Cauchyの根判定法
概要
Cauchyの根判定法（Cauchy's root test）とは、実数または複素数の級数 $\sum a_n$ について $L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ とおくとき、$L< 1$ ならば級数は絶対収束し、$L>1$ ならば項が $0$ に近づかず発散するという判定法である。項を等比数列 $r^n$ と比べる方法で、$L=1$ のときは収束する級数も発散する級数もあり何も決まらない。項がすべて $0$ でない級数では、比 $|a_{n+1}/a_n|$ の上極限・下極限を見る比判定法で決まるものはすべて根判定法でも決まり、逆は成り立たない。冪級数に当てると収束半径の Cauchy–Hadamard の公式になる。
Cauchyの根判定法（Cauchy's root test）は、級数 $\sum a_n$ の項の大きさを $n$ 乗根 $\sqrt[n]{|a_n|}$ で測り、等比級数と比べて収束・発散を判定する方法である。$L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ が $1$ より小さければ級数は絶対収束し、$1$ より大きければ発散する。項が「おおよそ $L^n$ の大きさ」であることを捉える判定法で、隣り合う項の比 $|a_{n+1}/a_n|$ の上極限・下極限を見る比判定法で決まる級数はすべて根判定法でも同じ結論になり、逆は成り立たない。冪級数に当てると、収束半径を係数から求める公式（Cauchy–Hadamard の公式）が得られる。
この記事では、上極限を使う精密な形で判定法を述べて証明し、$L=1$ では何も決まらないこと、比判定法との強弱、比判定法では決まらないが根判定法で決まる級数を、例と反例で確かめる。
主張と証明
以下、$\sqrt[n]{x}$（$x\geq0$）は $0$ 以上の $n$ 乗根を表し、上極限・下極限は $[0,+\infty]$ の値として考える（上極限と下極限）。
実数または複素数の列 $(a_n)_{n\geq1}$ について
$$
L:=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\in[0,+\infty]
$$
とおく。
- $L< 1$ ならば $\sum a_n$ は絶対収束する。
- $L>1$ ならば $|a_n|>1$ となる $n$ が無限個あり、$a_n$ は $0$ に収束しないので、$\sum a_n$ は発散する。
- $L=1$ のときは、収束する級数も発散する級数もある（判定法は何も結論しない）。
$t_k:=\sqrt[k]{|a_k|}$、$s_n:=\sup_{k\geq n}t_k\in[0,+\infty]$ とおく。$(s_n)$ は単調減少で、上極限の定義により $L=\lim_{n\to\infty}s_n=\inf_{n}s_n$ である。
- $L< r< 1$ となる実数 $r$ をとる。$\inf_ns_n< r$ なので、ある $N$ で $s_N< r$、すなわちすべての $k\geq N$ で $t_k< r$、$|a_k|< r^k$ である。$0< r< 1$ なので等比級数 $\sum r^k$ は収束し、比較判定法(級数) の定理「比較判定法」により $\sum_{k\geq N}|a_k|$ は収束する。最初の有限個の項を足しても収束は変わらないので、$\sum|a_n|$ は収束する。
- すべての $n$ で $s_n\geq\inf_ms_m=L>1$ である。上限が $1$ より大きいので、各 $n$ に対して $t_k>1$、すなわち $|a_k|>1$ となる $k\geq n$ がある。したがって $|a_k|>1$ となる $k$ は無限個あり、$a_k$ は $0$ に収束しない。級数 の記事の命題「収束する級数の項は0に近づく」により $\sum a_n$ は発散する。
- は下の ex-rt-boundary で、$L=1$ で収束する級数と発散する級数を示す。$\square$
2 の結論「$|a_n|>1$ が無限回起こる」は、$\sqrt[n]{|a_n|}$ が $1$ を超える番号が無限にあることだけから出る。したがって発散の判定には、下極限が $1$ より大きいことまでは要らない。一方、収束の判定 1 には「十分先のすべての $n$ で $\sqrt[n]{|a_n|}< r$」が要るので、上極限を使う必要があり、下極限では足りない（ex-rt-liminf）。
$\sqrt[n]{|a_n|}$ が $L\in[0,+\infty]$ に収束するとき、$L< 1$ ならば $\sum a_n$ は絶対収束し、$L>1$ ならば発散する。
収束する列の上極限は極限に等しい（上極限と下極限 の記事の定理「上極限・下極限による収束判定」）ので、thm-rt-main の 1・2 から従う。$\square$
多くの教科書は cor-rt-limit の形で根判定法を述べるが、$\sqrt[n]{|a_n|}$ が収束しない級数でも、上極限の形の thm-rt-main なら判定できることがある（ex-rt-ratio-fails の (3)）。
例
根判定法を使うには、$n$ 乗根の極限を知っている必要がある。次の補題が基本である。
- $\sqrt[n]{n}\to1$（$n\to\infty$）である。
- 定数 $C>0$ について $\sqrt[n]{C}\to1$ である。
- したがって、定数 $C>0$ と実数 $p$ について $\sqrt[n]{Cn^p}\to1$ である。
- $n\geq2$ とし、$h_n:=\sqrt[n]{n}-1$ とおく。$n\geq1$ なので $h_n\geq0$ であり、二項定理 の展開で $h_n^2$ の項だけを残すと
$$ n=(1+h_n)^n\geq\binom n2h_n^2=\frac{n(n-1)}2h_n^2 $$
である。よって $0\leq h_n\leq\sqrt{2/(n-1)}\to0$ で、$\sqrt[n]{n}\to1$ である。 - $C\geq1$ なら、$n\geq C$ で $1\leq\sqrt[n]{C}\leq\sqrt[n]{n}$ なので、1 とはさみうちにより $\sqrt[n]{C}\to1$ である。$0< C< 1$ なら $\sqrt[n]{C}=1/\sqrt[n]{1/C}\to1$ である。
- $\sqrt[n]{Cn^p}=\sqrt[n]{C}\,(\sqrt[n]{n})^p$ で、$p>0$ なら $x\mapsto x^p$ の $x=1$ での連続性、$p< 0$ ならその逆数をとって 1・2 から従う（$p=0$ は 2 そのもの）。$\square$
lem-rt-nth-root の 3 は、根判定法が項の多項式的な大きさ（$n^p$ の因子）を区別しないことを意味する。根判定法が見るのは、項が指数関数的に減るか増えるかの速さだけである。
- 自然数 $k$ と複素数 $z$ について $\sum_{n\geq1}n^kz^n$ を考える。lem-rt-nth-root により $\sqrt[n]{|n^kz^n|}=(\sqrt[n]{n})^k|z|\to|z|$ なので、$|z|< 1$ なら絶対収束し、$|z|>1$ なら発散する。$|z|=1$ では $|n^kz^n|=n^k\geq1$ で項が $0$ に近づかないので発散する（ここは根判定法ではなく、項の判定による）。
- $\sum_{n\geq1}\bigl(\frac n{2n+1}\bigr)^n$ は、$\sqrt[n]{a_n}=\frac n{2n+1}\to\frac12$ なので収束する。
- $\sum_{n\geq1}\bigl(1+\frac1n\bigr)^{-n^2}$ は、$\sqrt[n]{a_n}=\bigl(1+\frac1n\bigr)^{-n}\to\frac1e< 1$（(1+1/n)^nの極限）なので収束する。
- 複素数 $z$ について $\sum_{n\geq1}\frac{z^n}{n^n}$ は、$\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{|z|}n\to0$ なので、すべての $z$ で絶対収束する。
lem-rt-nth-root により、次の 4 つの級数はどれも $\sqrt[n]{|a_n|}\to1$、すなわち $L=1$ である。
| 級数 | $\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}$ | 結果 |
|---|---|---|
| $\sum\frac1n$ | $1/\sqrt[n]n\to1$ | 発散（調和級数） |
| $\sum\frac1{n^2}$ | $1/(\sqrt[n]n)^2\to1$ | 収束（調和級数 の記事の命題「冪の逆数の級数」） |
| $\sum1$ | $1$ | 発散（項が $0$ に近づかない） |
| $\sum\frac{(-1)^{n+1}}n$ | $1/\sqrt[n]n\to1$ | 収束するが絶対収束しない（Leibnizの判定法） |
したがって「$L=1$ ならば収束する」「$L=1$ ならば発散する」「$L=1$ ならば絶対収束しない」のどの含意も成り立たない。
$a_n=1$（$n$ 偶数）、$a_n=2^{-n}$（$n$ 奇数）とすると、$\sqrt[n]{a_n}$ は偶数番目で $1$、奇数番目で $\frac12$ なので、$\liminf\sqrt[n]{a_n}=\frac12< 1$、$\limsup\sqrt[n]{a_n}=1$ である。項は偶数番目で $1$ なので $0$ に近づかず、$\sum a_n$ は発散する。したがって thm-rt-main の 1 の上極限を下極限に替えた「$\liminf\sqrt[n]{|a_n|}< 1$ ならば収束する」は成り立たない。
比判定法との比較
比判定法は、項がすべて $0$ でない級数について $r_n:=|a_{n+1}/a_n|$ を見て、$\limsup r_n< 1$ なら絶対収束、$\liminf r_n>1$ なら発散と判定する（絶対収束 の記事の定理「比判定法（一般の項）」）。比の上極限・下極限と $n$ 乗根の上極限・下極限の間には、次の大小関係がある。
複素数 $a_n\neq0$（$n\geq1$）について $r_n:=\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ とおくと、$[0,+\infty]$ の値として
$$
\liminf_{n\to\infty}r_n\leq\liminf_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\leq\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\leq\limsup_{n\to\infty}r_n
$$
が成り立つ。特に $r_n$ が $L\in[0,+\infty]$ に収束すれば、$\sqrt[n]{|a_n|}$ も $L$ に収束する。
右の不等式：$\limsup r_n=+\infty$ なら示すことはない。そうでないとき、$q>\limsup r_n$ を満たす任意の実数 $q>0$ をとる。ある $N$ で $n\geq N$ なら $r_n\leq q$、すなわち $|a_{n+1}|\leq q|a_n|$ なので、帰納法により $n\geq N$ で
$$
|a_n|\leq|a_N|q^{n-N}=Cq^n,\qquad C:=|a_N|q^{-N}>0
$$
である。$n$ 乗根をとると $\sqrt[n]{|a_n|}\leq\sqrt[n]{C}\,q$ であり、lem-rt-nth-root の 2 により右辺は $q$ に収束するので、$\limsup\sqrt[n]{|a_n|}\leq q$ である。$q$ は $\limsup r_n$ より大きい任意の実数なので、$\limsup\sqrt[n]{|a_n|}\leq\limsup r_n$ である。
左の不等式：$\liminf r_n=0$ なら示すことはない。そうでないとき、$0< q< \liminf r_n$ を満たす任意の実数 $q$ をとると、ある $N$ で $n\geq N$ なら $|a_n|\geq Cq^n$（$C:=|a_N|q^{-N}>0$）となり、同様に $\liminf\sqrt[n]{|a_n|}\geq q$ である。$q$ は任意なので結論を得る。
真ん中の不等式は、下極限が上極限以下であることである。$r_n\to L$ なら両端がともに $L$ なので、4 つの値はすべて $L$ に等しく、$\sqrt[n]{|a_n|}$ の上極限と下極限が一致して $L$ に収束する。$\square$
項がすべて $0$ でない級数 $\sum a_n$ について、$\limsup r_n< 1$ ならば $\limsup\sqrt[n]{|a_n|}< 1$ であり、$\liminf r_n>1$ ならば $\limsup\sqrt[n]{|a_n|}>1$ である。したがって比判定法で収束（発散）がわかる級数は、thm-rt-main でも収束（発散）がわかる。
prop-rt-ratio-root により $\limsup\sqrt[n]{|a_n|}\leq\limsup r_n< 1$、また $\limsup\sqrt[n]{|a_n|}\geq\liminf\sqrt[n]{|a_n|}\geq\liminf r_n>1$ である。$\square$
逆は成り立たない。なお、発散の条件を「十分先のすべての $n$ で $r_n\geq1$」とする形の比判定法もあり、その形では $\sum1$ は比判定法で発散がわかるが、根判定法では $L=1$ となって決まらない。cor-rt-stronger は上極限・下極限の形の比判定法についての主張である。上極限・下極限の形の比判定法が何も結論しないのは $\liminf r_n\leq1\leq\limsup r_n$ のときで、そのような級数でも根判定法なら決まることがある。
- $a_n=2^{(-1)^n-n}$、すなわち $n$ が偶数なら $a_n=2^{1-n}$、奇数なら $a_n=2^{-1-n}$ とする。$0< a_n\leq2\cdot2^{-n}$ なので $\sum a_n$ は収束する。比は $n$ が奇数のとき $\frac{2^{-n}}{2^{-1-n}}=2$、偶数のとき $\frac{2^{-n-2}}{2^{1-n}}=\frac18$ なので、$\liminf r_n=\frac18$、$\limsup r_n=2$ で、比判定法は何も結論しない。一方 $\sqrt[n]{a_n}=\frac12\cdot2^{(-1)^n/n}\to\frac12$ なので、根判定法で収束がわかる。
- $b_n=2^{n-(-1)^n}$ とすると $b_n\geq2^{n-1}\geq1$ なので $\sum b_n$ は発散する。比は $n$ が奇数のとき $\frac12$、偶数のとき $8$ で、比判定法は何も結論しない。一方 $\sqrt[n]{b_n}=2\cdot2^{-(-1)^n/n}\to2$ なので、根判定法で発散がわかる。
- $c_n=(3+(-1)^n)^{-n}$、すなわち $n$ が偶数なら $c_n=4^{-n}$、奇数なら $c_n=2^{-n}$ とする。比は $n$ が奇数のとき $\frac{4^{-n-1}}{2^{-n}}=\frac14\cdot2^{-n}\to0$、偶数のとき $\frac{2^{-n-1}}{4^{-n}}=2^{n-1}\to+\infty$ なので、$\liminf r_n=0$、$\limsup r_n=+\infty$ である。$\sqrt[n]{c_n}$ は $\frac14$ と $\frac12$ を交互にとって収束しないので cor-rt-limit は使えないが、$\limsup\sqrt[n]{c_n}=\frac12< 1$ なので thm-rt-main により収束がわかる。
| 例 | $\liminf r_n$ | $\liminf\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}$ | $\limsup\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}$ | $\limsup r_n$ | 結果 |
|---|---|---|---|---|---|
| (1) | $\frac18$ | $\frac12$ | $\frac12$ | $2$ | 収束 |
| (2) | $\frac12$ | $2$ | $2$ | $8$ | 発散 |
| (3) | $0$ | $\frac14$ | $\frac12$ | $+\infty$ | 収束 |
表のとおり、prop-rt-ratio-root の 3 つの不等号はどれも狭義になりうる。
一方、階乗を含む級数では比の方が計算しやすい。prop-rt-ratio-root は、比の極限から $n$ 乗根の極限を求める道具にもなる。
$a_n=\dfrac{n!}{n^n}$ とすると
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!}=\Bigl(\frac n{n+1}\Bigr)^n=\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^{-n}\to\frac1e
$$
（(1+1/n)^nの極限）なので、$\sum\frac{n!}{n^n}$ は比判定法で収束し、prop-rt-ratio-root により $\sqrt[n]{n!}/n=\sqrt[n]{a_n}\to\frac1e$ である。すなわち $\sqrt[n]{n!}$ はおおよそ $n/e$ の大きさで増える。これは Stirlingの公式 の $n!\sim\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^n$ と整合する（Stirling の公式は $n!$ 自身の漸近形まで与える、より精密な主張である）。
冪級数への応用
複素数の係数の冪級数 $\sum_{n\geq0}c_nz^n$ に根判定法を当てる。$z\neq0$ なら $\sqrt[n]{|c_nz^n|}=|z|\sqrt[n]{|c_n|}$ であり、正の定数を掛けても上極限はその定数倍になるので、$\rho:=\limsup\sqrt[n]{|c_n|}\in[0,+\infty]$ とおくと
$$
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_nz^n|}=\rho|z|
$$
である（$\rho=+\infty$ なら右辺は $+\infty$ と読む）。したがって $R:=1/\rho$（$1/0=+\infty$、$1/(+\infty)=0$）とおくと、冪級数は $|z|< R$ で絶対収束し、$|z|>R$ で発散する。これが 収束半径 の記事の定理「Cauchy–Hadamardの公式」である。$|z|=R$ では $\rho|z|=1$ となり、根判定法は何も結論しない。実際、$\sum z^n$・$\sum\frac{z^n}n$・$\sum\frac{z^n}{n^2}$ はどれも $R=1$ だが、$|z|=1$ での振る舞いはそれぞれ異なる（すべての点で発散、$z=1$ で発散し他の点で収束、すべての点で絶対収束）。
根判定法で決まらないとき
$L=1$ の級数は、根判定法の「指数関数的な速さ」の目盛りでは区別できない。このときは、項が正なら 比較判定法(級数) や Cauchyの凝集判定法 で多項式的な速さを比べ、符号が変わるなら Leibnizの判定法 や Dirichletの判定法 で打ち消し合いを使う。
補足
上極限の形の根判定法は Rud76 Theorem 3.33（p. 65）、比判定法は Theorem 3.34（p. 66）にある。比判定法では決まらないが根判定法で決まる級数は同書 3.35 Examples（p. 67）に、根判定法の方が適用範囲が広いことは 3.36 Remarks（p. 68）に、prop-rt-ratio-root は Theorem 3.37（p. 68）に、Cauchy–Hadamard の公式は Theorem 3.39（p. 69）にある。比判定法・根判定法が決まらない例と、根判定法だけが決まる例は GO03 第 6 章 Example 14・15・16（pp. 59–61）にあり、ex-rt-ratio-fails の (1)・(2) は Example 14・16 の級数である。
関連項目
- 前提: 級数, 上極限と下極限, 比較判定法(級数)
- 比較: 絶対収束, Cauchyの凝集判定法, Leibnizの判定法, Dirichletの判定法
- 応用: 冪級数, 収束半径, Stirlingの公式
- 例: 調和級数, (1+1/n)^nの極限
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
