形式的エタール性
概要
形式的エタール性（formal étaleness）とは、環準同型 $A\to B$ が、任意の $A$ 代数 $C$、冪零イデアル $J\subset C$ と $A$ 代数準同型 $B\to C/J$ に対し、それを持ち上げる $B\to C$ をちょうど一つ持つ性質である。存在が形式的滑らかさ、一意性が形式的不分岐性にあたり、形式的不分岐性は $\Omega_{B/A}=0$ と同値だが、微分の消滅から持上げの存在は従わない（$\mathbb Z\to\mathbb F_p$ が例）。局所化、無限次も含む分離代数拡大、$I^2=I$ となるイデアル $I$ による商は形式的エタールであり、有限表示とは限らない。有限表示の場合は平坦で、余法線写像の同型で判定できる。
本記事では環は可換で単位元を持ち、環準同型は単位元を保つ。前提として環準同型、イデアル、局所化、テンソル積を用いる。位相を指定せず、すべての環を離散環として扱う。
形式的エタール性（formal étaleness）とは、環準同型が冪零イデアルで潰した先への写像を、潰す前の環へただ一つ持ち上げられる性質である。存在だけを要求する形式的滑らかさに一意性を加えた条件であり、一意性だけは相対微分の消滅で検出できる。しかし微分の消滅から存在は従わない。有限表示や Noether 条件を定義へ入れず、任意の係数加群と任意の冪零試験環を使う点が重要である。
定義と試験環
環準同型 $A\to B$ が形式的エタールであるとは、任意の $A$ 代数 $C$、冪零イデアル $J\subset C$、$A$ 代数準同型 $u:B\to C/J$ に対し、合成が $u$ となる $A$ 代数準同型 $\widetilde u:B\to C$ がちょうど一つ存在することをいう。
同じ試験に対し持上げが存在することだけを要求すれば形式的滑らか、高々一つであることだけを要求すれば形式的不分岐という。したがって形式的エタール性は、この二条件の同時成立である。
ここで冪零とは、ある有限整数 $m\ge1$ について $J^m=0$ となることである。各元がそれぞれ冪零であることだけを仮定するのではない。また $J$ が有限生成であることも仮定しない。試験環 $C$ は Noether 環に限らず、写像 $u$ の像が有限生成である必要もない。零環を許す規約のもとでは、$B=0$ の試験は $C/J=0$ となる場合に限られる。このとき $1\in J$ と $J^m=0$ から $C=0$ なので、$A\to0$ も形式的エタールである。
形式的エタール性は、一つの写像が具体的に与えられたときの持上げを述べる性質である。たとえば $B$ の元に平方零の誤差を加えると、関係式の一次部分がその誤差を決める。誤差を自由に選べる多項式環は形式的滑らかだが、通常は形式的不分岐ではない。逆に商環への構造射は、持上げが存在すれば構造射によって決まるため一意だが、その存在が失敗しうる。
定義中で $J^2=0$ のイデアルだけを試験しても、形式的滑らかさ、形式的不分岐性、形式的エタール性はそれぞれ変わらない。
全冪零イデアルについての性質は平方零の場合を含む。逆に平方零試験で必要な性質が成立するとする。$J^m=0$ とし、$C_r=C/J^r$（$1\le r\le m$）とおく。$C_1=C/J$、$C_m=C$ であり、$C_{r+1}\to C_r$ の核は $J^r/J^{r+1}$ である。この核の二乗は $J^{2r}/J^{r+1}=0$ となる。実際 $2r\ge r+1$ だからである。
存在については、$u:B\to C_1$ を順に $C_2,C_3,\dots,C_m$ へ持ち上げる。一意性については、二つの $B\to C_m$ が $C_1$ で一致するとき、$C_r$ で一致すれば平方零試験の一意性により $C_{r+1}$ でも一致する。この帰納で最後まで一致する。存在と一意性を併せれば、各段で唯一の持上げができる。$m=1$ では $J=0$ であり、主張はそのまま成り立つ。$\square$
この証明は無限回の極限操作ではない。一つの試験に現れた冪零指数 $m$ に従う有限回の反復である。完備環への連続持上げや、無限に厚化を重ねた極限の持上げは、別に位相と両立条件を指定して論じる必要がある。
一意性と微分加群
$B$ 加群 $M$ に対し、加法群 $B\oplus M$ に積
$$
(b,m)(c,n)=(bc,bn+cm)
$$
を入れた環を $B\ltimes M$ と書く。$0\oplus M$ は平方零イデアルで、商は $B$ である。これが一意性を試す最小の模型となる。一般の平方零拡大やその分類は平方零拡大に譲り、ここでは二つの写像の差を計算する。
任意の環準同型 $A\to B$ について、次は同値である。
- $A\to B$ は形式的不分岐である。
- 任意の $B$ 加群 $M$ に対し $\operatorname{Der}_A(B,M)=0$ である。
- 相対 Kähler微分 $\Omega_{B/A}$ は零である。
まず 1 を仮定する。$A$ 導分 $D:B\to M$ に対し、$b\mapsto(b,0)$ と $b\mapsto(b,D(b))$ は $A$ 代数準同型 $B\to B\ltimes M$ である。後者の乗法性は $D(bc)=bD(c)+cD(b)$ から従い、$A$ 上の条件は $D(a)=0$ から従う。二つは商 $B$ 上で恒等写像に一致するため、一意性により $D=0$ である。
次に 2 を仮定する。微分加群は記号 $db$ を加法性、$d(bc)=b\,dc+c\,db$、$da=0$ の関係で生成した $B$ 加群であり、普遍導分 $d:B\to\Omega_{B/A}$ を持つ。2 を $M=\Omega_{B/A}$ に適用すると $d=0$ であり、生成元すべてが零なので $\Omega_{B/A}=0$ となる。逆に 3 なら、普遍性による $\operatorname{Der}_A(B,M)=\operatorname{Hom}_B(\Omega_{B/A},M)=0$ から 2 が従う。
最後に 2 から 1 を示す。平方零帰着により $J^2=0$ としてよい。同じ $u:B\to C/J$ を持ち上げる $f,g:B\to C$ の差 $D=g-f$ は $J$ に値を取る。$J$ 上の $B$ 作用を $b\cdot j=f(b)j$ と定めると、$g(b)j-f(b)j=D(b)j=0$ なのでどちらを使っても同じである。また
$$
D(bc)=f(b)D(c)+f(c)D(b)+D(b)D(c)
=bD(c)+cD(b)
$$
であり、$D$ は $A$ 導分である。2 により $D=0$、つまり $f=g$ となる。任意の冪零 $J$ では前節の帰納を使う。$\square$
素数 $p$ に対し $\mathbb Z\to\mathbb F_p$ を考える。$\mathbb Z$ 代数準同型 $\mathbb F_p\to C$ は、存在すれば $1$ と整数の像によって決まる。したがってこの射は形式的不分岐であり、上の定理により $\Omega_{\mathbb F_p/\mathbb Z}=0$ である。
しかし $C=\mathbb Z/p^2\mathbb Z$、$J=pC$ とすると $J^2=0$、$C/J=\mathbb F_p$ である。恒等写像 $\mathbb F_p\to C/J$ の持上げがあれば、$\mathbb F_p$ で零である $p\cdot1$ を $C$ の $p\cdot1$ に送ることになり、これは非零なので矛盾する。よって形式的エタールでも形式的滑らかでもない。
非零環 $A$ に対し、$A[T]$ は $A$ 上形式的滑らかである。$T$ の任意の像を商から持ち上げればよいからである。一方 $C=A[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ への $T\mapsto0$ と $T\mapsto\varepsilon$ は異なる写像で、商 $C/(\varepsilon)=A$ では一致する。したがって $A[T]$ は形式的エタールではない。微分加群でも $\Omega_{A[T]/A}=A[T],dT$ がこの自由度を表している。
単元の持上げと標準多項式
$J^m=0$ のとき、$c\in C$ が $C/J$ で単元なら $C$ でも単元である。
$cd=1+j$、$j\in J$ となる $d\in C$ を選ぶ。$j^m=0$ より $(1+j)^{-1}=\sum_{r=0}^{m-1}(-j)^r$ である。よって $d(1+j)^{-1}$ は $c$ の逆元である。$\square$
$A$ を任意の環、$f\in A[T]$ をモニック多項式、$g\in A[T]$ とし、$B=(A[T]/(f))_g$ とおく。$f'$ の $B$ での像が単元なら $A\to B$ は形式的エタールである。
平方零帰着により $J^2=0$ の試験を考える。$u:B\to C/J$ に対し $u(T)$ の代表 $x\in C$ を選ぶ。$f(x)\in J$ であり、$f'(x)$ と $g(x)$ の商での像は単元なので、前補題によりいずれも $C$ の単元である。
$x'=x-f'(x)^{-1}f(x)$ とおく。補正項 $h=x'-x$ は $J$ に属し、二次以上の $h$ の項は消えるから、多項式を項ごとに展開して
$$
f(x+h)=f(x)+f'(x)h=0
$$
を得る。$g(x')$ の商での像は $u(g)$ と同じで単元なので、$T\mapsto x'$ はまず $A[T]/(f)\to C$、さらに $B\to C$ を与える。この合成の商への射は $u$ である。
二つの持上げでの $T$ の像を $x',y'$ とすると、$h=y'-x'\in J$ であり、$0=f(y')-f(x')=f'(x')h$ となる。$f'(x')$ は単元なので $h=0$ である。多項式代数への写像は $T$ の値で決まり、局所化への延長も一意だから、二つの持上げは一致する。一般の冪零試験へは有限回反復する。$\square$
この Newton 計算は解析的な収束を使わない。平方零誤差に対して一次補正が厳密な解を与える。モニック条件は標準的な有限代数表示を指定するために置いたもので、この持上げ計算そのものはモニックでない $f$ にも使える。たとえば $f=aT-1$ は局所化 $A[1/a]$ を表し、その微分 $a$ は商で単元になる。
微分加群の計算でもこの条件は見える。$A[T]$ の微分は自由加群 $A[T],dT$ であり、商では関係 $df=f'dT=0$ が加わる。局所化では $d(s^{-1})=-s^{-2}ds$ となるから、新たな生成元を要しない。したがって
$$
\Omega_{B/A}=B,dT/(f'dT)\cong B/(f').
$$
この標準一変数表示については、形式的エタールなら一意性から微分が零、従って $f'$ は単元となる。逆方向は上の定理で証明した。有限表示性だけで任意の代数がこの一変数表示を持つと主張しているのではない。
体 $k$ と $a\in k$ に対し $B=k[T]/(T^2-a)$ を考える。標数が $2$ でなく $a\ne0$ なら $T^2=a$ より $T$ は単元で、$f'=2T$ も単元であるから形式的エタールである。$a=0$ では $B$ は二重根を持ち、$T\mapsto0$ と $T\mapsto\varepsilon$ が $k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ への異なる持上げを与える。標数 $2$ では $f'=0$ であり、非零な $B$ の微分加群は $B,dT$ なので形式的不分岐ではない。元の代数が体になる場合でも、この最後の失敗は起こる。
保存則
形式的エタール性は任意の底変換と合成で保存される。また任意の環 $B$ と積閉集合 $S$ に対し $B\to S^{-1}B$ は形式的エタールである。
局所化から示す。$B$ 代数 $C$ と冪零 $J$、$u:S^{-1}B\to C/J$ が与えられたとする。$s\in S$ の $C$ での像は商で単元だから、単元の持上げ補題により $C$ でも単元である。よって構造射 $B\to C$ は局所化の普遍性によりただ一つ $S^{-1}B\to C$ に延長する。その商への合成も構造射の延長なので $u$ と一致する。
次に $A\to A'$ を任意の環準同型とする。$A'$ 代数 $C$ の試験において、$B\otimes_A A'\to C/J$ の $A'$ 代数写像は、$B\to C/J$ の $A$ 代数写像に対応する。唯一の持上げ $v:B\to C$ を取り、$b\otimes a'\mapsto v(b)a'$ と定める。$A$ 上の釣合い関係は $v$ が $A$ 代数写像であることから成り立ち、これは $A'$ 代数写像になる。逆にテンソル積からの持上げは $B$ への制限で決まるので唯一である。$A'$ の平坦性は一切使っていない。
最後に $A\to B\to D$ がともに形式的エタールとする。$A$ 代数写像 $u:D\to C/J$ をまず $B$ へ制限し、唯一の持上げ $v:B\to C$ を取る。この $v$ により $C$ を $B$ 代数とすると $u$ は $B$ 代数写像であり、$B\to D$ の性質から唯一の持上げ $D\to C$ が得られる。二つの $A$ 代数持上げは、まず $B$ で一致し、その共通構造上の $B$ 代数持上げとして一致する。$\square$
この合成証明では、途中の試験環の代数構造を持上げに従って変更した。最初から $C$ に任意の $B$ 代数構造を固定してよいわけではない。また局所化については、元の $A\to B$ が形式的エタールなら合成 $A\to S^{-1}B$ もそうなるが、局所化先一つの性質から元の射全体を自動的に判定する主張は含めていない。
体拡大と分離性
体 $k$ の代数拡大 $L$ が分離的なら、有限拡大でなくても $k\to L$ は形式的エタールである。
まず有限拡大の場合、有限個の元 $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ で生成し、$k_i=k(\alpha_1,\dots,\alpha_i)$ とする。$\alpha_i$ の $k_{i-1}$ 上の最小多項式 $f_i$ は分離的なので、$f_i'$ は $f_i$ と互いに素である。Bézout 等式 $a_i f_i+b_i f_i'=1$ を商 $k_i$ で評価すると $f_i'(\alpha_i)$ は単元である。$k_i=k_{i-1}[T]/(f_i)$ は標準多項式定理により形式的エタールであり、合成で $k\to L$ がそうなる。
一般の分離代数拡大は有限部分拡大の有向合併である。任意の有限集合の元は有限拡大を生成し、二つの有限部分拡大はそれらを含む有限合成体へ入る。一つの試験 $u:L\to C/J$ に対し、各有限部分拡大 $F$ 上の制限は唯一の持上げ $v_F:F\to C$ を持つ。$F\subset F'$ なら $v_{F'}|_F$ と $v_F$ は同じ制限の持上げなので一致する。従ってこれらを合併して $v:L\to C$ が定義できる。加法・乗法・単位は、関係する有限個の元を一つの $F$ に入れて確認できる。一意性も各 $F$ での一意性による。$\square$
素数 $p$ と $k=\mathbb F_p(s)$ を取り、$L=k(\alpha)$、$\alpha^p=s$ とする。$s$ は $k$ の $p$ 乗ではない。もし $s=(a(s)/b(s))^p$ なら、既約多項式 $s$ の指数を比較して $1+p\operatorname{ord}_s b=p\operatorname{ord}_s a$ となり矛盾する。従って $[L:k]=p$ である。
$C=L[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ とすると、$\alpha\mapsto\alpha$ と $\alpha\mapsto\alpha+\varepsilon$ は $k$ 代数写像である。実際、標数 $p$ で $(\alpha+\varepsilon)^p=s+\varepsilon^p=s$ である。非零分母も商で単元なので $L$ への写像として延長できる。二つは $C/(\varepsilon)=L$ で恒等写像になるが異なる。ゆえに $L/k$ は形式的不分岐でなく、形式的エタールでもない。$L$ 自身は体で正則かつ被約だが、それだけではこの性質を保証しない。
有限体拡大では、分離性は幾何的被約性や幾何的正則性の判定にも現れる。ここでの証明は、テンソル積の冪零元を作る代わりに、元の関係式の微分が消えるため平方零方向の値を自由に動かせることを使った。一般の体上代数については、これらの幾何的性質と形式的条件を定義から同一視してはならない。
商射と有限表示を外す意味
任意の環 $A$ とイデアル $I$ について、商射 $A\to A/I$ が形式的エタールであることと $I^2=I$ とは同値である。
まず $I^2=I$ とする。$A$ 代数 $C$ と $J^m=0$、写像 $A/I\to C/J$ が与えられると、$I$ の $C$ での像は $J$ に含まれる。$I=I^2$ から帰納して $I=I^m$ なので、その像は $J^m=0$ に含まれる。従って構造射 $A\to C$ は $A/I$ を経由する。商の普遍性から経由写像は一意であり、商への合成はもとの写像に一致する。
逆に形式的エタールとする。$C=A/I^2$、$J=I/I^2$ を取り、$C/J=A/I$ の恒等写像を試験する。$A$ 代数持上げ $A/I\to A/I^2$ が存在すれば、$i\in I$ は定義域で零なのでその像も零である。一方、$A$ 上の構造によりその像は $i+I^2$ でなければならない。従って $I\subset I^2$ であり、逆包含と併せて等しい。$\square$
体 $k$ に対し $A=\prod_{n\ge1}k$ とし、有限個の座標以外は零である列全体 $I=\bigoplus_{n\ge1}k$ をイデアルとする。$a\in I$ の支持を含む有限集合 $F$ を選び、その座標で $1$、他で $0$ の列 $e_F$ を取ると $a=e_Fa$ である。両因子が $I$ に属するから $I=I^2$ である。従って $A\to A/I$ は形式的エタールである。
$I$ は有限生成でない。有限個の生成元候補の支持の和を $F$ とすると、それらの $A$ 線型結合は $F$ の外で零だが、$n\notin F$ の座標だけ $1$ となる列は $I$ に属するからである。
商 $A/I$ が有限表示 $A$ 代数なら $I$ は有限生成となることも直接確認できる。有限表示 $A[X_1,\dots,X_r]/(f_1,\dots,f_m)\cong A/I$ を仮定し、各 $X_i$ の像を代表する $a_i\in A$ を選ぶ。表示写像は評価 $X_i\mapsto a_i$ の後に商 $A\to A/I$ を取るものである。$i\in I$ は定数多項式として表示の核に属するので $i=\sum_j h_j f_j$ と書け、評価して $i=\sum_j h_j(a)f_j(a)$ を得る。逆に各 $f_j(a)$ は $I$ に属する。従って $I=(f_1(a),\dots,f_m(a))$ となり矛盾する。この例は有限表示条件が、冪零持上げとは別に課される条件であることを示す。
有限生成の冪等イデアルはさらに強い構造を持つが、その分類を上の一般命題の前提に使っていない。特に任意の冪等イデアルを、一つの冪等元で生成されるイデアルと置き換えることはできない。
有限表示を外すと平坦性も失われうる。整域 $V$ の $0$ でない極大イデアル $\mathfrak m$ が $\mathfrak m=\mathfrak m^2$ をみたせば、prop-fe-idempotent-ideal により $V\to V/\mathfrak m$ は形式的エタールで、$V$ 代数として有限型（生成元 $0$ 個）である。しかし $0\ne t\in\mathfrak m$ による乗法 $V\to V$ は単射なのに、$V/\mathfrak m$ をテンソルすると $0$ でない $V/\mathfrak m$ 上の零写像になるので、$V/\mathfrak m$ は $V$ 上平坦でない。このような $V$ の具体例は エタール代数 の例「反例：有限型・形式的エタールでも平坦とは限らない」にある。
有限表示の場合の平坦性と局所表示
ここで $A$ は任意の環である。有限表示とは、有限変数多項式環 $P=A[X_1,\ldots,X_n]$ と有限生成イデアル $I\subset P$ により $B=P/I$ と表せることである。$B$ が有限 $A$ 加群であることは仮定しない。以下では形式的エタール性の持上げ定義を用い、平坦性を含む別の定義を前提にしない。
$P=A[X_1,\ldots,X_n]$、$f_1,\ldots,f_n\in P$ とし、$h\in P$ に対し
$$B=P_h/(f_1,\ldots,f_n)$$
とする。行列 $J=(\partial f_i/\partial X_j)$ の行列式が $B$ で単元なら、$B$ は形式的エタール $A$ 代数である。
有限表示は、逆元を表す一変数 $Y$ と関係 $hY-1$ を加えることで得られる。prop-fe-square-zero により平方零 $N\subset C$ と $u:B\to C/N$ を取り、変数像の持上げを $c=(c_1,\ldots,c_n)$ とする。$f_i(c)\in N$ で、$h(c)$ と $\det J(c)$ は商で単元だから lem-fe-units により $C$ でも単元である。随伴行列の公式により $J(c)$ は可逆である。
$\nu=-J(c)^{-1}(f_i(c))_i\in N^n$ とおく。多項式の各単項式を展開すると、二つ以上の $\nu$ を含む項は $N^2=0$ により消え、
$$f_i(c+\nu)=f_i(c)+\sum_j\frac{\partial f_i}{\partial X_j}(c)\nu_j=0$$
となる。$h(c+\nu)$ は同じ商で単元なので、$X_j\mapsto c_j+\nu_j$ は局所化した商 $B$ から $C$ への持上げを定める。
二つの持上げの像 $c',c''$ の差 $\mu\in N^n$ は $J(c')\mu=0$ を満たす。可逆性から $\mu=0$ で、変数像が一致する。局所化への写像は逆元像まで一意なので写像全体も一致する。一般の冪零試験は prop-fe-square-zero で扱う。$n=0$ なら空行列式は1で、$B=A_h$ の主張となる。
有限表示 $B=P/I$、$P=A[X_1,\ldots,X_n]$ について、写像
$$\delta:I/I^2\longrightarrow B^n,\qquad \bar f\longmapsto\left(\overline{\partial f/\partial X_j}\right)_j$$
が同型であることと、$B$ が形式的エタール $A$ 代数であることは同値である。
証明の詳細
$T=I/I^2$、$F=B^n$ とおく。$A$ 導分 $P\to M$ は $X_j$ の値を任意に指定することと同じで、$B$ 線形写像 $F\to M$ に対応する。積則による単項式の微分計算から、任意の導分は $D(f)=\sum_j(\partial f/\partial X_j)D(X_j)$ を満たす。$I$ を零にする条件は対応写像が $\delta(T)$ を零にすることなので、$\Omega_{B/A}$ は $F/\delta(T)$ に同型である。これが必要な余法線列の右完全性を直接与える。
形式的エタールなら平方零商 $P/I^2\to B$ の恒等写像を持ち上げる切断 $s:B\to P/I^2$ がある。$D(p)=p\bmod I^2-s(\bar p)$ は $T$ に値を取る。積を展開すると $D(pq)=\bar pD(q)+\bar qD(p)$ なので導分であり、$f\in I$ に対して $D(f)=\bar f$ である。従って対応写像 $r:F\to T$ は $r\delta=1_T$ を満たし、$\delta$ は単射である。
形式的エタール性は形式的不分岐性を含むので、thm-fe-unramified により $\Omega_{B/A}=0$ である。上で示した $\Omega_{B/A}\cong F/\delta(T)$ から $\delta$ は全射でもある。
逆に $\delta$ が同型とする。平方零試験 $u:B\to C/N$ に対し、変数像を選んで持ち上げた $v:P\to C$ を取る。$v(I)\subset N$、$v(I^2)=0$ なので、$v$ は $B$ 線形写像 $q:T\to N$ を定める。$N$ の $B$ 作用は $u$ を通じて定義される。$q\delta^{-1}:F\to N$ に対応する導分 $D:P\to N$ を取り、$v'=v-D$ とする。$N^2=0$ と積則より $v'$ は $A$ 代数写像であり、$f\in I$ について $D(f)=q(\bar f)=v(f)$ だから $v'(I)=0$。よって $B$ への写像に降り、持上げが存在する。
二つの持上げの差は同じ積の展開により $A$ 導分 $B\to N$ である。その導分は $F/\delta(T)=0$ を経由するので零、従って一意である。一般冪零試験は有限反復で扱う。
有限表示形式的エタール代数 $B=P/I$ の各素イデアル $\mathfrak q$ に対し、$h\in P$ で $\bar h\notin\mathfrak q$ と、$f_1,\ldots,f_n\in I$ が存在して
$$B_{\bar h}=P_h/(f_1,\ldots,f_n)$$
となり、$\det(\partial f_i/\partial X_j)$ がその環で単元となる。逆に有限表示代数がこのような近傍を全点で持てば形式的エタールである。
証明の詳細
$\delta:T\to F$ は前定理で同型である。$\mathfrak p\subset P$ を $\mathfrak q$ の逆像とする。$T_{\mathfrak q}\cong B_{\mathfrak q}^n$ の基底を $f_i$ の剰余で選べる。局所化した基底を選んだ場合も分母を単元倍して $I$ の実際の元で表せる。従って Jacobi 行列式 $\Delta$ は $\mathfrak q$ に入らない。
基底の生成性より、$P_{\mathfrak p}$ で $I_{\mathfrak p}=(f_1,\ldots,f_n)+I_{\mathfrak p}^2$ である。有限生成加群 $Q=I_{\mathfrak p}/(f_1,\ldots,f_n)$ は $Q=I_{\mathfrak p}Q$ を満たす。$I_{\mathfrak p}$ は局所環の極大イデアルに含まれるので $Q=0$ である。必要な Nakayama 計算は次の通りである。有限生成元 $z_i$ の関係 $z_i=\sum_j a_{ij}z_j$、$a_{ij}$ が極大イデアルに入るとき、随伴行列を掛ければ $\det(1-(a_{ij}))$ が全生成元を殺す。行列式は極大イデアルを法として1なので単元であり、全生成元は零となる。
$Q_0=I/(f_1,\ldots,f_n)$ も有限生成である。$\mathfrak p$ で各生成元が零になるため、それぞれを殺す $s_i\notin\mathfrak p$ を選び、その積 $s$ を取ると $(Q_0)_s=0$ となる。$\Delta$ の多項式代表 $d\notin\mathfrak p$ を取り $h=sd$ とすれば、必要な表示と行列式の可逆性が同時に得られる。
逆方向を確認する。余法線写像 $\delta$ を同じ有限表示から作る。各近傍 $B_b$ が形式的エタールなら、平方零商 $(P/I^2)_g\to B_b$（$g$ は $b$ の代表）は唯一の切断を持ち、先の導分計算から $\delta_b$ は分裂単射となる。局所化した多項式環の導分は変数像で決まり、逆元では $D(g^{-1})=-g^{-2}D(g)$ と計算する。従って自由加群はやはり $B_b^n$ である。一意性からその微分商も零なので $\delta_b$ は同型である。
近傍は全素点を覆うので $\ker\delta$ と $\operatorname{coker}\delta$ は全極大イデアルで局所化すると零になる。局所化は完全である。分数 $x/s$ の像が零ならある分母外の元が分子像を殺すため、単射と像・核が保たれることから分かる。また非零加群の元 $x$ は、真イデアル $\operatorname{Ann}(x)$ を含む極大イデアルで非零に残る。従って全局所化が零なら加群は零である。これを核・余核に適用すると $\delta$ は大域でも同型となり、前定理から $B$ は形式的エタールである。零代数では素点はなく、$T=F=0$ なので同じ結論となる。
任意の可換環 $A$ に対し、有限表示で形式的エタールな $A$ 代数 $B$ は $A$ 上平坦であり、$\Omega_{B/A}=0$ である。基礎環の Noether 性、$B$ の有限 $A$ 加群性、体の完全性は仮定しない。
$B=0$ ならテンソル積も相対微分も零であり、結論は成立する。以下 $B\ne0$ とする。fe-fp-thm-etale-local-square-presentation により各素点近傍 $B_b$ は可逆な正方形 Jacobi 行列を持つ標準表示である。各 $B_b$ は局所化を許した標準 Jacobi 表示（関係式の個数と変数の個数が等しい場合）なので、標準滑らかな代数 の命題「局所化を許した表示」により $A$ 上標準滑らかであり、標準滑らかな代数 の定理「標準滑らかな代数は平坦」により $A$ 上平坦である。有限表示の形式的エタール代数はエタール代数にほかならないので、これは エタール代数 の定理「エタール代数は平坦」と同じ主張である。
任意の $A$ 加群単射 $U\to V$ を取り、$U\otimes_AB\to V\otimes_AB$ の核を $K$ とする。局所化の完全性とテンソル結合の両写像から、各近傍で $K_b$ は $U\otimes_AB_b\to V\otimes_AB_b$ の核であり零である。非零 $z\in K$ があれば、真イデアル $\operatorname{Ann}_B(z)$ を含む極大イデアルで $z$ は非零に残る。その点を含む上の近傍でも非零に残るので矛盾する。従って $K=0$ で、全任意加群の単射を保つことから $B$ は平坦である。核 $K$ の有限生成性は使っていない。
相対微分の消滅は、平方零環 $B\oplus\Omega_{B/A}$ への持上げ $b\mapsto(b,db)$ と $b\mapsto(b,0)$ の一意性から全 $db=0$ としても直接得られる。微分加群はこれらの元で生成されるので $\Omega_{B/A}=0$。
エタール性との比較
標準エタール代数 $(A[T]/(f))_g$ で $f$ がモニック、$f'$ が単元となる場合の形式的エタール性は、本記事で任意の基礎環に対して証明した。より一般に、$n$ 個の変数と $n$ 本の関係式の Jacobi 行列が可逆なら、平方零誤差ベクトルをその逆行列で補正する同じ計算により存在と一意性を得る。この多変数計算は fe-fp-thm-etale-square-jacobian で直接証明した。
有限表示の環準同型について、通常のエタール性と形式的エタール性は同値となる。ただし、この一般比較を「微分が零だから」とだけ説明することはできない。必要なのは持上げの存在と有限表示性であり、さらにエタール性を平坦性と非分岐性で定義する立場では、局所標準表示およびその平坦性との比較が入る。Jacobian判定法では有限表示の形式的滑らかな代数について、余法線列の分裂から局所 Jacobi 表示を得る証明を与えている。本記事では fe-fp-thm-etale-conormal-isomorphism と fe-fp-thm-etale-local-square-presentation で有限表示からの局所正方形表示を証明し、fe-fp-thm-etale-flat-and-omega で平坦性と微分の消滅を証明した。平坦性と微分消滅からの一般の逆方向、有限エタール代数の分類、一般の降下は本記事では扱わない。一般の比較は MatCRT §28 にある。
この区別は、無限の分離代数拡大や非有限生成の冪等イデアルの商を見ると特にはっきりする。冪零持上げは全試験に成立しても、有限表示性は別に調べなければならない。また離散環の持上げ定義を、そのまま完備位相環の連続射だけを試す定義へ置き換えてはならない。連続性、試験する係数、厚化の位相を変更すると、必要な命題も変わる。
関連項目
参考文献
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