引き戻し

同義語：引き戻し(圏論)ファイバー積プルバック

概要

前提知識: 圏, 極限(圏論), 積(圏論), 等化子

定義

ここで扱う引き戻しは圏論のファイバー積である。関数の逆像や微分形式の引き戻しと関係する場面もあるが、それら全部を同じ定義の用語として同一視はしない。

引き戻し

圏 $\mathcal C$ の射 $f:A\to C$、$g:B\to C$ の引き戻し（pullback）は、対象 $P$ と射 $p:P\to A$、$q:P\to B$ で $fp=gq$ を満たし、次の普遍性を持つものである。任意の $a:X\to A$、$b:X\to B$ で $fa=gb$ となるものに対し、$pu=a$、$qu=b$ を満たす $u:X\to P$ がただ一つ存在する。
$$ \xymatrix{ P \ar[r]^p \ar[d]_q & A \ar[d]^f \\ B \ar[r]_g & C } $$
この方形の可換性は $f\circ p=g\circ q$ である。普遍性は、$f\circ a=g\circ b$ を満たす任意の組 $(a,b)$ が、$a=p\circ u$、$b=q\circ u$ と一意に因子分解することをいう。

$P=A\times_C B$ と書き、ファイバー積とも呼ぶ。底 $C$ だけでなく $f,g$ に依存する。対象と二本の射を合わせて引き戻しのデータとする。標準定義は Rie16 §3.1に従う。引き戻しは図式 $A\xrightarrow{f}C\xleftarrow{g}B$ の極限(圏論) である。

極限としての引き戻し

図式 $A\xrightarrow{f}C\xleftarrow{g}B$ への頂点 $P$ の錐は、三本の脚 $p_A:P\to A$、$p_B:P\to B$、$p_C:P\to C$ で $p_C=fp_A=gp_B$ を満たすものである。脚 $p_C$ は $p_A$（または $p_B$）から決まるので、錐 $(P,p_A,p_B,p_C)$ を与えることは $fp_A=gp_B$ を満たす対 $(p_A,p_B)$ を与えることと同じである。よって極限の普遍性は、$fa=gb$ を満たす任意の対 $a:X\to A$、$b:X\to B$ に対して二本の脚と可換な $X\to P$ がただ一つ存在することであり、上の定義の普遍性そのものである。したがって、積(圏論) と等化子を持つ圏では、引き戻しは $A\times B$ 上で $f\circ\mathrm{pr}_A$ と $g\circ\mathrm{pr}_B$ の等化子として構成できる。

直感

二つのデータを自由に組み合わせる積に、同じ $C$ の値を持つという条件を課す。一般の圏では「要素」の代わりに、任意の $X$ をパラメーターとする射の組を使う。この $X$ をすべて動かすことが普遍性の強さである。

例と反例

集合の値が一致する対

集合では
$$ A\times_C B=\{(a,b)\in A\times B:f(a)=g(b)\} $$
に二つの射影を入れる。$a:X\to A,b:X\to B$ に対する $x\mapsto(a(x),b(x))$ は条件によりこの部分集合へ入る。射影がその値を一意に決めるので普遍性が成り立つ。$B$ が一点で $g$ が $c\in C$ を選ぶと、これはファイバー $f^{-1}(c)$ になる。

群の準同型

群の準同型 $f:A\to C,g:B\to C$ に対し、上の条件を満たす対は直積群の部分群になる。条件は積と逆元について保たれるからである。整合する準同型の対から得られる写像も成分ごとに準同型であり、これが群の圏での引き戻しになる。$B$ が自明群なら $A$ の核 $\ker f$ を得る。

半順序集合の下限

半順序集合を圏とみなし、$a\leq c,b\leq c$ を射とみなすと、$a,b$ の最大下界が存在する場合、それが引き戻しである。任意の共通下界から $c$ への二つの合成は、順序圏では自動的に等しい。このため、共通の上界 $c$ を指定したこの状況での引き戻しは下限に一致する。

反例：共通部分という説明だけでは足りない

集合 $A=B=C=\{0,1\}$ とし、$f,g$ をともに値 $0$ の定値写像とする。引き戻しは四元の $A\times B$ であり、二元の共通部分 $A\cap B$ ではない。共通部分で計算できるのは、同じ集合への包含などの追加条件がある場合である。

性質と証明

引き戻しの一意性

同じ二本の射の引き戻しは、二本の射影を保つ一意な同型を除いて一つである。

二つの普遍性を往復する

二つの引き戻しを $P,P'$ とする。$P$ の二本の射影は整合するので、$P'$ の普遍性で $u:P\to P'$ が一意にできる。逆向きにも $v:P'\to P$ を得る。$vu$ と $\operatorname{id}_P$ は二本の射影との合成が一致するから等しい。同様に $uv=\operatorname{id}_{P'}$。射影を保つ射自体が一意なので同型も一意である。

モノ射の底変更

$f:A\to C$ がモノ射、すなわち任意の平行射 $r,s:X\to A$ について $fr=fs$ から $r=s$ が従う射なら、引き戻しの射 $q:A\times_C B\to B$ もモノ射である。

消去を二段階で使う

$r,s:X\to P$ に対し $qr=qs$ とする。可換性から $fpr=gqr=gqs=fps$ である。$f$ がモノ射なので $pr=ps$。こうして二本の射影との合成がともに一致するため、引き戻しの一意性により $r=s$。集合の要素を使わずに結論できる。

終対象 $1$ がある場合、唯一の射 $A\to1,B\to1$ の引き戻しは積 $A\times B$ である。任意の射の対について終対象への合成条件が自動的に成立するので、二つの普遍性はそのまま一致する。

貼り合わせ補題

射 $x:X\to Y$、$y:Y\to Z$、$a:X\to A$、$b:Y\to B$、$c:Z\to C$、$f:A\to B$、$g:B\to C$ が $bx=fa$ と $cy=gb$ を満たすとする。すなわち、左の方形 $(X;x,a)$ が $f,b$ の上に、右の方形 $(Y;y,b)$ が $g,c$ の上に並び、外側の長方形 $(X;yx,a)$ は $gf,c$ の上にあって $c(yx)=gbx=gfa$ により可換である。このとき右の方形が引き戻しならば、次の二条件は同値である。
$$ \xymatrix{ X \ar[r]^x \ar[d]_a & Y \ar[r]^y \ar[d]_b & Z \ar[d]^c \\ A \ar[r]_f & B \ar[r]_g & C } $$
左の方形は $b\circ x=f\circ a$、右の方形は $c\circ y=g\circ b$ を表す。外側は $c\circ y\circ x=g\circ f\circ a$ である。

左の方形が引き戻しである。すなわち $(X,x,a)$ は $f:A\to B$ と $b:Y\to B$ の引き戻しである。
外側の長方形が引き戻しである。すなわち $(X,yx,a)$ は $gf:A\to C$ と $c:Z\to C$ の引き戻しである。

右の方形の普遍性で $Y$ への射を作る

以下、右の方形が引き戻しであることを常に用いる。
まず 1 から 2 を示す。$t:T\to Z$、$s:T\to A$ が $ct=gfs$ を満たすとする。$g(fs)=ct$ なので、右の方形の普遍性により $yv=t$、$bv=fs$ を満たす $v:T\to Y$ がただ一つある。$bv=fs$ なので、左の方形の普遍性により $xu=v$、$au=s$ を満たす $u:T\to X$ がただ一つある。すると $(yx)u=yv=t$、$au=s$ であり、存在が示された。一意性を見る。$u':T\to X$ が $(yx)u'=t$、$au'=s$ を満たすとすると、$xu':T\to Y$ は $y(xu')=t$、$b(xu')=fau'=fs$ を満たすので、右の方形の一意性から $xu'=v$ である。従って $u'$ は $xu'=v$、$au'=s$ を満たし、左の方形の一意性から $u'=u$ である。
次に 2 から 1 を示す。$v:T\to Y$、$s:T\to A$ が $bv=fs$ を満たすとする。$c(yv)=gbv=gfs$ なので、外側の長方形の普遍性により $(yx)u=yv$、$au=s$ を満たす $u:T\to X$ がただ一つある。$xu=v$ を確かめる。$xu$ と $v$ はともに $T\to Y$ の射で、$y(xu)=yv$ かつ $b(xu)=fau=fs=bv$ を満たすので、右の方形の一意性から $xu=v$ である。一意性を見る。$u':T\to X$ が $xu'=v$、$au'=s$ を満たすなら $(yx)u'=yv$、$au'=s$ なので、外側の長方形の一意性から $u'=u$ である。

貼り合わせ補題は、引き戻しの計算を段階に分けるときや、底変更の合成が底変更になることを示すときに使う標準的な事実である。証明は上のとおり普遍性だけで完結する。

豊穣圏・∞圏との接続

豊穣圏では、整合する射の集合だけでなく、各 $X$ に対して基礎圏 $\mathcal V$ のHom対象の比較
$$ \mathcal C(X,P)\longrightarrow \mathcal C(X,A)\times_{\mathcal C(X,C)}\mathcal C(X,B) $$
が同型であることを要求する。右辺は $f$、$g$ との後合成が誘導する二射の引き戻しである。必要な極限を持つ $\mathcal V$ 上で、これは指定されたcospanのconicalな豊穣極限である（Kel82 §3.8）。基礎圏の単位対象から見た「元」だけを比較しても、このHom対象の同型を確認したことにはならない。
∞圏では、指定された可換方形が引き戻しであることは、任意の $X$ に対して
$$ \operatorname{Map}(X,P)\longrightarrow \operatorname{Map}(X,A)\times^{h}_{\operatorname{Map}(X,C)}\operatorname{Map}(X,B) $$
が空間の同値になることとして検出できる。右辺のホモトピー引き戻しは、二つの射だけでなく、それらの合成を比較する道と高次整合性も保持する。したがって $fa$ と $gb$ がホモトピー圏で等しいことだけでは足りない。空間の∞圏では通常のホモトピー引き戻しになり、一般には集合論的な厳密引き戻しで計算できない。通常圏の脈体では写像空間が離散Hom集合と同値になり、上の普遍性へ戻る（HTT09 §§1.2.13, 4.2.4, 4.4.2）。