圏同値(∞圏)

同義語：∞圏の同値∞圏同値

概要

定義

∞圏の同値は、対象を重複して表示する違いを許しながら、射とそのすべての高次の変形を保つ関手である。通常の圏同値を拡張するが、ホモトピー圏の同値だけでは十分でない。対象の対応に加えて、写像空間全体の対応が必要になる。
以下の∞-圏は準圏、すなわち標準単体のすべての内部ホーンを充填できる単体的集合とする。関手（関手(∞圏)）$F\colon \mathcal C\to \mathcal D$ は単体的写像である。ホモトピー圏（∞圏のホモトピー圏）$h\mathcal C$ は対象をそのまま、射を $\pi_0\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,y)$ にした通常の圏であり、辺が同値（同値射）であるとはその類が $h\mathcal C$ の同型であることをいう。
関手対象（関手圏(∞圏)）$\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal D)=\mathcal D^{\mathcal C}$ の $n$ 単体は $\mathcal C\times\Delta^n\to \mathcal D$ である。自然変換（自然変換(∞圏)）はその辺であり、自然同値はその中で同値になっている辺をいう。これは各 $x\in \mathcal C$ で成分が $\mathcal D$ の同値になることと同値である。成分判定には関手対象のホーン充填を用いる。KEqNat §4.4.4。

∞圏の同値

関手 $F\colon \mathcal C\to \mathcal D$ が 圏同値 (equivalence of ∞-categories) であるとは、関手 $G\colon \mathcal D\to \mathcal C$ と自然同値
$$ G F\simeq\operatorname{id}_{\mathcal C}, \qquad F G\simeq\operatorname{id}_{\mathcal D} $$
が存在することをいう。$G$ を準逆と呼び、$\mathcal C\simeq \mathcal D$ と書く。

ここで合成が厳密に恒等関手に等しいとは要求しない。また、各対象の対応だけで準逆を指定したことにはならず、射および高次の単体への作用も必要である。

判定基準

充満忠実性と本質的全射性

準圏の関手 $F\colon \mathcal C\to \mathcal D$ が同値であるための必要十分条件は、次の二条件である。

各 $x,y\in \mathcal C$ に対し、その関手が誘導する写像
$$ \operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,y)\longrightarrow\operatorname{Map}_{\mathcal D}(Fx,Fy) $$
がKan複体の弱ホモトピー同値である。
各 $d\in \mathcal D$ が、ある $x\in \mathcal C$ の像 $F(x)$ と $\mathcal D$ で同値である。
前者を充満忠実（充満忠実関手(∞圏)）、後者を本質的全射という。

判定定理の出典

定理の十分性は、対象ごとの選択を整合的な準逆関手へ拡張する内容を含む。これは独立の基礎定理であり、本記事では証明しない。出典は KEquiv §4.8.4 Theorem 4.8.4.1（Tag 01JX）。同じ判定を充満忠実関手(∞圏) の記事から引くときも、この出典を用いる。

ここで弱ホモトピー同値とは、連結成分に全単射を誘導し、すべての基点と次数のホモトピー群に同型を誘導する写像である。写像空間（写像空間(∞圏)）の円柱モデルでは $n$ 単体が端を固定した $\Delta^n\times\Delta^1\to \mathcal C$ であり、上の写像は $F$ の後合成で定まる。右写像空間 $\operatorname{Hom}^R$・左写像空間 $\operatorname{Hom}^L$・円柱モデルは互いに弱同値なので（HTT09 §4.2.1）、条件1はどの表示で確かめてもよい。2つの空間に何らかの同値がある、というだけでは条件1を確認したことにならない。
この定理は、Hom集合の全単射を使う通常の充満忠実関手の判定を、全写像空間へ拡張したものである。

同値の合成

同値 $F\colon \mathcal C\to \mathcal D$, $H\colon \mathcal D\to \mathcal E$ の合成 $H F$ も同値である。

準逆の合成

準逆をそれぞれ $G,J$ とする。$GJ$ を候補に取ると
$$ GJHF\simeq GF\simeq\operatorname{id}_{\mathcal C}, \qquad HFGJ\simeq HJ\simeq\operatorname{id}_{\mathcal E}. $$
最初の自然同値は $JH\simeq\operatorname{id}_{\mathcal D}$ を $G,F$ と合成して得られる。関手との合成は自然同値を保ち、自然同値の合成も自然同値である。後者は関手対象のホモトピー圏で同型が合成できることによる。これらが準逆の条件を与える。

例と通常版

通常の圏同値

通常の関手 $F_0\colon A\to B$ は、圏同値であるとき、かつそのときに限り脈体の写像 $N(F_0)$ が∞圏の同値になる。

脈体とホモトピー圏の往復

通常の準逆と自然同型の脈体を取れば、一方の含意を得る。逆に $N(F_0)$ の準逆と自然同値があれば、ホモトピー圏を取る。$hN(A)=A$, $hN(B)=B$ なので、通常の準逆と自然同型が得られる。自然変換の成分は同値の辺から同型へ移る。

対象の重複を除く

二対象 $0,1$ の間に各向き一つずつ射がある亜群を $E$ とする。$N(E)\to\Delta^0$ は同値であり、準逆としてどちらかの頂点を選べる。選んだ頂点への唯一の射の族が自然同型を与える。しかし $N(E)$ は二頂点を持つので、一点との単体的集合の同型ではない。

Kan複体間の同値

Kan複体 $X,Y$ を∞圏とみなすと、$X\to Y$ が∞圏の同値であることと、Kan複体の弱ホモトピー同値であることは一致する。弱ホモトピー同値はKan複体間ではホモトピー逆を持ち、その2つのホモトピーが準逆の自然同値になる。逆に準逆があれば通常のホモトピー逆を得る。これは全辺が可逆な場合に圏同値が空間の同値へ戻る例である。Kan複体のホモトピー同値判定には KKan §3.2.7 Theorem 3.2.7.1（Tag 00WV）を用いる。

反例：ホモトピー圏だけを比較する判定

$M=N(\mathbb Z)$ を整数群の一対象亜群の脈体とする。二対象 $0,1$ の単体的豊穣圏 $A_M$ を、$A_M(0,1)=M$、各自己 Hom は一点、逆向き Hom は空とし、単位だけで合成を定める。すべての Hom はKan複体なので $\mathcal C=N_{\mathrm{hc}}(A_M)$ は準圏である。
$M\to\Delta^0$ は関手 $F\colon \mathcal C\to N([1])$ を誘導する。$M$ は連結なので $hF$ は同型だが、$0,1$ 間の写像空間には $M\to\Delta^0$ が現れる。$\pi_1(M)=\mathbb Z$ であるためこれは弱ホモトピー同値でなく、$F$ は充満忠実でない。対象と射のホモトピー類を完全に対応させても、高次の自己変形は失われうる。

豊穣モデルでの比較

単体的豊穣圏 $A,B$ が局所Kan、つまり全 Hom 単体的集合がKan複体であるとする。豊穣関手 $T\colon A\to B$ が、すべての $A(x,y)\to B(Tx,Ty)$ に弱ホモトピー同値を誘導し、$\pi_0$ で作った通常の圏で本質的全射なら、$N_{\mathrm{hc}}(T)$ は∞圏の同値である。こうした $T$ を DK同値（Dwyer–Kan 同値、DK同値）という。
理由は、HTT09 §1.1.5 Proposition 1.1.5.10 と §2.2 Theorem 2.2.0.1 が、局所Kanな豊穣圏の整合的脈体を準圏にし、誘導された Hom 比較を準圏の写像空間比較へ移すためである。上の判定定理を適用して結論を得る。局所Kanでない豊穣圏やモデル圏の全対象を、この仮定の確認なしに代入することはできない。モデル圏から作る場合には、たとえば必要な cofibrant・fibrant 条件を備えた対象の部分圏を選ぶ。