正則関数空間の逆極限
概要
正則関数空間の逆極限（inverse limits of holomorphic function spaces）とは、増大する開集合列の上の正則関数を、制限が一致する列として組み合わせた空間である。コンパクト開位相を入れると、和集合上の正則関数空間と同じ制限写像によって位相同型になり、差分写像の閉じた核として表せる。さらに、各段がFréchet空間で遷移写像の像が稠密なら、有限段の誤差を補正することで積上の差分写像は全射となる。
制限を重ねて一つの正則関数を得る
開集合を内側から大きくしていくとき、それぞれの上の正則関数が制限によって一致していれば、和集合の上の一つの正則関数になる。正則関数空間の逆極限（inverse limits of holomorphic function spaces）は、この貼り合わせを、関数空間の位相も含めて表すものである。
ここには別々の二つの問題がある。一つは、整合する関数の列を大域関数と同じものとして扱えるかという問題である。もう一つは、整合しない列のずれを、別の列を足して取り除けるかという問題である。前者は開集合の貼り合わせとコンパクト一様収束から従う。後者には、制限写像の稠密性や関数空間の完備性が働く。
この記事では、増大する開集合列に対する同じ制限写像を追い、逆極限を差分写像の核として記述する。さらに、可算個のFréchet空間の間の写像が稠密な像をもつとき、差分方程式を有限段ごとに補正して解く。その結果を円板の正則関数へ適用し、「制限は全射でないのに差分写像は全射」という現象を具体的に確かめる。
以下、$d\ge1$ とし、$\Omega\subset\mathbb C^d$ は空でない開集合とする。$\mathcal O(\Omega)$ は$\Omega$ 上の複素数値正則関数全体である。連結性は仮定しない。開集合列
$$
\Omega_1\subset\Omega_2\subset\cdots,\qquad
\bigcup_{n\ge1}\Omega_n=\Omega
$$
を固定し、
$$
E_n=\mathcal O(\Omega_n),\qquad
r_n:E_{n+1}\longrightarrow E_n,\quad
r_n(f)=f|_{\Omega_n}
$$
とおく。空の$\Omega_n$ があれば、その段の関数空間は零空間とする。
記法
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| $p_K(f)$ | コンパクト集合$K$ 上の$\sup_K\lvert f\rvert$。$K=\emptyset$ なら$0$ |
| $r_{k,m}$ | $k< m$ について$r_k\circ\cdots\circ r_{m-1}$、$r_{m,m}=\mathrm{id}$ |
| $P$ | 積空間$\prod_{n\ge1}E_n$、位相は積位相 |
| $\Delta$ | 差分写像$(\Delta x)_n=x_n-r_nx_{n+1}$ |
| $L$ | 整合条件をみたす列の空間$\ker\Delta$ |
| $R$ | 大域関数を各$\Omega_n$ に制限する写像 |
コンパクト一様収束の位相
まず各段の空間の位相を固定する。$\mathcal O(\Omega)$ には、すべてのコンパクト集合$K\subset\Omega$ に対する半ノルム$p_K$ が定める位相を入れる。収束$f_\nu\to f$ の意味は、各$K$ で$p_K(f_\nu-f)\to0$ となることである。これはコンパクト開位相の、複素数値連続関数の空間における表示である。
可算個の半ノルムだけで同じ位相を表せる。実際、コンパクトな取り尽くし
$$
K_j\subset\operatorname{int}K_{j+1},\qquad
\bigcup_jK_j=\Omega
$$
をとると、任意のコンパクト集合$K\subset\Omega$ はある$K_j$ に含まれる。例えば、Euclideanノルムを用いて
$$
K_j=\left\{z\in\Omega:
|z|\le j,\
\operatorname{dist}(z,\mathbb C^d\setminus\Omega)\ge\frac1j\right\}
$$
ととれる。$\Omega=\mathbb C^d$ のときは、空集合までの距離を$\infty$ とする。この式の初めのいくつかの集合が空でもよい。
半ノルム族は点を分離する。$f\ne0$ なら、ある$z\in\Omega$ で$f(z)\ne0$ であり、その点を含む$K_j$ について$p_j(f)>0$ となるからである。したがって
$$
\delta(f,g)=\sum_{j\ge1}2^{-j}\min\{1,p_j(f-g)\}
$$
は平行移動不変な距離である。三角不等式には$\min(1,a+b)\le\min(1,a)+\min(1,b)$ を用いる。
この距離での収束およびCauchy条件は、すべての$p_j$ でのそれぞれの条件と同値である。一方向は、固定$j$ の項を距離の和から取り出せば分かる。逆方向は、和の有限個の初めの項を小さくし、残りを$\sum_{j>N}2^{-j}$ で抑えればよい。
$f_\nu$ が全半ノルムでCauchyなら、各$K_j$ 上で一様極限をもち、これらは共通部分で一致する。任意の点はある$K_j$ の内部にあるから、連続関数$f$ を$\Omega$ 上に定め、$f_\nu\to f$ はコンパクト一様収束になる。
$f$ の正則性を確かめるため、閉包が$\Omega$ に含まれる多重円板を一つ選ぶ。$f_\nu$ の多重Cauchy積分公式で、その境界上の一様極限をとる。内部の少し小さい多重円板では分母が$0$ から離れているため、極限の積分を各変数で微分できる。よって$f$ もその内部で正則である。点のまわりにこの操作を行うと$f\in\mathcal O(\Omega)$ となり、完備性が従う。
最後に、$P(a,R)$ を半径$R$ の多重円板、$0< r< R$、$\overline{P(a,R)}\subset\Omega$ とすると、Cauchyの評価から
$$
\sup_{\overline{P(a,r)}}|\partial^\alpha f|
\le \frac{\alpha!}{(R-r)^{|\alpha|}}
\sup_{\overline{P(a,R)}}|f|
$$
である。任意のコンパクト集合をこのような小さい多重円板の有限個で覆うと、導関数の半ノルムが、少し大きいコンパクト集合での$p_K$ によって評価される。零階の半ノルムは導関数を含む族にも入っているので、両位相は一致する。取り尽くしの独立性は、どのコンパクト集合ももう一方の取り尽くしの一段に入ることから従う。$\square$
この証明の正則性と導関数評価は、Hor90 §2.2、Theorem 2.2.1・Corollary 2.2.4（p.26）、Theorem 2.2.7（p.27）のCauchy積分による議論に対応する。完備性に一つの固定ノルムは必要なく、すべてのコンパクト集合でのCauchy条件を使っている。
制限$r_n$ は連続である。$\Omega_n$ のコンパクト集合$K$ は$\Omega_{n+1}$ のコンパクト集合でもあり、
$$
p_K(r_nf)=p_K(f)
$$
だからである。この連続性は、制限写像が全射であることや、稠密な像をもつことを意味しない。
逆極限は差分写像の閉じた核
積位相をもつ$P=\prod_{n\ge1}E_n$ の部分空間
$$
L=\left\{(f_n)\in P:
f_n=r_nf_{n+1}\ \text{がすべての }n\ge1\text{ で成り立つ}\right\}
$$
を、この列の逆極限$\varprojlim_n E_n$ と呼ぶ。位相は$P$ からの部分空間位相とする。
連続線形写像
$$
\Delta:P\longrightarrow P,\qquad
(\Delta f)_n=f_n-r_nf_{n+1}
$$
を使うと、定義は$L=\ker\Delta$ と書ける。出力の各座標は入力の二つの座標だけで連続に決まるので、$\Delta$ は積位相に関して連続である。
写像
$$
R:\mathcal O(\Omega)\longrightarrow L,\qquad
R(f)=(f|_{\Omega_n})_{n\ge1}
$$
は線形な位相同型である。$L$ は積Fréchet空間$P$ の閉部分空間であり、従ってFréchet空間である。この結論には、$\Omega_n$ がSteinであることも、$r_n$ が全射または稠密であることも要らない。
積と核の完備性． 各$E_n$ の可算半ノルム族を$p_{n,j}$ とする。積の半ノルム族は、各座標の$p_{n,j}$ をすべて並べた可算族である。この族でCauchyな列は各$E_n$ で収束し、座標ごとの極限が積位相での極限となる。したがって$P$ はFréchet空間である。$\Delta$ は連続、$P$ はHausdorffなので$\ker\Delta$ は閉じており、閉部分空間として完備である。
同じ関数の貼り合わせ． $R$ の値は明らかに整合する。$R(f)=0$ なら各$\Omega_n$ で$f=0$ なので、和集合$\Omega$ でも$f=0$ である。
逆に$(f_n)\in L$ をとる。$z\in\Omega$ に対して$z\in\Omega_n$ となる$n$ を選び、$f(z)=f_n(z)$ と定める。整合条件を繰り返すと、$m\ge n$ では$f_m|_{\Omega_n}=f_n$ だから、定義は$n$ によらない。$f$ は各$\Omega_n$ の上で正則であり、従って$\Omega$ 上で正則である。これで全単射が分かった。
位相の一致． $\Omega_n$ 上のコンパクト半ノルムは、$\Omega$ 上の同じコンパクト集合での半ノルムに等しいので、$R$ は連続である。
逆写像の連続性を示す。$K\subset\Omega$ をコンパクトとする。$\{\Omega_n\}$ は増大する開被覆なので、有限部分被覆をとり、その最大の添字を$N$ とすれば$K\subset\Omega_N$ である。貼り合わせた$f$ について
$$
p_K(f)=p_K(f_N)
$$
であり、右辺は$L$ の第$N$ 座標の連続半ノルムである。従って$R^{-1}$ も連続となる。$\square$
第$n$ 座標をとる写像$\pi_n:L\to E_n$ について、次の図式が可換である。
$$
\begin{CD}
\mathcal O(\Omega) @>{R}>> L\\
@V{f\mapsto f|_{\Omega_n}}VV @VV{\pi_n}V\\
E_n @= E_n .
\end{CD}
$$
この可換性は、すべての$f\in\mathcal O(\Omega)$ と$n\ge1$ について$\pi_n(R(f))=f|_{\Omega_n}$ が成り立つということである。
重要なのは、抽象的に同型な空間を別に作ったのではなく、元の制限写像そのものが位相同型を与えることである。また、逆極限を同定できたことと、任意のずれの列に対して$\Delta x=y$ を解けることは別である。後者では$\Delta$ の核ではなく像を調べる。
稠密なFréchet塔の補正
ここでは一度、正則関数という条件を離れる。$E_n$ を複素Fréchet空間、$r_n:E_{n+1}\to E_n$ を連続線形写像とする。このような可算の列を塔と呼ぶ。各$E_n$ には、位相を定める増大する分離半ノルム族$p_{n,j}$、$j\ge1$ を一つ固定する。元の可算族の初めの$j$ 個の最大をとれば増大族にできる。
すべての$n$ について$r_n(E_{n+1})$ が$E_n$ に稠密なら、
$$
\Delta:\prod_{n\ge1}E_n\longrightarrow\prod_{n\ge1}E_n,\qquad
(\Delta x)_n=x_n-r_nx_{n+1}
$$
は全射である。すなわち任意の$y=(y_n)$ に対して、すべての$n$ で
$$
x_n-r_nx_{n+1}=y_n
$$
をみたす$x=(x_n)$ が存在する。
$y$ を固定する。段階$m$ では、有限列
$$
x_1^{(m)},\ldots,x_{m+1}^{(m)}
$$
が最初の$m$ 個の方程式を正確にみたすように作る。同時に、すでに作った座標の変更を、その初めの有限個の半ノルムで小さく抑える。初期段階は$x_1^{(0)}=0$ とする。
段階$m-1$ の有限列ができたとする。$E_m$ の零近傍
$$
V_m=
\bigcap_{\substack{1\le k\le m\\1\le j\le m}}
\left\{v\in E_m:
p_{k,j}(r_{k,m}v)<2^{-m}\right\}
$$
をとる。各$r_{k,m}$ は有限個の連続写像の合成であり、交わりは有限個だから、これは確かに零近傍である。
$r_m$ の像が稠密なので、ある$v\in E_{m+1}$ を
$$
d_m:=y_m+r_mv-x_m^{(m-1)}\in V_m
$$
となるように選べる。新しい末端を$x_{m+1}^{(m)}=v$ とし、残りを後ろから
$$
x_k^{(m)}=y_k+r_kx_{k+1}^{(m)}
\quad(k=m,m-1,\ldots,1)
$$
で定める。すると最初の$m$ 個の方程式は、近似でなく等式として成立する。
旧列も最初の$m-1$ 個の方程式をみたすため、差をとると、$1\le k\le m$ について
$$
x_k^{(m)}-x_k^{(m-1)}=r_{k,m}d_m .
$$
従って、$k,j\le m$ なら
$$
p_{k,j}\bigl(x_k^{(m)}-x_k^{(m-1)}\bigr)<2^{-m}
$$
である。ここで末端だけでなく、前の全座標とその半ノルムを同時に制御したことが効く。
$k,j$ を固定する。$m\ge\max(k,j)$ の変更は幾何級数で抑えられるので、各$p_{k,j}$ について$(x_k^{(m)})_{m\ge k-1}$ はCauchy列である。$E_k$ の完備性により極限$x_k\in E_k$ が存在する。
固定した$n$ の方程式
$$
x_n^{(m)}-r_nx_{n+1}^{(m)}=y_n
$$
はすべての$m\ge n$ で成立する。$m\to\infty$ として$r_n$ の連続性を用いれば、$x_n-r_nx_{n+1}=y_n$ となる。よって$\Delta x=y$ を得る。$\square$
稠密性は、$r_mv$ を所定の値に一致させるためではなく、所定の零近傍まで近づけるために使った。一致しなかった分は前の有限列へ伝わるが、その伝わり方を$r_{k,m}$ で追い、全過去の有限個の半ノルムで誤差を抑えた。完備性は、その有限段の列を無限段へ移すところで使われる。
この定理は各$r_n$ の全射性を結論していない。また、解$x$ を$y$ から連続線形に選べるとも述べていない。主張するのは、積空間上の一つの写像$\Delta$ の全射性である。
整合する持ち上げの作り方
差分方程式は、各段で別々に選んだ持ち上げを整合させるために使える。そのとき稠密性を調べるべき対象は、問題に現れるすべての空間ではなく、持ち上げのずれが入る核の塔である。
各$n$ にFréchet空間の短完全列
$$
0\longrightarrow A_n\longrightarrow B_n
\overset{q_n}{\longrightarrow}C_n\longrightarrow0
$$
があり、$A_n$ は$B_n$ の閉部分空間$\ker q_n$ と同一視されているとする。各列の遷移写像は連続線形で、この短完全列の写像と可換であるとする。
$A_{n+1}\to A_n$ の像がすべて稠密なら、誘導される列
$$
0\longrightarrow\varprojlim A_n\longrightarrow
\varprojlim B_n\longrightarrow
\varprojlim C_n\longrightarrow0
$$
はベクトル空間として完全である。ここに現れる写像は、積の部分空間位相に関して連続である。
左の単射性と中央での核の一致は、各座標で確認すればよい。右の全射性を示す。
$c=(c_n)\in\varprojlim C_n$ をとる。各$q_n$ の全射性により、$q_n(b_n)=c_n$ となる$b_n\in B_n$ をそれぞれ選ぶ。この列$b$ はまだ整合しているとは限らない。しかし、制限と$q_n$ の可換性および$c$ の整合性から
$$
q_n(b_n-r_n^B b_{n+1})
=c_n-r_n^C c_{n+1}=0
$$
なので、$y_n=b_n-r_n^B b_{n+1}$ は$A_n$ に属する。
核の塔にthm-hil-dense-deltaを適用すると、$a_n\in A_n$ で
$$
a_n-r_n^A a_{n+1}=y_n
$$
となる列$a$ が得られる。従って$b_n-a_n$ は整合し、しかも$q_n(b_n-a_n)=c_n$ である。これが求める持ち上げである。
各誘導写像の連続性は、座標ごとの写像の連続性から従う。$\square$
この系は「各段で持ち上げられる」だけでは説明できない追加の工程を表している。まず別々の持ち上げを選び、その差分を核の中で解いて消す。正則切断へ応用するときも、核の制限写像に必要な近似性を確認する必要がある。任意の層の切断関手が完全になるという主張ではない。
円板の塔：稠密だが全射でない
$0< r_1< r_2<\cdots$、$r_n\to1$ とし、
$$
D_n=\{z\in\mathbb C:|z|< r_n\},\qquad
D=\{|z|<1\}
$$
とおく。ここでは像の稠密性、全射性、像の安定性が異なることを、同じ制限写像で確かめられる。
Taylor多項式による稠密性
$f\in\mathcal O(D_n)$ の$0$ を中心とするTaylor多項式を$P_N$ とする。任意のコンパクト集合$K\subset D_n$ は、ある$\rho< r_n$ の閉円板に含まれる。$\rho< R< r_n$ を選び、$M_R=\sup_{|z|=R}|f(z)|$ とすると、Cauchyの係数評価から
$$
\sup_{|z|\le\rho}|f(z)-P_N(z)|
\le M_R\sum_{k>N}\left(\frac{\rho}{R}\right)^k
\longrightarrow0 .
$$
多項式は$D_{n+1}$ 上でも正則である。従って$\mathcal O(D_{n+1})$ の制限の像は$\mathcal O(D_n)$ に稠密である。
この評価は、有限個のコンパクト集合を同時に指定する零近傍にも使える。その合併を一つの小さい閉円板に含めればよいからである。「各点で近似できる」というだけでなく、コンパクト開位相の稠密性を示している。
反例：稠密な制限は全射とは限らない
$r_n<|a|< r_{n+1}$ を選ぶと、
$$
f(z)=\frac1{z-a}
$$
は$D_n$ 上で正則である。もし$g\in\mathcal O(D_{n+1})$ がこれを延長すれば、正則関数$(z-a)g(z)-1$ は$D_n$ 上で$0$ になる。一致の定理により$D_{n+1}$ 全体でも$0$ だが、$z=a$ で$-1=0$ となって矛盾する。よって制限写像は全射でない。
それでも、塔全体の差分写像はthm-hil-dense-deltaにより全射であり、thm-hil-gluingから
$$
\varprojlim_n\mathcal O(D_n)\cong\mathcal O(D)
$$
が同じ制限写像による位相同型として成立する。全射でないのは一段の$r_n$ であり、全射なのは積空間の$\Delta$ である。
反例：稠密性は代数的な像の安定でもない
固定した$n$ に対して
$$
I_{m,n}=\operatorname{im}
\bigl(\mathcal O(D_m)\longrightarrow\mathcal O(D_n)\bigr)
\quad(m\ge n)
$$
とおく。これらは$m$ とともに小さくなる部分空間である。各$m\ge n$ について$r_m<|a|< r_{m+1}$ を選ぶと、$1/(z-a)$ の$D_n$ への制限は$I_{m,n}$ に入り、$I_{m+1,n}$ には入らない。後者は、もし延長があれば$D_n$ 上の一致から同じ恒等式が$D_{m+1}$ 全体へ広がることによる。従って
$$
I_{m+1,n}\subsetneq I_{m,n}
$$
であり、像はいつまでも安定しない。
逆極限で扱う代数的Mittag–Leffler条件は、この像が十分先で等号により安定する条件である。この円板の塔はその条件を満たさない。一方、すべての$I_{m,n}$ はTaylor多項式を含むため、閉包は常に$\mathcal O(D_n)$ 全体である。像の等号による安定と、稠密な像による近似を区別する必要がある。
この記事の差分方程式の証明は、代数的な像の安定を仮定していない。有限段の誤差を位相の意味で小さくし、完備性で極限をとることが、それに代わる条件として働く。
環帯の反例：正則性だけでは稠密にならない
$A=\{1<|z|<2\}$、$B=\{|z|<3\}$ とする。$1/z$ は$A$ で正則だが、$B$ 上の正則関数の制限によってコンパクト一様に近似することはできない。
実際、$A$ 内の円周$\gamma=\{|z|=3/2\}$ を正の向きにとる。$g\in\mathcal O(B)$ ならCauchyの積分定理により
$$
\int_\gamma g(z)\,dz=0
$$
であるが、
$$
\int_\gamma\frac{dz}{z}=2\pi i
$$
である。もし$g_\nu|_A\to1/z$ がコンパクト一様収束すれば、円周上の一様収束とその有限な長さから積分も収束するため、$0=2\pi i$ となって矛盾する。
これは$\Omega_1=A$、$\Omega_n=B$（$n\ge2$）という増大列の最初の制限写像が非稠密となる例でもある。この列についても、大域関数と逆極限の同定はthm-hil-gluingによって成立する。稠密性は差分写像の全射性の十分条件であり、この例で稠密性が失敗したことだけから、差分写像が全射でないと結論してはいけない。
円板も環帯もStein多様体である。ここで必要な性質は直接確かめられる。座標$z$ は点を分離し局所座標を与える。円板の空でないコンパクト集合の正則凸包は$|z|\le\max_K|z|$ に入り、環帯では$z$ と$1/z$ の両方の評価から
$$
\min_K|z|\le |z|\le\max_K|z|
$$
に入る。いずれも元の開集合内のコンパクト集合となる。従って、Steinな開集合の間の制限だからという理由だけでは、像の稠密性を仮定できない。Rungeの定理のような近似条件を、実際の組に対して確認する必要がある。
位相を強くしすぎた場合との比較
単位円板で$f_N(z)=z^N$ とすると、任意の$\rho<1$ に対し
$$
\sup_{|z|\le\rho}|f_N(z)|=\rho^N\longrightarrow0
$$
なので、$f_N\to0$ はコンパクト一様収束である。しかし$\sup_{z\in D}|f_N(z)|=1$ は変わらない。開集合全体の上限ノルムによる収束と、コンパクト開位相の収束は同じではない。そもそも一般の$\mathcal O(D)$ の元は全体で有界とは限らない。
逆極限の各座標には、ここで固定したコンパクト開位相を入れている。この位相を境界までの一様収束や有界正則関数のノルムへ替えるなら、別の問題として扱う必要がある。
条件と結論の対応
| 問題 | 用いる条件 | 得られる結論 |
|---|---|---|
| 整合する正則関数を貼る | 可算増大開集合列、和集合$\Omega$ | $\mathcal O(\Omega)\cong\ker\Delta$ が同位相 |
| 任意のずれを消す | 各段Fréchet、連続遷移、像が稠密 | 積上の$\Delta$ が全射 |
| 整合する持ち上げを得る | 項別短完全、核の塔の像が稠密 | 逆極限の列が右端でも全射 |
| 円板の制限 | Taylor多項式による稠密性 | $\Delta$ は全射、一段の制限は非全射 |
| 環帯から円板への延長 | 正則性やStein性だけ | 制限の稠密性は保証されない |
反例の表
| 外す条件・誤って弱める条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 一段の制限の全射性を、像の稠密性だけで置き換える | 円板で$r_n<\lvert a\rvert< r_{n+1}$ の$1/(z-a)$ は$D_n$ から$D_{n+1}$ へ延長できない | 「稠密な制限なら一段の制限も全射」という含意。積上の$\Delta$ はなお全射である |
| 写像の稠密性を、各開集合のStein性だけで置き換える | $A=\{1<\lvert z\rvert<2\}\subset B=\{\lvert z\rvert<3\}$ の$1/z$ は、円周積分により$B$ の正則関数で近似できない | 「Steinな開集合間なら制限は稠密」という含意。貼り合わせの位相同型はなお成立する |
| 開集合全体での一様収束を、コンパクト一様収束へ弱める | 単位円板$D$ 上の$z^N$ はコンパクト一様に$0$ へ収束するが、$D$ 全体の上限は$1$ | 開集合全体の上限ノルムで$0$ へ収束するという結論 |
一般の逆極限の代数的性質は逆極限に、連接解析層の生成元を用いる切断位相は大域切断空間のFréchet位相に委ねる。この記事で証明したのは、正則関数のコンパクト開位相と、同じ制限塔の差分方程式を結ぶ部分である。任意の連接層の切断位相、Stein多様体上の一般の消滅定理、導来圏における任意の極限の模型は、この議論だけからは導かない。
参考文献
- Hor90 §2.2、Theorem 2.2.1・Corollary 2.2.4（p.26）、Theorem 2.2.6・Theorem 2.2.7（p.27）。多重Cauchy積分、局所一様極限の正則性、Taylor展開と係数・導関数評価。
関連項目
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
