集合の圏

同義語：category of sets集合の圏 Set

概要

前提知識: 圏, 写像, 単射, 極限(圏論)

集合の圏（category of sets）$\mathbf{Set}$ は、集合を対象、写像を射とする圏である。圏論の多くの概念は $\mathbf{Set}$ の性質を抽象化して生まれた。モノ射は単射の、エピ射は全射の、極限は直積集合や $\{x\mid f(x)=g(x)\}$ の、余極限は非交和や商集合の一般化である。また $\operatorname{Hom}$ 集合や前層は $\mathbf{Set}$ に値をとるので、$\mathbf{Set}$ は一般の圏を「集合として観測する」ための行き先でもある。
この記事では、$\mathbf{Set}$ の対象と射を定め、その基本的な性質を一つの例として調べる。元が射を決めること、単射・全射・全単射がモノ射・エピ射・同型射に一致し $\mathbf{Set}$ が平衡であること、すべてのエピ射が分裂することが選択公理と同値であること、$\mathbf{Set}$ が完備かつ余完備で極限と余極限が具体的な式で書けること、余積が交わらず引き戻しで保たれることを証明する。$\mathbf{Set}$ の性質を圏の言葉の公理として書き下す方向は、集合の圏の初等理論（ETCS）の記事で扱う。

定義

集合の圏

集合の圏 $\mathbf{Set}$ を次のように定める。

対象はすべての集合である。
集合 $X$ から $Y$ への射は、写像 $f\colon X\to Y$ である。写像は始域 $X$ と終域 $Y$ を込めて考え、始域か終域が異なる写像は異なる射とみなす。
合成は写像の合成 $(g\circ f)(x)=g(f(x))$、恒等射は恒等写像 $\operatorname{id}_X$ である。

結合律と単位律が成り立つことは圏の例「集合の圏」で確かめられている。終域を射の一部に含めることは本質的である。グラフ（順序対の集合）だけで写像を同一視すると、包含写像 $\{0\}\to\{0,1\}$ と恒等写像 $\{0\}\to\{0\}$ が区別できなくなり、どの射とどの射が合成できるかが決まらない（圏の節「公理どうしの独立性」の表の「終域の指定」の行）。
$\mathbf{Set}$ の対象全体は集合をなさない（すべての集合の集合は存在しない）ので、$\mathbf{Set}$ は小さい圏ではない。一方、2 つの集合の間の写像全体 $\operatorname{Hom}(X,Y)=Y^X$ は $\mathcal P(X\times Y)$ の部分集合なので集合であり、$\mathbf{Set}$ は局所小さい。大きさの扱いは、クラス(集合論) を使う流儀と、Grothendieck宇宙 $U$ を固定して $U$ に属する集合だけを対象とする流儀がある。以下では、図式の添字の圏 $J$ が小さいとき（対象と射がそれぞれ集合をなすとき）に限って極限・余極限を考える。
有限集合と写像のなす $\mathbf{Set}$ の充満部分圏を $\mathbf{FinSet}$ と書く。

直感

$\mathbf{Set}$ では、対象は構造をもたない「元の集まり」であり、射は元の行き先を決める規則にすぎない。そのため、圏の言葉で述べた概念がほとんどそのまま元の言葉に翻訳できる。たとえば「$f$ がモノ射」は「$f$ が単射」、「$X$ が終対象」は「$X$ がちょうど 1 つの元をもつ」となる。この翻訳がきくのは、1 点集合 $1$ からの射が元と一対一に対応し、射が元での値で決まるからである（prop-cs-elements）。
ほかの圏では翻訳がきかないことがある。環の圏の包含 $\mathbb Z\to\mathbb Q$ はモノ射かつエピ射だが同型射でない。位相空間の連続な全単射は同相写像とは限らない。$\mathbf{Set}$ はこうした「ずれ」が起こらない基準の圏であり、ほかの圏の性質を測るときの比較の相手になる（節「反例の表」）。

元と射

1 点集合を $1=\{\ast\}$ と書く。写像 $x\colon1\to X$ と元 $x(\ast)\in X$ を同一視し、$X$ の元と呼ぶ。射 $f\colon X\to Y$ と元 $x$ の合成 $f\circ x$ は元 $f(x)$ に対応する。

元が射を決める

1 点集合 $1$ は終対象であり、空集合 $\emptyset$ は始対象である。
写像 $\operatorname{Hom}(1,X)\to X$、$x\mapsto x(\ast)$ は全単射で、$X$ について自然である。すなわち $\operatorname{Hom}(1,-)$ は恒等関手と自然同型である。
（$1$ は生成する）$f,g\colon X\to Y$ がすべての元 $x\colon1\to X$ について $f\circ x=g\circ x$ を満たすなら $f=g$ である。
（$2$ は余生成する）$2=\{0,1\}$ とする。$f,g\colon X\to Y$ がすべての $\chi\colon Y\to2$ について $\chi\circ f=\chi\circ g$ を満たすなら $f=g$ である。
（空集合は厳密な始対象）写像 $X\to\emptyset$ があれば $X=\emptyset$ であり、その写像は $\operatorname{id}_\emptyset$ である。

任意の集合 $X$ から $1$ への写像は、すべての元を $\ast$ に送るものただ 1 つである。$\emptyset$ から $X$ への写像は、グラフが空集合のものただ 1 つである。
全単射であることは、元 $a\in X$ に対し $\ast\mapsto a$ という写像がただ 1 つあることによる。自然性は、$f\colon X\to Y$ について $(f\circ x)(\ast)=f(x(\ast))$ であることそのものである。
写像は値で決まるので、すべての $a\in X$ で $f(a)=g(a)$ なら $f=g$ である。2 によりこれは仮定と同じである。
$f\neq g$ なら $f(a)\neq g(a)$ となる $a$ がある。$y=f(a)$ でだけ $1$ をとる写像 $\chi\colon Y\to2$ をとると、$\chi(f(a))=1\neq0=\chi(g(a))$ である。
写像 $h\colon X\to\emptyset$ があると、$X$ の元 $a$ の値 $h(a)$ が $\emptyset$ の元になるはずなので、$X$ は元をもたない。$\square$

3 の性質に、$1$ から始対象への射がないこと（5 から従う）を合わせた性質をもつ圏を well-pointed という。ETCS はこの性質を公理の一つにとる（集合の圏の初等理論の定義「ETCS」の条件 3 の (a)(b)）。

モノ射・エピ射・同型射

単射・全射・全単射

$\mathbf{Set}$ の射 $f\colon X\to Y$ について次が成り立つ。

$f$ がモノ射であることと、$f$ が単射であることは同値である。
$f$ がエピ射であることと、$f$ が全射であることは同値である。
$f$ が同型射であることと、$f$ が全単射であることは同値である。
（平衡）$f$ がモノ射かつエピ射なら、$f$ は同型射である。
$X\neq\emptyset$ で $f$ がモノ射なら、$f$ は分裂する。すなわち $r\circ f=\operatorname{id}_X$ となる $r\colon Y\to X$ がある。

1 はモノ射の命題「集合の圏と群の圏のモノ射」、2 はエピ射の命題「集合の圏のエピ射は全射」、3 は同型射の補題「写像を射とする圏での同型射の判定」で証明されている。4 は 1〜3 から従う（単射かつ全射なら全単射）。
5. $X$ の元 $a_0$ を 1 つとる。$y\in f(X)$ に対しては $f(x)=y$ となる $x$ がただ 1 つあるのでそれを $r(y)$ とし、$y\notin f(X)$ に対しては $r(y)=a_0$ とする。このとき $r(f(x))=x$ である。この構成は選択を使わない（$a_0$ を 1 つとるだけである）。$\square$

5 の仮定 $X\neq\emptyset$ は外せない。$Y\neq\emptyset$ のとき $\emptyset\to Y$ はモノ射だが、$Y\to\emptyset$ への写像はないので分裂しない。エピ射の分裂は、選択公理そのものである。

エピ射の分裂と選択公理

次の 2 条件は同値である。

（選択公理）空でない集合の族 $(A_i)_{i\in I}$ には、すべての $i$ で $s(i)\in A_i$ となる写像 $s\colon I\to\bigcup_{i\in I}A_i$ がある。
$\mathbf{Set}$ のすべてのエピ射 $p\colon X\to I$ は分裂する。すなわち $p\circ s=\operatorname{id}_I$ となる $s\colon I\to X$ がある。

1 ⇒ 2：$p$ は全射（thm-cs-mono-epi の 2）なので、各 $i\in I$ のファイバー $p^{-1}(i)$ は空でない。族 $(p^{-1}(i))_{i\in I}$ に 1 を当てて得た $s$ は $s(i)\in p^{-1}(i)$、すなわち $p(s(i))=i$ を満たす。
2 ⇒ 1：空でない集合の族 $(A_i)_{i\in I}$ に対し、$X=\{(i,a)\mid i\in I,\ a\in A_i\}\subset I\times\bigcup_iA_i$ と第 1 成分への射影 $p\colon X\to I$ をとる。各 $A_i$ は空でないので $p$ は全射、したがってエピ射である。2 による切断 $t\colon I\to X$ は $p(t(i))=i$ を満たすので $t(i)=(i,a_i)$（$a_i\in A_i$）の形であり、$s(i)=a_i$ が 1 の写像である。$\square$

この同値は Rie16 Remark 1.2.10（p. 13）が述べている。単射・全射についての 1・2 は Rie16 Example 1.2.8（p. 12）にもある。

極限と余極限

小さい圏 $J$ からの関手 $F\colon J\to\mathbf{Set}$ を考える。$J$ の射 $u\colon j\to k$ に対し、写像 $F(u)\colon F(j)\to F(k)$ を $u_\ast$ と略す。

集合の圏は完備かつ余完備である

集合
$$ \lim F=\Bigl\{(x_j)_{j\in J}\in\prod_{j\in J}F(j)\ \Bigm|\ J\ \text{のすべての射}\ u\colon j\to k\ \text{で}\ u_\ast(x_j)=x_k\Bigr\} $$
と射影 $\pi_k\colon\lim F\to F(k)$、$(x_j)_j\mapsto x_k$ は $F$ の極限錐である。
非交和 $\coprod_{j\in J}F(j)=\{(j,x)\mid j\in J,\ x\in F(j)\}$ 上で、$J$ のすべての射 $u\colon j\to k$ と $x\in F(j)$ について $(j,x)\sim(k,u_\ast(x))$ とおいた関係が生成する同値関係を $\approx$ とする。商集合
$$ \operatorname{colim}F=\Bigl(\coprod_{j\in J}F(j)\Bigr)\Big/\!\approx $$
と $\iota_k\colon F(k)\to\operatorname{colim}F$、$x\mapsto[(k,x)]$ は $F$ の余極限錐である。

$J$ は小さいので、$\prod_jF(j)$ と $\coprod_jF(j)$ は集合であり、その部分集合・商集合も集合である。

$u\colon j\to k$ について $u_\ast\circ\pi_j=\pi_k$ は定義の条件そのものなので、$(\lim F,\pi)$ は錐である。$F$ 上の錐 $(c,(\lambda_j\colon c\to F(j))_j)$ をとる。錐の条件 $u_\ast\circ\lambda_j=\lambda_k$ により、各 $z\in c$ について $(\lambda_j(z))_j$ は $\lim F$ に属するので、$\ell(z)=(\lambda_j(z))_j$ が写像 $\ell\colon c\to\lim F$ を定め、$\pi_j\circ\ell=\lambda_j$ を満たす。逆に $\pi_j\circ\ell'=\lambda_j$ なら、$\ell'(z)$ の第 $j$ 成分は $\lambda_j(z)$ なので $\ell'=\ell$ である。
$\iota_k(u_\ast(x))=[(k,u_\ast(x))]=[(j,x)]=\iota_j(x)$ なので余錐である。余錐 $(c,(\mu_j\colon F(j)\to c)_j)$ をとり、$\coprod_jF(j)$ 上の写像 $\tilde m(j,x)=\mu_j(x)$ を考える。余錐の条件 $\mu_k\circ u_\ast=\mu_j$ により、生成する関係 $(j,x)\sim(k,u_\ast(x))$ の両辺で $\tilde m$ の値は等しい。値が等しいという関係は同値関係なので、それは $\sim$ が生成する同値関係 $\approx$ を含み、$\tilde m$ は商集合上の写像 $m\colon\operatorname{colim}F\to c$ を定める。$m\circ\iota_j=\mu_j$ であり、$\operatorname{colim}F$ の元はすべてある $\iota_j(x)$ なので、この条件を満たす $m$ はただ 1 つである。$\square$

これは Rie16 Definition 3.2.3・Theorem 3.2.4（pp. 93–94）と Proposition 3.6.1（p. 115）の内容である。添字の圏が小さいという仮定は外せない。たとえば $J$ を $\mathbf{Set}$ の対象を対象とし恒等射だけを射とする圏とし、$F(X)=\{0,1\}$（すべての $X$）とすると、積 $\prod_{X}\{0,1\}$ は「すべての集合で添字づけた族」の全体になるはずだが、そのような積は $\mathbf{Set}$ に存在しない。積 $P$ があれば、射 $1\to P$ はすべての集合 $X$ に $\{0,1\}$ の元を割り当てる族と一対一に対応する。集合 $S$ ごとに $S$ でだけ $1$ をとる族 $\delta_S$ は互いに異なるので、$P$ の部分集合からすべての集合への全射が得られ、置換公理によりすべての集合の集まりが集合になって矛盾する。
特別な場合を表にまとめる。

図式	$\mathbf{Set}$ での極限・余極限
2 つの集合 $X,Y$	積は直積集合 $X\times Y$、余積は非交和 $X\sqcup Y=(\{0\}\times X)\cup(\{1\}\times Y)$
$f,g\colon X\rightrightarrows Y$	等化子は $\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}$、余等化子は $f(x)\sim g(x)$ が生成する同値関係による $Y$ の商集合
$f\colon X\to Z\leftarrow Y\colon g$	引き戻し(圏論)は $X\times_ZY=\{(x,y)\mid f(x)=g(y)\}$
$f\colon Z\to X$、$g\colon Z\to Y$	押し出し(圏論)は $X\sqcup Y$ を $f(z)\sim g(z)$ が生成する同値関係で割った集合
空の図式	極限は 1 点集合 $1$、余極限は空集合 $\emptyset$

逆極限と順極限

写像の列 $\cdots\to X_2\xrightarrow{f_2}X_1\xrightarrow{f_1}X_0$ の極限は、$f_n(x_n)=x_{n-1}$ を満たす列 $(x_n)_{n\ge0}$ 全体である。たとえば $X_n=\mathbb Z/p^n\mathbb Z$、$f_n$ を自然な射影とすると、極限は $p$ 進整数環の台集合である。逆向きの列 $Y_0\xrightarrow{g_0}Y_1\xrightarrow{g_1}\cdots$ がすべて包含写像なら、余極限は和集合 $\bigcup_nY_n$ と同一視できる（$(n,y)\approx(m,y)$ なので、同じ元は 1 つにまとまる）。

余積は交わらず、引き戻しで保たれる

余積の入射 $\iota_1\colon X\to X\sqcup Y$、$\iota_2\colon Y\to X\sqcup Y$ は単射で、像は交わらず、合わせて $X\sqcup Y$ を覆う。とくに $\iota_1$ と $\iota_2$ の引き戻しは空集合である。
写像 $h\colon Z\to X\sqcup Y$ について、$Z_1=h^{-1}(\iota_1(X))$、$Z_2=h^{-1}(\iota_2(Y))$ とおくと、包含 $Z_1\to Z$、$Z_2\to Z$ は $Z$ を $Z_1$ と $Z_2$ の余積にする。すなわち余積の分解は引き戻しで保たれる。

$X\sqcup Y=(\{0\}\times X)\cup(\{1\}\times Y)$、$\iota_1(x)=(0,x)$、$\iota_2(y)=(1,y)$ なので、単射で、第 1 成分が異なるから像は交わらない。引き戻し $\{(x,y)\mid\iota_1(x)=\iota_2(y)\}$ は空である。
1 により $Z=Z_1\cup Z_2$、$Z_1\cap Z_2=\emptyset$ である。写像 $a\colon Z_1\to W$、$b\colon Z_2\to W$ に対し、$Z_1$ 上で $a$、$Z_2$ 上で $b$ となる写像 $Z\to W$ がただ 1 つある。これは $Z$ が包含写像とともに $Z_1$ と $Z_2$ の余積であることを意味する。$\square$

2 の性質は群の圏では成り立たない。$\mathbb Z$ と $\mathbb Z$ の群の圏での余積は、$a,b$ で生成される自由群 $F_2$ である。準同型 $h\colon\mathbb Z\to F_2$、$n\mapsto(ab)^n$ に沿って 2 つの入射を引き戻すと、$(ab)^n$ が $a$ の冪にも $b$ の冪にもなるのは $n=0$ のときだけなので、どちらも自明な群になる。自明な群どうしの余積は自明な群であり、$\mathbb Z$ ではない。余積が交わらず引き戻しで保たれるという $\mathbf{Set}$ の性質は、トポスの余積がもつ性質の原型である。

冪集合と写像の集合

$\mathbf{Set}$ は Cartesian閉圏である。写像 $u\colon Z\times X\to Y$ に $z\mapsto(x\mapsto u(z,x))$ を対応させると全単射 $\operatorname{Hom}(Z\times X,Y)\cong\operatorname{Hom}(Z,Y^X)$ が得られ、$Y^X$ が指数対象になる（Cartesian閉圏の例「集合の圏」）。また 2 点集合 $2=\{0,1\}$ と $\mathrm{true}(\ast)=1$ は部分対象分類子である（部分対象分類子の例「集合と有限集合の分類子」）。これらと自然数対象 $\mathbb N$、有限極限と有限余極限（thm-cs-complete）、prop-cs-elements の 3 と 5（$1$ から $\emptyset$ への射がないこと）、選択公理のもとでの thm-cs-choice の 2 を合わせると、$\mathbf{Set}$ は ETCS の公理をすべて満たす（集合の圏の初等理論の定理「集合の圏は ETCS の公理を満たす」）。

部分集合と特性写像

集合 $X$ の部分集合 $A$ に特性写像 $\chi_A\colon X\to2$（$x\in A$ で $1$、それ以外で $0$）を対応させると、全単射 $\mathcal P(X)\cong\operatorname{Hom}(X,2)$ が得られる。写像 $f\colon X'\to X$ について、この全単射は逆像 $f^{-1}\colon\mathcal P(X)\to\mathcal P(X')$ と前合成 $-\circ f\colon\operatorname{Hom}(X,2)\to\operatorname{Hom}(X',2)$ を対応させる。すなわち逆像による反変関手 $\mathcal P$ は $\operatorname{Hom}(-,2)$ で表現される。

逆写像は $\chi\mapsto\chi^{-1}(1)$ である。$\chi_A^{-1}(1)=A$、$\chi_{\chi^{-1}(1)}=\chi$ はどちらも定義から従う。自然性は $\chi_A\circ f=\chi_{f^{-1}(A)}$ のことで、$x'\in X'$ について $\chi_A(f(x'))=1\iff f(x')\in A\iff x'\in f^{-1}(A)$ から従う。$\square$

$\mathbf{Set}$ では、モノ射 $m\colon S\to X$ を同型を除いて考えたもの（部分対象）は、像 $m(S)$ によって $X$ の部分集合と一対一に対応する（thm-cs-mono-epi の 1 と 3）。この命題は、部分対象分類子の性質を部分集合の言葉で述べたものである。

Set に値をとる関手

局所小さい圏 $\mathcal C$ の対象 $c$ に対し、$\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(c,-)\colon\mathcal C\to\mathbf{Set}$ は関手であり、これと自然同型な関手を表現可能関手という。米田の補題によれば、$\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(c,-)$ から関手 $G\colon\mathcal C\to\mathbf{Set}$ への自然変換は $G(c)$ の元と一対一に対応する。小さい圏 $\mathcal C$ 上の前層、すなわち関手 $\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ のなす関手圏は、極限と余極限を対象ごとに $\mathbf{Set}$ でとることで完備かつ余完備になる。群・環・位相空間などの圏から $\mathbf{Set}$ への忘却関手も $\mathbf{Set}$ に値をとる関手であり、構造を忘れて台集合を見る。このように $\mathbf{Set}$ は、一般の圏の対象を「射の集合」として観測する行き先の役を果たす。

骨格と濃度

$\mathbf{Set}$ で $X\cong Y$ であることは、$X$ と $Y$ の間に全単射があること、すなわち濃度が等しいことである（thm-cs-mono-epi の 3）。したがって $\mathbf{Set}$ の対象の同型類は濃度と一対一に対応する。選択公理のもとでは、各集合は 1 つの基数（von Neumann の基数）と全単射で結ばれるので、基数全体を対象とする充満部分圏は $\mathbf{Set}$ と圏同値であり、どの 2 つの対象も同型でない。$\mathbf{FinSet}$ では、$\{1,\dots,n\}$（$n\ge0$）を対象とする充満部分圏が同じ役を果たす。

反例の表

$\mathbf{Set}$ の性質のうち、圏を取り替えると成り立たなくなるものを、取り替える点を 1 つずつ挙げてまとめる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
射はすべての写像である	環と環準同型の圏の包含 $\mathbb Z\to\mathbb Q$	モノ射かつエピ射なら同型射（thm-cs-mono-epi の 4）
対象は台集合のほかに構造をもたない	位相空間の圏の、離散位相から密着位相への恒等写像（2 点以上の集合）	全単射なら同型射（thm-cs-mono-epi の 3）
無限集合も対象に含む	$\mathbf{FinSet}$	可算個の積の存在（thm-cs-complete の 1）、自然数対象の存在
始対象でない対象は元をもつ	集合の対の圏 $\mathbf{Set}\times\mathbf{Set}$	$1$ が生成する（prop-cs-elements の 3）

反例の確かめを開く

1 行目：同型射の例「反例：モノ射かつエピ射だが同型射でない環準同型」のとおり。

2 行目：同型射の例「反例：連続な全単射は同型射とは限らない」と同じ形の例である。離散位相ではすべての部分集合が開なので恒等写像は連続だが、逆写像は 1 点集合の逆像が開でないので連続でない。

3 行目：$\mathbf{FinSet}$ で 2 点集合の可算個の積があるとすると、その元（1 点集合からの射）は $\mathbf{Set}$ と同じく座標の列と一対一に対応し、$\{0,1\}^{\mathbb N}$ と同じ濃度をもつので有限でない。自然数対象がないことは自然数対象の例「反例：有限集合の圏には自然数対象がない」にある。

4 行目：$\mathbf{Set}\times\mathbf{Set}$ の終対象は $(1,1)$ で、$(\emptyset,\{0,1\})$ は $(1,1)$ からの射をもたない。その恒等射と第 2 成分の入れ替えは異なるが、元での値では区別できない（集合の圏の初等理論の例「ETCS の条件を満たす圏と満たさない圏」の 3）。