アフィン射

$B_i:=\Gamma(U_i,\mathcal{O}_X)$、$B_{ij}:=\Gamma(U_i\cap U_j,\mathcal{O}_X)$ とおく。層の公理により、制限写像と差 $(s_i)_i\mapsto(s_i|_{U_i\cap U_j}-s_j|_{U_i\cap U_j})_{i,j}$ からなる列
$$ 0\longrightarrow B\longrightarrow\prod_iB_i\longrightarrow\prod_{i,j}B_{ij} $$
は $B$ 加群の完全列である。$g$ による局所化は完全な関手であり有限直積と交換するので、
$$ 0\longrightarrow B_g\longrightarrow\prod_i(B_i)_g\longrightarrow\prod_{i,j}(B_{ij})_g $$
も完全である。一方、アフィンスキーム $U=\operatorname{Spec}C$ と $g|_U\in C$ について $U\cap X_g=D(g|_U)$ であり、$\Gamma(D(g|_U),\mathcal{O}_U)=C_{g|_U}$（Har77 II.2.2）だから、$(B_i)_g=\Gamma(U_i\cap X_g,\mathcal{O}_X)$、$(B_{ij})_g=\Gamma(U_i\cap U_j\cap X_g,\mathcal{O}_X)$ である（$U_i\cap U_j$ がアフィンという仮定をここで使う）。$X_g$ は開集合 $U_i\cap X_g$ で覆われ、それらの共通部分は $U_i\cap U_j\cap X_g$ なので、層の公理から
$$ 0\longrightarrow\Gamma(X_g,\mathcal{O}_X)\longrightarrow\prod_i\Gamma(U_i\cap X_g,\mathcal{O}_X)\longrightarrow\prod_{i,j}\Gamma(U_i\cap U_j\cap X_g,\mathcal{O}_X) $$
も完全である。2 つの完全列の右側 2 項は同じ環と同じ写像であり、$B_g\to\Gamma(X_g,\mathcal{O}_X)$ はどちらも制限写像から誘導されるので図式は可換である。したがって $B_g$ と $\Gamma(X_g,\mathcal{O}_X)$ はともに同じ写像の核であり、$B_g\to\Gamma(X_g,\mathcal{O}_X)$ は同型である。$\square$

$B:=\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$、$\varphi\colon A\to B$ を $f$ が定める環準同型、$g_i:=\varphi(a_i)$ とおく。点 $x\in X$ について、$\kappa(f(x))\to\kappa(x)$ は体の準同型ゆえ単射だから、$a_i(f(x))\neq0$ と $g_i(x)\neq0$ は同値であり、$f^{-1}(D(a_i))=X_{g_i}$ である。仮定により各 $X_{g_i}$ はアフィンで、$X_{g_i}\cap X_{g_j}=X_{g_ig_j}$ はアフィンスキーム $X_{g_i}$ の主開集合 $D(g_j|_{X_{g_i}})$ だからアフィンである。また $D(a_i)$ が $\operatorname{Spec}A$ を覆うので $X_{g_i}$ は $X$ を覆う。したがって lem-affine-morphism-sections の仮定がみたされ、各 $i$ について $B_{g_i}\to\Gamma(X_{g_i},\mathcal{O}_X)$ は同型である。
$1=\sum_ic_ia_i$（$c_i\in A$）に $\varphi$ を施せば $1=\sum_i\varphi(c_i)g_i$ となり、$g_1,\dots,g_n$ は $B$ を生成するので $D(g_i)$ は $\operatorname{Spec}B$ を覆う。恒等写像 $B\to\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ に対応する標準的な射 $h\colon X\to\operatorname{Spec}B$ をとる（Har77 II Ex. 2.4：スキーム $Y$ に対し $\operatorname{Hom}(Y,\operatorname{Spec}B)=\operatorname{Hom}(B,\Gamma(Y,\mathcal{O}_Y))$）。先ほどと同じ理由で $h^{-1}(D(g_i))=X_{g_i}$ であり、この対応の自然性により、$h$ の制限 $X_{g_i}\to D(g_i)=\operatorname{Spec}B_{g_i}$ は制限写像 $B_{g_i}\to\Gamma(X_{g_i},\mathcal{O}_X)$ に対応する射である。$X_{g_i}$ はアフィンなので、この射はアフィンスキームの間の射であり、対応する環準同型が同型だから射自身も同型である。$D(g_i)$ が $\operatorname{Spec}B$ を覆うので、$h$ は終域の開被覆上で同型、したがって同型である。よって $X\cong\operatorname{Spec}B$ はアフィンスキームである。$\square$

$U\cap V$ は $U$ の開集合で主開集合は開基をなすので、$s\in D_U(a)\subset U\cap V$ となる $a\in A$ がある。$D_U(a)$ は $V$ の開集合でもあるので、$s\in D_V(b)\subset D_U(a)$ となる $b\in C$ がある。$b$ の $D_U(a)$ への制限は $\Gamma(D_U(a),\mathcal{O}_S)=A_a$ の元だから、$c\in A$ と $m\ge0$ により $b|_{D_U(a)}=c/a^m$ と書ける。$D_U(a)$ の点 $t$ では $a(t)\neq0$ なので、$b(t)\neq0$ と $c(t)\neq0$ は同値である。よって
$$ D_V(b)=\{t\in D_U(a)\mid b(t)\neq0\}=\{t\in D_U(a)\mid c(t)\neq0\}=D_U(ac) $$
であり、$W:=D_V(b)=D_U(ac)$ が求めるものである。$\square$

2 ならば 1 は明らか（$S$ のアフィン開被覆をとる）。2 ならば 3 も明らかで、3 ならば 1 は $S'=S$ の場合である。1 ならば 2 を示す。$\{V_i\}$ を定義のアフィン開被覆とし、$V=\operatorname{Spec}A$ を任意のアフィン開集合とする。
まず、$U$ が $S$ のアフィン開集合で $f^{-1}(U)$ がアフィンなら、任意の主開集合 $D_U(a)$ について $f^{-1}(D_U(a))$ もアフィンである。実際、$a'$ を $a$ の $\Gamma(f^{-1}(U),\mathcal{O}_X)$ での像とすると、prop-affine-morphism-criterion の証明の冒頭と同じ理由で $f^{-1}(D_U(a))=f^{-1}(U)_{a'}$ であり、これはアフィンスキーム $f^{-1}(U)$ の主開集合だからアフィンである。
各点 $s\in V$ に対し $s\in V_i$ なる $i$ をとり、lem-affine-morphism-common-principal により $s\in W_s\subset V\cap V_i$ で、$W_s=D_V(a_s)=D_{V_i}(b_s)$ の形のものをとる。前段により $f^{-1}(W_s)=f^{-1}(D_{V_i}(b_s))$ はアフィンである。$V=\operatorname{Spec}A$ は準コンパクトなので有限個の $W_{s_1},\dots,W_{s_n}$ が $V$ を覆い、したがって $a_{s_1},\dots,a_{s_n}$ は $A$ を生成する（生成するイデアルが真なら、それを含む極大イデアルに対応する点がどの $D_V(a_{s_k})$ にも入らない）。$f^{-1}(V)\to V$ に prop-affine-morphism-criterion を適用すれば $f^{-1}(V)$ はアフィンである。
最後の主張は、各 $S_j$ のアフィン開被覆を合わせて $S$ のアフィン開被覆を作れば、2 と 1 の同値から従う。$\square$

1 を証明する。準連接性は $S$ 上局所的な性質なので、$S=V=\operatorname{Spec}A$ がアフィンとしてよく、prop-affine-morphism-local により $X=\operatorname{Spec}B$ もアフィンである。$\varphi\colon A\to B$ を対応する環準同型とする。$\mathcal{F}$ はアフィンスキーム $\operatorname{Spec}B$ 上の準連接層だから、$B$ 加群 $M$ により $\mathcal{F}\cong\widetilde{M}$ と書ける（Har77 II.5.4。準連接層 の記事の系「アフィンスキーム上の圏同値」）。$M$ を $\varphi$ により $A$ 加群とみたものを $M_A$ と書く。$a\in A$ について $f^{-1}(D(a))=D(\varphi(a))$ なので
$$ \Gamma(D(a),f_*\mathcal{F})=\Gamma(D(\varphi(a)),\widetilde{M})=M_{\varphi(a)}=M\otimes_BB_{\varphi(a)}=M\otimes_AA_a=(M_A)_a=\Gamma(D(a),\widetilde{M_A}) $$
であり（$B_{\varphi(a)}=B\otimes_AA_a$ を使った）、この同一視は制限写像と両立する。よって $\widetilde{M_A}\to f_*\mathcal{F}$（$M_A=\Gamma(S,f_*\mathcal{F})$ から定まる自然な射）は主開集合の全体という開基の上で同型であり、層の射として同型である。したがって $f_*\mathcal{F}\cong\widetilde{M_A}$ は準連接である。$\mathcal{F}=\mathcal{O}_X$ のとき $f_*\mathcal{O}_X|_V\cong\widetilde{B}$ で、これは $\mathcal{O}_V$ 代数の層の同型である。
2 は次の筋で示される（詳細は Har77 II Ex. 5.17、EGA2 1.3.1 に譲る）。$S$ のアフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}A$ の上で $f^{-1}(V)=\operatorname{Spec}B$、$f_*\mathcal{O}_X(V)=B$ だから、$f^{-1}(V)=\operatorname{Spec}(f_*\mathcal{O}_X(V))$ であり、これらの同一視は $V$ の取り替えと両立するので貼り合って $X\cong\mathbf{Spec}_S(f_*\mathcal{O}_X)$ となる。逆向きには、$\mathbf{Spec}_S\mathcal{A}$ の構成から $(\mathbf{Spec}_S\mathcal{A})\to S$ はアフィン射で、その構造層の順像は $\mathcal{A}$ に戻る。$S$ 上のアフィンスキーム $X,Y$ の間の $S$ 射の全体が $\mathcal{O}_S$ 代数の射 $g_*\mathcal{O}_Y\to f_*\mathcal{O}_X$ の全体と 1 対 1 に対応することは、$S$ がアフィンなら $\operatorname{Hom}(\operatorname{Spec}B',\operatorname{Spec}B)=\operatorname{Hom}(B,B')$ そのものであり、一般には局所的な対応を貼り合わせて得られる。$\square$

1：$f\colon X\to Y$、$g\colon Y\to Z$ をアフィン射とし、$V\subset Z$ をアフィン開集合とする。prop-affine-morphism-local により $g^{-1}(V)$ はアフィンであり、再び同じ命題により $f^{-1}(g^{-1}(V))=(g\circ f)^{-1}(V)$ はアフィンである。よって $g\circ f$ はアフィン射である。
2：$S$ のアフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}A$ をとると $f^{-1}(V)=\operatorname{Spec}B$ はアフィンである。$g^{-1}(V)$ をアフィン開集合 $W=\operatorname{Spec}A'$ たちで覆う。ファイバー積の開集合への制限の性質により
$$ \xymatrix{ X\times_S S' \ar[r]^{p_X} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]_g & S } $$
は $f\circ p_X=g\circ f'$ を表す。この図式の左上を $W$ の上に制限すると、
$$ f'^{-1}(W)=X\times_SW=f^{-1}(V)\times_VW=\operatorname{Spec}B\times_{\operatorname{Spec}A}\operatorname{Spec}A'=\operatorname{Spec}(B\otimes_AA') $$
であり、これはアフィンである。$V$ と $W$ を動かせば $W$ たちは $S'$ のアフィン開被覆をなすので、$f'$ はアフィン射である。
3 は prop-affine-morphism-local の 3 そのものである（2 の特別な場合でもある）。$\square$

分離性を示す。対角射 $\Delta\colon X\to X\times_SX$ が閉埋め込みであることを示せばよい。$S$ のアフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}A$ について $f^{-1}(V)=\operatorname{Spec}B$ とおくと、$X\times_SX$ の開集合 $f^{-1}(V)\times_Vf^{-1}(V)=\operatorname{Spec}(B\otimes_AB)$ たちは $X\times_SX$ を覆い、$\Delta$ による逆像は $f^{-1}(V)$ である。この開集合の上で $\Delta$ は、乗法 $\mu\colon B\otimes_AB\to B$、$b\otimes b'\mapsto bb'$ に対応する射 $\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}(B\otimes_AB)$ であり、$\mu$ は全射（$b=\mu(b\otimes1)$）だから、この射は閉埋め込みである。閉埋め込みであること（像が閉集合で、その上への同相写像であり、構造層の射が全射であること）は終域の開被覆の上で確かめればよい性質だから、$\Delta$ は閉埋め込みである。
準コンパクト性を示す。$S$ の準コンパクト開集合 $S'$ は有限個のアフィン開集合 $V_1,\dots,V_n$ の和であり、prop-affine-morphism-local により各 $f^{-1}(V_k)$ はアフィン、したがって準コンパクトである。有限個の準コンパクト集合の和は準コンパクトなので $f^{-1}(S')$ は準コンパクトである。$\square$

$f$ のグラフ $\Gamma_f:=(\mathrm{id}_X,f)\colon X\to X\times_ZY$ と第 2 射影 $p_2\colon X\times_ZY\to Y$ について $f=p_2\circ\Gamma_f$ である。$p_2$ は $g\circ f\colon X\to Z$ の $g\colon Y\to Z$ による底変換だから、prop-affine-morphism-composition によりアフィン射である。$\Gamma_f$ は、対角射 $\Delta_g\colon Y\to Y\times_ZY$ の $f\times\mathrm{id}_Y\colon X\times_ZY\to Y\times_ZY$ による底変換である。実際、任意のスキーム $T$ について、$X\times_ZY$ の $T$ 値点 $(x,y)$ と $Y$ の $T$ 値点 $y'$ で $(f(x),y)=(y',y')$ をみたす組は $y=y'=f(x)$ により $x$ だけで決まるので、ファイバー積 $(X\times_ZY)\times_{Y\times_ZY}Y$ は $X$ に一致し、$X\to X\times_ZY$ は $\Gamma_f$ になる。$g$ が分離的なので $\Delta_g$ は閉埋め込み、したがってアフィン射（ex-affine-morphism-closed-immersion）であり、その底変換 $\Gamma_f$ もアフィン射である。よって $f=p_2\circ\Gamma_f$ はアフィン射の合成としてアフィン射である。
1 は $Z=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ とした場合である。$X\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ は $X$ がアフィンだからアフィン射で、$S\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ が分離射であることが $S$ の分離性の定義である。2 は、$U\cap V=U\times_SV$ であり、$U\times_SV\to V$ が 1 によりアフィンな射 $U\to S$ の $V\to S$ による底変換だからアフィン射で、$V$ がアフィンなので $U\cap V$ もアフィンになる。$\square$

1：$R^if_*\mathcal{F}$ は前層 $V\mapsto H^i(f^{-1}(V),\mathcal{F}|_{f^{-1}(V)})$ の層化である（Har77 III.8.1）。$V$ が $S$ のアフィン開集合なら prop-affine-morphism-local により $f^{-1}(V)$ はアフィンで、$\mathcal{F}|_{f^{-1}(V)}$ は準連接だから、この群は $i\ge1$ で $0$ である。アフィン開集合は $S$ の開基をなすので、層化は $0$ である。
2：$0\to\mathcal{F}\to\mathcal{I}^0\to\mathcal{I}^1\to\cdots$ を $X$ 上のアーベル群の層の圏における入射分解（入射的対象による分解）とする。$f_*$ は完全な関手 $f^{-1}$ の右随伴関手なので入射的対象を入射的対象に移す。複体 $f_*\mathcal{I}^{\bullet}$ の $i$ 次コホモロジー層は $R^if_*\mathcal{F}$ であり、これは $i=0$ で $f_*\mathcal{F}$、$i\ge1$ で 1 により $0$ だから、$0\to f_*\mathcal{F}\to f_*\mathcal{I}^0\to f_*\mathcal{I}^1\to\cdots$ は $f_*\mathcal{F}$ の入射分解である。したがって
$$ H^i(S,f_*\mathcal{F})=H^i\bigl(\Gamma(S,f_*\mathcal{I}^{\bullet})\bigr)=H^i\bigl(\Gamma(X,\mathcal{I}^{\bullet})\bigr)=H^i(X,\mathcal{F}) $$
である。ここで $\Gamma(S,f_*\mathcal{I}^j)=\Gamma(X,\mathcal{I}^j)$ は順像の定義である。得られた同型が自然な準同型（$\mathcal{F}\to f_*$ に沿った引き戻し）に一致することは、この構成が $\Gamma(X,-)=\Gamma(S,-)\circ f_*$ から誘導されることから従う。$\square$

1 は 固有射 の記事の命題「有限射の固有性」の証明で示されている。筋だけ述べると、閉であることは $S$ 上局所的なので $S=\operatorname{Spec}A$、$X=\operatorname{Spec}B$、$B$ は有限生成 $A$ 加群としてよく、有限生成 $A$ 加群である $A$ 代数は $A$ 上整（整拡大）だから（AM69 5.1）、lying over の定理（AM69 5.10）により $X$ の閉集合 $V(J)$ の像は閉集合 $V(\varphi^{-1}(J))$（$\varphi\colon A\to B$）になる。ここでは 2 と 3 を示す。
2：$s\in S$ の逆像は、スキームとしてはファイバー $X_s=X\times_S\operatorname{Spec}\kappa(s)$ であり、$s$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}A$ の上で $X_s=\operatorname{Spec}(B\otimes_A\kappa(s))$ である。$B\otimes_A\kappa(s)$ は $\kappa(s)$ 上有限次元の代数だから Artin 環（Artin環）であり、Artin 環の素イデアルは有限個である（AM69 8.3）。よって $f^{-1}(s)$ は有限集合である。有限射は有限型（$B$ が $A$ 加群として有限生成なら $A$ 代数としても有限生成）なので準有限射である。
3：底変換については prop-affine-morphism-composition の 2 の計算で $f'^{-1}(W)=\operatorname{Spec}(B\otimes_AA')$ であり、$B$ が有限生成 $A$ 加群なら $B\otimes_AA'$ は有限生成 $A'$ 加群である。合成については、$C$ が有限生成 $B$ 加群で $B$ が有限生成 $A$ 加群なら、生成元の積が $C$ を $A$ 加群として生成する。固有性（有限型・分離的・普遍的に閉）は、有限射が有限型で、prop-affine-morphism-separated により分離的で、底変換がすべて有限射ゆえ 1 により閉写像であることから従う。これも 固有射 の記事の命題「有限射の固有性」の内容である。$\square$

固有射による連接層の順像は連接である（EGA3 3.2.1、固有射 の記事の定理「固有射による連接層の押し出し」。射影的な場合は Har77 III.8.8）から、$f_*\mathcal{O}_X$ は連接な $\mathcal{O}_S$ 代数である。$S$ のアフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}A$ について、$f$ がアフィンだから $f^{-1}(V)=\operatorname{Spec}B$ で $B=f_*\mathcal{O}_X(V)$ であり、$f_*\mathcal{O}_X|_V\cong\widetilde{B}$ が連接、すなわち $B$ が有限生成 $A$ 加群である。よって $f$ は有限射である。$\square$