擬凸領域

同義語：pseudoconvex domain擬凸性pseudoconvexityLevi擬凸Hartogs擬凸強擬凸領域strongly pseudoconvex domain

概要

前提知識: 多重劣調和関数, 劣調和関数, 正則関数, 凸関数

擬凸領域（pseudoconvex domain）とは、$\mathbb C^n$ の領域（連結な開集合）で、凸性の複素版にあたる条件をみたすものである。定義には 2 つの流儀がある。Hartogs の意味の擬凸性は、領域の内部だけで述べられ、境界に近づくと $+\infty$ に発散する連続な多重劣調和関数（多重劣調和な exhaustion 関数）が存在することである。Levi の意味の擬凸性は、滑らかな境界をもつ領域について、境界の定義関数の複素 Hessian を境界の複素接空間に制限したもの（Levi 形式）が半正定値であることである。滑らかな境界をもつ領域では 2 つは同値になる。
1 変数では、$\mathbb C$ のどの領域の上にも、境界のどの点でも特異になる正則関数がある。2 変数以上ではそうでなく、Hartogs 図形のように、その上のすべての正則関数がより大きな領域に延びてしまう領域がある（Leb26t §2.1、p. 49）。正則関数の「自然な定義域」になる領域（正則領域）を幾何学的に特徴づけるのが擬凸性であり、擬凸領域が正則領域であるという主張（Levi 問題）は、1950 年代に岡潔らによって解かれた多変数関数論の中心的な定理である（Dem12 Ch. I、p. 51）。
この記事では 2 つの定義を述べ、凸領域と平面の領域が擬凸であること、Hartogs 図形が擬凸でないこと、$C^2$ 級の境界の領域で Hartogs の意味の擬凸性から Levi の意味の擬凸性が従うことを完全に証明する。

記号

$\mathbb C^n$ の座標を $z=(z_1,\dots,z_n)$ とし、Wirtinger の微分作用素 $\partial/\partial z_j$、$\partial/\partial\bar z_j$、正則関数・正則写像、多重劣調和関数、Levi 形式
$$ L_u(z;b)=\sum_{j,k=1}^n\frac{\partial^2u}{\partial z_j\partial\bar z_k}(z)\,b_j\bar b_k $$
は多重劣調和関数の記事のとおりとする。同記事の定理「$C^2$ 級の関数の多重劣調和性の判定」により、実数値の $C^2$ 級関数が多重劣調和であることと Levi 形式が各点で半正定値であることは同値である。領域 $\Omega\subsetneq\mathbb C^n$ について、境界までの距離を $d_\Omega(z):=\inf\{|z-a|\mid a\in\mathbb C^n\setminus\Omega\}$ と書く。$d_\Omega$ は $1$-Lipschitz 連続で、$\Omega$ の上で正である。集合 $A$ が $\Omega$ の中で相対コンパクト（$A\Subset\Omega$）とは、$A$ の閉包が $\Omega$ に含まれるコンパクト集合であることをいう。

Hartogs の意味の擬凸性

多重劣調和な exhaustion 関数と Hartogs の意味の擬凸性

領域 $\Omega\subset\mathbb C^n$ 上の関数 $\varphi\colon\Omega\to\mathbb R$ が exhaustion 関数であるとは、すべての実数 $c$ について $\{z\in\Omega\mid\varphi(z)< c\}\Subset\Omega$ となることをいう。連続な多重劣調和 exhaustion 関数をもつ領域を Hartogs の意味で擬凸という。

exhaustion 関数 $\varphi$ について、$\Omega$ の点列 $z_k$ が $\partial\Omega$ の点に収束するか $|z_k|\to\infty$ なら、$\varphi(z_k)\to+\infty$ である。実際、ある $c$ について $\varphi(z_k)< c$ となる部分列があれば、その部分列はコンパクト集合 $\overline{\{\varphi< c\}}\subset\Omega$ に含まれ、$\Omega$ の点に収束する部分列をもつ。定義は Leb26t Definition 2.5.3（p. 92）による。
擬凸性の議論の基本は、次の「円板の中心の値は縁で押さえられる」という性質である。

正則円板の最大値原理

$\varphi$ を領域 $\Omega$ 上の多重劣調和関数、$\rho>0$ とし、$f$ を $\mathbb C$ の開円板 $\{|\zeta|< \rho'\}$（$\rho'>\rho$）から $\mathbb C^n$ への正則写像で $f(\{|\zeta|\le\rho\})\subset\Omega$ をみたすものとする。このとき
$$ \varphi(f(0))\le\max_{|\zeta|=\rho}\varphi(f(\zeta)) $$
である（右辺の最大値は存在する）。

$D:=\{\zeta\mid|\zeta|< \rho',\ f(\zeta)\in\Omega\}$ は閉円板 $\{|\zeta|\le\rho\}$ を含む開集合で、多重劣調和関数の定理「正則写像による引き戻し」により $\varphi\circ f$ は $D$ 上の多重劣調和関数、すなわち平面の劣調和関数である。劣調和関数の定理「劣平均値の性質（すべての半径）」により $\varphi(f(0))$ は円周 $|\zeta|=\rho$ の上の $\varphi\circ f$ の平均以下である。上半連続関数はコンパクト集合の上で最大値をとるので、平均は最大値以下である。$\square$

例

凸領域と平面の領域

$\mathbb C^n$ は Hartogs の意味で擬凸である（$\varphi(z)=|z|^2$）。
凸な領域 $\Omega\subsetneq\mathbb C^n$ について、$-\log d_\Omega$ は $\Omega$ 上の連続な凸関数であり、$\varphi:=\max(-\log d_\Omega,|z|^2)$ は連続な多重劣調和 exhaustion 関数である。とくに凸な領域は Hartogs の意味で擬凸である。
$n=1$ なら、$\mathbb C$ のすべての領域 $\Omega\subsetneq\mathbb C$ の上で $-\log d_\Omega$ は劣調和であり、$\Omega$ は Hartogs の意味で擬凸である。

1．$|z|^2$ は凸関数なので多重劣調和で（多重劣調和関数の例「基本的な例」の 1）、$\{|z|^2< c\}$ は有界な開球なので $\mathbb C^n$ の中で相対コンパクトである。
2．$d:=d_\Omega$ が凹であることを示す。$z,w\in\Omega$、$0\le t\le1$ とし、$|a|< d(z)$、$|b|< d(w)$ をみたす $a,b$ をとると $z+a,\ w+b\in\Omega$ なので、凸性から $(1-t)(z+a)+t(w+b)\in\Omega$ である。$(1-t)a+tb$ は半径 $(1-t)d(z)+td(w)$ の開球のすべての点を動くので、点 $(1-t)z+tw$ を中心とするこの半径の開球は $\Omega$ に含まれ、
$$ d\bigl((1-t)z+tw\bigr)\ge(1-t)d(z)+t\,d(w) $$
である。$-\log$ は単調減少な凸関数なので、$-\log d$ は凸である。$d$ は連続で正なので $-\log d$ は連続である。多重劣調和関数の例「基本的な例」の 1 により $-\log d$ と $|z|^2$ は多重劣調和で、同記事の命題「和・最大値・上限・合成・減少極限」の 2 により $\varphi$ は多重劣調和である。$\varphi< c$ なら $|z|^2< c$ かつ $d(z)>e^{-c}$ なので、$\{\varphi< c\}$ は $\mathbb C^n$ の有界閉集合 $\{|z|^2\le c,\ d(z)\ge e^{-c}\}$ に含まれ、この閉集合は $\Omega$ に含まれるコンパクト集合である。よって $\varphi$ は exhaustion 関数である。
3．$a\notin\Omega$ について $z\mapsto-\log|z-a|$ は $\Omega$ 上の調和関数である（正則関数 $z-a$ の $\log|\cdot|$ で、零点がない）。$d_\Omega(z)=\inf_{a\notin\Omega}|z-a|$ なので $-\log d_\Omega=\sup_{a\notin\Omega}(-\log|z-a|)$ であり、これは連続である。多重劣調和関数の命題「和・最大値・上限・合成・減少極限」の 3 により劣調和である。exhaustion 性は 2 と同じく $\max(-\log d_\Omega,|z|^2)$ について確かめられる。$\square$

2 から、開球 $\{|z|< 1\}$ や多重円板 $\{|z_j|< 1\ (j=1,\dots,n)\}$ は擬凸である。開球では $-\log(1-|z|^2)$ も連続な多重劣調和 exhaustion 関数である（Leb26t Example 2.5.4、p. 92、多重劣調和関数の例「単位球の $-\log(1-|z|^2)$」）。3 は、1 変数ではすべての領域が擬凸であり、擬凸性が $n\ge2$ で初めて意味のある条件になることを示している。

Hartogs 図形は擬凸でない

$$ H:=\Bigl\{(z,w)\in\mathbb C^2\ \Bigm|\ |z|< 1,\ |w|< 1,\ \bigl(|z|>\tfrac12\ \text{または}\ |w|< \tfrac12\bigr)\Bigr\} $$
を Hartogs 図形という。$H$ は Hartogs の意味で擬凸でない。

$\varphi$ を $H$ 上の連続な多重劣調和 exhaustion 関数と仮定して矛盾を導く。$K:=\{(z,w)\mid|z|=\frac34,\ |w|\le\frac12\}$ は $H$ に含まれるコンパクト集合で（$|z|=\frac34>\frac12$）、$M:=\max_K\varphi$ は有限である。$|s|< \frac12$ について、正則写像 $f_s(\zeta):=(\zeta,s)$ は閉円板 $|\zeta|\le\frac34$ を $H$ に写す（$|w|=|s|< \frac12$）。その縁は $K$ に含まれるので、lem-pscvx-disc により
$$ \varphi(0,s)\le M\qquad\bigl(|s|< \tfrac12\bigr) $$
である。一方 $s\to\frac12$ のとき $(0,s)\to(0,\frac12)$ で、$(0,\frac12)$ は $H$ に属さない（$|z|=0$、$|w|=\frac12$）が $H$ の点の極限なので $\partial H$ の点である。exhaustion 関数の性質から $\varphi(0,s)\to+\infty$ となり、矛盾する。$\square$

$H$ の上の正則関数はすべて双円板 $\{|z|< 1,\ |w|< 1\}$ 上の正則関数に延びる（Leb26t Theorem 2.1.4、p. 49。この記事では証明しない）。証明で使った円板の族 $\{|\zeta|\le\frac34\}\times\{s\}$ は、縁が $H$ の中のコンパクト集合にとどまったまま、中心が $H$ の境界に近づく。擬凸な領域ではこのようなことが起こらない、というのが連続性原理（Kontinuitätssatz）である（Leb26t Theorem 2.5.2、p. 90）。

Levi の意味の擬凸性

$C^2$ 級の境界と Levi の意味の擬凸性

領域 $\Omega\subset\mathbb C^n$ が $C^2$ 級の境界をもつとは、各 $p\in\partial\Omega$ に開近傍 $U$ と実数値の $C^2$ 級関数 $r\colon U\to\mathbb R$ があって、$\Omega\cap U=\{z\in U\mid r(z)< 0\}$ かつ $U$ 上で $dr\ne0$ となることをいう。$r$ を $p$ での定義関数という。
$p\in\partial\Omega$ での複素接空間を $T^{1,0}_p\partial\Omega:=\bigl\{v\in\mathbb C^n\bigm|\sum_j\frac{\partial r}{\partial z_j}(p)\,v_j=0\bigr\}$ と定める。
すべての $v\in T^{1,0}_p\partial\Omega$ について $L_r(p;v)\ge0$ となるとき、$\Omega$ は $p$ で Levi の意味で擬凸であるという。$v\ne0$ で $L_r(p;v)>0$ となるとき強擬凸であるという。すべての境界点で Levi の意味で擬凸（強擬凸）な領域を Levi の意味で擬凸な（強擬凸な）領域という。$L_r(p;\cdot)$ を $T^{1,0}_p\partial\Omega$ に制限したものを $p$ での境界の Levi 形式という。

$r$ は実数値なので $dr=\partial r+\bar\partial r=2\operatorname{Re}\partial r$ であり、$dr(p)\ne0$ から $\bigl(\frac{\partial r}{\partial z_j}(p)\bigr)_j\ne0$ である。したがって $T^{1,0}_p\partial\Omega$ は $\mathbb C^n$ の $n-1$ 次元の複素部分空間で、境界の実接空間 $\{v\mid\operatorname{Re}\sum_j\frac{\partial r}{\partial z_j}(p)v_j=0\}$（実 $2n-1$ 次元）に含まれる最大の複素部分空間である。定義は Leb26t Definition 2.3.5（p. 66）と同じである。
定義関数の取り替えについて、$r'=hr$（$h$ は $p$ の近くで正の $C^2$ 級関数）なら $T^{1,0}_p\partial\Omega$ は変わらず、$v\in T^{1,0}_p\partial\Omega$ について
$$ L_{hr}(p;v)=h(p)\,L_r(p;v) $$
である。実際、$\frac{\partial^2(hr)}{\partial z_j\partial\bar z_k}=h\frac{\partial^2r}{\partial z_j\partial\bar z_k}+\frac{\partial h}{\partial z_j}\frac{\partial r}{\partial\bar z_k}+\frac{\partial r}{\partial z_j}\frac{\partial h}{\partial\bar z_k}+r\frac{\partial^2h}{\partial z_j\partial\bar z_k}$ で、$p$ では $r(p)=0$、$\sum_j\frac{\partial r}{\partial z_j}(p)v_j=0$、およびその共役 $\sum_k\frac{\partial r}{\partial\bar z_k}(p)\bar v_k=0$ により後の 3 項は消える。したがって擬凸性・強擬凸性は定義関数の選び方によらない（一般の場合は Leb26t Proposition 2.3.6、p. 68）。

Levi 形式の計算

開球．$r(z)=|z|^2-1$ では $\frac{\partial^2r}{\partial z_j\partial\bar z_k}=\delta_{jk}$ で、$L_r(p;v)=|v|^2>0$ である。開球は強擬凸である。
球の外側．$\Omega=\{|z|>1\}\subset\mathbb C^n$（$n\ge2$）では $r(z)=1-|z|^2$ で、$L_r(p;v)=-|v|^2< 0$ である。$n\ge2$ なら $T^{1,0}_p\partial\Omega\ne0$ なので、$\Omega$ はどの境界点でも Levi の意味で擬凸でない。境界は開球と同じ球面だが、内側と外側を入れ替えると擬凸性が変わる。
凸な定義関数．$r$ が凸関数（実 Hessian が半正定値）なら、多重劣調和関数の例「基本的な例」の 1 と定理「$C^2$ 級の関数の多重劣調和性の判定」により $L_r$ はすべての $v$ について $0$ 以上で、$\Omega$ は Levi の意味で擬凸である。
弱擬凸．$\Omega=\{|z_1|^2+|z_2|^4< 1\}\subset\mathbb C^2$、$r=|z_1|^2+|z_2|^4-1$ とする。Levi 形式の行列は $\operatorname{diag}(1,\ 4|z_2|^2)$ で半正定値なので擬凸である。$p=(1,0)$ では $\frac{\partial r}{\partial z_1}(p)=1$、$\frac{\partial r}{\partial z_2}(p)=0$ で $T^{1,0}_p\partial\Omega=\{(0,v_2)\}$ であり、$L_r(p;(0,1))=0$ なので $p$ で強擬凸でない。

主定理：Hartogs の意味の擬凸性から Levi の意味の擬凸性へ

Hartogs の意味の擬凸性は Levi の意味の擬凸性を導く

$C^2$ 級の境界をもつ領域 $\Omega\subset\mathbb C^n$ が Hartogs の意味で擬凸なら、$\Omega$ は Levi の意味で擬凸である。

証明の考え方：Levi 形式がある複素接ベクトル $v$ の方向で負なら、境界点 $p$ で境界に内側から接する正則円板 $\zeta\mapsto p+\zeta v+\zeta^2w$ が作れる。この円板を少し内側へずらした円板の族は、縁が $\Omega$ の中のコンパクト集合にとどまり中心だけが $p$ に近づくので、Hartogs 図形と同じ論法で exhaustion 関数と矛盾する。

主定理の証明

$\varphi$ を連続な多重劣調和 exhaustion 関数とし、ある $p\in\partial\Omega$ と $v\in T^{1,0}_p\partial\Omega$ で $L_r(p;v)< 0$ となったとして矛盾を導く。$r$ を $p$ の近傍 $U$ 上の定義関数とし、$r_j:=\frac{\partial r}{\partial z_j}(p)$、$r_{jk}:=\frac{\partial^2r}{\partial z_j\partial z_k}(p)$、$\lambda:=L_r(p;v)< 0$ と書く。
段 1：内側から接する円板．$r$ は実数値の $C^2$ 級関数なので、Taylor の定理を $z$、$\bar z$ で書くと、$h\to0$ で
$$ r(p+h)=2\operatorname{Re}\sum_jr_jh_j+\operatorname{Re}\sum_{j,k}r_{jk}h_jh_k+L_r(p;h)+o(|h|^2) $$
である（$r(p)=0$。$\partial r/\partial\bar z_j=\overline{\partial r/\partial z_j}$ などを使って、実の Taylor 展開の 1 次と 2 次の項をまとめた）。$(r_j)\ne0$ なので、$\sum_jr_jw_j=-\frac12\sum_{j,k}r_{jk}v_jv_k$ をみたす $w\in\mathbb C^n$ がある。$\Delta(\zeta):=p+\zeta v+\zeta^2w$ とおき $h=\zeta v+\zeta^2w$ を代入する。$\sum_jr_jv_j=0$ なので $\sum_jr_jh_j=\zeta^2\sum_jr_jw_j$ であり、2 次の項は $\operatorname{Re}\bigl(\zeta^2\sum r_{jk}v_jv_k\bigr)+|\zeta|^2\lambda+O(|\zeta|^3)$ である。$w$ の選び方から $\zeta^2$ の項が打ち消し合い
$$ r(\Delta(\zeta))=\lambda|\zeta|^2+o(|\zeta|^2)\qquad(\zeta\to0) $$
となる。
段 2：内側へずらす．$N:=\bigl(\overline{r_1},\dots,\overline{r_n}\bigr)$、$c:=\sum_j|r_j|^2>0$ とおく。$t\mapsto r(q-tN)$ の微分は $-2\operatorname{Re}\sum_j\frac{\partial r}{\partial z_j}(q-tN)\,\overline{r_j}$ で、$q=p$、$t=0$ では $-2c$ である。$\partial r/\partial z_j$ の連続性から、$p$ の近傍 $V\subset U$ と $t_0>0$ があって、$q\in V$、$0\le t\le t_0$ なら $q-tN\in U$ かつこの微分は $-c$ 以下になる。段 1 から $\rho>0$ を十分小さくとると、$|\zeta|\le\rho$ で $\Delta(\zeta)\in V$ であり、$0< |\zeta|\le\rho$ で $r(\Delta(\zeta))\le\frac\lambda2|\zeta|^2< 0$、$r(\Delta(0))=0$ である。したがって $|\zeta|\le\rho$、$0\le t\le t_0$ で
$$ r(\Delta(\zeta)-tN)\le r(\Delta(\zeta))-ct $$
であり、右辺は $t>0$ または $\zeta\ne0$ なら負である。$\Omega\cap U=\{r< 0\}$ なので、$0< t\le t_0$ なら $f_t(\zeta):=\Delta(\zeta)-tN$ は閉円板 $|\zeta|\le\rho$ を $\Omega$ に写す。さらに縁の点の集合
$$ K:=\{\Delta(\zeta)-tN\mid|\zeta|=\rho,\ 0\le t\le t_0\} $$
は連続写像によるコンパクト集合の像なのでコンパクトで、その点では $r\le\frac\lambda2\rho^2< 0$ なので $K\subset\Omega$ である。
段 3：矛盾．$M:=\max_K\varphi$ は有限である。$0< t\le t_0$ について $f_t$ は多項式なので $\mathbb C$ 全体で正則であり、lem-pscvx-disc により
$$ \varphi(p-tN)=\varphi(f_t(0))\le\max_{|\zeta|=\rho}\varphi(f_t(\zeta))\le M $$
である。一方 $t\to0$ で $p-tN\to p\in\partial\Omega$ なので、exhaustion 関数の性質から $\varphi(p-tN)\to+\infty$ となり、矛盾する。$\square$

逆に、$C^\infty$ 級の境界をもつ領域では、Levi の意味の擬凸性から Hartogs の意味の擬凸性が従う（Leb26t Theorem 2.5.8、p. 96。この記事では証明しない）。その証明は、境界の各点の近くで定義関数から多重劣調和な exhaustion 関数を作り、「各境界点の近くで Hartogs の意味で擬凸なら全体でもそうである」という局所性（同 Lemma 2.5.7、p. 94）で貼り合わせる、という筋である。こうして滑らかな境界をもつ領域では 2 つの擬凸性は一致し、単に「擬凸」といってよい。

正則領域との関係

領域 $\Omega\subset\mathbb C^n$ が正則領域であるとは、おおまかには、$\Omega$ 上の正則関数でどの境界点を越えても延長できないものがあることである（正確な定義は Leb26t Definition 2.1.1、p. 47）。コンパクト集合 $K\subset\Omega$ の正則凸包を $\widehat K:=\{z\in\Omega\mid|f(z)|\le\sup_K|f|\ (f\text{ は }\Omega\text{ 上の正則関数})\}$ と定め、すべての $K\Subset\Omega$ で $\widehat K\Subset\Omega$ となるとき $\Omega$ は正則凸であるという。次の同値性は多変数関数論の基本定理で、この記事では証明しない。

条件	所在
正則領域 ⇔ 正則凸	Cartan–Thullen の定理（Leb26t Theorem 2.6.3、p. 100）
正則凸 ⇒ Hartogs の意味で擬凸	岡の補題（Leb26t Theorem 2.6.2 の前半、p. 99）
Hartogs の意味で擬凸 ⇒ 正則凸	Levi 問題（Leb26t Theorem 2.6.2 の後半、p. 99。証明は同書では省略。領域の場合は岡・Norguet・Bremermann が独立に解いた、Dem12 Ch. I、p. 51）
Hartogs の意味で擬凸 ⇔ $-\log d_\Omega$ が多重劣調和	Leb26t Theorem 2.5.6、p. 92、Dem12 Ch. I Theorem (7.2)、p. 54

易しい向きの「正則凸なら擬凸」は、$\log\lvert f\rvert$ が多重劣調和であること（多重劣調和関数の例「基本的な例」の 3）から、正則関数を使って exhaustion 関数を組み立てることで示される。難しい向きを Dem12 は多重劣調和関数を重みにした $\bar\partial$ 方程式の $L^2$ 評価で証明する（Ch. I、p. 51 の注意）。Hartogs 図形（ex-pscvx-hartogs-figure）は擬凸でないので、上の表からも正則領域でないことが分かる。

反例と注意

外す条件	反例	成り立たなくなること
凸性	Hartogs 図形 $H\subset\mathbb C^2$	擬凸性（凸 ⇒ 擬凸の仮定は外せない）
次元 $n\ge2$	$n=1$ の任意の領域	擬凸でない領域の存在
領域の内側の向き	$\{\lvert z\rvert>1\}\subset\mathbb C^2$	開球と同じ境界での Levi の意味の擬凸性
exhaustion であること	Hartogs 図形上の $\lvert z\rvert^2+\lvert w\rvert^2$	「連続な多重劣調和関数がある ⇒ 擬凸」
Levi 形式の正定値性	$\{\lvert z_1\rvert^2+\lvert z_2\rvert^4< 1\}$ の点 $(1,0)$	擬凸 ⇒ 強擬凸

1 行目：ex-pscvx-hartogs-figure。$H$ は凸でなく（$(\frac34,\frac34)$ と $(-\frac34,\frac34)$ は $H$ に属するが中点 $(0,\frac34)$ は属さない）、擬凸でもない。2 行目：prop-pscvx-convex の 3 により $\mathbb C$ の領域はすべて擬凸であり、擬凸でない領域は $n\ge2$ で初めて現れる。3 行目：ex-pscvx-levi-examples の 2。4 行目：$|z|^2+|w|^2$ は $H$ 上で連続かつ多重劣調和だが、有界なので exhaustion でない。多重劣調和関数はどの領域の上にも多くあり、擬凸性は「境界で発散するもの」の存在によって決まる。5 行目：ex-pscvx-levi-examples の 4。
注意を 2 つ挙げる。

複素多様体への一般化．exhaustion 関数による定義は複素多様体の上でも意味をもつ（多重劣調和性は正則座標の取り替えで保たれる。多重劣調和関数の定理「正則写像による引き戻し」）。$C^\infty$ 級の多重劣調和（強多重劣調和）な exhaustion 関数をもつ複素多様体を弱擬凸（強擬凸）という（Dem12 Ch. I Definition (6.13)、p. 49）。Stein 多様体（Stein空間）は強擬凸であり（同 Theorem (6.18)、p. 51）、逆に強擬凸な多様体が Stein 多様体であるかという問題が Levi 問題の多様体版で、Grauert が解いた（同 p. 51）。
Kähler 幾何との関係．Levi 形式が各点で正定値な $C^2$ 級の実数値関数 $\varphi$ について、$i\partial\bar\partial\varphi$ は Kähler 形式である（Kähler形式）。また $r< 0$ が $\Omega$ 上の多重劣調和な $C^2$ 級関数なら $-\log(-r)$ も多重劣調和である（$u=-r>0$ として $\partial\bar\partial(-\log u)=-\frac{\partial\bar\partial u}{u}+\frac{\partial u\wedge\bar\partial u}{u^2}$ で、Levi 形式は $-\frac{L_u}{u}+\frac{|\sum_j\partial_ju\,b_j|^2}{u^2}\ge0$）。開球の $-\log(1-|z|^2)$ がその典型である。