微分できない連続関数

同義語：至るところ微分できない連続関数continuous nowhere differentiable functions

概要

前提知識: 関数の極限の計算, 微分係数と導関数の定義（高校数学）, 無限級数の和と収束判定

高校での出発点：角のある関数

関数 $f$ が $x$ で 微分可能 であるとは、平均変化率の極限
$$ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
が（有限の値として）存在することであった。微分可能な点では $f$ は連続である（微分係数と導関数の定義（高校数学））。逆に、連続でも微分できない点はある。

連続だが微分できない点

$f(x)=\lvert x\rvert$ は $x=0$ で連続だが微分できない。$h>0$ では $\dfrac{\lvert h\rvert-0}h=1$、$h<0$ では $-1$ なので、平均変化率の右側極限は $1$、左側極限は $-1$ で、極限は存在しない（関数の極限の計算の命題「両側の極限と片側極限」）。
$g(x)=x\sin\dfrac1x$（$x\ne0$）、$g(0)=0$ は $x=0$ で連続だが、平均変化率 $\dfrac{g(h)-g(0)}h=\sin\dfrac1h$ は $h\to0$ で極限をもたないので、微分できない（微分係数と導関数の定義（高校数学））。
次の節の三角の波 $\varphi$ は、すべての整数の点で微分できない。微分できない点は無限個あるが、整数と整数の間では傾き $\pm1$ の直線なので、それ以外の点では微分できる。

どの例でも、微分できない点は「ところどころ」にあるだけで、ほかの点では微分できる。グラフに角があっても、角と角の間は滑らかである。では、

どの点でも連続なのに、どの点でも微分できない関数 はあるだろうか。
答えは「ある」。この記事では、三角の波を縮めながら無限に足し合わせて、そのような関数を具体的に作る（thm-cnd-main）。
絶対値 |x| のグラフは原点で角をもつ。三角の波は整数の点ごとに角をもち、その間は傾き 1 か -1 の線分

材料：三角の波 $\varphi$

三角の波

実数 $x$ に対し、$x$ から最も近い偶数までの距離を $\varphi(x)$ と書く。$-1\le x\le1$ では $\varphi(x)=\lvert x\rvert$ で、グラフは $x=-1,0,1,2,\dots$ で折れる、高さ $1$ の三角の波になる。

三角の波の値

$\varphi(0)=0$、$\varphi\left(\dfrac12\right)=\dfrac12$、$\varphi(1)=1$、$\varphi\left(\dfrac32\right)=\dfrac12$（最も近い偶数は $2$）、$\varphi(2)=0$、$\varphi\left(\dfrac43\right)=\dfrac23$、$\varphi\left(\dfrac{16}3\right)=\dfrac23$（最も近い偶数は $6$）、$\varphi(-0.3)=0.3$ である。

周期関数の和と基本周期では、$x$ から最も近い整数までの距離 $t(x)$ を使った。$x$ から最も近い偶数までの距離は、$\dfrac x2$ から最も近い整数までの距離の $2$ 倍なので、$\varphi(x)=2\,t\!\left(\dfrac x2\right)$ である。$\varphi$ は $t$ を横に $2$ 倍、縦に $2$ 倍に伸ばした波である。

三角の波の性質

周期 $2$：すべての $x$ で $\varphi(x+2)=\varphi(x)$。
傾きは $1$ 以下：すべての $s,t$ で $\lvert\varphi(s)-\varphi(t)\rvert\le\lvert s-t\rvert$。
整数 $k$ について、区間 $k\le x\le k+1$ では $\varphi(x)=x-k$（$k$ が偶数）または $\varphi(x)=k+1-x$（$k$ が奇数）で、傾き $\pm1$ の 1 次式である。

要点：(i) は偶数に $2$ を足しても偶数だから。(ii) は「最も近い偶数までの距離」が、ほかの偶数までの距離以下であることと三角不等式から。(iii) は $k\le x\le k+1$ で最も近い偶数が $k$ か $k+1$ のどちらかであることから。

詳しい証明を開く

(i) $x$ に最も近い偶数を $e$ とすると、$x+2$ に最も近い偶数は $e+2$ で、距離は同じ $\lvert x-e\rvert$ である。

(ii) $t$ に最も近い偶数を $e$ とする。$\varphi(s)$ は $s$ から最も近い偶数までの距離なので、偶数 $e$ までの距離 $\lvert s-e\rvert$ 以下である。三角不等式により $\varphi(s)\le\lvert s-e\rvert\le\lvert s-t\rvert+\lvert t-e\rvert=\lvert s-t\rvert+\varphi(t)$。$s$ と $t$ を入れかえても同じなので、$\lvert\varphi(s)-\varphi(t)\rvert\le\lvert s-t\rvert$ である。

(iii) $k$ が偶数のとき、$k\le x\le k+1$ では、$x$ から偶数 $k$ までの距離は $x-k\le1$、ほかの偶数（$k-2$ 以下か $k+2$ 以上）までの距離は $1$ 以上なので、$\varphi(x)=x-k$ である。$k$ が奇数のときは $k+1$ が偶数で、同じく $\varphi(x)=k+1-x$ である。

(iii) から、$\varphi$ は整数の点以外では微分でき、微分係数は $\pm1$ である。整数の点では、左右の傾きが $1$ と $-1$ で違うので微分できない（ex-cnd-start (1) と同じ理由）。

三角の波を縮めて足す

$\varphi(4^nx)$ は、$\varphi$ を横に $\dfrac1{4^n}$ 倍に縮めた波で、周期は $\dfrac2{4^n}$、傾きは $\pm4^n$ である。これに $\left(\dfrac34\right)^n$ を掛けて高さを縮め、$n=0,1,2,\dots$ について足す。

この記事の関数 $f$

実数 $x$ に対し
$$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac34\right)^n\varphi(4^nx)=\varphi(x)+\frac34\varphi(4x)+\frac9{16}\varphi(16x)+\cdots $$
と定める。第 $N$ 項までの和（部分和）を $f_N(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{N}\left(\frac34\right)^n\varphi(4^nx)$ と書く。

各項は $0$ 以上で $\left(\dfrac34\right)^n$ 以下（$0\le\varphi\le1$）なので、部分和 $f_N(x)$ は $N$ について増加し、無限等比級数の和 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\left(\frac34\right)^n=\frac1{1-\frac34}=4$ 以下である。したがって、どの $x$ でも無限級数は収束し、$0\le f(x)\le4$ である（lem-cnd-continuous (i)）。

$f$ の値を計算する

$f(0)=0$。すべての $n$ で $\varphi(0)=0$ だからである。
$f\left(\dfrac12\right)=\dfrac12$。$\varphi\left(\dfrac12\right)=\dfrac12$ で、$n\ge1$ では $4^n\cdot\dfrac12=2\cdot4^{n-1}$ は偶数なので $\varphi=0$ である。
$f\left(\dfrac13\right)=\dfrac73$。$\varphi\left(\dfrac13\right)=\dfrac13$ である。$n\ge1$ では $4^n=3q+1$（$q=\dfrac{4^n-1}3$ は $1,5,21,\dots$ で奇数）と書けるので、$\dfrac{4^n}3=q+\dfrac13$ で、最も近い偶数は $q+1$、$\varphi\left(\dfrac{4^n}3\right)=\dfrac23$ である。よって
$$ f\left(\frac13\right)=\frac13+\frac23\sum_{n=1}^\infty\left(\frac34\right)^n=\frac13+\frac23\cdot\frac{\frac34}{1-\frac34}=\frac13+\frac23\cdot3=\frac73 $$
である。

$q=\dfrac{4^n-1}3$ が奇数であることは、等比数列の和の公式から $q=1+4+4^2+\dots+4^{n-1}$ で、$1$ 以外の項がすべて偶数であることから分かる。
部分和 f_0、f_1、f_2、f_5 のグラフ。項を足すごとに角が細かくなり、グラフがぎざぎざになっていく
図 2 は部分和 $f_0=\varphi$、$f_1$、$f_2$、$f_5$ のグラフである。$\varphi(4^nx)$（$n\le N$）はどれも、長さ $\dfrac1{4^N}$ の区間 $\dfrac k{4^N}\le x\le\dfrac{k+1}{4^N}$（$k$ は整数）の上では 1 次式なので（lem-cnd-phi (iii) を $4^nx$ に使う）、$f_N$ はそれらの区間ごとに 1 次式の折れ線である。$N$ を 1 増やすごとに折れ線の区間は $\dfrac14$ に短くなり、傾きは急になっていく。

部分和の傾き

$\varphi(4^nx)$ の傾きは $\pm4^n$ なので、$\left(\dfrac34\right)^n\varphi(4^nx)$ の傾きは $\pm3^n$ である。$f_N$ の各区間での傾きは、$\pm1\pm3\pm9\pm\dots\pm3^N$（符号は区間ごとに決まる）の形の数である。

$f_0$ の傾きは $\pm1$。
$f_1$ の傾きは $\pm1\pm3$ で、$\pm2$ か $\pm4$。
$f_2$ の傾きは $\pm1\pm3\pm9$ で、絶対値は $5,7,11,13$ のどれか。
最後の項 $\pm3^N$ が、ほかの項の和 $1+3+\dots+3^{N-1}=\dfrac{3^N-1}2$ より大きいので、傾きの絶対値は $3^N-\dfrac{3^N-1}2=\dfrac{3^N+1}2$ 以上である。$N=0,1,2,3$ で $1,2,5,14$ 以上になる。

部分和の傾きはいくらでも急になる。極限の $f$ では、どの点の近くにも急な傾きが現れて、接線が引けなくなる。これを正確に述べて証明するのが次の節である。

主定理：どこでも連続、どこでも微分できない

連続でどこでも微分できない関数

def-cnd-f の関数 $f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac34\right)^n\varphi(4^nx)$ は、すべての実数 $x$ で連続であり、どの実数 $x$ でも微分できない。

証明は 2 つの補題に分ける。連続性の補題 lem-cnd-continuous と、平均変化率が大きくなる補題 lem-cnd-quotient である。

連続であること

収束と連続性

どの $x$ でも def-cnd-f の級数は収束し、$0\le f(x)\le4$ である。
すべての $x$ と $N\ge0$ で $\lvert f(x)-f_N(x)\rvert\le4\left(\dfrac34\right)^{N+1}$ である（右辺は $x$ によらない）。
$f$ はすべての点で連続である。

要点：(ii) は、第 $N+1$ 項から先の和を等比級数 $\displaystyle\sum_{n>N}\left(\frac34\right)^n$ で押さえる。(iii) は、$f$ と連続な $f_N$ の差がどの $x$ でも小さいことを使い、誤差 $\varepsilon$ を $3$ つに分ける。

詳しい証明を開く

(i) 本文で述べたとおり、部分和は増加して $4$ 以下なので、単調有界数列の収束（無限級数の和と収束判定の定理「単調有界数列の収束」）により収束し、$0\le f(x)\le4$ である。

(ii) $f(x)-f_N(x)=\displaystyle\sum_{n=N+1}^\infty\left(\frac34\right)^n\varphi(4^nx)$ で、各項は $0$ 以上 $\left(\dfrac34\right)^n$ 以下なので、

$$0\le f(x)-f_N(x)\le\sum_{n=N+1}^\infty\left(\frac34\right)^n=\frac{\left(\frac34\right)^{N+1}}{1-\frac34}=4\left(\frac34\right)^{N+1}.$$

(iii) まず $f_N$ は連続である。lem-cnd-phi (ii) により $\lvert\varphi(4^ns)-\varphi(4^nt)\rvert\le4^n\lvert s-t\rvert$ なので、$\varphi(4^nx)$ はどの点でも連続（誤差 $\varepsilon$ に対して $\delta=\dfrac{\varepsilon}{4^n}$）で、その定数倍の有限個の和 $f_N$ も連続である（関数の極限の計算の定理「極限の四則」）。

点 $x_0$ と $\varepsilon>0$ をとる。$\left(\dfrac34\right)^{N+1}\to0$（$N\to\infty$）なので、$4\left(\dfrac34\right)^{N+1}<\dfrac\varepsilon3$ となる $N$ を 1 つ選ぶ。$f_N$ は $x_0$ で連続なので、$\lvert x-x_0\rvert<\delta$ で $\lvert f_N(x)-f_N(x_0)\rvert<\dfrac\varepsilon3$ となる $\delta>0$ がある。このとき、(ii) を $x$ と $x_0$ の両方で使うと

$$\lvert f(x)-f(x_0)\rvert\le\lvert f(x)-f_N(x)\rvert+\lvert f_N(x)-f_N(x_0)\rvert+\lvert f_N(x_0)-f(x_0)\rvert<\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3=\varepsilon$$

である。よって $f$ は $x_0$ で連続である。$\square$

(iii) の証明の鍵は、(ii) の上界 $4\left(\dfrac34\right)^{N+1}$ が $x$ によらないことである。$N$ を 1 つ決めれば、すべての $x$ で同時に $f$ と $f_N$ が近い。そのため、$x_0$ と $x$ の 2 点で同じ $N$ が使える。

平均変化率が大きくなること

一般の証明の前に、$x=0$ で平均変化率を計算してみる。

$x=0$ での平均変化率

$h_m=\dfrac12\cdot4^{-m}$（$m=0,1,2,\dots$）とし、$0$ から $h_m$ までの平均変化率 $D_m=\dfrac{f(h_m)-f(0)}{h_m}$ を求める。

$n>m$ では $4^nh_m=\dfrac12\cdot4^{n-m}=2\cdot4^{n-m-1}$ は偶数なので、$\varphi(4^nh_m)=0$ である。
$n\le m$ では $0<4^nh_m=\dfrac12\cdot4^{n-m}\le\dfrac12$ なので、$\varphi(4^nh_m)=4^nh_m$ である。
よって $f(0)=0$ とあわせて
$$ D_m=\frac1{h_m}\sum_{n=0}^{m}\left(\frac34\right)^n4^nh_m=\sum_{n=0}^m3^n=\frac{3^{m+1}-1}2 $$
である。$m=0,1,2,3$ で $D_m=1,4,13,40$ となる。たとえば $m=1$ では $h_1=\dfrac18$、$f\left(\dfrac18\right)=\varphi\left(\dfrac18\right)+\dfrac34\varphi\left(\dfrac12\right)=\dfrac18+\dfrac38=\dfrac12$ で、$D_1=\dfrac{1/2}{1/8}=4$ である。$h_m\to0$ なのに $D_m$ はいくらでも大きくなるので、$f$ は $0$ で微分できない。

原点から f のグラフ上の点へ引いた弦。h を 1/2、1/8、1/32 と小さくすると、弦の傾きは 1、4、13 と急になる
図 3 のように、$h$ を $\dfrac14$ 倍にするごとに、原点からの弦の傾きはほぼ $3$ 倍になる。一般の点 $x$ では、$h$ の符号を点ごとに選ぶ必要がある。

平均変化率の下界

実数 $x$ と整数 $m\ge0$ をとる。$\delta_m=\dfrac12\cdot4^{-m}$ または $\delta_m=-\dfrac12\cdot4^{-m}$ のうち、$4^mx$ と $4^m(x+\delta_m)=4^mx\pm\dfrac12$ の間（両端を除く）に整数がない方を選ぶ（少なくとも一方はそうなる）。このとき
$$ \left\lvert\frac{f(x+\delta_m)-f(x)}{\delta_m}\right\rvert\ge\frac{3^m+1}2 $$
である。

要点：平均変化率を項ごとの平均変化率 $\gamma_n$ に分けると、$n>m$ の項は $0$、$n=m$ の項は $\left(\dfrac34\right)^m\cdot4^m=3^m$、$n< m$ の項は合わせて $\dfrac{3^m-1}2$ 以下になり、$3^m-\dfrac{3^m-1}2=\dfrac{3^m+1}2$ が残る。

詳しい証明を開く

段 1（符号を選べること）．$u=4^mx$ とおく。もし $u-\dfrac12$ と $u$ の間にも、$u$ と $u+\dfrac12$ の間にも整数 $k_1< k_2$ があれば、$0< k_2-k_1<1$ となって、整数の差が $0$ と $1$ の間にあることになり矛盾する。よって少なくとも一方の向きには整数がない。

段 2（項ごとに分ける）．$\gamma_n=\dfrac{\varphi(4^n(x+\delta_m))-\varphi(4^nx)}{\delta_m}$ とおくと、$\dfrac{f(x+\delta_m)-f(x)}{\delta_m}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\left(\frac34\right)^n\gamma_n$ である（2 つの収束する級数の差）。

段 3（$n>m$ の項）．$4^n\delta_m=\pm\dfrac12\cdot4^{n-m}=\pm2\cdot4^{n-m-1}$ は偶数なので、lem-cnd-phi (i) により $\varphi(4^nx+4^n\delta_m)=\varphi(4^nx)$、すなわち $\gamma_n=0$ である。

段 4（$n=m$ の項）．$u=4^mx$ と $u\pm\dfrac12$ の間に整数がないので、この 2 点を端とする長さ $\dfrac12$ の区間は、ある整数 $k$ の区間 $[k,k+1]$ に含まれる（$k$ を左端以下の最大の整数とすると、$k+1$ は左端より大きく、間に入らないので右端以上である）。lem-cnd-phi (iii) により、そこで $\varphi$ は傾き $\pm1$ の 1 次式なので、$\lvert\varphi(u\pm\frac12)-\varphi(u)\rvert=\dfrac12$。よって $\lvert\gamma_m\rvert=\dfrac{1/2}{\frac12\cdot4^{-m}}=4^m$ である。

段 5（$n< m$ の項）．lem-cnd-phi (ii) により $\lvert\varphi(4^nx+4^n\delta_m)-\varphi(4^nx)\rvert\le4^n\lvert\delta_m\rvert$ なので、$\lvert\gamma_n\rvert\le4^n$ である。

段 6（まとめる）．三角不等式（$\lvert a+b\rvert\ge\lvert a\rvert-\lvert b\rvert$）により

$$\left\lvert\sum_{n=0}^m\left(\frac34\right)^n\gamma_n\right\rvert\ge\left(\frac34\right)^m\lvert\gamma_m\rvert-\sum_{n=0}^{m-1}\left(\frac34\right)^n\lvert\gamma_n\rvert\ge3^m-\sum_{n=0}^{m-1}3^n=3^m-\frac{3^m-1}2=\frac{3^m+1}2$$

である（$m=0$ では引く和がなく、$\lvert\gamma_0\rvert=1=\dfrac{3^0+1}2$）。$\square$

ex-cnd-at-zero の $x=0$ では、どの $m$ でも $+$ の向きを選べて、平均変化率は $\dfrac{3^{m+1}-1}2$ で、$m\ge1$ では下界 $\dfrac{3^m+1}2$ よりかなり大きかった。$x=\dfrac13$ では、下界にちょうど等しくなる $m$ もある。

$m$	$\delta_m$	$x=0$ の平均変化率	$x=\frac13$ の平均変化率	下界 $\frac{3^m+1}2$
$0$	$\frac12$	$1$	$1$	$1$
$1$	$\frac18$	$4$	$-2$	$2$
$2$	$\frac1{32}$	$13$	$-11$	$5$
$3$	$\frac1{128}$	$40$	$-38$	$14$
$5$	$\frac1{2048}$	$364$	$-362$	$122$
$7$	$\frac1{32768}$	$3280$	$-3278$	$1094$

表の $\delta_m$ は、$x=0$、$x=\dfrac13$ のどちらでも $+$ の向きである（$x=\dfrac13$ では $4^m\cdot\dfrac13=q+\dfrac13$ と $q+\dfrac56$ の間に整数がない）。$x=\dfrac13$ の平均変化率は負だが、絶対値は下界以上である。

主定理の証明

thm-cnd-main を示す。連続であることは lem-cnd-continuous (iii) である。
微分できないことを背理法で示す。ある点 $x$ で $f$ が微分可能で、$f'(x)=L$ だったとする。平均変化率の極限の定義で誤差を $1$ にとると、ある $\delta>0$ があって、$0<\lvert h\rvert<\delta$ のすべての $h$ で
$$ \left\lvert\frac{f(x+h)-f(x)}h-L\right\rvert<1,\qquad\text{特に}\qquad\left\lvert\frac{f(x+h)-f(x)}h\right\rvert<\lvert L\rvert+1 $$
となる（三角不等式）。ここで $m$ を十分大きくとって、$\dfrac12\cdot4^{-m}<\delta$ と $\dfrac{3^m+1}2\ge\lvert L\rvert+1$ の両方が成り立つようにする（$4^{-m}\to0$、$3^m\to\infty$ なので、そのような $m$ がある）。lem-cnd-quotient の $\delta_m$ は $0<\lvert\delta_m\rvert=\dfrac12\cdot4^{-m}<\delta$ を満たすので、$h=\delta_m$ として
$$ \lvert L\rvert+1\le\frac{3^m+1}2\le\left\lvert\frac{f(x+\delta_m)-f(x)}{\delta_m}\right\rvert<\lvert L\rvert+1 $$
となり、矛盾する。よって $f$ はどの点 $x$ でも微分できない。$\square$

証明の要点は、「微分可能なら、$x$ の近くで平均変化率は有界」ということである。lem-cnd-quotient は、どの点の近くにも平均変化率がいくらでも大きくなる $h$ があることを示しており、これと両立しない。
f のグラフ（0 ≤ x ≤ 2）と、x=1/3 のまわりを 2 回拡大したグラフ。拡大してもぎざぎざで、直線に近づかない
図 4 は $f$ のグラフと、点 $\left(\dfrac13,\dfrac73\right)$ のまわりを拡大したグラフである。微分できる関数のグラフは、拡大するほど接線（直線）に近づいて見える。$f$ のグラフは、何回拡大してもぎざぎざのままで、直線に近づかない。

条件を変えると何が崩れるか

$f$ の作り方には、係数 $\left(\dfrac34\right)^n$、縮める倍率 $4^n$、無限に足すこと、の 3 つの要素がある。どれかを変えたときに崩れるものを並べる。

変える条件	変えた例	成り立たなくなること
係数の和 $\sum\left(\frac34\right)^n$ が有限	係数を $1$ にした $\sum\varphi(4^nx)$	級数が収束すること → ex-cnd-cx-divergent
係数と倍率の積 $\frac34\cdot4=3$ が $1$ より大きい	係数を $\left(\frac14\right)^n$ にした $\sum\left(\frac14\right)^n\varphi(4^nx)$	lem-cnd-quotient の下界の議論 → ex-cnd-cx-quarter
無限に足す	部分和 $f_N$	どの点でも微分できないこと → ex-cnd-cx-finite

係数の和が無限大：級数が収束しない

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\varphi(4^nx)$ を $x=\dfrac13$ で考える。ex-cnd-f-values (3) のとおり、$n\ge1$ で $\varphi\left(\dfrac{4^n}3\right)=\dfrac23$ なので、部分和は $\dfrac13+\dfrac23N$ で、$N\to\infty$ で限りなく大きくなる。級数は収束せず、関数が定まらない。係数 $\left(\dfrac34\right)^n$ は、和 $4$ が有限であることで lem-cnd-continuous を支えている。

係数と倍率の積が $1$：下界の議論が崩れる

$g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\left(\frac14\right)^n\varphi(4^nx)$ とする。係数の和は $\dfrac43$ で有限なので、lem-cnd-continuous と同じ証明で $g$ は連続である。lem-cnd-quotient の証明を同じようにたどると、$n=m$ の項は $\left(\dfrac14\right)^m\cdot4^m=1$、$n< m$ の項は合わせて $\displaystyle\sum_{n=0}^{m-1}\left(\frac14\right)^n4^n=m$ 以下になり、得られる下界は $1-m$ である。$m\ge1$ では $1-m\le0$ で、平均変化率が大きくなることは何も言えない。$\left(\dfrac34\right)^n$ のときは、$n=m$ の項 $3^m$ がそれまでの項の和 $\dfrac{3^m-1}2$ を上回ったことが本質だった。この記事では、$g$ が微分できるかどうかは調べない（崩れるのは証明の議論である）。

有限で止める：ほとんどの点で微分できる

部分和 $f_N$ は、区間 $\dfrac k{4^N}\le x\le\dfrac{k+1}{4^N}$ ごとに 1 次式の折れ線だった。したがって、$x$ が $\dfrac k{4^N}$（$k$ は整数）の形の点でなければ、$x$ を含む小さな開区間で $f_N$ は 1 次式で、微分できる。微分できない点がありうるのは $\dfrac k{4^N}$ の形の点だけで、どの有界な区間にも有限個しかない。$f$ のように「どの点でも微分できない」には、無限に足すことが欠かせない。

大学数学で見る

lem-cnd-continuous (ii) の「$\lvert f(x)-f_N(x)\rvert$ が $x$ によらない数で押さえられ、その数が $0$ に近づく」ことを、関数の列 $f_N$ が $f$ に 一様収束 するという（一様収束）。一様収束する連続関数の列の極限は連続であり（Leb26b Corollary 11.2.8）、(iii) の証明はその特別な場合である。各項が $\lvert u_n(x)\rvert\le M_n$、$\sum M_n<\infty$ を満たす関数項級数は一様収束する、という Weierstrass の M 判定法（Leb26b Theorem 11.2.4）を使うと、(ii) はそのまま出る。

この例の名前と、ほかの例を開く

この記事の $f$ は、Leb26b Example 11.2.15 の例である。そこでは、どこでも微分できない連続関数はしばしば Weierstrass 関数と呼ばれること、この例はそれとは別の例で、本質的には高木貞治によるものであることが注記されている。微分できないことの証明（lem-cnd-quotient）も同じ例の証明を、段を分けて書いたものである。

連続関数を「三角の波の和」で作る考え方は、係数と倍率を変えるといろいろな例を生む。どの組でどこでも微分できなくなるかは、この記事の議論（最後の項が、それまでの項の和を上回る）だけでは決まらない場合があり、この記事では扱わない。