Whitneyのトリック

前提知識: Whitneyの埋め込み定理, Whitneyのはめ込み定理, 横断性定理, 向き付け可能多様体

$n$ 次元の多様体は $\mathbb{R}^{2n+1}$ に埋め込め（Whitneyの埋め込み定理）、$\mathbb{R}^{2n}$ にはめ込める（Whitneyのはめ込み定理）。どちらも「一般の方向に射影する」議論で得られるが、$\mathbb{R}^{2n}$ へのはめ込みを一般の位置に置くと、像が自分自身と横断的に交わる点（二重点）が孤立して残る。$n$ 次元の 2 枚の面は $2n$ 次元の空間の中で点で交わるのが普通であり、横断的な交わりは写像を少し動かしても消えない（Ben19 p. 152。この記事では証明しない）。
Whitney のトリック（Whitney trick）は、この二重点を 2 つずつ打ち消す方法である。符号が逆の 2 つの二重点を、多様体の上の 2 本の弧でつなぐと、像の中に 2 つの角をもつ閉曲線ができる。$n\ge3$ ならこの閉曲線は、多様体と内部で交わらない 2 次元の円板（Whitney の円板）の縁になる。円板に沿って一方の面を押し出すと、2 つの二重点が同時に消える。Whitney は 1944 年にこの方法で強い Whitney の埋め込み定理を示した：$n$ 次元の多様体は $\mathbb{R}^{2n}$ に埋め込める（Whi44 p. 220 序文、Theorem 5（p. 236））。同じ考え方は、次元が 5 以上の多様体の中の 2 つの部分多様体の交点を打ち消す手法として、高次元の多様体の理論の基本的な道具になった。
この記事では、二重点の符号を定め、二重点を 1 つだけもつ Whitney の局所模型と、2 つの交点を打ち消す標準模型を完全に証明する。Whitney のトリックの一般の場合と強い埋め込み定理は、手順の骨格を示し、細部は所在を付けて「この記事では証明しない」とする。

二重点とその符号

多様体は Hausdorff かつ第 2 可算な境界のない $C^\infty$ 級多様体、「滑らか」は $C^\infty$ 級とする。はめ込み・埋め込みは はめ込みと埋め込み(可微分多様体)の記事の定義「はめ込みと埋め込み」の意味である。$M$ を $n$ 次元の多様体（$n\ge1$）、$f\colon M\to\mathbb{R}^{2n}$ をはめ込みとする。

$M$ がコンパクトなら、一般の位置のはめ込みの二重点は有限個である。実際、横断的な二重点 $\{p,q\}$ の近くでは、$p$ の近くの面と $q$ の近くの面が $\{f(p)\}$ だけで交わる（2 つの面を $\mathbb{R}^{2n}$ の中の余次元 $n$ の部分多様体とみて 横断性定理の記事の系「横断的に交わる部分多様体」を当てると、交わりは $0$ 次元）ので、二重点は $M\times M$ の対角線の外で孤立している。一方、$f$ ははめ込みなので各点の近くで単射であり（はめ込みと埋め込み(可微分多様体)の記事の系「はめ込みは局所的には埋め込み」）、対角線のある近傍には $f(p)=f(q)$、$p\neq q$ となる組 $(p,q)$ がない。したがって二重点の組の集合は、閉集合 $\{(p,q)\mid f(p)=f(q)\}$ からこの開近傍を除いたもので、コンパクト集合 $M\times M$ の閉集合であり、孤立点だけからなるので有限である。
$M$ が向き付けられている（向き付け可能多様体）とき、二重点に符号を定める。

$n$ が奇数なら $\varepsilon(q,p)=-\varepsilon(p,q)$ なので、順序を決めない二重点には符号が定まらない。これが、$n$ が奇数のとき自己交差数を $2$ を法として考える理由である。$M$ がコンパクトで一般の位置のはめ込みについて、$I_f$ は正則ホモトピーで変わらない（Whi44 Theorem 2（p. 235）。この記事では証明しない）。

二重点を 1 つだけもつ局所模型

Whitney は、$\mathbb{R}^n$ から $\mathbb{R}^{2n}$ へのはめ込みで、ちょうど 1 つの横断的な二重点をもち、無限遠で標準的な包含 $x\mapsto(x,0)$ に近づくものを式で与えた（Whi44 §2 の式 (2.2)、pp. 221–223）。

左：局所模型の n = 1 の場合の曲線 x ↦ (x − 2x/(1+x²), 1/(1+x²))。x = ±1 がともに (0, 1/2) に写り、二重点はここだけである。右：標準模型の (a, b) 平面での切り口。横の直線 α（P の切り口）と放物線 β（Q₀ の切り口）が a = ±1 で交わり、その間の領域が Whitney の円板 D である。点線は押し出した後の Q₁ の切り口（|a| ≤ 2 の範囲）で、α と交わらない
$n=1$ の場合は、平面の中の 1 つの輪をもつ曲線である（図の左）。一般の $n$ では、$n$ 次元の平面をこの曲線の方向にだけ曲げて、自分自身と 1 点で交わらせている。$\mathbb{R}^{2n}$ の座標の 1 つを符号反転した鏡映を合成すると、二重点の符号は逆になる。
この模型を使うと、一般の位置のはめ込みの二重点を 1 つ増やせる：像が平らな小さい部分を切り取り、局所模型（またはその鏡映）で置き換える。これにより自己交差数 $I_f$ は $\pm1$ だけ好きな向きに変えられる（Whi44 Theorem 3（pp. 235–236）。平らな部分への貼り合わせは 4 と隆起関数を使う。Ben19 p. 152 に同じ模型と貼り合わせの説明がある）。貼り合わせの細部はこの記事では証明しない。

Whitney のトリック

標準模型

2 つの交点を打ち消す操作を、座標で書ける模型で確かめる。$\mathbb{R}^{2n}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n-1}\times\mathbb{R}^{n-1}$ の点を $(a,b,y,z)$ と書く（$n=1$ なら $y$、$z$ はない）。隆起関数の記事の定理「コンパクト集合に対する隆起関数」により、滑らかな関数 $\chi\colon\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n-1}\to[0,1]$ で、$\lvert a\rvert\le2$、$\lvert z\rvert\le1$ のとき $\chi(a,z)=1$ となり、台がコンパクトなものをとる。

図の右は $y=z=0$ での切り口である。$Q_0$ の切り口の放物線を、円板 $D$ を横切って上へ押し上げると、$P$ との 2 つの交点が近づき、$t=\tfrac12$ で接して、$t>\tfrac12$ で消える。$n\ge2$ では、$z$ 方向に離れたところでは $\chi$ が $0$ なので $Q_t$ は動かず、変形は $\chi$ の台の中に閉じている。3 は、交点を消すには「小さく」ではなく「円板を横切るまで」動かす必要があることも示している。

一般の位置の補題

Whitney の円板が多様体の像と内部で交わらないようにできるのは、次元の和が周りの空間の次元より小さいからである。

$\mathbb{R}^{2n}$ の中の $2$ 次元の円板と $n$ 次元の多様体では $\alpha+\beta=2+n$ であり、$2+n<2n$ は $n\ge3$ と同値である。同じ次元の数え方で、円板の 2 点が同じ点に写らないように置くには $2+2<2n$、すなわち $n\ge3$ が要る。これが Whitney のトリックで $n\ge3$ を仮定する理由である。横断性定理の記事の定理「Euclid 空間での横断性定理」で $\dim M+\dim Z< n$ の場合を見ても同じ結論になる。

二重点を 2 つずつ消す

この定理はこの記事では証明しない。Whi44 Theorem 4（p. 236）は、$n\ge3$ のとき自己交差の個数を正則変形で 2 つ増やせること、個数が $\lvert I_f\rvert$ より大きければ（$n$ が奇数か $M$ が向き付け不可能なら $0$ より大きければ）2 つ減らせることを述べ、その証明（pp. 236–242）は、符号が逆の 2 つの自己交差（符号が定まらない場合は任意の 2 つ）を指定して消す形で進む。上の定理文はこの形であり、弧で結ぶために $M$ が連結であることを仮定に入れた。以下に証明の骨格を段に分けて示す。記事内で確かめたのは、段 1・段 2 で使う次元の数え方（lem-wt-general-position）と段 4 の模型（prop-wt-model）だけで、段 1〜5 の構成（弧・円板・近傍の標準形・模型の移植）はこの記事では証明しない。
段 1：弧でつなぐ． $p_1$ と $p_2$、$q_1$ と $q_2$ を、互いに交わらない $M$ の中の滑らかな弧 $C_1$、$C_2$ でつなぐ。ほかの二重点は通らないようにする（$M$ は連結で、$n\ge3$ では $1+1< n$ なので一般の位置の弧は交わらない）。$f$ は二重点以外では単射なので、$B_1:=f(C_1)$ と $B_2:=f(C_2)$ は 2 点 $f(p_1)=f(q_1)$、$f(p_2)=f(q_2)$ だけを共有し、$B:=B_1\cup B_2$ は 2 つの角をもつ閉曲線になる。
段 2：Whitney の円板． $B$ を縁とする滑らかに埋め込まれた 2 次元の円板 $D\subset\mathbb{R}^{2n}$ で、$D\cap f(M)=B$ となり、$B$ に沿って $f(M)$ に接しないものをとる。$B$ を縁とする連続な円板はいつでもある（$\mathbb{R}^{2n}$ は可縮）が、それを滑らかな埋め込みに近づけるには $2\cdot2<2n$、内部が $f(M)$ を避けるには $2+n<2n$ を使う（Whi44 §10、pp. 238–239）。
段 3：近傍の標準形． $D$ に沿って $\mathbb{R}^{2n}$ の基底の場 $w_1,\dots,w_{2n}$ を、$w_1,w_2$ が $D$ に接し、$B_1$ の上で $w_3,\dots,w_{n+1}$ が $f$ の $C_1$ の近くの面に接し、$B_2$ の上で $w_{n+2},\dots,w_{2n}$ が $C_2$ の近くの面に接するように作る。これを使うと、$D$ の近傍から prop-wt-model の円板の近傍への微分同相写像で、2 枚の面を $P$ と $Q_0$ に写すものが得られる。基底の場を $B_2$ に沿って延ばせるかどうかは向きの整合性で決まり、ここで 2 つの二重点の符号が逆であることが使われる（Whi44 §11、pp. 239–240。Ben19 pp. 152–153 の条件 (3) と Remark 7.19）。
段 4：押し出す． prop-wt-model の $Q_t$（$0\le t\le1$）を段 3 の微分同相写像で戻し、$C_2$ の近くの面を $D$ に沿って動かす。$t=1$ で 2 つの交点は消え、$D\cap f(M)=B$ で変形は $D$ の近くに閉じているので、新しい二重点は生じない（Whi44 §12、pp. 240–242）。
段 5：符号が定まらない場合． $n$ が奇数のときや $M$ が向き付け不可能なときは、弧 $C_1$、$C_2$ の選び方（$p_2$ と $q_2$ の役を入れ替える、向きを逆にする閉曲線を回る）を変えると、弧に沿って運んだ局所的な向きに関して 2 つの交点の符号を逆にできる。その後は段 2〜4 と同じである（Whi44 pp. 241–242）。
段 3 で符号の条件が必要なことは、自己交差数の不変性からも分かる：$n$ が偶数で $M$ が向き付けられていれば、正則ホモトピーで $I_f$ は変わらない（Whi44 Theorem 2、p. 235）ので、同じ符号の 2 つの二重点だけを消すこと（$I_f$ が $\pm2$ 変わる）はできない。

強い Whitney の埋め込み定理

Whi44 Theorem 5（p. 236）である（Sko06 p. 7 Theorem 2.2.a と、滑らかな場合の証明の概略 §4（pp. 27–28）。コンパクトな場合の証明の概略は Ben19 Theorem 7.17、pp. 151–154）。この記事では証明しない。連結でコンパクトな $M$、$n\ge3$ の場合の骨格は次のとおりである。

1. 一般の位置のはめ込みから始める． 一般の位置のはめ込み $f_0\colon M\to\mathbb{R}^{2n}$ がある（Whi36 Theorem 2 (b)（p. 654）と Theorem 3（p. 655）。はめ込みの存在だけなら Whitneyのはめ込み定理で示した）。$M$ はコンパクトなので二重点は有限個である。
2. 自己交差数を $0$ にする． lem-wt-local-model とその鏡映を貼り込んで、$I_{f_0}$ を $0$ にする（Whi44 Theorem 3）。$n$ が偶数で $M$ が向き付け可能なら、符号 $+1$ と $-1$ の二重点が同じ個数になり、そうでなければ二重点の個数が偶数になる。
3. 2 つずつ消す． 符号 $+1$ と $-1$ の二重点を 1 つずつ組にして（符号が定まらない場合は任意に 2 つずつ組にして）thm-wt-main を当てると、二重点のないはめ込み、すなわち単射なはめ込みが得られる。
4. 埋め込みになる． $M$ はコンパクトなので、単射なはめ込みは閉埋め込みである（はめ込みと埋め込み(可微分多様体)の記事の命題「コンパクトな多様体からの単射はめ込みは閉埋め込み」）。
   $n=1$ では、連結な境界のない 1 次元の多様体は円周か直線と微分同相で（Mil97 付録の定理、p. 55）、どちらも $\mathbb{R}^2$ に埋め込める（Whi44 p. 237 は「自明」とする）。$n=2$ では、閉曲面を球面・射影平面・Klein の壷の $\mathbb{R}^4$ への埋め込みに把手を付けて得る（Whi44 p. 237。閉曲面の分類を使う）。$M$ がコンパクトでないときは、各二重点の一方の点から無限遠へ向かう曲線に沿って二重点を無限遠へ押し出す（Whi44 p. 237）。いずれもこの記事では証明しない。
   次元 $2n$ は一般には下げられない：円周（$n=1$）は $\mathbb{R}^1$ に埋め込めない（Whitneyの埋め込み定理の記事の例「表の反例の確認」の 3）。$n=2^k$ では $\mathbb{R}P^n$ が $\mathbb{R}^{2n-1}$ に埋め込めない（Sko06 p. 7、Theorem 2.2.a の後の注意。この記事では証明しない）。

例

反例

補足

部分多様体の交点を消す

Whitney のトリックは、はめ込みの自己交差だけでなく、2 つの部分多様体の交点にも使える。Ben19 §18.2（pp. 303–306）は次の形で述べている：$W$ を連結で向き付けられた境界のない $m$ 次元の多様体、$R$、$S$ をコンパクトで連結な向き付けられた部分多様体で $\dim R+\dim S=m$、$R\pitchfork S$ とし、$W\setminus(R\cup S)$ が単連結であるとする。$m\ge5$ で $\dim R\ge2$、$\dim S\ge2$ なら、符号が逆の 2 つの交点は Whitney の円板で結ばれ、$R$ を同位変形で動かして 2 つの交点だけを消せる（同書 Proposition 18.15 (1)、p. 305。この記事では証明しない）。$m$ が 5 以上であることが、円板を $R\cup S$ から離して埋め込むのに使われる。
この形の Whitney のトリックは、ハンドル分解の相殺を通じて、次元が 6 以上の単連結な h 同境定理（Ben19 Theorem 18.5、p. 301、Theorem 18.7、p. 302）の証明の鍵になる。

4 次元の困難

周りの空間が 4 次元（はめ込みなら $n=2$、部分多様体なら $m=4$）では、Whitney の円板を描く閉曲線は作れても、円板の内部が曲面と交わったり、円板自身が自分と交わったりすることを一般の位置では避けられない（Ben19 Remarks 7.20 (1)、pp. 153–154、Remark 18.16、p. 307）。反例の表の 1 はこの次元の数え方を示している。4 次元の多様体に特有の現象の多くは、Whitney のトリックが使えないことから生じる（同書 Remarks 7.20 (2)、p. 154）。

歴史

Whitney は 1936 年に $\mathbb{R}^{2n+1}$ への埋め込みと $\mathbb{R}^{2n}$ へのはめ込みを示し（Whi36）、1944 年の論文でこの記事の方法により $\mathbb{R}^{2n}$ への埋め込みを示した（Whi44）。Whi44 の序文（p. 220）は、自己交差を 2 つずつ減らす Theorem 4 が $n\ge3$ でしか証明されないことを「奇妙な事実」（a curious fact）と述べている。

関連項目

• 前提: Whitneyの埋め込み定理, Whitneyのはめ込み定理, 横断性定理, Sardの定理
• 比較: 管状近傍定理, 向き付け可能多様体
• 発展: h同境定理