Steenrodの被約冪作用素
概要
Steenrodの被約冪作用素（Steenrod reduced powers）とは、奇素数 $p$ について空間の $\mathbb F_p$ 係数コホモロジーに作用する自然な準同型 $P^i\colon H^n\to H^{n+2i(p-1)}$ で、$P^0$ は恒等写像、次数 $2i$ の類では $p$ 乗、次数 $2i$ 未満の類では $0$ で、Cartan の公式と懸垂との可換性をみたすものである。Bockstein 準同型とともに奇素数の Steenrod 代数を生成する。向き付けられたベクトル束の Thom 類から定まる類 $q_i$ は、向き付けられた閉多様体の接束では Wu 類で表され、向き付けられた連結な閉多様体の間のホモトピー同値で保たれる。$p=3$ では、コンパクトな底空間の上で $q_i$ は Pontryagin 類の $\bmod 3$ 還元に等しい。
前提知識: Steenrod平方, Bockstein準同型, Euler類, Thom空間, Poincaré双対
奇素数 $p$ を 1 つ固定する。Steenrod の被約冪作用素（Steenrod reduced powers）とは、すべての空間の $\mathbb F_p$ 係数コホモロジーに作用する自然な準同型
$$
P^i\colon H^n(X;\mathbb F_p)\to H^{n+2i(p-1)}(X;\mathbb F_p)\qquad(i\ge0)
$$
で、$P^0$ が恒等写像、次数 $2i$ の類では $P^ix=x^p$、次数が $2i$ より小さい類では $0$ になり、Cartan の公式と懸垂との可換性をみたすものである。$p=2$ の Steenrod平方 $Sq^{2i}$ にあたる演算で、$Sq^1$ にあたるのは Bockstein準同型 $\beta$ である。$\beta$ と $P^i$ が生成し Adem 関係式で割った代数が奇素数の Steenrod 代数 $\mathcal A_p$ であり、Steenrod代数 の記事の $p=2$ の場合と対をなす。
この記事では、被約冪作用素の存在と性質を引用し、相対コホモロジーへの延長、複素射影空間での値、Adem 関係式と Milnor の双対を述べる。主定理は奇素数の Wu の公式である。向き付けられたベクトル束の Thom 類 $u$ と Thom 同型 $\varphi$ から $q_i:=\varphi^{-1}P^iu$ を定めると、向き付けられた閉多様体 $M$ では $q(\tau M)$ が、コホモロジー環と $P^i$ だけで決まる Wu 類 $v$ の像 $P(v)$ に等しく、向き付けられた連結な閉多様体の間のホモトピー同値で保たれる。$p=3$ ではコンパクトな底空間の上で $q_i$ が Pontryagin 類の $\bmod 3$ 還元に等しいので、連結で向き付け可能な閉多様体の $\bmod 3$ の Pontryagin 類もホモトピー同値で保たれる。
定義と基本性質
以下、$p$ は奇素数、コホモロジーは特異コホモロジーで、係数を書かなければ $\mathbb F_p$ とする：$H^*(X):=H^*(X;\mathbb F_p)$。斉次な類 $x$ の次数を $|x|$ と書く。
すべての空間 $X$ と整数 $i,n\ge0$ について準同型 $P^i\colon H^n(X)\to H^{n+2i(p-1)}(X)$ があって、次をみたす。
- （自然性）連続写像 $f\colon X\to Y$ について $P^i\circ f^*=f^*\circ P^i$ である。
- （加法性）$P^i(x+y)=P^ix+P^iy$ である。
- （Cartan の公式）$P^k(x\smile y)=\sum_{i+j=k}P^ix\smile P^jy$ である。
- （懸垂）基点付き空間の被約コホモロジーの懸垂同型 $\sigma\colon\tilde H^n(X)\to\tilde H^{n+1}(\Sigma X)$ について $P^i\circ\sigma=\sigma\circ P^i$ である。
- $|x|=2i$ なら $P^ix=x^p$ であり、$|x|< 2i$ なら $P^ix=0$ である。
- $P^0=\mathrm{id}$ である。
全被約冪 $P:=\sum_iP^i$ は 5 によりどの類にも有限和で作用し、3 は $P(x\smile y)=P(x)\smile P(y)$ と書ける。射影 $\mathrm{pr}_1,\mathrm{pr}_2$ についての自然性から、クロス積（Künnethの公式 の定義「コホモロジーのクロス積」）についても $P(x\times y)=P(x)\times P(y)$ である。$P^i$ は次数を偶数 $2i(p-1)$ だけ上げるので、ここに符号は現れない。5 の「$p$ 乗」が意味をもつのは偶数次の類だけである（奇数次の類 $x$ では次数付き可換性から $2x^2=0$、よって $x^2=0$）。
対 $(X,A)$ について、$A$ の錐 $CA$ を $A$ に沿って $X$ に貼った空間を $X_A:=X\cup CA$ とする（$A=\emptyset$ なら $CA$ は 1 点）。包含がひき起こす同型 $\kappa\colon\tilde H^n(X_A)\to H^n(X,A)$ があり、$P^i:=\kappa\circ P^i\circ\kappa^{-1}$ と定めると次が成り立つ。
- 対の写像 $f\colon(X,A)\to(Y,B)$ について $P^i\circ f^*=f^*\circ P^i$ である。
- 相対類を絶対類とみなす写像 $j^*\colon H^n(X,A)\to H^n(X)$ について $j^*\circ P^i=P^i\circ j^*$ である。$A=\emptyset$ なら元の $P^i$ と一致する。
- $P^i$ は加法的で $P^0=\mathrm{id}$ である。$x\in H^n(X,A)$ について、$n=2i$ なら $P^ix=x^p$（相対類どうしのカップ積）であり、$n< 2i$ なら $P^ix=0$ である。
要点：$CA$ は可縮なので $X_A$ の被約コホモロジーは対 $(X_A,CA)$ のコホモロジーであり、錐の上半分を切除して下半分を $A$ へ押し縮めると $(X,A)$ のコホモロジーになる。
証明を開く
空間．$CA:=(A\times[0,1]\sqcup\{c\})/(A\times\{1\}\sim c)$ とし、$X_A$ は $X\sqcup CA$ で $a\in A$ と $[a,0]$ を同一視した空間とする。$X$ は $X_A$ の閉集合で、$X_A\setminus X\subset CA$ は開集合である。
第 1 段．$CA$ は頂点 $c$ へ可縮なので、$H^{n-1}(X_A)\to H^{n-1}(CA)$ は全射（$n-1=0$ では定数関数、それ以外では $0$）であり、対 $(X_A,CA)$ の長完全列から $j_A^*\colon H^n(X_A,CA)\to H^n(X_A)$ は単射で、像は $H^n(X_A)\to H^n(CA)\cong H^n(\{c\})$ の核、すなわち $\tilde H^n(X_A)$ である。
第 2 段．$W:=\{[a,s]\mid s>\tfrac12\}\cup\{c\}$ は開集合で、その閉包は $X_A\setminus X$ に含まれ、これは $CA$ の内部にある。切除により $H^*(X_A,CA)\cong H^*(X\cup A\times[0,\tfrac12],A\times[0,\tfrac12])$ である（右辺は $X\sqcup A\times[0,\tfrac12]$ を同じ規則で貼った空間）。$h_t$ を $X$ の上で恒等、$[a,s]\mapsto[a,(1-t)s]$ と定めると、$[0,1]$ は局所コンパクト Hausdorff なので商空間と $[0,1]$ の積は商空間であり、$h_t$ は連続である。$h_t$ は $A\times[0,\tfrac12]$ をそれ自身に写す対のホモトピーで、$(X,A)$ への変形レトラクションを与える。よって包含 $\iota\colon(X,A)\to(X_A,CA)$ は同型 $\iota^*$ を誘導し、$\kappa:=\iota^*\circ(j_A^*)^{-1}$ とおく。
1．$f$ は錐の上で $[a,s]\mapsto[f(a),s]$ とおいて連続写像 $f_A\colon X_A\to Y_B$ に延び、$f_A$ は頂点を頂点に写して $\iota$ と $j_A$ と可換である。thm-srp-existence の 1 を $f_A$ に使えばよい。
2．$k\colon X\to X_A$ を包含とすると、写像の合成として $(X,\emptyset)\to(X,A)\to(X_A,CA)$ は $(X,\emptyset)\to(X_A,\emptyset)\to(X_A,CA)$ に等しいので $j^*\circ\kappa=k^*$ である。thm-srp-existence の 1 を $k$ に使う。$A=\emptyset$ なら $X_A=X\sqcup\{c\}$ で、$k^*\colon\tilde H^*(X\sqcup\{c\})\to H^*(X)$ は同型なので元の $P^i$ と一致する。
3．$\iota^*$ と $j_A^*$ は対の写像が誘導する写像なのでカップ積を保ち、$\kappa$ は環の同型である。$\tilde H^*(X_A)$ の上で thm-srp-existence の 2・5・6 が成り立つことから従う。$\square$
複素射影空間と懸垂
$x\in H^2(X)$ と $k\ge0$ について
$$
P(x^k)=x^k(1+x^{p-1})^k,\qquad\text{すなわち}\qquad P^i(x^k)=\binom kix^{k+i(p-1)}
$$
である。
thm-srp-existence の 5・6 から $P(x)=x+x^p=x(1+x^{p-1})$ である。3 により $P$ はカップ積を保つので $P(x^k)=P(x)^k=x^k(1+x^{p-1})^k$ であり、二項展開の $x^{k+i(p-1)}$ の係数をとればよい。$\square$
複素射影空間 の定理「複素射影空間のコホモロジー環」と普遍係数定理により $H^*(\mathbb{CP}^n)=\mathbb F_p[x]/(x^{n+1})$（$|x|=2$）なので、$\mathbb{CP}^n$ の上の $P^i$ はこの命題で決まる。たとえば $P^1(x^k)=kx^{k+p-1}$ であり、$0< i< p^r$ では $P^i(x^{p^r})=0$ である。
理由を開く
$\mathbb F_p[t]$ で $(1+t)^{p^r}=1+t^{p^r}$（Frobenius 写像は環準同型）なので、$0< i< p^r$ では $\binom{p^r}{i}\equiv0\pmod p$ であり、$P^{p^r}(x^{p^r})=x^{p^{r+1}}$ である。
$k\ge0$ とし、$\Sigma^k$ を $k$ 回の被約懸垂とする（懸垂 の定義「被約懸垂」）。$\Sigma^k\mathbb{CP}^p$ は $\Sigma^k\mathbb{CP}^{p-1}\vee S^{2p+k}$ とホモトピー同値でない。したがって $\mathbb{CP}^p$ の $2p$ 胞体の貼り付け写像 $\phi\colon S^{2p-1}\to\mathbb{CP}^{p-1}$ は、何回懸垂しても定値写像とホモトピックにならない。
要点：$P^1x=x^p\ne0$ は懸垂しても消えないが、一点和の側では $k+2$ 次の類がすべて $\Sigma^k\mathbb{CP}^{p-1}$ から来るので $P^1=0$ になる。
証明を開く
$x\in H^2(\mathbb{CP}^p)$ を生成元とすると $x^p\ne0$ なので、thm-srp-existence の 5 により $P^1x=x^p\ne0$ である。4 により $P^1\colon H^{k+2}(\Sigma^k\mathbb{CP}^p)\to H^{k+2p}(\Sigma^k\mathbb{CP}^p)$ は $0$ でない。一方 $Y:=\Sigma^k\mathbb{CP}^{p-1}\vee S^{2p+k}$ では、カップ積 の命題「一点和のカップ積」と $H^{k+2}(S^{2p+k})=0$（$p\ge3$）により、$H^{k+2}(Y)$ のどの元も、球面をつぶす写像 $r\colon Y\to\Sigma^k\mathbb{CP}^{p-1}$ による引き戻し $r^*y$ である。$P^1r^*y=r^*P^1y$ で $H^{k+2p}(\Sigma^k\mathbb{CP}^{p-1})=0$（最高次数は $k+2p-2$）なので、$Y$ の上では $P^1=0$ である。ホモトピー同値は $P^1$ と可換な同型を誘導するので、2 つの空間はホモトピー同値でない。後半は、$\Sigma^k\mathbb{CP}^p$ が $\Sigma^k\phi$ の写像錐であり（Hat02 p. 489）、貼り付け写像が定値写像とホモトピックなら写像錐は一点和とホモトピー同値になる（Hat02 Proposition 0.18、p. 16）ことによる。$\square$
$p=2$ での同じ議論は Steenrod平方 の例「$S\mathbb{C}P^2$ と $S^3\vee S^5$」にある。$P^1$ が球面の安定ホモトピー群の元を検出する例は Hat02 Example 4L.6（p. 495）にある。
奇素数の Steenrod 代数
次数 $1$ の変数 $\beta$ と次数 $2i(p-1)$ の変数 $P^i$（$i\ge1$）が生成する $\mathbb F_p$ 上の自由な単位的結合代数を、$\beta^2$ と次の Adem 関係式の両辺の差が生成する両側イデアルで割った次数付き代数を $\mathcal A_p$ と書き、奇素数 $p$ の Steenrod 代数という。$P^0:=1$ とし、二項係数 $\binom mn$ は $m$ か $n$ が負のときと $m< n$ のとき $0$ とする。整数 $a,b\ge1$ について
$$
P^aP^b=\sum_{j\ge0}(-1)^{a+j}\binom{(p-1)(b-j)-1}{a-pj}P^{a+b-j}P^j\qquad(a< pb),
$$
$$
P^a\beta P^b=\sum_{j\ge0}(-1)^{a+j}\binom{(p-1)(b-j)}{a-pj}\beta P^{a+b-j}P^j+\sum_{j\ge0}(-1)^{a+j-1}\binom{(p-1)(b-j)-1}{a-pj-1}P^{a+b-j}\beta P^j\qquad(a\le pb).
$$
コホモロジーの Bockstein 準同型 $\beta$（係数の完全列 $0\to\mathbb Z/p\to\mathbb Z/p^2\to\mathbb Z/p\to0$ の連結準同型）は $\beta^2=0$ をみたす（Hat02 §3.E、p. 305）。$\beta$ と $P^i$ は Adem 関係式をみたす（Hat02 p. 496 と Theorem 4L.16、p. 513）。よってすべての空間のコホモロジーは $\mathcal A_p$ 上の加群になる。さらに、許容単項式は $\mathcal A_p$ の基底をなし、$\mathcal A_p$ は懸垂と可換な $\mathbb F_p$ 係数のコホモロジー演算の全体と一致する。この 2 つの事実はこの記事では証明しない（Hat02 pp. 499–500。証明は $K(\mathbb Z/p,n)$ のコホモロジーの計算による）。
許容単項式の定義を開く
$\epsilon_l\in\{0,1\}$ と $s_l\ge1$ について、単項式 $\beta^{\epsilon_0}P^{s_1}\beta^{\epsilon_1}P^{s_2}\cdots P^{s_k}\beta^{\epsilon_k}$ が $1\le l< k$ で $s_l\ge\epsilon_l+ps_{l+1}$ をみたすとき、これを許容単項式という。Adem 関係式がそれ以上使えない単項式である。
$a=b=1$ では $j=0$ の項だけが残り、$P^1P^1=-\binom{p-2}{1}P^2=2P^2$ である。$|x|=2$ の類では prop-srp-cp から両辺が一致する。
確かめを開く
$P^1P^1(x^k)=k(k+p-1)x^{k+2(p-1)}=k(k-1)x^{k+2(p-1)}=2\binom k2x^{k+2(p-1)}=2P^2(x^k)$ である。
$\mathcal A_p$ の次数ごとの双対を $\mathcal A_{p*}:=\bigoplus_d\operatorname{Hom}_{\mathbb F_p}((\mathcal A_p)_d,\mathbb F_p)$ とする。$\mathcal A_p$ は余積 $\psi(P^k)=\sum_{i+j=k}P^i\otimes P^j$、$\psi(\beta)=\beta\otimes1+1\otimes\beta$ をもつ Hopf 代数であり、その双対 $\mathcal A_{p*}$ は次数付き可換な Hopf 代数として
$$
\mathcal A_{p*}\cong\mathbb F_p[\xi_1,\xi_2,\dots]\otimes\Lambda(\tau_0,\tau_1,\dots),\qquad|\xi_n|=2(p^n-1),\quad|\tau_n|=2p^n-1
$$
（$\Lambda$ は外積代数）である。余積は $\xi_0:=1$ として
$$
\Delta\xi_n=\sum_{i=0}^n\xi_{n-i}^{p^i}\otimes\xi_i,\qquad\Delta\tau_n=\tau_n\otimes1+\sum_{i=0}^n\xi_{n-i}^{p^i}\otimes\tau_i
$$
で与えられる。
この定理はこの記事では証明しない（Mil58 Lemma 1 の後の式と Theorem 1（pp. 154–155）、Theorem 2（p. 159）、Theorem 3（p. 162）。Rav04 Theorem 3.1.1 (b)、p. 59）。$p=2$ の場合は Steenrod代数 の節「双対 Steenrod 代数」で証明している。
符号と生成元の約束について開く
$\psi(\beta)$ の形は、Bockstein 準同型がカップ積について $\beta(x\smile y)=\beta x\smile y+(-1)^{|x|}x\smile\beta y$ をみたすことに対応する。Cartan は Bockstein 準同型に符号を付けた演算を使っており（Mil58 p. 153 の注意）、文献によって $\beta$ を含む式の符号が異なる。$\xi_n$ を Hopf 代数の対合でうつした元を生成元にとる文献もあり、そのとき余積の式は左右の因子が入れ替わる。
Thom 類から定める特性類
ここでは底空間をパラコンパクト Hausdorff 空間とする。向き付けられた階数 $r$ の実ベクトル束 $\pi\colon E\to B$ の整係数の Thom 類（Euler類 の定理「Thom 類の存在と一意性」）を $\bmod p$ に還元した類を $u\in H^r(E,E_0)$ と書く（$E_0$ は $0$ でないベクトルの全体）。$u$ はどのファイバーへの制限も向きの定める生成元であり、$\varphi(a):=\pi^*a\smile u$ は同型 $\varphi\colon H^k(B)\to H^{k+r}(E,E_0)$ である（MS74 Theorem 10.4、p. 110。係数環 $\mathbb F_p$）。
$H^*(E,E_0)$ の上の $P^i$ は prop-srp-pairs のものとし、
$$
q_i(E):=\varphi^{-1}(P^iu)\in H^{2i(p-1)}(B),\qquad q(E):=\sum_iq_i(E)
$$
とおく。多様体 $M$ の接束 $\tau M$ について $q_i(\tau M)$ を $q_i(M)$ とも書く。
- （自然性）連続写像 $f\colon B'\to B$ と、向きを引き戻した束 $f^*E$ について $q(f^*E)=f^*q(E)$ である。
- $q_0(E)=1$ であり、$2i>r$ なら $q_i(E)=0$ である。
- 向きを逆にしても $q(E)$ は変わらない。
- 複素直線束 $L$ の実化 $L_{\mathbb R}$（複素構造の向き）について、$c_1(L)$ の $\bmod p$ 還元を $c$ と書くと $q(L_{\mathbb R})=1+c^{p-1}$ である。
要点：1〜3 は Thom 類の一意性と $P^i$ の自然性・線形性から従う。4 は $P^1u=u^p$ と $u^2=\varphi(e)$ から $q_1=e^{p-1}$ を得る。
証明を開く
1．束写像 $\tilde f\colon(f^*E,(f^*E)_0)\to(E,E_0)$ はファイバーを向きを保って同型に写すので、Thom 類の一意性から $\tilde f^*u$ は $f^*E$ の Thom 類 $u'$ である（Euler類 の命題「Euler 類の基本性質」の 1 の証明と同じ）。$\pi\circ\tilde f=f\circ\pi'$ とカップ積の自然性から $\tilde f^*\varphi(a)=\varphi'(f^*a)$ であり、prop-srp-pairs の 1 により $\varphi'(f^*q_i(E))=\tilde f^*P^iu=P^iu'=\varphi'(q_i(f^*E))$ である。
2．$P^0u=u=\varphi(1)$ である。$2i>r=|u|$ なら prop-srp-pairs の 3 により $P^iu=0$ である。
3．逆向きの Thom 類は $-u$ で、その Thom 同型は $-\varphi$ である。$P^i(-u)=-P^iu=-\varphi(q_i(E))$ なので、逆向きでも同じ $q_i$ が得られる。
4．$r=2$ なので、prop-srp-pairs の 3 により $P^1u=u^p$、$i\ge2$ では $P^iu=0$ である。相対類どうしのカップ積は、余鎖の段階で同じ式なので、一方を $H^*(E)$ に移してからとったカップ積に等しい。$u$ を $H^2(E)$ に移した類は $\pi^*e$（$e$ は $L_{\mathbb R}$ の Euler 類の $\bmod p$ 還元。Euler類 の定義「Euler 類と Euler 数」）なので、$u^2=\pi^*e\smile u=\varphi(e)$ であり、偶数次の類は可換なので帰納法で $u^m=\varphi(e^{m-1})$ である。よって $q_1(L_{\mathbb R})=e^{p-1}$ で、Chern類の構成(射影束) の補題「直線束の実化の Euler 類」により $e=c$ である。$\square$
$B$ をコンパクト Hausdorff 空間、$E,E'$ を $B$ 上の向き付けられた実ベクトル束とすると、$q(E\oplus E')=q(E)\smile q(E')$ である。
要点：外積の束 $E\times E'\to B\times B$ の Thom 類は $u\times u'$ の $\pm1$ 倍であり、相対類のクロス積についての Cartan の公式から $q(E\times E')=q(E)\times q(E')$ を得て、対角写像で引き戻す。相対類の Cartan の公式は、Thom 空間に移すと絶対類の公式に帰着する。
証明を開く
$E$ か $E'$ の階数が $0$ なら、その束は $B$ 自身で Thom 類は $1$、$q=1$ なので主張は明らかである。以下どちらも階数 $1$ 以上とする。
記号．$B$ はコンパクト Hausdorff なので $E,E'$ は Euclid 計量をもつ。$D,S$ を $E$ の円板束と球面束、$T:=D/S$ を Thom 空間（Thom空間 の定義「Thom 空間」）とし、基点 $*$ の開近傍 $V:=\{|v|>\tfrac12\}/S$ をとる。$r_s(v):=((1-s)+s/|v|)v$ は $V$ を $*$ へ縮めるので、$H^*(T,V)\cong H^*(T,*)\cong H^*(D,S)\cong H^*(E,E_0)$ である（後の 2 つは Thom空間 の命題「Thom 空間のコホモロジー」）。$E'$ についても $D',S',T',V'$ を同様に定める。$U:=\{|v|>\tfrac12\}\subset D$ とし、$(D,U)\to(E,E_0)$ と $(D,U)\to(T,V)$ はどちらもコホモロジーの同型を誘導する。
第 1 段：制限の単射性．$Q:=T\times T'$、$W:=V\times T'\cup T\times V'$ とおく。$W$ の開被覆 $\{V\times T',T\times V'\}$ の Mayer–Vietoris 完全列と $V,V'$ の可縮性から、$k\ge1$ で $H^k(W)\to H^k(V\times T')\oplus H^k(T\times V')\cong H^k(T')\oplus H^k(T)$ は同型である。$(a',b)$ に対し $\mathrm{pr}_2^*a'+\mathrm{pr}_1^*b\in H^k(Q)$ の制限は $(a',b)$ に等しい（$\mathrm{pr}_1^*b$ の $V\times T'$ への制限は $H^k(V)=0$ を通る）。$Q$ と $W$ は弧状連結なので $k=0$ でも制限 $H^k(Q)\to H^k(W)$ は全射であり、対の長完全列から $\iota^*\colon H^*(Q,W)\to H^*(Q)$ は単射である。
第 2 段：相対類のクロス積の Cartan の公式．$x\in H^*(T,V)$、$y\in H^*(T',V')$ のクロス積 $x\times y:=\mathrm{pr}_1^*x\smile\mathrm{pr}_2^*y\in H^*(Q,W)$ を カップ積 の定義「開集合の対の相対カップ積」で定める。同記事の定理「相対カップ積の基本性質」の 3 と prop-srp-pairs の 2 から $\iota^*P(x\times y)=P(\iota^*x\times\iota^*y)=P(\iota^*x)\times P(\iota^*y)=\iota^*(Px\times Py)$ なので、第 1 段から $P(x\times y)=Px\times Py$ である。$(D\times D',U\times D'\cup D\times U')\to(Q,W)$ で引き戻すと（prop-srp-pairs の 1 と相対カップ積の自然性）、$x\in H^*(D,U)$、$y\in H^*(D',U')$ についても同じ式が成り立つ。
第 3 段：外積の束．$F:=E\times E'\to B\times B$ とすると $F_0=E_0\times E'\cup E\times E_0'$ である。包含 $(D\times D',U\times D'\cup D\times U')\to(F,F_0)$ はコホモロジーの同型を誘導する：$(v,v')\mapsto(v/\max(1,|v|),v'/\max(1,|v'|))$ は恒等写像と直線でホモトピックで $F_0$ を保つので $(F,F_0)$ は $(D\times D',(D\times D')_0)$ と同じコホモロジーをもち、$m:=\max(|v|,|v'|)$ として $0$ でない点を $\max(1,3/(4m))$ 倍する写像は、恒等写像と直線でホモトピックで、$(D\times D')_0$ を $U\times D'\cup D\times U'$ の中へ写し、後者を保つので、この 2 つの包含はホモトピー同値であり、五項補題 を使う。$u\times u'$ のファイバー $(E_b\times E'_{b'},(E_b\times E'_{b'})_0)$ への制限は、Euler類 の命題「直和の Euler 類」の証明の第 2 段と同じく生成元の $\varepsilon=\pm1$ 倍で、$\varepsilon$ は $(b,b')$ によらないので、Thom 類の一意性から $F$ の Thom 類は $\varepsilon\,u\times u'$ である。第 2 段から$$P(\varepsilon\,u\times u')=\varepsilon\,(\pi^*q\smile u)\times(\pi'^*q'\smile u')=\varepsilon\,(\pi\times\pi')^*(q\times q')\smile(u\times u')$$（$q=q(E)$、$q'=q(E')$。$|q'|$ は偶数なので並べ替えの符号は $1$）であり、$q(F)=q(E)\times q(E')$ である。
第 4 段：対角写像．$E\oplus E'$ は対角写像 $\Delta\colon B\to B\times B$ による $F$ の引き戻しであり、prop-srp-q-basic の 1・3 から $q(E\oplus E')=\Delta^*(q(E)\times q(E'))=q(E)\smile q(E')$ である。$\square$
要点：旗束に引き戻すと実化は直線束の実化の直和になるので、直和の公式と直線束の値をくり返し使う。
証明を開く
単射性は同定理の 2 である。$\mathrm{Fl}(\omega)$ はコンパクト Hausdorff である（同定理の 3 で Hausdorff。射影化は局所自明でファイバーがコンパクトなので、$B$ を覆う有限個のコンパクト集合の上で積に分かれ、帰納的にコンパクト）。$(\varpi^*\omega)_{\mathbb R}\cong\bigoplus_j(L_j)_{\mathbb R}$ なので、prop-srp-q-basic の 1・3・4 と prop-srp-q-sum をくり返し使えばよい。$\square$
奇素数の Wu の公式
$M$ を向き付けられた $n$ 次元の閉 $C^\infty$ 多様体（コンパクトで境界をもたない）とし、整係数の基本類（Poincaré双対 の定理「基本類の存在と一意性」）の像を $\mu\in H_n(M)$ とする。$z\in H^*(M)$ について $\langle z,\mu\rangle$ は $z$ の $n$ 次の成分の値を表す。Poincaré双対 の系「体係数の非退化対」により、$(x,y)\mapsto\langle x\smile y,\mu\rangle$ は $H^k(M)\times H^{n-k}(M)\to\mathbb F_p$ の完全対である。
$s_i:=2i(p-1)$ とする。$v_i\in H^{s_i}(M)$ を、すべての $x\in H^{n-s_i}(M)$ について
$$
\langle x\smile v_i,\mu\rangle=\langle P^ix,\mu\rangle
$$
をみたすただ 1 つの類と定め（完全対による）、$v:=\sum_iv_i$ を Wu 類という。$v_0=1$ である。
- $M$ を上のとおりとすると $q(\tau M)=P(v)$ である。すなわち $q_i(\tau M)=\sum_{a+b=i}P^a(v_b)$ である。
- $M,N$ を連結で向き付けられた閉 $C^\infty$ 多様体、$f\colon N\to M$ をホモトピー同値とすると、$f^*q_i(\tau M)=q_i(\tau N)$ である。
$v$ は $M$ のコホモロジー環と $P^i$ だけで決まるので、2 は 1 の帰結である。$f$ が向きを保つことは仮定しない。$p=2$ では Wu 類による Stiefel–Whitney 類の表示（MS74 Theorem 11.14、p. 132）が同じ役割を果たす。
第 1 段：対角類．対角写像 $\Delta\colon M\to M\times M$ の像の法束は $\tau M$ と同型である（MS74 Lemma 11.5、p. 121）。$\Delta(M)$ の管状近傍 $N_\Delta$ と射影 $\varpi\colon N_\Delta\to\Delta(M)=M$ をとると、対 $(N_\Delta,N_\Delta\setminus\Delta(M))$ は法束の $(E,E_0)$ と同相であり（管状近傍 の定理「管状近傍定理」）、$M$ の向きから定まる Thom 類 $u_\Delta\in H^n(N_\Delta,N_\Delta\setminus\Delta(M))$ がある（向きは MS74 §11 の対角類の構成と同じにとる）。法束と $\tau M$ の同型と prop-srp-q-basic の 1・3 から、法束の $q$ は $q(\tau M)$ に等しい。切除の同型 $e\colon H^*(M\times M,M\times M\setminus\Delta(M))\to H^*(N_\Delta,N_\Delta\setminus\Delta(M))$ で $e(u')=u_\Delta$ となる $u'$ をとり（MS74 Corollary 11.2、p. 117）、$u'$ を $H^n(M\times M)$ に移した類を $D$ と書く（対角類。MS74 p. 125）。
第 2 段：$P^aD=(q_a(\tau M)\times1)\smile D$．$q_a:=q_a(\tau M)$ とおく。定義と prop-srp-pairs の 1（同相な対への移送）から $P^au_\Delta=\varpi^*q_a\smile u_\Delta$ である。$N_\Delta$ は $\Delta(M)$ に変形レトラクトするので、$\mathrm{pr}_1|_{N_\Delta}$ は $\mathrm{pr}_1\circ\varpi=\varpi$（$\Delta(M)$ を $\mathrm{pr}_1$ で $M$ と同一視）とホモトピックであり、$\varpi^*q_a=(q_a\times1)|_{N_\Delta}$ である。カップ積と $P^a$ は $e$ と可換なので
$$
e\bigl((q_a\times1)\smile u'\bigr)=(q_a\times1)|_{N_\Delta}\smile u_\Delta=P^au_\Delta=e(P^au')
$$
であり、$e$ は同型だから $P^au'=(q_a\times1)\smile u'$ である。$H^*(M\times M)$ に移すと、prop-srp-pairs の 2 により $P^aD=(q_a\times1)\smile D$ である。
第 3 段：基底で書く．$H^*(M)$ の斉次な基底 $b_1,\dots,b_m$ と、$\langle b_k\smile b_l^\#,\mu\rangle=\delta_{kl}$ をみたす双対基底 $b_l^\#$ をとると、
$$
D=\sum_k(-1)^{|b_k|}\,b_k\times b_k^\#
$$
である（MS74 Theorem 11.10・11.11、p. 128）。任意の $z\in H^*(M)$ を $z=\sum_kc_kb_k$ と書いて $b_l^\#$ とのカップ積を $\mu$ で評価すると
$$
z=\sum_k\langle z\smile b_k^\#,\mu\rangle\,b_k\qquad(\ast)
$$
である。$\mu$ による斜積 $/\mu\colon H^*(M\times M)\to H^*(M)$ は $(y\times z)/\mu=y\,\langle z,\mu\rangle$ で定まる線形写像である（MS74 p. 125）。
第 4 段：左辺．$(q_a\times1)\smile(b_k\times b_k^\#)=(q_a\smile b_k)\times b_k^\#$ なので
$$
\bigl((q_a\times1)\smile D\bigr)/\mu=\sum_k(-1)^{|b_k|}\,(q_a\smile b_k)\,\langle b_k^\#,\mu\rangle .
$$
$\langle b_k^\#,\mu\rangle\ne0$ なら $|b_k^\#|=n$、$|b_k|=0$ で符号は $+1$ である。$(\ast)$ を $z=1$ に使うと $\sum_k\langle b_k^\#,\mu\rangle b_k=1$ なので、左辺は $q_a$ である。
第 5 段：右辺．クロス積の Cartan の公式から $P^a(b_k\times b_k^\#)=\sum_{c+d=a}P^cb_k\times P^db_k^\#$ なので
$$
(P^aD)/\mu=\sum_k\sum_{c+d=a}(-1)^{|b_k|}\,P^cb_k\,\langle P^db_k^\#,\mu\rangle .
$$
$v_d$ の定義と、$|v_d|$ が偶数で $v_d$ がすべての類と可換なことから $\langle P^db_k^\#,\mu\rangle=\langle v_d\smile b_k^\#,\mu\rangle$ である（次数が合わないときは両辺とも $0$）。これが $0$ でないなら $|b_k|=n-|b_k^\#|=s_d$ は偶数なので、符号はすべて $+1$ である。$P^c$ の線形性と $(\ast)$ から
$$
(P^aD)/\mu=\sum_{c+d=a}P^c\Bigl(\sum_k\langle v_d\smile b_k^\#,\mu\rangle\,b_k\Bigr)=\sum_{c+d=a}P^c(v_d)
$$
である。第 2 段と第 4 段から $q_a(\tau M)=\sum_{c+d=a}P^cv_d$ であり、1 が示された。
第 6 段：ホモトピー不変性．$f^*$ は同型なので、連結な閉多様体で $H^k\ne0$ となる最大の $k$ が次元であることから $\dim N=\dim M=n$ である。$f_*\colon H_n(N)\to H_n(M)$ は 1 次元の空間の同型なので $f_*\mu_N=\lambda\mu_M$（$\lambda\in\mathbb F_p^\times$）である。$y\in H^{n-s_i}(M)$ について
$$
\langle f^*y\smile f^*v_i(M),\mu_N\rangle=\lambda\langle y\smile v_i(M),\mu_M\rangle=\lambda\langle P^iy,\mu_M\rangle=\langle P^if^*y,\mu_N\rangle
$$
であり、$f^*y$ は $H^{n-s_i}(N)$ 全体を動くので、$v_i(N)$ の一意性から $f^*v_i(M)=v_i(N)$ である。1 と thm-srp-existence の 1 から $f^*q(\tau M)=f^*P(v(M))=P(v(N))=q(\tau N)$ である。$\square$
$P^i$ は次数 $2i$ 未満の類で $0$ なので、$n-s_i< 2i$、すなわち $2ip>n$ なら $v_i=0$ である。とくに $n< 2p$ なら $v=1$ で、$q(\tau M)=P(1)=1$ となる。
mod 3 の Pontryagin 類
$\rho\colon H^*(-;\mathbb Z)\to H^*(-;\mathbb F_3)$ を係数の還元とする。Pontryagin 類 $p_i$ は Pontryagin類 の定義「Pontryagin 類」のものとする。
$p=3$ とする。
- コンパクト Hausdorff 空間上の向き付けられた実ベクトル束 $\xi$ について $q_i(\xi)=\rho\,p_i(\xi)$ である。
- $M,N$ を連結で向き付け可能な閉 $C^\infty$ 多様体、$f\colon N\to M$ をホモトピー同値とすると、$f^*\rho\,p_i(M)=\rho\,p_i(N)$ である。
要点：複素ベクトル束では分裂原理により両辺とも $\prod_j(1+x_j^2)$ になる。実ベクトル束 $\xi$ では $\xi\oplus\xi$ が複素化の実化なので $q(\xi)^2=(\rho\,p(\xi))^2$ となり、$2$ が可逆なことから次数ごとに平方根をとる。2 は 1 と thm-srp-wu の 2 から従う。
証明を開く
複素ベクトル束．$\omega$ をコンパクト Hausdorff 空間上の複素ベクトル束とし、cor-srp-q-complex の記号を使う。$y_j:=c_1(L_j)$ とすると、Pontryagin類 の補題「実化の複素化」と共役束の Chern 類 $c(\bar L_j)=1-y_j$（同記事の命題「共役と奇数番目の Chern 類」）から $\sum_k(-1)^kp_k((\varpi^*\omega)_{\mathbb R})=\prod_j(1+y_j)(1-y_j)=\prod_j(1-y_j^2)$ であり、$4k$ 次の成分を比べて $p((\varpi^*\omega)_{\mathbb R})=\prod_j(1+y_j^2)$ である。$\bmod3$ に還元すると cor-srp-q-complex の右辺 $\prod_j(1+x_j^2)$ に等しく、$\varpi^*$ の単射性から $q(\omega_{\mathbb R})=\rho\,p(\omega_{\mathbb R})$ である。
実ベクトル束．$\xi\otimes\mathbb C$ の実化は $\xi\oplus\xi$ である（複素化の定義）。prop-srp-q-sum と prop-srp-q-basic の 3 と前段から$$q(\xi)^2=q(\xi\oplus\xi)=q((\xi\otimes\mathbb C)_{\mathbb R})=\rho\,p(\xi\oplus\xi)=(\rho\,p(\xi))^2$$である。最後の等号は Pontryagin類 の命題「自然性・安定性・Whitney の和公式」の 3 による（$2$ 倍して $0$ になる差は、$2$ が可逆な $\mathbb F_3$ に還元すると $0$）。$a:=q(\xi)$、$b:=\rho\,p(\xi)$ の $4k$ 次の成分を $a_k,b_k$ とすると $a_0=b_0=1$ である。$k\ge1$ で $j< k$ の成分が一致するなら、$a^2=b^2$ の $4k$ 次の成分から $2a_k+\sum_{0< j< k}a_ja_{k-j}=2b_k+\sum_{0< j< k}b_jb_{k-j}$、よって $a_k=b_k$ である。帰納法で $a=b$ であり、1 が示された。
ホモトピー不変性．$M,N$ に向きを入れ、1 を $\tau M,\tau N$ に、thm-srp-wu の 2 を $p=3$ で使う。$\square$
$M$ を向き付けられた $n$ 次元の閉 $C^\infty$ 多様体とし、$n\le5$ とする。$p=3$ では $n< 2p$ なので thm-srp-wu の後の注意により $q(\tau M)=1$ であり、thm-srp-mod3 の 1 から $\rho\,p_1(M)=0$ である。$n=4$ で $M$ が連結なら $\langle p_1(M),[M]\rangle$ は $3$ で割り切れる。
理由を開く
係数の完全列 $0\to\mathbb Z\xrightarrow{3}\mathbb Z\to\mathbb Z/3\to0$ の長完全列により $\rho$ の核は $3H^4(M;\mathbb Z)$ なので、$p_1(M)=3z$ と書け、$\langle p_1(M),[M]\rangle=3\langle z,[M]\rangle$ である。
$p\ge5$ では $q$ はべき級数 $1+t^{(p-1)/2}$ に属する乗法的な列で Pontryagin 類から定まる（MS74 Theorem 19.7、p. 229。$p=5$ では $q_1$ は $p_1^2-2p_2$ の $\bmod5$ 還元）。この記事ではこれを証明しない。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 束の向き付け可能性（def-srp-q の Thom 類） | $S^1$ 上の Möbius の帯の束 | $H^*(E,E_0)=0$ で、ファイバーへの制限が生成元になる類がなく、$q$ が定まらない |
| 多様体のコンパクト性（thm-srp-mod3 の 2） | $\mathbb{CP}^2\times\mathbb R^2$ と、$\mathbb{CP}^2$ 上の $\mathcal O(1)$ の全空間 $X$ | ホモトピー同値 $\mathbb{CP}^2\times\mathbb R^2\to X$ があるが、$\rho\,p_1$ が対応しない |
| $p=3$（thm-srp-mod3 の 1） | $p=5$、$M=\mathbb{CP}^2$ | $q(\tau M)=1$ だが $p_1(M)=3h^2$ の $\bmod5$ 還元は $0$ でない |
1 行目は Thom 空間 $\mathbb{RP}^2$ の $\mathbb F_p$ 係数コホモロジー、2 行目は零切断に沿った接束、3 行目は次元の評価 $n< 2p$ による。
確かめを開く
1 行目．Möbius の帯の束 $\gamma_1$ の Thom 空間は $\mathbb{RP}^2$ で（Thom空間 の定理「トートロジー直線束の Thom 空間」）、$H^*(E,E_0)\cong\tilde H^*(\mathbb{RP}^2;\mathbb F_p)$ である（同記事の命題「Thom 空間のコホモロジー」）。$\mathbb{RP}^2$ の整係数ホモロジーは $\mathbb Z,\mathbb Z/2,0$ なので、$p$ が奇数なら普遍係数定理によりこれは $0$ である。
2 行目．零切断 $s_0$ と射影 $\mathrm{pr}$ の合成 $s_0\circ\mathrm{pr}\colon\mathbb{CP}^2\times\mathbb R^2\to X$ は、どちらの空間も $\mathbb{CP}^2$ に変形レトラクトするのでホモトピー同値である。零切断は $X$ の閉部分多様体で、その法束は $\mathcal O(1)$ なので、$s_0^*\tau X\cong\tau\mathbb{CP}^2\oplus\mathcal O(1)_{\mathbb R}$ である。$H^*(\mathbb{CP}^2;\mathbb Z)$ には位数 $2$ の元がないので Whitney の和公式が成り立ち、Pontryagin類 の補題「実化の複素化」から $p(\mathcal O(1)_{\mathbb R})=1+h^2$、同記事の定理「複素射影空間の Pontryagin 類」から $p(\mathbb{CP}^2)=(1+h^2)^3$ なので、$s_0^*p_1(X)=3h^2+h^2=4h^2$ であり、$\rho(4h^2)=h^2\ne0$ である。一方 $\tau(\mathbb{CP}^2\times\mathbb R^2)\cong\mathrm{pr}^*\tau\mathbb{CP}^2\oplus\varepsilon^2$ なので $p_1=\mathrm{pr}^*(3h^2)$ で、$\rho$ で $0$ になる。$\mathrm{pr}^*$ は同型なので、$(s_0\circ\mathrm{pr})^*\rho\,p_1(X)=\mathrm{pr}^*h^2\ne0=\rho\,p_1(\mathbb{CP}^2\times\mathbb R^2)$ である。
3 行目．$n=4< 2\cdot5$ なので thm-srp-wu の後の注意により $q(\tau\mathbb{CP}^2)=1$ である。$p_1(\mathbb{CP}^2)=3h^2$ で $H^4(\mathbb{CP}^2;\mathbb Z)\cong\mathbb Z$ は $h^2$ が生成するので、$\bmod5$ の還元は $0$ でない。$q_1$ の次数は $8$ なので、$p\ge5$ では $q_i$ と $p_i$ は次数からして一致しない。
関連項目
参考文献
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