(P)$ は無限群である。$\pi_2(P)\ne0$ なら、球面定理（AFW15 Theorem 1.3、p. 7。この記事では証明しない）により $P$ はホモトピー的に自明でない埋め込まれた球面を含むが、$P$ は既約なのでそれは球体を囲み、矛盾である。よって $\pi_2(P)=0$ である。普遍被覆 $\widetilde P$ は単連結で非コンパクトな 3 次元多様体なので、$H_2=\pi_2=0$、$H_k=0$（$k\ge3$）となり、Hurewiczの定理 と Whiteheadの定理 により可縮である。すると $P$ は $\pi_1(P)$ の Eilenberg–MacLane空間 で、自由群の Eilenberg–MacLane 空間は円周の一点和なので $H_3(P)=0$ となる。これは $P$ が向き付け可能な閉 3 次元多様体で $H_3(P)\cong\mathbb{Z}$ であることに反する。
よって既約な因子はすべて $S^3$ で、$M\cong\ell(S^1\times S^2)$ である。prop-pd-pi1 により $\ell=r$ である。$\square$