関数の増減と極値

$f(x)=x^3-3x$ とする。導関数は
$$ f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1) $$
である。$f'(x)=0$ となるのは $x=-1$ と $x=1$ のときである。$f'(x)$ の符号は、2 つの因数 $x+1$、$x-1$ の符号で決まる。

• $x<-1$ のとき：$x+1<0$、$x-1<0$ なので $f'(x)>0$。
• $-1< x<1$ のとき：$x+1>0$、$x-1<0$ なので $f'(x)<0$。
• $x>1$ のとき：$x+1>0$、$x-1>0$ なので $f'(x)>0$。
  値は $f(-1)=-1+3=2$、$f(1)=1-3=-2$ である。増減表は次のようになる。

  $x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
  $f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
  $f(x)$	↗	極大 $2$	↘	極小 $-2$	↗

  $x=-1$ で増加から減少に変わるので極大値 $2$、$x=1$ で減少から増加に変わるので極小値 $-2$ である（図1）。

同じ $f(x)=x^3-3x$ を $-2\le x\le3$ で考える。ex-mle-cubic-table の増減表に両端を付け加え、値を計算する。
$$ f(-2)=-8+6=-2,\quad f(-1)=2,\quad f(1)=-2,\quad f(3)=27-9=18. $$
この 4 つの値のうち最大は $18$、最小は $-2$ である。したがって最大値は $18$（$x=3$）、最小値は $-2$（$x=-2$ と $x=1$）である（図3）。
極大値 $2$ は最大値ではない。極大は「その点の近くで一番高い」という意味で、区間全体で一番高いとは限らないからである。
2次関数の最大・最小 では、同じ関数を $-2\le x\le2$ で考え、微分を使わずに因数分解で最大値 $2$ と最小値 $-2$ を求めた。ここでは導関数の符号から同じ種類の問題を解いている。

1. $g(x)=x^3$ では $g'(x)=3x^2$ で、$g'(0)=0$ である。しかし $x<0$ では $g(x)<0=g(0)$、$x>0$ では $g(x)>0=g(0)$ なので、$x=0$ は極大でも極小でもない。たとえば $g(-0.1)=-0.001$、$g(0.1)=0.001$ である。
2. $h(x)=|x|$ は、$x\ne0$ で $h(x)>0=h(0)$ なので $x=0$ で極小値 $0$ をとる。しかし $h$ は $x=0$ で微分できない（左からの差分商は $-1$、右からの差分商は $1$ で、一致しない）。
   1 は「$f'(a)=0$ なら極値」が誤りであること、2 は「極値なら $f'(a)=0$」が微分できる点でしか使えないことを示す（図2）。

1. $f(x)=x^2$ は区間 $x\ge0$ で増加する。$0\le x< y$ なら $f(y)-f(x)=y^2-x^2=(y-x)(y+x)$ で、$y-x>0$、$y+x>0$ だから $f(y)-f(x)>0$ である。
2. $f(x)=x^2$ は実数全体では増加も減少もしない。$-1<0$ で $f(-1)=1>0=f(0)$、$0<1$ で $f(0)=0<1=f(1)$ である。

1. $f(x)=x^3-3x$ が $x=-1$ で極大であることを、定義どおりに確かめる。
   $$ f(x)-f(-1)=x^3-3x-2=(x+1)^2(x-2) $$
   である（右辺を展開すると $(x^2+2x+1)(x-2)=x^3-3x-2$）。$\delta=3$ とすると、$0<|x+1|<3$ なら $-4< x<2$ なので $x-2<0$、また $x\ne-1$ なので $(x+1)^2>0$ である。よって $f(x)-f(-1)<0$、すなわち $f(x)< f(-1)$ である。
2. 同じ $f$ は $x=3$ で $f(3)=18>2=f(-1)$ となる。極大値 $2$ より大きい値が遠くにある。これは ex-mle-cubic-interval で見たとおりである。

1. $f(x)=x^3-3x$ は $-1\le x\le1$ で連続で、端点以外の $-1< x<1$ では $f'(x)=3(x+1)(x-1)<0$ である（ex-mle-cubic-table）。thm-mle-monotone の 2 により、$f$ は閉区間 $[-1,1]$ で減少する。端点 $x=\pm1$ では $f'=0$ だが、定理はそれを問わない。実際 $f(-1)=2>f(-\tfrac12)=\tfrac{11}8>f(0)=0>f(\tfrac12)=-\tfrac{11}8>f(1)=-2$ である。
2. $f(x)=x^3+x$ では $f'(x)=3x^2+1\ge1>0$ なので、$f$ は実数全体で増加する。たとえば $f(1)=2< f(2)=10$ である。

1. $g(x)=x^3$ では $g'(x)=3x^2$ は $x=0$ でだけ $0$、それ以外で正である。prop-mle-finite-zeros により $g$ は実数全体で増加する。ex-mle-two-surprises の 1 で「$x=0$ は極値でない」と確かめたのは、このことの一部である。
2. $f(x)=x^4-4x^3$ では $f'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)$ である。$x<3$ かつ $x\ne0$ では $x^2>0$、$x-3<0$ なので $f'(x)<0$ である。prop-mle-finite-zeros を $-f$ に使うと、$f$ は $x\le3$ で減少する。$x=0$ は $f'(0)=0$ だが極値ではない。値は $f(-1)=5>f(0)=0>f(1)=-3>f(3)=-27$ と減っている。

1. $f(x)=x^3-3x$ は $x=-1$ で極大、$x=1$ で極小になる（ex-mle-cubic-table）。$f'(x)=3x^2-3$ なので、確かに $f'(-1)=0$、$f'(1)=0$ である。
2. $f(x)=x^4-2x^2$ は、$f(x)-(-1)=x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2\ge0$ なので、$x=\pm1$ で最小値 $-1$ をとる。$f'(x)=4x^3-4x$ で、$f'(1)=4-4=0$、$f'(-1)=-4+4=0$ である。

1. $f(x)=x^4-4x^3$、$f'(x)=4x^2(x-3)$（ex-mle-finite-zeros の 2）。$f'(x)=0$ となるのは $x=0$ と $x=3$ である。
   • $x=0$ の両側（$x<0$ と $0< x<3$）では $f'<0$ で符号が変わらないので、thm-mle-first-test の 3 により極値ではない。
   • $x=3$ の左（$0< x<3$）で $f'<0$、右（$x>3$）で $f'>0$ なので、2 により極小で、極小値は $f(3)=81-108=-27$ である。
     増減表にすると次のようになる。

     $x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
     $f'(x)$	$-$	$0$	$-$	$0$	$+$
     $f(x)$	↘	$0$	↘	極小 $-27$	↗

2. $h(x)=|x|$ は $x=0$ で連続で、$x<0$ で $h'(x)=-1<0$、$x>0$ で $h'(x)=1>0$ である。thm-mle-first-test の 2 により $x=0$ で極小である。定理は $a$ での微分可能性を仮定しないので、ex-mle-two-surprises の 2 のとがった点にも使える。

1. ex-mle-cubic-interval の計算は、この定理そのものである。$f(x)=x^3-3x$ は多項式なのでどの点でも微分可能であり、候補は端点 $-2,3$ と $f'=0$ の点 $-1,1$ の 4 つである（図3）。
2. $k(x)=x^3-6x^2+9x$ を $0\le x\le4$ で考える。$k'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$ なので、候補は $0,1,3,4$ である。
   $$ k(0)=0,\quad k(1)=1-6+9=4,\quad k(3)=27-54+27=0,\quad k(4)=64-96+36=4. $$
   最大値は $4$（$x=1$ と $x=4$）、最小値は $0$（$x=0$ と $x=3$）である。最大値を内部の極大点と端点の両方でとっている。

1. $f(x)=x^3-3x$ では $f''(x)=6x$ である。$f''(-1)=-6<0$ なので $x=-1$ で極大、$f''(1)=6>0$ なので $x=1$ で極小である。ex-mle-cubic-table の増減表と一致する。
2. $f(x)=x^4-2x^2$ では $f'(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$、$f''(x)=12x^2-4$ である。$f''(0)=-4<0$ なので $x=0$ で極大（極大値 $0$）、$f''(\pm1)=8>0$ なので $x=\pm1$ で極小（極小値 $-1$）である。

$f(x)=-\dfrac1x$ を $x\ne0$ で考える。$f'(x)=\dfrac1{x^2}>0$ がすべての点で成り立つ。しかし $-1<1$ で $f(-1)=1>-1=f(1)$ なので、$f$ は定義域全体では増加しない。
満たす性質：定義域のすべての点で微分可能で $f'>0$。満たさない性質：定義域が区間であること（$0$ が抜けている）。破る主張：thm-mle-monotone の結論。証明の段 1 で「$[x,y]$ が定義域に含まれる」を使ったが、$x=-1$、$y=1$ ではそれが成り立たない。$x<0$ だけ、$x>0$ だけの区間にそれぞれ制限すれば、thm-mle-monotone によりどちらでも増加する。

$g(x)=x+2x^2\sin\dfrac1x$（$x\ne0$）、$g(0)=0$ とする。
段 1（$g'(0)=1$）。$x\ne0$ で $\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}=1+2x\sin\dfrac1x$ であり、$\bigl|2x\sin\frac1x\bigr|\le2|x|$ なので、$x\to0$ でこれは $1$ に近づく。よって $g'(0)=1>0$ である。
段 2（$0$ のすぐ近くに減る部分がある）。$x\ne0$ では $g'(x)=1+4x\sin\dfrac1x-2\cos\dfrac1x$ である。$x_k=\dfrac1{2k\pi}$（$k=1,2,3,\dots$）では $\sin\frac1{x_k}=\sin2k\pi=0$、$\cos\frac1{x_k}=1$ なので $g'(x_k)=1-2=-1<0$ である。$g'$ は $x\ne0$ で連続なので、$x_k$ を含むある小さい区間で $g'<0$ となり、thm-mle-monotone によりそこで $g$ は減少する。$x_k$ は $k$ を大きくするといくらでも $0$ に近づくので、$0$ を含むどんな開区間にも減少する部分がある。数値で見ると、$x_1=0.159\ldots$ の近くで $g(0.15)=0.1668\ldots>g(0.17)=0.1474\ldots$ である。
満たす性質：$g$ は微分可能で $g'(0)>0$。満たさない性質：$0$ を含む区間の各点で $g'>0$ であること。破る主張：「$g'(0)>0$ なら $0$ の近くで増加」。thm-mle-monotone が区間のすべての点での符号を仮定するのは、このためである。

$f(x)=x$ を閉区間 $[0,1]$ で考える。最大値は $x=1$ での $f(1)=1$ である。しかし $f'(1)=1\ne0$ である（左からの差分商はつねに $1$）。
満たす性質：$f$ は微分可能で、$x=1$ で区間の最大値をとる。満たさない性質：$1$ を含む開区間で $f(x)\le f(1)$ となること（$1$ の右側の点は区間に入っていない）。破る主張：thm-mle-fermat の結論。thm-mle-candidates で端点を別に候補に入れるのは、このためである。

3 つの関数 $x^4$、$-x^4$、$x^3$ は、どれも $x=0$ で $f'(0)=0$、$f''(0)=0$ である（$(x^4)''=12x^2$、$(x^3)''=6x$）。

1. $x^4$ は $x\ne0$ で $x^4>0$ なので、$x=0$ で極小である。
2. $-x^4$ は $x\ne0$ で $-x^4<0$ なので、$x=0$ で極大である。
3. $x^3$ は ex-mle-two-surprises の 1 のとおり、極値でない。
   満たす性質：$f'(0)=0$。満たさない性質：$f''(0)\ne0$。破る主張：「$f'(a)=0$ の点は $f''(a)$ の符号で分類できる」。$f''(a)=0$ の情報だけでは 3 つの場合を区別できない。

$f(x)=x^3-3x$ を $-2< x<3$（端点を含まない）で考える。
段 1（最小値はある）。ex-mle-cubic-interval により、$-2\le x\le3$ で $f(x)\ge-2$ である。$x=1$ は $-2< x<3$ に含まれ、$f(1)=-2$ なので、最小値は $-2$ である。
段 2（どの値も $18$ 未満）。$f(x)-2=(x+1)^2(x-2)$（ex-mle-delta の 1）なので、$x<1$ では $x-2<0$ から $f(x)\le2$ である。$1\le x\le3$ では $f'(x)=3(x+1)(x-1)$ は $x=1$ 以外で正なので、prop-mle-finite-zeros により $f$ は $[1,3]$ で増加し、$1\le x<3$ で $f(x)< f(3)=18$ である。
段 3（最大値はない）。範囲の点 $x$ を 1 つとる。$x\ge1$ なら、$x':=\frac{x+3}2$ は $x< x'<3$ を満たす範囲の点で、段 2 の増加から $f(x')>f(x)$ である。$x<1$ なら、$f(x)\le2< f(2.5)=15.625-7.5=8.125$ である。どちらの場合も $f(x)$ より大きい値があるので、$f(x)$ は最大値ではない。値は $x$ を $3$ に近づけると $18$ に近づくが、$18$ にはならない。
満たす性質：連続、有界な区間。満たさない性質：区間が端点を含むこと。破る主張：thm-mle-candidates の「最大値が存在する」。

次の 2 つの関数はどちらも原点 $(0,0)$ で $f_x=f_y=0$ となる。原点で極小になるかどうかを調べる。

1. $F(x,y)=x^2+xy+y^2$（$F_x=2x+y$、$F_y=x+2y$）。
2. $G(x,y)=x^2+3xy+y^2$（$G_x=2x+3y$、$G_y=3x+2y$）。