形式的エタール性

$T=I/I^2$、$F=B^n$ とおく。$A$ 導分 $P\to M$ は $X_j$ の値を任意に指定することと同じで、$B$ 線形写像 $F\to M$ に対応する。積則による単項式の微分計算から、任意の導分は $D(f)=\sum_j(\partial f/\partial X_j)D(X_j)$ を満たす。$I$ を零にする条件は対応写像が $\delta(T)$ を零にすることなので、$\Omega_{B/A}$ は $F/\delta(T)$ に同型である。これが必要な余法線列の右完全性を直接与える。

形式的エタールなら平方零商 $P/I^2\to B$ の恒等写像を持ち上げる切断 $s:B\to P/I^2$ がある。$D(p)=p\bmod I^2-s(\bar p)$ は $T$ に値を取る。積を展開すると $D(pq)=\bar pD(q)+\bar qD(p)$ なので導分であり、$f\in I$ に対して $D(f)=\bar f$ である。従って対応写像 $r:F\to T$ は $r\delta=1_T$ を満たし、$\delta$ は単射である。

形式的エタール性は形式的不分岐性を含むので、thm-fe-unramified により $\Omega_{B/A}=0$ である。上で示した $\Omega_{B/A}\cong F/\delta(T)$ から $\delta$ は全射でもある。

逆に $\delta$ が同型とする。平方零試験 $u:B\to C/N$ に対し、変数像を選んで持ち上げた $v:P\to C$ を取る。$v(I)\subset N$、$v(I^2)=0$ なので、$v$ は $B$ 線形写像 $q:T\to N$ を定める。$N$ の $B$ 作用は $u$ を通じて定義される。$q\delta^{-1}:F\to N$ に対応する導分 $D:P\to N$ を取り、$v'=v-D$ とする。$N^2=0$ と積則より $v'$ は $A$ 代数写像であり、$f\in I$ について $D(f)=q(\bar f)=v(f)$ だから $v'(I)=0$。よって $B$ への写像に降り、持上げが存在する。

二つの持上げの差は同じ積の展開により $A$ 導分 $B\to N$ である。その導分は $F/\delta(T)=0$ を経由するので零、従って一意である。一般冪零試験は有限反復で扱う。

$\delta:T\to F$ は前定理で同型である。$\mathfrak p\subset P$ を $\mathfrak q$ の逆像とする。$T_{\mathfrak q}\cong B_{\mathfrak q}^n$ の基底を $f_i$ の剰余で選べる。局所化した基底を選んだ場合も分母を単元倍して $I$ の実際の元で表せる。従って Jacobi 行列式 $\Delta$ は $\mathfrak q$ に入らない。

基底の生成性より、$P_{\mathfrak p}$ で $I_{\mathfrak p}=(f_1,\ldots,f_n)+I_{\mathfrak p}^2$ である。有限生成加群 $Q=I_{\mathfrak p}/(f_1,\ldots,f_n)$ は $Q=I_{\mathfrak p}Q$ を満たす。$I_{\mathfrak p}$ は局所環の極大イデアルに含まれるので $Q=0$ である。必要な Nakayama 計算は次の通りである。有限生成元 $z_i$ の関係 $z_i=\sum_j a_{ij}z_j$、$a_{ij}$ が極大イデアルに入るとき、随伴行列を掛ければ $\det(1-(a_{ij}))$ が全生成元を殺す。行列式は極大イデアルを法として1なので単元であり、全生成元は零となる。

$Q_0=I/(f_1,\ldots,f_n)$ も有限生成である。$\mathfrak p$ で各生成元が零になるため、それぞれを殺す $s_i\notin\mathfrak p$ を選び、その積 $s$ を取ると $(Q_0)_s=0$ となる。$\Delta$ の多項式代表 $d\notin\mathfrak p$ を取り $h=sd$ とすれば、必要な表示と行列式の可逆性が同時に得られる。

逆方向を確認する。余法線写像 $\delta$ を同じ有限表示から作る。各近傍 $B_b$ が形式的エタールなら、平方零商 $(P/I^2)_g\to B_b$（$g$ は $b$ の代表）は唯一の切断を持ち、先の導分計算から $\delta_b$ は分裂単射となる。局所化した多項式環の導分は変数像で決まり、逆元では $D(g^{-1})=-g^{-2}D(g)$ と計算する。従って自由加群はやはり $B_b^n$ である。一意性からその微分商も零なので $\delta_b$ は同型である。

近傍は全素点を覆うので $\ker\delta$ と $\operatorname{coker}\delta$ は全極大イデアルで局所化すると零になる。局所化は完全である。分数 $x/s$ の像が零ならある分母外の元が分子像を殺すため、単射と像・核が保たれることから分かる。また非零加群の元 $x$ は、真イデアル $\operatorname{Ann}(x)$ を含む極大イデアルで非零に残る。従って全局所化が零なら加群は零である。これを核・余核に適用すると $\delta$ は大域でも同型となり、前定理から $B$ は形式的エタールである。零代数では素点はなく、$T=F=0$ なので同じ結論となる。

商と自由加群。 $(V/H)\otimes_AT$ と $(V\otimes_AT)/\operatorname{im}(H\otimes_AT)$ の両逆は $(v+H)\otimes t\mapsto v\otimes t$ とその逆である。代表の差は左の像に入るので定義でき、有限和の生成元上で合成が恒等となる。これが右完全性を与える。$A^{(S)}\otimes_AT\cong T^{(S)}$ は基底成分を送る両逆であり、直和の単射は成分ごとに単射なので自由加群は平坦である。

分数。 $S^{-1}A\otimes_AN\cong S^{-1}N$ の両逆は $(a/s)\otimes n\mapsto an/s$ と $n/s\mapsto(1/s)\otimes n$。分数等号の差を殺す $t\in S$ を逆にすれば像は同じであり、$A$ の釣合いも分子の積で一致する。合成は生成元上で恒等である。単射 $N'\to N$ の元 $n/s$ が像で零なら、ある $t\in S$ が $n$ を像で殺すため源でも殺し、$n/s=0$。$0\in S$ の場合は双方零である。従って局所化は平坦である。

自由解像と比較。 自由全射とその核への自由全射を順に取り、任意加群 $N$ の自由解像 $F_\bullet\to N$ を作る。$\operatorname{Tor}_i^A(N,T)$ は $H_i(F_\bullet\otimes_AT)$ と定める。二つの解像の間で $N$ 上の恒等を持ち上げる鎖写像は、各自由基底の像を先に決めた微分の核から次段へ持ち上げる帰納で作れる。二写像の差についても、次数0で増大の核へ持ち上げ、次数 $i$ で既に作ったホモトピーとの差を次段へ持ち上げると $f-g=dh+hd$ となる。両方向の比較の合成は恒等とホモトピックなので、ホモロジーは選択に依存しない。

短完全列の両端の自由解像を取り、中間項の自由全射を両端の自由加群の直和で作る。右側の基底像を中間項へ持ち上げ、核にも同じ手続きを反復すると、各次数で分裂する短完全自由複体列を得る。テンソル後も各次数で完全である。右のサイクルを中間へ持ち上げ、微分を取り左へ戻すと接続写像になる。代表や持上げの変更は境界を変えるだけで、像が次の核に入ること、核元を持ち上げ直して前段の像に戻せることがこの同じ計算でわかり、長完全列を得る。任意階数の自由加群も各元は有限台なのでこの帰納は成立する。平坦 $T$ では完全な自由解像のサイクル・境界列も保たれ、正次数 Tor は零となる。

完成の定義。 $\widehat R=\varprojlim_nR/J^n$、$\widehat M=\varprojlim_nM/J^nM$ とし、自然写像は $x\mapsto(x\bmod J^nM)_n$ である。$\widehat R$ の $\widehat M$ への作用は各商での積の両立列で定める。

有限 Nakayama と Hilbert。 有限生成 $M=JM$、$J\subset\operatorname{Jac}(R)$ なら、生成関係 $m_i=\sum a_{ij}m_j$ の行列 $1-(a_{ij})$ に余因子行列を掛ける。行列式は $1-b$、$b\in J$ で単元なので $M=0$。Noether 環 $R$ の $R[t]$ は Noether：零イデアルは空族で生成されるので先に分離する。非零イデアルについて、イデアルの次数高々 $n$ の最高係数イデアルは上昇して停止する。停止までの有限個の最高係数生成元を持つ多項式を選び、任意の元の最高次数をその $t$ 冪倍で消して次数を下げると有限生成となる。変数数の帰納と商・局所化で有限型環も Noether である。

Artin–Rees。 有限加群 $M$、イデアル $J$、$L\subset M$ に対し、Rees 環 $R[Jt]$ と加群 $\bigoplus J^nMt^n$ は有限生成で Noether。その部分加群 $\bigoplus(J^nM\cap L)t^n$ も有限斉次生成を持つ。有限生成元を有限個の斉次成分に分解すると、その成分も次数ごとに定義された同じ部分加群に属する。成分が張る部分加群は元の全生成元を含み、かつ元の部分加群内にあるので等しく、斉次有限生成元が得られる。$L=0$ は $c=0$ とし、他は生成次数の最大 $c$ を取ると $J^nM\cap L=J^{n-c}(J^cM\cap L)$（$n\ge c$）。$T=\bigcap J^nM$ にこれを適用すると $T=JT$。$J$ が Jacobson 根基内なら有限 Nakayama で $T=0$。

有限完成の完全性。 $0\to L\to M\to N\to0$ の各商は $0\to L/(L\cap J^nM)\to M/J^nM\to N/J^nN\to0$。左の遷移は全射なので、$N$ の両立代表を $M$ に逐次持ち上げ、前段との差を $L$ の元で補正できる。この帰納で逆極限は右でも全射となる。Artin–Rees は $L\cap J^nM$ と $J^nL$ が同じ位相を定めるから左端は $\widehat L$ であり、完成列は完全である。具体的に $F_n=J^nL$、$G_n=L\cap J^nM$ と置けば $F_n\subset G_n$、$G_{n+c}\subset F_n$。$\varprojlim L/F_n\to\varprojlim L/G_n$ は次数 $n$ の商写像、逆は次数 $n+c$ の $G$ 座標を $F_n$ へ送る写像である。両立性により、代表とより大きい座標の選択に依存しない。二合成は元の次数 $n$ 座標となるので互いに逆である。有限表示 $R^s\to R^r\to M\to0$ に適用し、有限自由完成 $\widehat R^r$ と tensor の右完全性を並べると $\widehat M\simeq\widehat R\otimes_RM$。特に有限 ideal $I\subset R$ の単射は tensor 後も単射となる。局所 $J=\mathfrak m$ の有限商 $R/\mathfrak m^r$ の完成は同じ商なので、この比較から $\widehat R/\mathfrak m^r\widehat R\cong R/\mathfrak m^r$ も得る。

全加群の平坦判定。 全有限 ideal に対する $I\otimes T\to T$ 単射から平坦性を示す。$U\subset R^r$ では最後の座標像 $I$ と核 $U_0\subset R^{r-1}$ を取り、右完全な $U_0\otimes T\to U\otimes T\to I\otimes T\to0$ により、$U\otimes T\to R^r\otimes T$ の核は $U_0\otimes T$ から来る。座標帰納でそれは零である。任意 ideal についても個々の tensor 元は有限個の元の生成 ideal から来るため同じ単射検出ができる。任意自由直和の部分加群では個々の tensor 元を有限台部分自由に置けば同じ証明となる。

任意単射 $L\to N$ に自由全射 $F\to N$ を選び、$H=\ker(F\to N)$、$G$ を $L$ の逆像とする。$L\otimes T\to N\otimes T$ の核元 $z$ を $G\otimes T$ の元 $y$ に持ち上げる。$y$ の $F\otimes T$ への像は右完全性により $H\otimes T$ の元 $h$ の像。$y-h$ は $G\otimes T\to F\otimes T$ の核に属するので零。$H$ は $L$ に零を送るから $z=0$。これで全任意加群の平坦性を得る。

忠実性。 局所 $R$ の極大イデアルを $\mathfrak m$ とすると完成の $\mathfrak m$ 商は $R/\mathfrak m$。任意真 ideal $I$ は $\mathfrak m$ に含まれ、$\widehat R/I\widehat R$ はこの体へ全射するので非零。非零任意 $M$ の非零元が張る $R/I\subset M$ に平坦 tensor を適用すると非零部分加群が残る。従って完成は忠実である。無限加群に Nakayama を使っていない。

条件 1 から条件 2 は、自由分解を平坦加群とテンソルしても完全性が保たれることによる。任意の $A_0$ 加群 $N$ に対して $$ N\otimes_AM\cong N\otimes_{A_0}M_0 $$ である。$I$ が $N$ を殺すのでテンソルの関係式により $IM$ を商にできるためである。条件 2 を $A_0$ 加群の任意の短完全列に適用すると、この同型と Tor の長完全列から $M_0$ の $A_0$ 平坦性を得る。さらに $0\to I\to A\to A_0\to0$ の長完全列から $$ \operatorname{Tor}_1^A(A_0,M)=\ker(I\otimes_AM\to M) $$ である。乗法写像の像は常に $IM$ なので、条件 2 から条件 3 が従い、条件 3 と条件 4 は同値である。

逆に条件 4 から条件 2 を導く。任意の $A_0$ 加群 $N$ に $A_0$ 自由加群 $F$ からの全射を取り、核を $L$ とする。$F$ は $A_0$ の直和なので条件 4 から $\operatorname{Tor}_1^A(F,M)=0$ となる。従って $\operatorname{Tor}_1^A(N,M)$ は $L\otimes_AM\to F\otimes_AM$ の核である。この写像は $L\otimes_{A_0}M_0\to F\otimes_{A_0}M_0$ と同じであり、$M_0$ の平坦性から単射となる。$F,L,N$ の有限生成性を使っていない。

次に条件 3 から条件 5 を示す。既に条件 2 が得られており、$I^n/I^{n+1}$ は $A_0$ 加群なので、その Tor は消える。$0\to I^{n+1}\to I^n\to I^n/I^{n+1}\to0$ とテンソルすると左でも完全となる。$I\otimes M\cong IM$ を初期段として帰納すれば、全 $n$ で $I^n\otimes M\cong I^nM$ となる。これらの商を取って $\gamma_n$ の同型を得る。$n=0$ の写像は $A_0\otimes_{A_0}M_0\to M_0$ の同型である。次数付き写像が同型であることは各次数で同型となることと同値なので、条件 5 と条件 6 も同値となる。

条件 5 から条件 7 を示す。$n$ を固定し、$i=n+1,n,\ldots,1$ に対して $$ \alpha_i:(I^i/I^{n+1})\otimes_AM\longrightarrow I^iM/I^{n+1}M $$ を考える。$i=n+1$ では零加群の同型である。$\alpha_{i+1}$ が同型と仮定し、$I^{i+1}/I^{n+1}\to I^i/I^{n+1}\to I^i/I^{i+1}\to0$ のテンソルによる右完全列を、対応する $M$ の冪の短完全列と並べる。右の写像は $\gamma_i$、左は $\alpha_{i+1}$ で、双方が同型である。下段の左写像が単射なので上段の左写像も単射となり、短完全列の図式から $\alpha_i$ は同型である。従って $\alpha_1$ は同型となる。

$R=A/I^{n+1}$、$J=I/I^{n+1}$、$Q=M/I^{n+1}M$ とおくと、$\alpha_1$ により $J\otimes_RQ\to JQ$ は同型で、$Q/JQ=M_0$ は $R/J$ 上平坦である。既に証明した条件 3 から条件 2 の方向をこの組へ適用し、すべての $R/J$ 加群 $L$ に $\operatorname{Tor}_1^R(L,Q)=0$ を得る。任意の $R$ 加群には $J^{n+1}=0$ による有限の filtration があり、その各商は $R/J$ 加群である。Tor の長完全列をその有限段数だけ用いれば、すべての $R$ 加群 $L$ について Tor が消え、$Q$ は $R$ 上平坦となる。

最後に条件 7 から条件 1 を示す。$I^e=0$ の場合は $n=e-1$ を取れば、条件 7 自身が $M$ の $A$ 平坦性となる。

第二の仮定の場合、$\mathfrak a\subset A$ をイデアルとする。Noether 性からこれは有限生成である。Artin–Rees の等式を $\mathfrak a\subset A$ に用いると、ある $c$ について $$ I^k\cap\mathfrak a=I^{k-c}(I^c\cap\mathfrak a)\qquad(k\ge c) $$ となる。任意の $n\ge1$ に対して $k\ge n+c$ を取れば $I^k\cap\mathfrak a\subset I^n\mathfrak a$ である。この Artin–Rees の計算は $I\subset\operatorname{Jac}(A)$ を要求しない。

$z\in\ker(\mathfrak a\otimes_AM\to M)$ とする。条件 7 の平坦性から、$z$ の $\mathfrak a/(\mathfrak a\cap I^k)\otimes_AM$ における像は零である。これは $\mathfrak a/(\mathfrak a\cap I^k)\subset A/I^k$ に平坦な $M/I^kM$ をテンソルした単射による。さらに $\mathfrak a/(\mathfrak a\cap I^k)\to\mathfrak a/I^n\mathfrak a$ が定まるので、$z$ の後者と $M$ とのテンソル積における像も零である。テンソル積の右完全性から $z\in I^n(\mathfrak a\otimes_AM)$ を得る。これは全 $n$ で成り立つため、イデアル分離性から $z=0$ となる。全有限生成イデアルについて乗法写像の単射性を示したので、$M$ は平坦である。$\square$

証明を三段に分ける。全て任意の体 $k$ で行い、$k$ が無限という仮定を使わない。

第一段：有限個の分母を払う。 生成元 $b_1,\ldots,b_m$ の中から、$k$ 上代数的独立な極大の部分集合 $t_1,\ldots,t_d$ を選び、残りを $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ と書く。$F=k(t_1,\ldots,t_d)$ と置くと各 $\alpha_j$ は $F$ 上代数的である。そうでなければ $t_1,\ldots,t_d,\alpha_j$ が代数的独立となり、極大性に反する。

各 $\alpha_j$ に対し、$F$ 係数のモニック関係 $$ \alpha_j^{e_j}+a_{j,e_j-1}\alpha_j^{e_j-1}+\cdots+a_{j,0}=0 $$ を取る。ここに現れる係数は有限個であり、それぞれ多項式の比である。全ての分母の積を $0\ne h\in k[t_1,\ldots,t_d]$ とし $$ R=k[t_1,\ldots,t_d][1/h] $$ と置けば、全 $a_{j,i}$ は $R$ に属し、$\alpha_j$ は $R$ 上整である。$R$ は体 $K$ の部分環である。また $R[\alpha_1,\ldots,\alpha_s]$ は元の全生成元を含み、逆に $K$ に含まれるから $$ K=R[\alpha_1,\ldots,\alpha_s]. $$ モニック関係で高い冪を下げれば、$0\le i_j< e_j$ の有限個の単項式 $\alpha_1^{i_1}\cdots\alpha_s^{i_s}$ で $K$ が $R$ 加群として生成される。$s=0$ では単項式 $1$ だけを使う。

第二段：体を有限加群として含む部分環は体。 任意の $0\ne r\in R$ を取る。$K$ が体なので $u=1/r\in K$ である。有限 $R$ 加群 $K$ の生成元 $v_1,\ldots,v_N$ に対し $uv_j=\sum_i a_{ij}v_i$、$a_{ij}\in R$ と書く。$TI-(a_{ij})$ の余因子行列を掛ける行列式の恒等式から、そのモニック行列式多項式 $\chi(T)\in R[T]$ は $T=u$ で全 $v_i$ を消す。生成元が基底である必要はない。この恒等式は生成関係に掛けて得られるだけである。

$1\in K$ は $v_i$ の $R$ 線型結合なので $\chi(u)=0$ が体 $K$ 内で成立する。ある $c_i\in R$ によって $$ u^N+c_{N-1}u^{N-1}+\cdots+c_0=0 $$ と書ける。$u=1/r$ を代入して $r^{N-1}$ を掛けると $$ 1/r=-c_{N-1}-c_{N-2}r-\cdots-c_0r^{N-1}\in R. $$ 従って $R$ の全非零元は $R$ 内で逆元を持ち、$R$ は体である。

第三段：$d>0$ ならこの局所化は体でない。 まず任意の体 $k$ に対し、$k[T]$ には同伴でないモニック既約多項式が無限個あることを示す。非定数多項式は、可約なら二つの低次数因子に分ける操作を繰り返すことで既約因子を持つ。もしモニック既約が有限個 $p_1,\ldots,p_l$ しかなければ、非定数多項式 $p_1\cdots p_l+1$ の既約因子はそのどれかである。しかしその $p_i$ は積と積に $1$ を加えた多項式の両方を割ることになり、$1$ を割る矛盾となる。既約が一つもない場合も $T$ が既約なので不可能である。この議論は有限体にもそのまま通る。

$d\ge1$ と仮定し、$h$ を $t_2,\ldots,t_d$ の多項式として書く。その非零係数の一つ $c(t_1)\in k[t_1]$ を取る。$c$ は有限個の既約因子しか持たないので、$c$ を割らないモニック既約 $p(t_1)$ を選べる。すると $p$ は $h$ を割らない。実際 $p$ が $h$ を割れば、$t_2,\ldots,t_d$ に関する全係数も $p$ の倍となるからである。$d=1$ では $c=h$ と読めばよい。

$k[t_1]/(p)$ は体である。これは一変数の除法算法から、$p$ と互いに素な非零剰余類が Bézout の等式によって逆元を持つためである。従って $$ k[t_1,\ldots,t_d]/(p) \cong(k[t_1]/(p))[t_2,\ldots,t_d] $$ は整域であり、$p$ は多変数環でも素元である。もし $p$ が $R$ の単元なら、ある $q\in k[t_1,\ldots,t_d]$ と $N\ge0$ について $p(q/h^N)=1$、すなわち $pq=h^N$ となる。素性により $p\mid h$ となって選び方に反する。よって $p$ は体 $R$ の非零非単元であり矛盾する。

従って $d=0$ である。全生成元が $k$ 上代数的となり、第一段の有限単項式生成を $R=k$ に適用すれば $K$ は有限次元 $k$ ベクトル空間となる。$m=0$ なら最初から $K=k$ であり、同じ結論である。

代数閉体での有限精度。 まず $k$ を代数閉体とする。$P[1/\Delta]$ の極大点はfe-fp-etale-flat-fs-flat-foundation-thm-nullstellensatz-zariskiにより $k$ 有理点 $a$ である。$z_i=X_i-a_i$ とし、その点の局所環を $T$ とする。各 $r\ge1$ について $$T/(z_1,\ldots,z_n)^r\cong k[z_1,\ldots,z_n]/(z_1,\ldots,z_n)^r.$$ 点で非零の分母は定数項が非零であり、その有限商で逆元を幾何級数の有限和で作れるからである。逆極限は係数ごとの両立列を級数へ戻す写像で $k[\![z_1,\ldots,z_n]\!]$ と同型になる。

小行列式の変数を最初の $c$ 個へ並べる。$w=(f_1,\ldots,f_c,z_{c+1},\ldots,z_n)$ の線型項行列は可逆である。この代入の逆を次数ごとに構成する。次数1で逆行列を使い、次数 $r$ まで決めた逆の誤差の次数 $r+1$ 成分を同じ線型行列で補正する。より低い次数は変わらず、各次数の単項式数は有限である。係数極限が左右逆を与える。多項式を $X=a+z$ へ代入した係数を使うだけなので、階乗で割る操作はなく、標数に依存しない。

完成で $f_1,\ldots,f_c$ は座標列になる。座標変数の乗算は係数をずらす単射であり、各先行部分列の商でも次の座標が非零因子である。$T$ は多項式局所環なので Noether である。fe-fp-etale-flat-lem-fs-flat-foundation-completionの忠実平坦性を各商の乗算核へ適用すれば、元の局所環でも列は正則となる。

任意の体への降下。 代数閉包 $K/k$ は非零自由 $k$ 加群なので忠実平坦である。$R=P[1/\Delta]$ 上の有限自由 Koszul 複体を考える。$R\otimes_kK$ の全極大点で、ある $f_i$ が単元なら、その二項因子は逆元によるホモトピーで可縮である。全 $f_i$ が極大イデアルに入る場合には前段の正則性から正次数ホモロジーが零となる。正則列の Koszul 完全性は、一元の場合と、次の元の乗算を写像とする二複体の cone の完全列から帰納して得る。全極大点で消える加群は零であることは、非零元の零化イデアルを含む極大点での分数零判定から従う。

平坦テンソルはサイクルと境界の二短完全列を保つのでホモロジーと交換する。従って忠実な $K$ テンソルで元の Koszul 正次数ホモロジーも零とわかる。局所環で全 $f_i$ が極大イデアル内なら、末尾 $f_c$ の cone 長完全列は前段の $H_i$（$i>0$）への $f_c$ 乗算を全射にする。これらは Noether 局所環上有限なので Nakayama により零。残った $H_0$ 上の $f_c$ 作用は単射である。末尾を除いて反復すれば指定順序の正則性を得る。各先行商は、生成イデアルが極大イデアル内なので非零である。単元がある場合の可縮性と、この正則列の結論を区別する。$n=c=0$ は体の局所化の空列として成立する。

Noether 基礎環の場合。 $\mathfrak q\in\operatorname{Spec}B$、$\mathfrak p=\mathfrak q\cap A$ を固定する。$A$ を $\mathfrak p$ で、$A[X]_h$ を $\mathfrak q$ の逆像で局所化して局所環 $P$ を得る。多項式環は単項式基底の自由加群、局所化は分数零判定で単射を保つので、$P$ は $A_{\mathfrak p}$ 上平坦である。イデアルの縮約を $H=\{a:a/1\in J\}$ とすると $J=S^{-1}H$ であり、$H$ の有限生成元が $J$ を生成するから局所化は Noether 性を保つ。

閉ファイバー $P/\mathfrak pP$ は $\kappa(\mathfrak p)[X]$ の局所化である。ここではまだ $(f_1,\ldots,f_c)$ による商を取っていない。全 $f_i$ はその極大イデアル内、$\Delta$ は単元なので、fe-fp-etale-flat-lem-fs-flat-field-jacobiによりその指定列が正則である。$P$ から各先行商を $M$ としてfe-fp-etale-flat-lem-fs-flat-one-elementを反復する。初項は平坦、各段の閉ファイバー乗算は単射で、各商は有限 $P$ 加群である。従って $B_{\mathfrak q}$ は $A_{\mathfrak p}$ 平坦、さらに $A$ 平坦となる。任意単射のテンソル核を全 $\mathfrak q$ で検出する前述の零化イデアルの議論から $B$ 自体が平坦である。

有限係数の整数環への下降。 $\mathbf Z$ の非零イデアルの最小の正元を $a$ とすると、整数除法の余りが同じイデアルに入り $a$ より小さいので零である。従って全イデアルは $a\mathbf Z$（零の場合は $a=0$）で、$\mathbf Z$ は Noether である。有限個の係数を含む $A$ の部分環 $A_0$ は有限変数 $\mathbf Z$ 多項式環の商なので、Hilbert 基底定理から Noether である。

$\Delta$ の逆を $B$ で選び、その代表を $v=V/h^a\in A[X]_h$ とする。ある $u_i\in A[X]_h$ により $$1-v\Delta=\sum_i u_if_i$$ が成り立つ。$h,f_i,V,u_i$ の分子の全係数を含む $A_0\subset A$ を取る。等式の分母を払い、必要ならその零判定に用いた同じ有限の $h$ 冪も使えば、同じ等式は $A_0[X]_h$ で成立する。係数の包含 $A_0\subset A$ は多項式環でも単射であるので、この有限等式の下降は正当である。従って $B_0=A_0[X]_h/(f_i)$ で $\Delta$ は単元、前段から $B_0$ は $A_0$ 平坦となる。$A_0$ の素点の剰余体は標数0でも正標数でも体であり、体上の証明は全標数で成立する。

商と局所化のテンソルの両逆から $A\otimes_{A_0}B_0\cong B$。任意の $A$ 加群単射 $U\to V$ を $A_0$ 加群として見れば、$B_0$ をテンソルしても単射である。結合則の両逆 $$u\otimes(a\otimes b)\longmapsto au\otimes b,\qquad u\otimes b\longmapsto u\otimes(1\otimes b)$$ により、これは $U\otimes_AB\to V\otimes_AB$ の単射性となる。$A$ が $A_0$ 上平坦であることは不要である。$B=0$ は零テンソルの枝、$c=0$ は多項式局所化の枝として成立する。