圏同値(∞圏)

準逆 $G$ と自然同値 $\alpha\colon GF\to\operatorname{id}_{\mathcal C}$ を取る。$\alpha$ は $\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal C)$ の辺で、$h\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal C)$ で可逆である。
まず成分が可逆であることを見る。頂点 $x$ での評価 $\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal C)\to\mathcal C$ は $\{x\}\to\mathcal C$ に沿う制限なので単体的写像であり、∞圏のホモトピー圏 の命題「関手性」により同値の辺を同値の辺へ送る。よって成分 $\alpha_x\colon GFx\to x$ は $\mathcal C$ の同値である。
次に、$\alpha\colon\mathcal C\times\Delta^1\to\mathcal C$ にホモトピー圏を取ると、∞圏のホモトピー圏 の命題「積との交換」と $h\Delta^1=[1]$ により、関手 $h\mathcal C\times[1]\to h\mathcal C$、すなわち自然変換 $h\alpha\colon hG\circ hF\Rightarrow\operatorname{id}$ を得る。その成分 $[\alpha_x]$ はすべて同型なので $h\alpha$ は自然同型である。ここで $h(GF)=hG\circ hF$ はホモトピー圏を取る操作の関手性による。$FG\simeq\operatorname{id}_{\mathcal D}$ についても同様なので、$hF$ は準逆 $hG$ を持つ圏同値である。
特に各 $d\in\mathcal D$ について $[\beta_d]\colon FGd\to d$（$\beta\colon FG\to\operatorname{id}_{\mathcal D}$ の成分）は同型であり、$d$ は $F(Gd)$ と同値である。$\square$

準逆をそれぞれ $G,J$ とする。$GJ$ を候補に取ると
$$ GJHF\simeq GF\simeq\operatorname{id}_{\mathcal C}, \qquad HFGJ\simeq HJ\simeq\operatorname{id}_{\mathcal E}. $$
最初の自然同値は $JH\simeq\operatorname{id}_{\mathcal D}$ を $G,F$ と合成して得られる。関手との合成は自然同値を保つ。実際、$K\colon\mathcal C'\to\mathcal C$ による前合成 $\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal D)\to\operatorname{Fun}(\mathcal C',\mathcal D)$ も、$L\colon\mathcal D\to\mathcal D'$ による後合成も単体的写像なので、同値の辺を同値の辺へ送る。自然同値の合成も自然同値であり、これは関手対象のホモトピー圏で同型が合成できることによる。これらが準逆の条件を与える。$\square$

$F,H$ が同値の場合は前の命題である。
$F$ と $HF$ が同値の場合：$F$ の準逆を $G$、$HF$ の準逆を $K$ とし、$H$ の準逆の候補を $FK$ とする。$H(FK)=(HF)K\simeq\operatorname{id}_{\mathcal E}$ である。また $FG\simeq\operatorname{id}_{\mathcal D}$ を使うと
$$ (FK)H\simeq(FK)H(FG)=F\bigl(K(HF)\bigr)G\simeq FG\simeq\operatorname{id}_{\mathcal D} $$
となる。各段は、自然同値を関手と合成したものと、自然同値の合成である（前の証明と同じ理由）。
$H$ と $HF$ が同値の場合：$H$ の準逆を $J$、$HF$ の準逆を $K$ とし、$F$ の準逆の候補を $KH$ とする。$(KH)F=K(HF)\simeq\operatorname{id}_{\mathcal C}$ であり、$JH\simeq\operatorname{id}_{\mathcal D}$ を使うと
$$ F(KH)\simeq(JH)F(KH)=J\bigl((HF)K\bigr)H\simeq JH\simeq\operatorname{id}_{\mathcal D} $$
となる。$\square$

通常の準逆 $G_0$ と自然同型 $G_0F_0\cong\operatorname{id}$ の脈体を取る。脈体は積を保ち（脈体 の命題「脈体は積を保つ」）$N([1])=\Delta^1$ なので、自然同型 $A\times[1]\to A$ の脈体は $N(A)\times\Delta^1\to N(A)$、すなわち自然変換である。その成分は $A$ の同型であり、$hN(A)=A$ なので $N(A)$ の同値の辺である。成分がすべて同値なので自然同値である（RV22 Corollary D.4.19）。$F_0G_0\cong\operatorname{id}$ も同様である。よって一方の含意を得る。逆に $N(F_0)$ が同値なら、前の命題「ホモトピー圏の同値を誘導する」と $hN(A)=A$, $hN(B)=B$ から、$F_0=hN(F_0)$ は圏同値である。$\square$

1 と 2 の同値：$\operatorname{Fun}(X,X)$ の辺はホモトピー $X\times\Delta^1\to X$ そのものである。その成分は Kan 複体 $X$ の辺であり、Kan複体 の命題「Kan 複体のホモトピー圏は亜群である」によりすべて同値である。成分がすべて同値な辺は自然同値である（RV22 Corollary D.4.19）。よって $\operatorname{Fun}(X,X)$ のすべての辺は自然同値であり、$Y$ についても同じである。したがって 1 の自然同値は 2 のホモトピーと同じものである。
2 と 3 の同値は、Kan 複体の間の単体的ホモトピー同値と弱ホモトピー同値の比較であり、単体版の Whitehead の定理である。単体的集合のモデル構造でKan複体はファイブラント、すべての単体的集合はコファイブラントであり（GJ99 Theorem I.11.3、p. 62）、ファイブラントかつコファイブラントな対象の間の弱同値はホモトピー同値（同書 Theorem II.1.10、p. 73）、逆にホモトピー同値は弱同値である（同書 Proposition II.1.14 の証明、p. 76）。この部分はこの記事では証明しない。$\square$