ゲージ群(主束)

要点：自明化の上では $\tau((x,a),(x,b))=a^{-1}b$ である。

1．$\phi_u$ は連続写像 $y\mapsto(y,u(y))$ と $\tau$ の合成なので連続である。$u(yg)=u(y)g=y\phi_u(y)g=yg\cdot g^{-1}\phi_u(y)g$ と自由性から $\phi_u(yg)=g^{-1}\phi_u(y)g$ である。逆に $\phi\in C(P,G)^{\mathrm{Ad}}$ について、$u_\phi$ は連続で $p\circ u_\phi=p$ であり、$u_\phi(yg)=yg\,g^{-1}\phi(y)g=u_\phi(y)g$ なのでゲージ変換である。$u_{\phi_u}=u$、$\phi_{u_\phi}=\phi$ は $\tau$ の一意性による。積については
$$ u_\phi(u_\psi(y))=y\psi(y)\,\phi(y\psi(y))=y\psi(y)\,\psi(y)^{-1}\phi(y)\psi(y)=y\,\phi(y)\psi(y) $$
なので $u_\phi\circ u_\psi=u_{\phi\psi}$ であり、対応は群の同型である。
2．$[yg,\phi(yg)]=[yg,g^{-1}\phi(y)g]=[y,\phi(y)]$ なので $s_\phi$ は矛盾なく定まり、$s_\phi\circ p$ が連続で $p$ は商写像なので連続である。$s_\phi s_\psi=s_{\phi\psi}$ は積の定義から従う。$[y,a]=[y,b]$ なら $(y,b)=(yg,g^{-1}ag)$ となる $g$ があり、自由性から $g=e$、$a=b$ である。よって連続な切断 $s$ に対し、$s(p(y))=[y,\phi_s(y)]$ となる $\phi_s(y)\in G$ がただ 1 つ定まり、$\phi_s$ は随伴同変である（$[yg,g^{-1}\phi_s(y)g]=[y,\phi_s(y)]$）。$\phi_s$ の連続性を示す。自明化開集合 $U$ の局所切断 $\sigma$ について $y=\sigma(p(y))\kappa(y)$（$\kappa\colon p^{-1}(U)\to G$ は連続）と書く。$[y,a]\mapsto(p(y),\kappa(y)a\kappa(y)^{-1})$ は、$(yg,g^{-1}ag)$ に対して同じ値をとり、商写像 $P\times G\to\mathrm{Ad}\,P$（群の作用による商なので開写像）の開で飽和な集合への制限を通じて連続に定まり、逆写像 $(x,a)\mapsto[\sigma(x),a]$ をもつ。よって $s(x)=[\sigma(x),\beta(x)]$ となる連続写像 $\beta\colon U\to G$ があり、$[\sigma(x),\beta(x)]=[\sigma(x)\kappa,\kappa^{-1}\beta(x)\kappa]$ から $\phi_s(y)=\kappa(y)^{-1}\beta(p(y))\kappa(y)$ は連続である。$\phi\mapsto s_\phi$ と $s\mapsto\phi_s$ は互いに逆である。$\square$

固定した連続写像との合成は連続なので（コンパクト開位相 の命題「固定した写像との合成」）、この写像は連続であり、明らかに全単射である。逆写像 $(f_1,f_2)\mapsto(f_1,f_2)$ の連続性を示す。準開基の元 $[K,W]:=\{f\mid f(K)\subset W\}$（$K\subset P$ はコンパクト、$W\subset Y\times Z$ は開集合）と $(f_1,f_2)\in[K,W]$ をとる。各 $k\in K$ について、$(f_1(k),f_2(k))\in A_k\times B_k\subset W$ となる開集合 $A_k\subset Y$、$B_k\subset Z$ をとる。$K$ は Hausdorff 空間のコンパクト部分集合なのでコンパクト Hausdorff で正則であり、$k$ の $K$ での閉近傍 $C_k$ で $(f_1,f_2)(C_k)\subset A_k\times B_k$ となるものがとれる。$C_k$ の内部たちは $K$ を覆うので、有限個 $C_{k_1},\dots,C_{k_m}$ で $K$ が覆われる。$C_{k_j}$ は $K$ の閉集合なのでコンパクトであり、
$$ (f_1,f_2)\in\bigcap_{j=1}^m\bigl([C_{k_j},A_{k_j}]\times[C_{k_j},B_{k_j}]\bigr) $$
である。この開集合の元 $(f_1',f_2')$ は $(f_1',f_2')(C_{k_j})\subset A_{k_j}\times B_{k_j}\subset W$ を満たし、$K=\bigcup_jC_{k_j}$ なので $(f_1',f_2')\in[K,W]$ である。よって逆写像は連続である。$\square$

1．lem-gg-product により $C(P,G)\times C(P,G)\cong C(P,G\times G)$ であり、各点ごとの積はこの同相写像と、積 $G\times G\to G$ との合成 $C(P,G\times G)\to C(P,G)$ の合成である。固定した連続写像との合成は連続なので、積は連続である。逆元も逆元をとる写像 $G\to G$ との合成なので連続である。部分群であることは上で見た。
2．$u\mapsto(\mathrm{id}_P,u)$ は、lem-gg-product の同相写像の逆を $\{\mathrm{id}_P\}\times C(P,P)$ に制限したものなので、連続写像 $C(P,P)\to C(P,P\times P)$ である。ゲージ変換 $u$ では値は $P\times_XP$ に入り、$C(P,P\times_XP)$ の位相は部分空間の位相なので、$\mathcal G(P)\to C(P,P\times_XP)$ は連続である。これと $\tau$ との合成（lem-gg-translation）が $u\mapsto\phi_u$ なので、これは連続である。逆写像 $\phi\mapsto u_\phi$ は、同じく連続な $\phi\mapsto(\mathrm{id}_P,\phi)\in C(P,P\times G)$ と、作用 $P\times G\to P$ との合成なので連続である。
3．$u\mapsto\phi_u$ は群の同型で同相写像なので、$\mathcal G(P)$ の合成と逆元は、$C(P,G)^{\mathrm{Ad}}$ の連続な積と逆元を移したものであり、連続である。$\square$

要点：$K$ を自明化開集合に入る有限個のコンパクト集合に分け、局所切断で持ち上げる。

1．$u_a$ がゲージ変換であることと $u_a\circ u_b(x,g)=(x,a(x)b(x)g)=u_{ab}(x,g)$ は直接確かめられる。$\phi_{u_a}(x,g)=g^{-1}a(x)g$ である。逆に $\phi\in C(P,G)^{\mathrm{Ad}}$ について $a(x):=\phi(x,e)$ とおくと、$\phi(x,g)=\phi((x,e)g)=g^{-1}a(x)g$ なので $\phi=\phi_{u_a}$ である。thm-gg-equivariant の 1 と合わせて、$a\mapsto u_a$ は群の同型である。$X,G$ が Hausdorff なら $P$ も Hausdorff なので、thm-gg-topological により $a\mapsto\phi_{u_a}$ の両向きの連続性を示せばよい。$\phi\mapsto\phi\circ s_0$（$s_0(x):=(x,e)$）は固定した写像との合成なので連続である。逆向きは、$a\mapsto a\circ\mathrm{pr}_X$ が連続で、$\phi_{u_a}=(\iota\circ\mathrm{pr}_G)\cdot(a\circ\mathrm{pr}_X)\cdot\mathrm{pr}_G$（$\iota$ は $G$ の逆元、積は $C(P,G)$ の各点ごとの積）が thm-gg-topological の 1 の位相群の積なので連続である。
2．$G$ が可換なら随伴作用は自明なので、$\phi\in C(P,G)^{\mathrm{Ad}}$ は $\phi(yg)=\phi(y)$ を満たし、各ファイバーの上で一定である。$p$ は商写像なので $\phi=a\circ p$ となる $a\in C(X,G)$ がただ 1 つあり、逆に $a\circ p$ は随伴同変である。$u_{a\circ p}=u_a$ で、積は $(a\circ p)(b\circ p)=(ab)\circ p$ と対応するので、thm-gg-equivariant の 1 により $a\mapsto u_a$ は群の同型である。位相について、$a\mapsto a\circ p$ は固定した写像との合成なので連続である。逆向き $a\circ p\mapsto a$ の連続性を示す。$C(X,G)$ の準開基の元 $[K,W]$ について、lem-gg-compact-lift で $p(L)=K$ となるコンパクト集合 $L$ をとると、$a(K)\subset W$ と $(a\circ p)(L)\subset W$ は同値なので、$[K,W]$ の逆像は $[L,W]$ と像の共通部分であり開である。残りは thm-gg-topological による。$\square$

要点：離散群に値をとる随伴同変写像は、$\mathbb R$ 方向に一定な $g^{-1}ag$ の形で、周期性から $a$ は $c$ と可換になる。