重解とJordan細胞

$a_0=1$、$a_1=4$、$a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n$ とする。特性方程式 $t^2-4t+4=(t-2)^2=0$ は重解 $2$ をもつ。$a_{n+1}-2a_n$ は公比 $2$ の等比数列なので
$$ a_{n+1}-2a_n=2^n(a_1-2a_0)=2^n\cdot2=2^{n+1} $$
である。両辺を $2^{n+1}$ で割ると $\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\dfrac{a_n}{2^n}=1$ となり、$\dfrac{a_n}{2^n}$ は初項 $1$、公差 $1$ の等差数列である。よって $a_n=(n+1)2^n$ で、$1,4,12,32,80,\dots$ と続く。

$S=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ と、その固有ベクトル $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$（固有値 $3$）、$\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$（固有値 $1$）を並べた $P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ を考える。$\det P=-1-1=-2$ なので $P^{-1}=\frac1{-2}\begin{pmatrix}-1&-1\\-1&1\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ である。
$$ SP=\begin{pmatrix}3&1\\3&-1\end{pmatrix},\qquad P^{-1}SP=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\3&-1\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}6&0\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}. $$

$U=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ の固有多項式は $\chi_U(t)=(t-1)^2$ で、固有値は $1$ だけである。固有ベクトル $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ は
$$ (U-E)\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y\\0\end{pmatrix}=\mathbf 0 $$
を満たすもの、すなわち $y=0$ のものなので、$\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ の定数倍しかない。$U$ を順に掛けると $U^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$、$U^3=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}$ となり、右上に $n$ が現れる。

$J(2)=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$ を順に掛ける。
$$ J(2)^2=\begin{pmatrix}2\cdot2+1\cdot0&2\cdot1+1\cdot2\\0&2\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&4\\0&4\end{pmatrix},\qquad J(2)^3=\begin{pmatrix}4&4\\0&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&12\\0&8\end{pmatrix},\qquad J(2)^4=\begin{pmatrix}16&32\\0&16\end{pmatrix}. $$
右上の成分 $1,4,12,32$ は $n\cdot2^{n-1}$（$n=1,2,3,4$）である。対角成分は $2^n$ のままである。

$J(-1)=\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix}$ では、lem-jb-power により $J(-1)^n=\begin{pmatrix}(-1)^n&n(-1)^{n-1}\\0&(-1)^n\end{pmatrix}$ である。$n=2$ で $\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}$、$n=3$ で $\begin{pmatrix}-1&3\\0&-1\end{pmatrix}$ となり、直接掛けた結果 $J(-1)^2=\begin{pmatrix}1+0&-1-1\\0&1\end{pmatrix}$、$J(-1)^3=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1+2\\0&-1\end{pmatrix}$ と一致する。

$a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n$ では $C=\begin{pmatrix}4&-4\\1&0\end{pmatrix}$、$\alpha=2$、$P=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}$、$P^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\1&-2\end{pmatrix}$ である。ex-jb-powers の続きで $J(2)^5=\begin{pmatrix}32&80\\0&32\end{pmatrix}$ なので
$$ C^5=PJ(2)^5P^{-1}=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}32&80\\0&32\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}64&192\\32&80\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}192&-320\\80&-128\end{pmatrix} $$
である。$v_0=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$（$a_0=1$、$a_1=4$）に掛けると $C^5v_0=\begin{pmatrix}768-320\\320-128\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}448\\192\end{pmatrix}$ で、$a_6=448=7\cdot2^6$、$a_5=192=6\cdot2^5$ となり、ex-jb-review の $(n+1)2^n$ と一致する。

$a_{n+2}=-2a_{n+1}-a_n$、$a_0=a_1=1$ とする。特性方程式 $(t+1)^2=0$ の重解は $\alpha=-1$ で、$C=\begin{pmatrix}-2&-1\\1&0\end{pmatrix}$、$P=\begin{pmatrix}-1&1\\1&0\end{pmatrix}$、$P^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}$ である。確かめると
$$ CP=\begin{pmatrix}2-1&-2\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-2\\-1&1\end{pmatrix},\qquad PJ(-1)=\begin{pmatrix}-1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-2\\-1&1\end{pmatrix} $$
で等しい。thm-jb-general の式は $a_n=(-1)^n+n\,(1+1)(-1)^{n-1}=(1-2n)(-1)^n$ で、$1,1,-3,5,-7,\dots$ となる。

$a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n$、$a_0=1$、$a_1=4$ は、「特性方程式が異なる 2 解をもつ」という仮定だけを満たさない。使える等比数列は $2^n$ だけなので $a_n=A\cdot2^n$ としてみると、$a_0=1$ から $A=1$、すると $a_1=2\ne4$ となる。「解は特性方程式の解の冪の和で書ける」という結論が破れる。行列で言えば、固有ベクトルが $\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ の方向しかなく、$v_0=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$ がその方向にないため、固有ベクトルだけでは $v_0$ を表せない。

$2E=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$ の固有多項式は $(t-2)^2$ で、固有値 $2$ が重なっている。しかし $2E$ ははじめから対角行列なので（$P=E$）、対角化可能である。どんなベクトル $v$ も $2Ev=2v$ を満たし、固有ベクトルは平面のすべての方向にある。$2E$ は左下の成分が $0$ でコンパニオン行列の形でないので、thm-jb-not-diag の仮定を満たさない。重解であることだけでは、対角化できないとは言えない。