Cousin複体
概要
Cousin複体（Cousin complex）とは、局所 Noether 的スキーム $X$ 上の層 $\mathcal{F}$ に対し、余次元 $p$ の点 $x$ に台をもつ局所コホモロジー $H^p_x(\mathcal{F})$ を並べた複体 $0\to\mathcal{F}\to\bigoplus_{x\in X^0}H^0_x(\mathcal{F})\to\bigoplus_{x\in X^1}H^1_x(\mathcal{F})\to\cdots$ のことである。次元 $1$ では有理切断から各閉点での主要部（repartitions）への列で、Cousin の問題の高次元化にあたる。$\mathcal{F}$ が Cohen–Macaulay なら分解（Cousin 分解）、Gorenstein スキーム上の局所自由層では入射分解になり、層コホモロジーの計算に使える。
前提知識: スキーム, 層コホモロジー, 局所コホモロジー, 導来関手, スペクトル系列, Noether環, 離散付値環
定義
Cousin 複体は、局所 Noether 的なスキーム $X$ の上の層 $\mathcal{F}$ に対し、余次元 $p$ の点 $x$ に台をもつ局所コホモロジー $H^p_x(\mathcal{F})$ を余次元ごとに並べて作る複体で、次元 $1$ の「有理切断 $\to$ 各点での主要部」という列（Cousin の問題、repartitions）の高次元版である。まず点の余次元と台の族を定め、次に複体を定める。
$X$ を局所 Noether 的なスキーム、$\mathcal{F}$ を $X$ 上のアーベル群の層とする。点 $x\in X$ の余次元を局所環 $\mathcal{O}_{X,x}$ の Krull次元 $\operatorname{codim}x:=\dim\mathcal{O}_{X,x}$ と定め、
$$
X^p:=\{x\in X\mid\operatorname{codim}x=p\},\qquad Z^p:=\{x\in X\mid\operatorname{codim}x\ge p\}
$$
とおく。$y\in\overline{\{x\}}$、$y\ne x$ ならば $\mathcal{O}_{X,x}$ は $\mathcal{O}_{X,y}$ の極大でない素イデアル $\mathfrak{p}_x$ における局所化なので、$\mathfrak{p}_x$ に終わる素イデアルの鎖に極大イデアル $\mathfrak{m}_y$ を継ぎ足せて $\operatorname{codim}y\ge\operatorname{codim}x+1$ である。したがって $Z^p$ は特殊化で閉じ、$X=Z^0\supset Z^1\supset Z^2\supset\cdots$ である。
開集合 $U$ 上の切断 $s\in\mathcal{F}(U)$ の台（台(層)）$\operatorname{Supp}(s)$ は $U$ の閉集合である。
$$
\Gamma_{Z^p}(U,\mathcal{F}):=\{s\in\mathcal{F}(U)\mid\operatorname{Supp}(s)\subset Z^p\}
$$
とおくと $U\mapsto\Gamma_{Z^p}(U,\mathcal{F})$ は $\mathcal{F}$ の部分層 $\underline{\Gamma}_{Z^p}(\mathcal{F})$ を定め、$\mathcal{F}\mapsto\underline{\Gamma}_{Z^p}(\mathcal{F})$ は左完全な関手である。その右導来関手を $\mathcal{H}^n_{Z^p}(\mathcal{F})$（層）、大域切断版 $\Gamma_{Z^p}(X,-)$ の右導来関手を $H^n_{Z^p}(X,\mathcal{F})$ と書く。$Z^0=X$ なので $\underline{\Gamma}_{Z^0}$ は恒等関手で、$\mathcal{H}^0_{Z^0}(\mathcal{F})=\mathcal{F}$、$\mathcal{H}^n_{Z^0}(\mathcal{F})=0$（$n\ge1$）である。
点 $x$ に台をもつ局所コホモロジーを、$x$ の開近傍 $U$ と閉集合 $\overline{\{x\}}\cap U\subset U$ に台をもつコホモロジーの帰納極限
$$
H^n_x(\mathcal{F}):=\varinjlim_{U\ni x}H^n_{\overline{\{x\}}\cap U}(U,\mathcal{F})
$$
と定める。$\mathcal{F}$ が準連接層なら、$H^n_x(\mathcal{F})\cong H^n_{\mathfrak{m}_x}(\mathcal{F}_x)$（茎 $\mathcal{F}_x$ の極大イデアル $\mathfrak{m}_x$ に関する局所コホモロジー）である。これは 局所コホモロジー の記事の定理（層の局所コホモロジーとの比較）を $x$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}A$ とその基本開集合 $\operatorname{Spec}A_f$（$f\notin\mathfrak{p}_x$。$x$ の開近傍の中で共終）に適用し、加群の局所コホモロジーが局所化および帰納極限と可換であることを使って得られる（Har66 IV）。
$X$ を局所 Noether 的なスキーム、$\mathcal{F}$ を $X$ 上のアーベル群の層とし、$\mathcal{F}\to\mathcal{I}^\bullet$ を入射分解とする。$\underline{\Gamma}_{Z^{p+1}}(\mathcal{I}^\bullet)$ は $\underline{\Gamma}_{Z^p}(\mathcal{I}^\bullet)$ の部分複体なので、商複体のコホモロジー層
$$
\mathcal{H}^n_{Z^p/Z^{p+1}}(\mathcal{F}):=\mathcal{H}^n\bigl(\underline{\Gamma}_{Z^p}(\mathcal{I}^\bullet)/\underline{\Gamma}_{Z^{p+1}}(\mathcal{I}^\bullet)\bigr)
$$
が定まる（入射分解の取り方によらないことは導来関手の場合と同じ議論による）。複体の短完全列（短完全列）$0\to\underline{\Gamma}_{Z^{p+1}}(\mathcal{I}^\bullet)\to\underline{\Gamma}_{Z^p}(\mathcal{I}^\bullet)\to\underline{\Gamma}_{Z^p}(\mathcal{I}^\bullet)/\underline{\Gamma}_{Z^{p+1}}(\mathcal{I}^\bullet)\to0$ から長完全列
$$
\cdots\to\mathcal{H}^n_{Z^{p+1}}(\mathcal{F})\xrightarrow{\iota}\mathcal{H}^n_{Z^p}(\mathcal{F})\xrightarrow{\pi}\mathcal{H}^n_{Z^p/Z^{p+1}}(\mathcal{F})\xrightarrow{\delta}\mathcal{H}^{n+1}_{Z^{p+1}}(\mathcal{F})\to\cdots
$$
が得られる。
$$
C^p(\mathcal{F}):=\mathcal{H}^p_{Z^p/Z^{p+1}}(\mathcal{F}),\qquad d^p:=\pi\circ\delta\colon C^p(\mathcal{F})\to\mathcal{H}^{p+1}_{Z^{p+1}}(\mathcal{F})\to C^{p+1}(\mathcal{F}),\qquad\varepsilon:=\pi\colon\mathcal{F}=\mathcal{H}^0_{Z^0}(\mathcal{F})\to C^0(\mathcal{F})
$$
とおく。長完全列で隣り合う射の合成は $0$ なので $\delta\circ\pi=0$、したがって $d^{p+1}\circ d^p=\pi\delta\pi\delta=0$、$d^0\circ\varepsilon=\pi\delta\pi=0$ である。複体
$$
0\to\mathcal{F}\xrightarrow{\ \varepsilon\ }C^0(\mathcal{F})\xrightarrow{\ d^0\ }C^1(\mathcal{F})\xrightarrow{\ d^1\ }C^2(\mathcal{F})\to\cdots
$$
を $\mathcal{F}$ の Cousin 複体（Cousin complex）という。この複体が完全であるとき、すなわち $C^\bullet(\mathcal{F})$ が $\mathcal{F}$ の分解であるとき、Cousin 分解という。
$\mathcal{I}^\bullet$ の部分複体の減少列 $\underline{\Gamma}_{Z^0}(\mathcal{I}^\bullet)\supset\underline{\Gamma}_{Z^1}(\mathcal{I}^\bullet)\supset\cdots$ はフィルトレーションであり、$X$ が有限次元なら有限である（各点 $x$ での茎は $p>\operatorname{codim}x$ で $0$ になる）。フィルトレーション付き複体のスペクトル系列
$$
E_1^{p,q}=\mathcal{H}^{p+q}_{Z^p/Z^{p+1}}(\mathcal{F})\Longrightarrow\mathcal{H}^{p+q}(\mathcal{I}^\bullet)=\begin{cases}\mathcal{F}&(p+q=0)\\0&(p+q\ne0)\end{cases}
$$
において、$d_1\colon E_1^{p,q}\to E_1^{p+1,q}$ は連結準同型 $\delta$ と $\pi$ の合成だから、Cousin 複体はこのスペクトル系列の $q=0$ の行 $E_1^{\bullet,0}$ に $\varepsilon$ を添えたものである。この見方が thm-cousin-complex-cm の根拠になる。
各項 $C^p(\mathcal{F})$ は実際には点ごとの局所コホモロジーの直和に分かれる。これが「点ごとの主要部」の形である。
$X$ を局所 Noether 的なスキーム、$\mathcal{F}$ をアーベル群の層とする。各 $x\in X$ について $i_x\colon\overline{\{x\}}\to X$ を閉包の包含とし、$i_{x*}H^n_x(\mathcal{F})$ で $\overline{\{x\}}$ 上の値 $H^n_x(\mathcal{F})$ の定数層の押し出しを表す。このとき標準的な同型
$$
\mathcal{H}^n_{Z^p/Z^{p+1}}(\mathcal{F})\cong\bigoplus_{x\in X^p}i_{x*}H^n_x(\mathcal{F})
$$
がある。とくに $C^p(\mathcal{F})\cong\bigoplus_{x\in X^p}i_{x*}H^p_x(\mathcal{F})$ であり、$\mathcal{F}$ が準連接なら $C^p(\mathcal{F})\cong\bigoplus_{x\in X^p}i_{x*}H^p_{\mathfrak{m}_x}(\mathcal{F}_x)$ である。
完全な証明は Har66 IV §1–§2 にあり、ここでは筋だけを述べる。段 1．$x\in X^p$ の真の特殊化はすべて $Z^{p+1}$ に入る（def-cousin-complex-codimension の不等式）ので、$x$ は $X\setminus Z^{p+1}$ の中で閉点であり、$X^p=Z^p\setminus Z^{p+1}$ の 2 点は互いに特殊化の関係にない。段 2．$\mathcal{I}$ を flasque 層（脆弱層）とする。Noether 的な開集合 $U$ 上の切断 $s\in\Gamma_{Z^p}(U,\mathcal{I})$ の台は $U$ の閉集合で、その既約成分は有限個、そのうち余次元 $p$ の生成点をもつものを $\overline{\{x_1\}},\dots,\overline{\{x_r\}}$ とすると、残りの成分は $Z^{p+1}$ に含まれる。flasque 性と切除（局所コホモロジー の記事の命題（切除））により、$s$ は $\Gamma_{Z^{p+1}}(U,\mathcal{I})$ を法として、各 $\overline{\{x_i\}}\cup(Z^{p+1}\cap U)$ に台をもつ切断の和に一意に分かれる。これから層の同型 $\underline{\Gamma}_{Z^p}(\mathcal{I})/\underline{\Gamma}_{Z^{p+1}}(\mathcal{I})\cong\bigoplus_{x\in X^p}i_{x*}\bigl(\varinjlim_{U\ni x}\Gamma_{\overline{\{x\}}\cap U}(U,\mathcal{I})/\Gamma_{\overline{\{x\}}\cap Z^{p+1}\cap U}(U,\mathcal{I})\bigr)$ が従う。段 3．これを入射分解 $\mathcal{I}^\bullet$ の各項に施し、コホモロジーをとる。$i_{x*}$（既約閉集合上の定数層の押し出し）、直和、帰納極限はいずれも完全なので、右辺のコホモロジーは各点ごとに計算できる。$\overline{\{x\}}\cap Z^{p+1}$ に含まれる閉集合は $x$ を含まないから、その補集合は $x$ の開近傍であり、帰納極限の中で $\Gamma_{Z^{p+1}\cap\overline{\{x\}}\cap U}(U,\mathcal{I}^\bullet)$ の寄与は消える。よって各点の項のコホモロジーは $\varinjlim_{U\ni x}H^n_{\overline{\{x\}}\cap U}(U,\mathcal{F})=H^n_x(\mathcal{F})$ である。準連接な場合の最後の主張は def-cousin-complex-codimension の末尾による。
直感
1 変数の有理型関数論で、各点に極の主要部を指定して、それらを主要部にもつ大域的な有理型関数を探すのが Cousin の問題（Mittag-Lefflerの定理）である。指定できる主要部の全体が「各点での主要部の族」、それが実現できない度合いが $H^1$ である。Cousin 複体はこれを層の言葉で高次元化したもので、$C^0$ は生成点での茎（有理切断）、$C^1$ は余次元 $1$ の点ごとの主要部、$C^2$ は「主要部の主要部」の余次元 $2$ の点での障害、と続く。各項は点ごとの局所的な量の直和で、貼り合わせの情報はすべて微分 $d^p$ に押し込まれている。この複体が分解になるかどうかは、層が各点で「余次元と一致する次数にしか局所コホモロジーをもたない」かどうか、すなわち Cohen–Macaulay 性で決まる。
例と反例
次元 $1$ では Cousin 複体は thm-cousin-complex-dim-one により有理切断と主要部の列であり、具体的に書き下せる。
$k$ を代数閉体、$X=\mathbb{A}^1_k=\operatorname{Spec}k[t]$（アフィン直線）、$\mathcal{F}=\mathcal{O}_X$ とする。閉点は $a\in k$ に対応する極大イデアル $(t-a)$ で、生成点 $\xi$ の茎は関数体 $K=k(t)$ である。thm-cousin-complex-dim-one により Cousin 複体は
$$
0\to\mathcal{O}_X\to\underline{k(t)}\to\bigoplus_{a\in k}i_{a*}\bigl(k(t)/k[t]_{(t-a)}\bigr)\to0
$$
で、$\underline{k(t)}$ は定数層である。大域切断をとると、$H^0(X,\mathcal{O}_X)$ はすべての閉点で正則な有理関数の全体である。$f=g/h$（$g,h\in k[t]$ 互いに素）がすべての $a$ で正則なら $h$ は既約因子をもたず定数なので、$H^0(X,\mathcal{O}_X)=k[t]$ である。部分分数分解により $k(t)/k[t]_{(t-a)}$ は $(t-a)^{-m}$（$m\ge1$）の類を基底にもつ $k$ ベクトル空間（ベクトル空間）で、主要部の族 $(g_a)_a$（有限個を除いて $0$）が与えられれば、各 $g_a$ を $\sum_{m=1}^{N_a}c_{a,m}(t-a)^{-m}$ で代表し、$f:=\sum_a\sum_mc_{a,m}(t-a)^{-m}\in k(t)$ とおけば $f$ は各点でちょうど $g_a$ を主要部にもつ。よって $k(t)\to\bigoplus_a k(t)/k[t]_{(t-a)}$ は全射で、$H^1(X,\mathcal{O}_X)=0$ である。これはアフィンスキーム上の準連接層のコホモロジーの消滅（アフィンスキーム）と一致する。
$k$ を代数閉体（標数は任意）、$X=\mathbb{P}^1_k$（射影直線）、$t$ をアフィン座標、$s=1/t$ を無限遠点 $\infty$ の局所座標とする。$\Omega^1=\Omega^1_{X/k}$ を Kähler微分の層とし、有理微分形式 $\omega\in\Omega^1_{K/k}$（$K=k(t)$）の閉点 $x$ での留数 $\operatorname{res}_x\omega$ を、$x=a\in k$ では $\omega=\sum_{m\ge -N}c_m(t-a)^mdt$ と Laurent展開したときの $c_{-1}$、$x=\infty$ では $\omega=\sum_{m\ge-N}c_ms^mds$ と展開したときの $c_{-1}$ と定める。
- $H^0(X,\mathcal{O}_X)=k$、$H^1(X,\mathcal{O}_X)=0$。
- $\sum_{x}\operatorname{res}_x\omega=0$（$x$ は閉点全体を動く。留数定理）。
- $H^0(X,\Omega^1)=0$ であり、留数の和 $(\omega_x)_x\mapsto\sum_x\operatorname{res}_x\omega_x$ は同型 $H^1(X,\Omega^1)\cong k$ を誘導する。
thm-cousin-complex-dim-one により、$\mathcal{E}=\mathcal{O}_X$ または $\Omega^1$ について $H^0(X,\mathcal{E})=\ker\bigl(\mathcal{E}_\xi\to\bigoplus_x\mathcal{E}_\xi/\mathcal{E}_x\bigr)$、$H^1(X,\mathcal{E})=\operatorname{coker}\bigl(\mathcal{E}_\xi\to\bigoplus_x\mathcal{E}_\xi/\mathcal{E}_x\bigr)$ である。
段 1（$\mathcal{O}_X$）．すべての閉点で正則な有理関数は、ex-cousin-complex-affine-line により多項式 $g(t)$ で、$\infty$ で正則であるためには $g(1/s)$ が $s=0$ で正則、すなわち $g$ は定数である。よって $H^0=k$。主要部の族 $(g_x)_x$ が与えられたとき、有限側の主要部は ex-cousin-complex-affine-line のとおり $f_1=\sum_a\sum_mc_{a,m}(t-a)^{-m}$ で実現でき、$(t-a)^{-m}=s^m(1-as)^{-m}$ は $\infty$ で正則だから $f_1$ の $\infty$ での主要部は $0$ である。$\infty$ での主要部 $\sum_{m\ge1}c_{\infty,m}s^{-m}$ は多項式 $f_2=\sum_mc_{\infty,m}t^m$ で実現でき、$f_2$ は有限側で正則である。$f_1+f_2$ が $(g_x)_x$ を主要部にもつので $H^1=0$。
段 2（留数定理）．$\omega=f\,dt$ を部分分数分解で $f=g(t)+\sum_a\sum_{m\ge1}c_{a,m}(t-a)^{-m}$（$g$ は多項式）と書く。$a\in k$ での留数は $c_{a,1}$ である。$\infty$ では $dt=-s^{-2}ds$ で、$g(t)dt=-g(1/s)s^{-2}ds$ は $s^{-1}ds$ の項を含まず、$(t-a)^{-m}dt=-s^{m-2}(1-as)^{-m}ds$ は $m\ge2$ なら $s=0$ で正則、$m=1$ なら $-s^{-1}(1+as+a^2s^2+\cdots)ds$ で留数 $-1$ である。よって $\operatorname{res}_\infty\omega=-\sum_ac_{a,1}$ で、留数の総和は $0$。
段 3（$\Omega^1$）．$\omega=f\,dt$ がすべての有限点で正則なら $f$ は多項式で、$\infty$ で $-f(1/s)s^{-2}ds$ が正則になるのは $f=0$ のときだけなので $H^0(X,\Omega^1)=0$。正則な形式の留数は $0$ だから留数は $\Omega^1_{K/k}/\Omega^1_x$ の上で定まり、$\operatorname{Res}\colon\bigoplus_x\Omega^1_{K/k}/\Omega^1_x\to k$、$(\omega_x)_x\mapsto\sum_x\operatorname{res}_x\omega_x$ が定まる。段 2 により $\operatorname{Res}$ は $\Omega^1_{K/k}$ の像の上で $0$ なので $H^1(X,\Omega^1)\to k$ を誘導し、$0$ での主要部 $t^{-1}dt$、他で $0$ の族が $1$ に写るので全射である。単射性を示す。$\operatorname{Res}(\omega_x)_x=0$ とし、各 $\omega_x$ を有限側では $\sum_{m\ge1}c_{x,m}(t-x)^{-m}dt$、$\infty$ では $\sum_{m\ge1}c_{\infty,m}s^{-m}ds$ で代表する。$\eta_1:=\sum_{a}\sum_mc_{a,m}(t-a)^{-m}dt$ は有限側で指定どおりの主要部をもち、段 2 の計算により $\infty$ での主要部は $-\bigl(\sum_ac_{a,1}\bigr)s^{-1}ds=c_{\infty,1}s^{-1}ds$ である（留数の総和が $0$ という仮定）。残りの $\sum_{m\ge2}c_{\infty,m}s^{-m}ds$ は、$s^{-m}ds=-t^{m-2}dt$（$m\ge2$）が有限側で正則なので $\eta_2:=-\sum_{m\ge2}c_{\infty,m}t^{m-2}dt$ で実現できる。$\eta_1+\eta_2$ が $(\omega_x)_x$ を主要部にもつので、$(\omega_x)_x$ は $\Omega^1_{K/k}$ の像に入る。
$\mathbb{P}^1$ の $H^1(\Omega^1)$ を担うのは「留数の和が $0$ でない主要部の族」であり、$\mathbb{A}^1$ では $\infty$ を除いたことでこの制約が消える。Grothendieck が Cousin 分解を de Rham 複体に施した動機（rem-cousin-complex-coniveau）はこの計算の高次元化である。
$X=\mathbb{A}^2_k=\operatorname{Spec}k[x,y]$、$A=k[x,y]$、$\mathcal{F}=\mathcal{O}_X$ とする。$X^0$ は生成点、$X^1$ は高さ $1$ の素イデアル $(f)$（$f$ 既約多項式）、$X^2$ は閉点である。prop-cousin-complex-terms により Cousin 複体の大域切断は
$$
0\to A\to k(x,y)\to\bigoplus_{\operatorname{ht}\mathfrak{p}=1}H^1_{\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}}(A_{\mathfrak{p}})\to\bigoplus_{\mathfrak{m}\ \text{極大}}H^2_{\mathfrak{m}A_{\mathfrak{m}}}(A_{\mathfrak{m}})\to0
$$
で、$A_{\mathfrak{p}}$ は離散付値環なので lem-cousin-complex-dvr により $H^1_{\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}}(A_\mathfrak{p})=k(x,y)/A_\mathfrak{p}$、また $\mathfrak{m}=(x-a,y-b)$ では $H^2_{\mathfrak{m}A_\mathfrak{m}}(A_\mathfrak{m})$ は $(x-a)^{-i}(y-b)^{-j}$（$i,j\ge1$）を基底にもつ $k$ ベクトル空間である（局所コホモロジー の記事の例（平面から原点を除いたもの））。$A$ の局所環は正則局所環なので thm-cousin-complex-cm によりこの列は完全であり、prop-cousin-complex-flasque により $H^n(X,\mathcal{O}_X)$ を計算する。$H^n(X,\mathcal{O}_X)=0$（$n\ge1$）と合わせると、「高さ $1$ の主要部の族のうち $d^1$ の核に入るもの（余次元 $2$ の点での障害が消えるもの）がちょうど有理関数で実現できる」ことになり、$\mathbb{A}^1$ と違って任意の主要部の族が実現できるわけではない。
$k$ を代数閉体、$A=k[x,y]/(x^2,xy)$、$X=\operatorname{Spec}A$、$\mathcal{F}=\mathcal{O}_X$ とする。$A$ は Noether 環で $\dim A=1$ である。$X$ の点は、極小素イデアル $\mathfrak{p}=(x)$（生成点、余次元 $0$）と極大イデアル $\mathfrak{m}_a=(x,y-a)$（$a\in k$、余次元 $1$）である。$A_\mathfrak{p}$ では $y$ が可逆で $xy=0$ だから $x=0$、よって $A_\mathfrak{p}=k(y)$ であり、$C^0(\mathcal{O}_X)$ は定数層 $\underline{k(y)}$、$\varepsilon$ の大域切断は $A\to k(y)$、$x\mapsto0$、$y\mapsto y$ である。その核は $xA=kx\ne0$ である（$x\cdot x=0$、$x\cdot y=0$）。したがって $0\to\mathcal{O}_X\to C^0(\mathcal{O}_X)$ の段階で既に完全でなく、Cousin 複体は分解にならない。
- 満たす性質：$X$ は Noether 的、$1$ 次元、$\mathcal{O}_X$ は連接層。$a\ne0$ では $A_{\mathfrak{m}_a}=k[y]_{(y-a)}$ は離散付値環で、そこでは Cohen–Macaulay である。
- 満たさない性質：$\mathfrak{m}_0=(x,y)$ で $H^0_{\mathfrak{m}_0}(A_{\mathfrak{m}_0})\ni x\ne0$ なので、余次元 $1$ の点で次数 $0$ の局所コホモロジーが残り、$\mathcal{O}_X$ は Cohen–Macaulay でない（Cohen–Macaulay環。$\operatorname{depth}A_{\mathfrak{m}_0}=0<1=\dim A_{\mathfrak{m}_0}$）。
- 破る含意：thm-cousin-complex-cm の「Cohen–Macaulay ならば Cousin 複体は分解」の仮定を破り、結論も破れる。壊れるのは埋め込み点 $\mathfrak{m}_0$ の上だけであり、$X\setminus\{\mathfrak{m}_0\}$ に制限すれば thm-cousin-complex-dim-one の分解に戻る。
性質
次元1の場合：repartitions による分解
次元 $1$ では局所コホモロジーは離散付値環の上の計算に尽きる。
$\mathcal{O}$ を離散付値環、$t$ を一意化元、$\mathfrak{m}=t\mathcal{O}$、$K$ を商体、$M$ を階数 $r$ の自由 $\mathcal{O}$ 加群（加群）とする。このとき
$$
H^0_\mathfrak{m}(M)=0,\qquad H^1_\mathfrak{m}(M)\cong(M\otimes_\mathcal{O}K)/M\cong(K/\mathcal{O})^r,\qquad H^q_\mathfrak{m}(M)=0\ (q\ge2)
$$
であり、$H^1_\mathfrak{m}(M)$ は可除加群（可除群）、したがって入射 $\mathcal{O}$ 加群（入射加群）である。
$M=\mathcal{O}^r$ としてよく、$r=1$ の場合に帰着する。局所コホモロジー の記事の命題（Ext の帰納極限）により $H^q_\mathfrak{m}(\mathcal{O})=\varinjlim_n\operatorname{Ext}^q_\mathcal{O}(\mathcal{O}/t^n,\mathcal{O})$ である（Ext関手）。$q=0$：$\operatorname{Hom}(\mathcal{O}/t^n,\mathcal{O})$ は $t^n$ で消される $\mathcal{O}$ の元の集合で、$\mathcal{O}$ は整域なので $0$。$q\ge2$：短完全列 $0\to\mathcal{O}\xrightarrow{t^n}\mathcal{O}\to\mathcal{O}/t^n\to0$ に $\operatorname{Hom}_\mathcal{O}(-,\mathcal{O})$ を施した長完全列で $\operatorname{Ext}^q(\mathcal{O}/t^n,\mathcal{O})$ は $\operatorname{Ext}^{q-1}(\mathcal{O},\mathcal{O})=0$ と $\operatorname{Ext}^q(\mathcal{O},\mathcal{O})=0$ に挟まれるので $0$。$q=1$：入射分解 $0\to\mathcal{O}\to K\to K/\mathcal{O}\to0$（単項イデアル整域上の可除加群 $K$、$K/\mathcal{O}$ は入射的）を使うと $\operatorname{Ext}^1(\mathcal{O}/t^n,\mathcal{O})=\operatorname{coker}\bigl(\operatorname{Hom}(\mathcal{O}/t^n,K)\to\operatorname{Hom}(\mathcal{O}/t^n,K/\mathcal{O})\bigr)=\operatorname{Hom}(\mathcal{O}/t^n,K/\mathcal{O})=(K/\mathcal{O})[t^n]=t^{-n}\mathcal{O}/\mathcal{O}$ であり（$\operatorname{Hom}(\mathcal{O}/t^n,K)=0$）、$n\to n+1$ の推移写像は包含 $t^{-n}\mathcal{O}/\mathcal{O}\subset t^{-n-1}\mathcal{O}/\mathcal{O}$ である。帰納極限は $\bigcup_nt^{-n}\mathcal{O}/\mathcal{O}=K/\mathcal{O}=(\mathcal{O}\otimes K)/\mathcal{O}$ である。$K/\mathcal{O}$ は $t$ 倍が全射、したがって任意の $0$ でない元の倍が全射なので可除であり、単項イデアル整域上の可除加群は入射的である（Baerの判定法）。
$X$ を Noether 的な整スキーム（整スキーム）で次元 $1$、各閉点 $x$ の局所環 $\mathcal{O}_{X,x}$ が離散付値環であるもの（Dedekind整域のスペクトル、体上の滑らかな曲線など）、$\xi$ を生成点、$K=\mathcal{O}_{X,\xi}$ を関数体、$\mathcal{E}$ を階数 $r$ の局所自由層とする。$\mathcal{E}_\xi=\mathcal{E}_x\otimes_{\mathcal{O}_{X,x}}K$ であり、$\mathcal{E}_x\subset\mathcal{E}_\xi$ とみなす。$\underline{\mathcal{E}_\xi}$ を $X$ 上の値 $\mathcal{E}_\xi$ の定数層（有理切断の層）、$\mathcal{P}(\mathcal{E}):=\bigoplus_{x\ \text{閉点}}i_{x*}(\mathcal{E}_\xi/\mathcal{E}_x)$（各点での主要部の層）とし、$\mathcal{E}\to\underline{\mathcal{E}_\xi}$ を茎への標準写像、$\underline{\mathcal{E}_\xi}\to\mathcal{P}(\mathcal{E})$ を各閉点での剰余類をとる写像とする。
- 列 $0\to\mathcal{E}\to\underline{\mathcal{E}_\xi}\to\mathcal{P}(\mathcal{E})\to0$ は完全である。
- $\underline{\mathcal{E}_\xi}$ と $\mathcal{P}(\mathcal{E})$ は flasque である。したがって
$$ H^0(X,\mathcal{E})=\ker\Bigl(\mathcal{E}_\xi\to\bigoplus_x\mathcal{E}_\xi/\mathcal{E}_x\Bigr),\qquad H^1(X,\mathcal{E})=\operatorname{coker}\Bigl(\mathcal{E}_\xi\to\bigoplus_x\mathcal{E}_\xi/\mathcal{E}_x\Bigr),\qquad H^q(X,\mathcal{E})=0\ (q\ge2) $$
であり、$\bigoplus_x\mathcal{E}_\xi/\mathcal{E}_x$ の元、すなわち有限個の閉点を除いて $0$ の主要部の族が repartitions である（Ser88 II）。 - この列は $\mathcal{E}$ の Cousin 複体と一致する。
段 1（完全性）．茎で確かめる。閉点 $x$ では、$x$ 以外の閉点 $x'$ の摩天楼層の茎は $0$（$x\notin\overline{\{x'\}}=\{x'\}$）なので、列の茎は $0\to\mathcal{E}_x\to\mathcal{E}_\xi\to\mathcal{E}_\xi/\mathcal{E}_x\to0$ で完全である（$\mathcal{E}_x\to\mathcal{E}_\xi$ の単射性は $\mathcal{E}_x$ が整域上の自由加群であることによる）。生成点 $\xi$ では $\mathcal{P}(\mathcal{E})_\xi=0$ で、列は $0\to\mathcal{E}_\xi\to\mathcal{E}_\xi\to0\to0$ となり完全である。
段 2（flasque 性）．$X$ は既約なので空でない開集合はすべて既約、とくに連結（連結空間）であり、定数層 $\underline{\mathcal{E}_\xi}$ の空でない開集合上の切断は $\mathcal{E}_\xi$ 自身で、制限写像は恒等写像である。よって flasque である。$X$ は Noether 的位相空間（Noether空間）なので任意の開集合は準コンパクトであり、直和の切断は切断の直和である（Har77 II Ex. 1.11）。したがって $\mathcal{P}(\mathcal{E})(U)=\bigoplus_{x\in U}\mathcal{E}_\xi/\mathcal{E}_x$ で、$V\subset U$ への制限は $x\in V$ の成分への射影であり全射である。よって flasque である。flasque 層は $\Gamma(X,-)$ について非輪状なので（Har77 III.2.5）、$\mathcal{E}$ の flasque 分解 $\underline{\mathcal{E}_\xi}\to\mathcal{P}(\mathcal{E})$ の大域切断の複体が $H^q(X,\mathcal{E})$ を計算し、2 の式が従う。
段 3（Cousin 複体との一致）．$X^0=\{\xi\}$、$X^1$ は閉点の集合、$X^p=\emptyset$（$p\ge2$）である。段 1・2 の flasque 分解 $\mathcal{J}^\bullet$（$\mathcal{J}^0=\underline{\mathcal{E}_\xi}$、$\mathcal{J}^1=\mathcal{P}(\mathcal{E})$）で Cousin 複体を計算する。flasque 層は任意の台の族 $Z^p$ について $\underline{\Gamma}_{Z^p}$ 非輪状である（$\Gamma_{Z^p}(U,-)$ は $Z^p$ に含まれる $U$ の閉集合 $Y$ にわたる $\Gamma_Y(U,-)$ の帰納極限で、帰納極限は完全だから Har77 III Ex. 2.3 に帰着する）。入射分解への射 $\mathcal{J}^\bullet\to\mathcal{I}^\bullet$ は $\underline{\Gamma}_{Z^1}$ を施した複体でも施さない複体でも擬同型なので、商複体の長完全列と五項補題により $\mathcal{H}^n_{Z^0/Z^1}(\mathcal{E})=H^n\bigl(\mathcal{J}^\bullet/\underline{\Gamma}_{Z^1}(\mathcal{J}^\bullet)\bigr)$ で、$\varepsilon$・$\delta$・$\pi$ もこの模型で計算できる。定数層 $\underline{\mathcal{E}_\xi}$ の $0$ でない切断の台は開集合全体（$\xi$ を含む）なので $\underline{\Gamma}_{Z^1}(\mathcal{J}^0)=0$、また $\mathcal{P}(\mathcal{E})$ の茎は $\xi$ で $0$ なので $\underline{\Gamma}_{Z^1}(\mathcal{J}^1)=\mathcal{J}^1$ である。よって $\underline{\Gamma}_{Z^1}(\mathcal{J}^\bullet)=(0\to\mathcal{P}(\mathcal{E}))$、商複体は $(\underline{\mathcal{E}_\xi}\to0)$ で、$C^0(\mathcal{E})=\mathcal{H}^0_{Z^0/Z^1}(\mathcal{E})=\underline{\mathcal{E}_\xi}$、$\mathcal{H}^1_{Z^1}(\mathcal{E})=\mathcal{P}(\mathcal{E})$、$Z^2=\emptyset$ により $C^1(\mathcal{E})=\mathcal{H}^1_{Z^1/Z^2}(\mathcal{E})=\mathcal{H}^1_{Z^1}(\mathcal{E})=\mathcal{P}(\mathcal{E})$、$C^p(\mathcal{E})=0$（$p\ge2$）である。$\varepsilon$ は $\mathcal{E}=\ker(\mathcal{J}^0\to\mathcal{J}^1)\to\mathcal{J}^0$ すなわち茎への写像であり、$d^0=\pi\circ\delta$ の $\pi$ は恒等写像、$\delta\colon H^0(\underline{\mathcal{E}_\xi}\to0)\to H^1(0\to\mathcal{P}(\mathcal{E}))$ は蛇の補題の構成により $\mathcal{J}^0$ の切断に $\mathcal{J}^1$ での像を対応させる写像、すなわち剰余類をとる写像である。
段 3 は prop-cousin-complex-terms に依らず、得られた $C^1(\mathcal{E})$ は lem-cousin-complex-dvr の $H^1_{\mathfrak{m}_x}(\mathcal{E}_x)=\mathcal{E}_\xi/\mathcal{E}_x$ と整合する。次元 $1$ の計算（ex-cousin-complex-affine-line、prop-cousin-complex-p1-residue）に要るのは段 1・2 だけである。
Cohen–Macaulay 性と分解、Gorenstein 性と入射性
$X$ を Noether 的スキーム、$\mathcal{F}$ をアーベル群の層とする。
- 各 $C^p(\mathcal{F})$ は flasque である。
- Cousin 複体が分解であれば、任意の閉集合 $Y\subset X$ について $H^n_Y(X,\mathcal{F})=H^n\bigl(\Gamma_Y(X,C^\bullet(\mathcal{F}))\bigr)$ であり、$\Gamma_Y(X,C^p(\mathcal{F}))=\bigoplus_{x\in X^p\cap Y}H^p_x(\mathcal{F})$ である。とくに $Y=X$ として $H^n(X,\mathcal{F})=H^n\bigl(\Gamma(X,C^\bullet(\mathcal{F}))\bigr)$、$\Gamma(X,C^p(\mathcal{F}))=\bigoplus_{x\in X^p}H^p_x(\mathcal{F})$ である。
段 1．prop-cousin-complex-terms により $C^p(\mathcal{F})=\bigoplus_{x\in X^p}i_{x*}M_x$（$M_x=H^p_x(\mathcal{F})$）である。既約閉集合 $\overline{\{x\}}$ の空でない開集合は既約ゆえ連結なので、定数層 $M_x$ の空でない開集合上の切断は $M_x$ で、制限は恒等写像、よって flasque である。閉埋め込みによる押し出し $i_{x*}$ は flasque 性を保つ（$(i_{x*}\mathcal{G})(U)=\mathcal{G}(U\cap\overline{\{x\}})$）。$X$ は Noether 的位相空間なので直和の切断は切断の直和であり（Har77 II Ex. 1.11）、flasque 層の直和は成分ごとに制限が全射だから flasque である。
段 2．flasque 層は $\Gamma_Y(X,-)$ について非輪状である（Har77 III Ex. 2.3。flasque な $\mathcal{G}$ について $0\to\Gamma_Y(X,\mathcal{G})\to\Gamma(X,\mathcal{G})\to\Gamma(X\setminus Y,\mathcal{G})\to0$ が完全であることと、$\Gamma$ についての非輪状性による）。よって flasque 分解 $C^\bullet(\mathcal{F})$ に $\Gamma_Y(X,-)$ を施した複体が $H^n_Y(X,\mathcal{F})$ を計算する。$\Gamma_Y(X,i_{x*}M_x)$ を求める。$i_{x*}M_x$ の大域切断 $m\in M_x$ の台は、$m\ne0$ なら $\overline{\{x\}}$ 全体である（すべての茎が $M_x$ で、$m$ はどの茎でも $0$ でない）。したがって $m\ne0$ が $Y$ に台をもつのは $\overline{\{x\}}\subset Y$、すなわち $x\in Y$ のときに限り、そのとき $\Gamma_Y(X,i_{x*}M_x)=M_x$、$x\notin Y$ なら $0$ である。直和の切断は切断の直和なので $\Gamma_Y(X,C^p(\mathcal{F}))=\bigoplus_{x\in X^p\cap Y}H^p_x(\mathcal{F})$ である。
局所 Noether 的スキーム $X$ 上のアーベル群の層 $\mathcal{F}$ が Cohen–Macaulay であるとは、すべての点 $x\in X$ とすべての $n\ne\operatorname{codim}x$ について $H^n_x(\mathcal{F})=0$ となることをいう。$\mathcal{F}$ が連接層なら、Grothendieck の消滅・非消滅定理（局所コホモロジー の記事の定理）により、これは各 $x$ で $\mathcal{F}_x=0$ または $\operatorname{depth}\mathcal{F}_x=\dim\mathcal{F}_x=\dim\mathcal{O}_{X,x}$（深さ）であることと同値である。とくに $X$ のすべての局所環が Cohen–Macaulay環なら $\mathcal{O}_X$ は Cohen–Macaulay 層であり、局所自由層も Cohen–Macaulay 層である。正則局所環は Cohen–Macaulay なので（Mat89 §17）、正則スキーム上の局所自由層は Cohen–Macaulay 層である。
$X$ を局所 Noether 的スキーム、$\mathcal{F}$ をアーベル群の層とする。
- $\mathcal{F}$ が Cohen–Macaulay 層ならば、Cousin 複体 $0\to\mathcal{F}\to C^\bullet(\mathcal{F})$ は完全、すなわち $\mathcal{F}$ の Cousin 分解である。
- 逆に $\mathcal{F}$ が連接層で Cousin 複体が完全ならば、$\mathcal{F}$ は Cohen–Macaulay 層である。
1 は Har66 IV §2–§3 による。ここでは証明の筋だけを述べる。1：def-cousin-complex の後で述べたスペクトル系列の $E_1$ 項は prop-cousin-complex-terms により $E_1^{p,q}=\bigoplus_{x\in X^p}i_{x*}H^{p+q}_x(\mathcal{F})$ で、Cohen–Macaulay 性により $q\ne0$ で $0$ である。よって $E_2=E_\infty$ は $q=0$ の行 $\mathcal{H}^p(C^\bullet(\mathcal{F}))$ に集中し、到達項 $\mathcal{H}^p(\mathcal{I}^\bullet)$（$p=0$ で $\mathcal{F}$、$p>0$ で $0$）と一致する。$p=0$ の同一視が $\varepsilon$ で与えられることを合わせて、$C^\bullet(\mathcal{F})$ は $\mathcal{F}$ の分解である。2：$\ker\varepsilon=\underline{\Gamma}_{Z^1}(\mathcal{F})$ なので、$\varepsilon$ の単射性から余次元 $\ge1$ の点で $H^0_x(\mathcal{F})=0$ である。一般には点の余次元 $d$ についての帰納法による。余次元 $d$ の点 $x$ でスペクトル系列の茎をとると、$E_1^{p,q}$ の茎は $x$ の一般化 $y\in X^p$ にわたる $H^{p+q}_y(\mathcal{F})$ の直和で、帰納法の仮定により $q\ne0$ の項は $p=d$ の列（$y=x$）にしか残らない。Cousin 複体の完全性により $q=0$ の行は $E_2$ で $p=0$ に $\mathcal{F}_x$ だけを残し、それは $E_\infty$ まで生き残るので、$E_1^{d,q}=H^{d+q}_x(\mathcal{F})$（$q<0$）は微分の出入りなしに $E_\infty$ まで残り、到達項（次数 $d+q\ge1$ で $0$、次数 $0$ で $\underline{\Gamma}_{Z^d}(\mathcal{F})_x=0$）と一致して消える。$n>d$ での消滅は Grothendieck の消滅定理（局所コホモロジー の記事）による。ex-cousin-complex-non-cm はその最も簡単な場合、有限生成加群についての同種の結果は Sha69 にある（rem-cousin-complex-sharp）。
$X$ を局所 Noether 的スキームで、すべての局所環が Gorenstein環であるもの（Gorenstein スキーム。正則スキームはその例）、$\mathcal{E}$ を有限階数の局所自由層とする。このとき Cousin 複体 $0\to\mathcal{E}\to C^\bullet(\mathcal{E})$ は $\mathcal{O}_X$ 加群の入射分解である。逆に $\mathcal{O}_X$ の Cousin 複体が入射分解ならば $X$ は Gorenstein スキームである。
Har66 IV §3 による。Gorenstein 局所環は Cohen–Macaulay なので（Mat89 §18）、thm-cousin-complex-cm により Cousin 複体は分解であり、残るのは各項の入射性である。局所的な内容は次のとおりである。次元 $d$ の Gorenstein 局所環 $(A,\mathfrak{m},k)$ について $H^d_\mathfrak{m}(A)$ は $k$ の入射包絡（入射包絡）$E_A(k)$ に同型であり（BH98 §3.5、Mat89 §18）、prop-cousin-complex-terms の $i_{x*}M$（$\overline{\{x\}}$ 上の定数層の押し出し）は、点の包含 $j_x\colon\{x\}\to X$ による押し出し $j_{x*}M$ と同じ層である（開集合 $U$ が $x$ を含むことと $U\cap\overline{\{x\}}\ne\emptyset$ は同値）。随伴 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G},j_{x*}M)=\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_{X,x}}(\mathcal{G}_x,M)$ と茎をとる関手の完全性により、$M$ が入射 $\mathcal{O}_{X,x}$ 加群なら $j_{x*}M$ は入射 $\mathcal{O}_X$ 加群である。$M$ の各元が $\mathfrak{m}_x$ の冪で消されるとき（$H^p_x(\mathcal{E})=H^p_{\mathfrak{m}_x}(\mathcal{E}_x)$ はそうである）、$\widetilde{M}$ は $\operatorname{Spec}\mathcal{O}_{X,x}$ の閉点の外で $0$ なので、$j_{x*}M$ は準コンパクトかつ分離的な射 $\operatorname{Spec}\mathcal{O}_{X,x}\to X$ による $\widetilde{M}$ の押し出しと同じ層であり、準連接である。したがって各項 $C^p(\mathcal{E})=\bigoplus_{x\in X^p}j_{x*}H^p_x(\mathcal{E})$ は準連接な入射 $\mathcal{O}_X$ 加群の直和になる。Noether 的スキーム上で準連接な入射加群の直和が入射的であること（Har66 II §7）から入射性が従う。次元 $1$ では lem-cousin-complex-dvr の可除性がこの入射性の実体である。逆は次による。入射 $\mathcal{O}_X$ 加群の直和因子である各 $j_{x*}H^p_x(\mathcal{O}_X)$ は入射的で、$(j_{x*}N)_x=N$ と上の随伴により $M=H^p_x(\mathcal{O}_X)$ は入射 $\mathcal{O}_{X,x}$ 加群である。$j_{x*}M$ の $y\in\overline{\{x\}}$ での茎は $M$ で、$\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_{X,y}}(N,M)=\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_{X,x}}(N_{\mathfrak{p}_x},M)$ により入射 $\mathcal{O}_{X,y}$ 加群でもある。よって Cousin 複体の $y$ での茎は長さ $\operatorname{codim}y$ 以下の $\mathcal{O}_{X,y}$ の入射分解で、入射次元が有限な Noether 局所環は Gorenstein である（Bass の定理、Mat89 §18）。
Noether 環 $A$ 上の加群 $M$ については、Sharp Sha69 は Cousin 複体を導来関手を使わずに帰納的に定めた。$\operatorname{Supp}M$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ の $M$ 高さを $\operatorname{ht}_M\mathfrak{p}:=\dim M_\mathfrak{p}$ とし、$C^{-1}:=M$、$C^0:=\bigoplus_{\operatorname{ht}_M\mathfrak{p}=0}M_\mathfrak{p}$、$d^{-1}$ を局所化の写像、$C^{p}:=\bigoplus_{\operatorname{ht}_M\mathfrak{p}=p}(\operatorname{coker}d^{p-2})_\mathfrak{p}$、$d^{p-1}\colon C^{p-1}\to\operatorname{coker}d^{p-2}\to C^p$ を商と局所化の合成とする。$M$ が有限生成のとき、この複体が完全であることと $M$ が Cohen–Macaulay 加群（すべての $\mathfrak{p}\in\operatorname{Supp}M$ で $\operatorname{depth}M_\mathfrak{p}=\dim M_\mathfrak{p}$）であることは同値である（Sha69）。$M=A$ や有限生成射影加群のように $\operatorname{Supp}M$ 上で $\dim M_\mathfrak{p}=\operatorname{ht}\mathfrak{p}$ が成り立つ場合には $M$ 高さは環の高さと一致し、$M$ が Cohen–Macaulay なら Sharp の複体は def-cousin-complex の Cousin 複体の大域切断と一致して $C^p\cong\bigoplus_{\operatorname{ht}\mathfrak{p}=p}H^p_{\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}}(M_\mathfrak{p})$ である（Sha69）。$\dim M_\mathfrak{p}<\operatorname{ht}\mathfrak{p}$ となる点があれば（$A=k[x,y]$、$M=A/(x)$）、$M$ が Cohen–Macaulay 加群でも $\widetilde{M}$ は def-cousin-complex-cm-sheaf の意味で Cohen–Macaulay でなく、環の余次元による Cousin 複体は $\varepsilon\colon M\to M_{(0)}=0$ で既に分解にならない。ex-cousin-complex-affine-line と ex-cousin-complex-non-cm の $C^0$ はどちらの定義でも同じである。
Hartshorne Har66 VI の residual complex（留数複体）は、双対化複体にその余次元関数についての Cousin 複体の構成を施したもので、Cohen–Macaulay スキーム $X$ 上では双対化層 $\omega_X$ の Cousin 複体 $C^\bullet(\omega_X)$ にあたる。Gorenstein なら $\omega_X$ は可逆層（可逆層）なので thm-cousin-complex-gorenstein の入射分解と一致する。「留数複体」という語は、文献によって本記事の意味の Cousin 複体（とくに de Rham 複体や双対化層に施したもの）を指すことも Har66 VI の residual complex を指すこともあるので、どちらの意味かに注意する。Serre双対性の留数による記述はこの複体を通して得られる。
余次元スペクトル系列との関係
def-cousin-complex の後で述べたスペクトル系列の大域版
$$
E_1^{p,q}=\bigoplus_{x\in X^p}H^{p+q}_x(\mathcal{F})\Longrightarrow H^{p+q}(X,\mathcal{F})
$$
は、$X$ が Noether 的で有限次元なら $\mathcal{F}$ が Cohen–Macaulay でなくても存在し（Har66 IV §1、余次元フィルトレーション）、Cohen–Macaulay なら $q\ne0$ の行が消えて prop-cousin-complex-flasque の 2 に戻る。Bloch–Ogus BO74 は、エタールコホモロジーなど Poincaré双対性をもつコホモロジー理論について同じ形の系列を作り、$X$ が体上滑らかなら純性により $E_1^{p,q}=\bigoplus_{x\in X^p}H^{q-p}(k(x))$（$k(x)$ は剰余体）と書き直し、$E_2^{p,q}=H^p(X,\mathcal{H}^q)$ を示した（coniveau スペクトル系列）。Grothendieck Gro66 の原注 (8) は、Cousin 複体がアーベル群の層の射について関手的であること（def-cousin-complex はアーベル群の層について定めたので、$\mathcal{O}_X$ 線型でない外微分 $d$ も各項に作用する）を使って、$k$ 上滑らか（滑らかな射）な $X$ の de Rham 複体 $\Omega^\bullet_{X/k}$ に Cousin 分解を項ごとに施し、二重複体（二重複体）のスペクトル系列 $E_1^{p,q}=\bigoplus_{x\in X^p}\mathbf{H}^{p+q}_x(\Omega^\bullet_{X/k})\Rightarrow H^{p+q}_{dR}(X)$（de Rhamコホモロジー）を提案した。標数 $0$ で留数写像により $E_1^{p,q}=\bigoplus_{x\in X^p}H^{q-p}_{dR}(k(x)/k)$ と書き直せるという主張は Bloch–Ogus の系列の de Rham 版であり、曲線の場合は prop-cousin-complex-p1-residue の型の留数完全列 $0\to H^1_{dR}(X)\to H^1_{dR}(K/k)\to\bigoplus_xk(x)\to H^2_{dR}(X)\to0$ になる。
関連項目
- 前提: 局所コホモロジー, 層コホモロジー, 導来関手, スペクトル系列, 離散付値環, Noether環
- 比較: 余次元フィルトレーション, Čechコホモロジー, 入射分解
- 直後に読む: Cohen–Macaulay環, Gorenstein環, 留数, 深さ
- 発展: de Rhamコホモロジー, Serre双対性, 双対化複体, エタールコホモロジー
参考文献
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