可換モノイドの合同関係

$N$ における等号の反射律・対称律・推移律から、$\ker_{\mathrm{cong}}(f)$ は同値関係である。また $f(a)=f(b)$、$f(c)=f(d)$ なら
$$ f(a+c)=f(a)+f(c)=f(b)+f(d)=f(b+d) $$
だから $a+c\sim b+d$ である。よって合同関係である。$\blacksquare$

まず代表元に依存しないことを示す。$[a]=[a']$、$[b]=[b']$ なら $a\sim a'$、$b\sim b'$ である。合同関係の条件から
$$ a+b\sim a'+b' $$
となるため、$[a+b]=[a'+b']$ である。よって加法はwell-definedである。
任意の $[a],[b],[c]\in M/{\sim}$ に対し
$$ ([a]+[b])+[c]=[(a+b)+c]=[a+(b+c)]=[a]+([b]+[c]) $$
なので結合律が成り立つ。また
$$ [a]+[0]=[a+0]=[a], \qquad [a]+[b]=[a+b]=[b+a]=[b]+[a] $$
より $[0]$ は単位元で、加法は可換である。したがって $M/{\sim}$ は可換モノイドになる。定義から $\pi(a+b)=[a+b]=[a]+[b]$ かつ $\pi(0)=[0]$ なので $\pi$ は準同型であり、各同値類は代表元の像だから全射である。
最後に、$\pi$ を準同型にする演算があるなら $[a]+[b]=\pi(a)+\pi(b)=\pi(a+b)=[a+b]$ でなければならない。よってこの構造は一意である。$\blacksquare$

$\overline f([a])=f(a)$ と定める。仮定により代表元に依存せず、
$$ \overline f([a]+[b])=f(a+b)=f(a)+f(b) $$
なので準同型である。また $\overline f(\pi(a))=f(a)$ を満たす。$\pi$ は全射だから、この条件を満たす写像の値はすべての同値類上で決まり、一意である。$\blacksquare$

3から2は明らかであり、2から1は「核合同関係は合同関係である」命題による。
1を仮定する。商可換モノイドの構成により、商写像 $\pi:M\to M/R$ は全射準同型である。また
$$ \pi(a)=\pi(b) \quad\Longleftrightarrow\quad [a]=[b] \quad\Longleftrightarrow\quad (a,b)\in R $$
なので $R=\ker_{\mathrm{cong}}(\pi)$ である。よって3が従う。$\blacksquare$

写像
$$ \widetilde f:M/\ker_{\mathrm{cong}}(f)\longrightarrow\operatorname{im}(f), \qquad [a]\longmapsto f(a) $$
を考える。核合同関係の定義によりwell-definedで、明らかに準同型かつ全射である。$\widetilde f([a])=\widetilde f([b])$ なら $f(a)=f(b)$ だから $(a,b)\in\ker_{\mathrm{cong}}(f)$、したがって $[a]=[b]$ である。よって単射でもあり、同型である。$\blacksquare$

同値関係の反射律・対称律・推移律は各 $R_\lambda$ で成り立つので、その交わりでも成り立つ。また $(a,b),(c,d)$ がすべての $R_\lambda$ に属するなら、各 $\lambda$ について $(a+c,b+d)\in R_\lambda$ である。よって $(a+c,b+d)$ は交わりに属する。$\blacksquare$