Morse関数とCW複体のホモトピー型

要点：1 は正則区間の定理で $f^{-1}([s,t])$ を積 $f^{-1}(s)\times[s,t]$ と同一視し、区間の向きに縮める。2 は ハンドル分解 の定理「臨界点のない区間」の 3 を $M$ の内部で使う。

段 1（Morse 座標）．Morseの補題 の定理「Morseの補題」により、各 $p_i$ のまわりの座標近傍 $\kappa_i\colon U_i\to\mathbb{R}^{\lambda_i}\times\mathbb{R}^{n-\lambda_i}$ で $\kappa_i(p_i)=0$、
$$ f\circ\kappa_i^{-1}(x,y)=c-\lvert x\rvert^2+\lvert y\rvert^2 $$
となるものがある。$U_i$ を、互いに交わらず、$M$ の内部に含まれ、$p_i$ 以外の臨界点を含まないようにとる。$U_i$ の上で $\xi:=\lvert x\rvert^2$、$\eta:=\lvert y\rvert^2$ を $\kappa_i$ を通して関数とみる。$\varepsilon>0$ を、各 $i$ で $\kappa_i(U_i)$ が閉集合 $\{\xi+2\eta\le2\varepsilon\}$ を含み、$[c-\varepsilon,c+\varepsilon]\subset(a,b)$ が $c$ 以外の臨界値を含まないようにとる。$C_i:=\kappa_i^{-1}(\{\xi+2\eta\le2\varepsilon\})$ はコンパクトである。
段 2（関数を下げる）．滑らかな関数 $\beta\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ で、$\beta(0)>\varepsilon$、$t\ge2\varepsilon$ で $\beta(t)=0$、$-1< \beta'\le0$ となるものをとる。$U_i$ の上で $F:=f-\beta(\xi+2\eta)$、$\bigcup_iU_i$ の外で $F:=f$ とおく。$\beta(\xi+2\eta)$ は $C_i$ の外で $0$ なので $F$ は滑らかで、$F\le f$ である。次が成り立つ。

• (a) $\{F\le c+\varepsilon\}=M^{c+\varepsilon}$ である。
• (b) $F$ の臨界点は $f$ の臨界点と同じで、$F(p_i)=c-\beta(0)< c-\varepsilon$ である。
• (c) $F^{-1}([c-\varepsilon,c+\varepsilon])$ は $f^{-1}([c-\varepsilon,c+\varepsilon])$ に含まれ、したがって $M$ の内部に含まれ、$F$ の臨界点を含まない。
  詳細

  $\beta$ の作り方：隆起関数 により、値が $[0,\frac34]$ で、$(-\infty,\frac32\varepsilon]$ で $\frac34$、$[\frac74\varepsilon,\infty)$ で $0$ の滑らかな関数 $\gamma$ をとり、$\beta(t):=\int_t^\infty\gamma(u)\,du$ とおく。$\beta'=-\gamma\in[-\frac34,0]$、$\beta(0)\ge\frac34\cdot\frac32\varepsilon=\frac98\varepsilon$ である。

  (a) $F\le f$ から $M^{c+\varepsilon}\subset\{F\le c+\varepsilon\}$ である。逆に $F(z)\le c+\varepsilon$ で $F(z)\ne f(z)$ なら、$z$ はある $U_i$ で $\xi+2\eta< 2\varepsilon$ をみたすので $\eta< \varepsilon$ で、$f(z)=c-\xi+\eta< c+\varepsilon$ である。(b) $C_i$ の外の近くでは $F=f$ である。$U_i$ の上で $\beta'$ を $\xi+2\eta$ で評価して $dF=-(1+\beta')\,d\xi+(1-2\beta')\,d\eta$、$d\xi=2\sum_jx_j\,dx_j$、$d\eta=2\sum_jy_j\,dy_j$ であり、係数 $-(1+\beta')< 0$、$1-2\beta'\ge1$ はどちらも $0$ でないので、$dF=0$ は $x=0$ かつ $y=0$、すなわち $p_i$ と同値である。(c) $F\ge c-\varepsilon$ なら $f\ge F\ge c-\varepsilon$、$F\le c+\varepsilon$ なら (a) により $f\le c+\varepsilon$ である。$F$ の臨界点は $p_i$（値は $c-\varepsilon$ 未満）と、$\bigcup_iU_i$ の外にある $f$ の臨界点 $q$（$F(q)=f(q)$ は $[c-\varepsilon,c+\varepsilon]$ に入らない）である。

  (c) と lem-mcw-regular の 2 により、$L:=\{F\le c-\varepsilon\}$ は (a) の $\{F\le c+\varepsilon\}=M^{c+\varepsilon}$ の強変形レトラクトである。
  段 3（$L$ の形）．$e_i:=\kappa_i^{-1}(\{(x,0)\mid\xi\le\varepsilon\})$ とおく。$x\mapsto\kappa_i^{-1}(\sqrt\varepsilon\,x,0)$ が $D^{\lambda_i}$ から $e_i$ への同相写像で、$e_i$ の上で $f=c-\xi$ なので $e_i\cap M^{c-\varepsilon}=\{\xi=\varepsilon,\ y=0\}$ は境界の球面である。さらに $e_i\subset L\cap C_i$、$L\subset M^{c-\varepsilon}\cup\bigcup_iC_i$ であり、$C_i$ の上で $F=c-\xi+\eta-\beta(\xi+2\eta)$ は $x$ を止めると $\eta$ について狭義単調増加（$\partial F/\partial\eta=1-2\beta'\ge1$）なので、$(x,y)\in L\cap C_i$、$0\le\theta\le1$ なら $(x,\theta y)\in L\cap C_i$ である。
  詳細

  $e_i\subset L\cap C_i$ である。実際 $\beta'>-1$ から $\beta(\xi)\ge\beta(0)-\xi>\varepsilon-\xi$ なので、$e_i$ の上で $F=c-\xi-\beta(\xi)< c-\varepsilon$ である。

  $L\subset M^{c-\varepsilon}\cup\bigcup_iC_i$ である。$F(z)\le c-\varepsilon< f(z)$ なら $F(z)\ne f(z)$ で、$z$ はある $C_i$ に入る。

  
  段 4（縦のつぶし）．$L\cap C_i$ の点を座標 $(x,y)$ で表し、$y\ne0$ なら
  $$ \sigma(x,y):=\min\Bigl\{1,\ \frac{\max\{\xi-\varepsilon,0\}^{1/2}}{\lvert y\rvert}\Bigr\},\qquad r_\tau(x,y):=\bigl(x,\ (1-\tau+\tau\sigma)\,y\bigr)\quad(0\le\tau\le1) $$
  とおき、$r_\tau(x,0):=(x,0)$、$M^{c-\varepsilon}$ の上では $r_\tau:=\mathrm{id}$ とおく。$y$ の成分がない（$\lambda_i=n$）なら $r_\tau$ は恒等写像である。$r$ は $L\times[0,1]$ の上で連続で、$r_\tau(L)\subset L$、$r_0=\mathrm{id}$、$M^{c-\varepsilon}$ と $e_i$ の点は動かず、$r_1(L)\subset Y$ である。
  詳細

  $\lvert(1-\tau+\tau\sigma)y\rvert\le\lvert y\rvert$ なので $r$ は $y=0$ でも連続である。$L\cap C_i\cap M^{c-\varepsilon}$ の点では $\eta\le\xi-\varepsilon$ なので $\sigma=1$ で、2 つの定義は一致する。$M^{c-\varepsilon}$ と $L\cap C_i$ は閉集合で、有限個で $L$ を覆うので、$r$ は $L\times[0,1]$ の上で連続である。

  段 3 の単調性により $r_\tau(L)\subset L$ である。$r_0=\mathrm{id}$ で、$M^{c-\varepsilon}$ と $e_i$（$y=0$）の点は動かない。

  $r_1(L)\subset Y$ である。$\xi\le\varepsilon$ なら $\sigma=0$ で $r_1(x,y)=(x,0)\in e_i$、$\xi>\varepsilon$ なら $\lvert\sigma y\rvert^2\le\xi-\varepsilon$ なので $f(r_1(x,y))=c-\xi+\lvert\sigma y\rvert^2\le c-\varepsilon$ である。

  
  よって $Y$ は $L$ の強変形レトラクトであり、段 2 と合わせて $M^{c+\varepsilon}$ の強変形レトラクトである。$\square$

1：臨界値を $c_1< \dots< c_l$ とする（臨界点がなければ $l=0$）。各 $c_j$ について lem-mcw-critical の $\varepsilon_j>0$ を、区間 $[c_j-\varepsilon_j,c_j+\varepsilon_j]$ が互いに交わらないようにとり、$t_0:=a$、$t_j:=c_j+\varepsilon_j$ とおく。$f(p_i)\le c_j$ となる $i$ の最大値を $m_j$ とし（$m_0:=0$）、$j$ に関する帰納法で次を示す：$X_{m_j}$ と、ホモトピー同値写像 $h_j\colon M^{t_j}\to X_{m_j}$ で $\partial_-M$ の上で包含写像に等しいものがある。$j=0$ では $M^{a}=\partial_-M=X_0$、$h_0:=\mathrm{id}$ とする。
$j-1$ まで示されたとする。区間 $[t_{j-1},c_j-\varepsilon_j]$ は臨界値を含まないので、lem-mcw-regular の 1 により $M^{t_{j-1}}$ は $M^{c_j-\varepsilon_j}$ の強変形レトラクトであり、そのレトラクション $\rho\colon M^{c_j-\varepsilon_j}\to M^{t_{j-1}}$ はホモトピー同値写像で、$M^{t_{j-1}}\supset\partial_-M$ の点を動かさない（変形レトラクト の命題「変位レトラクトはホモトピー同値」）。$g:=h_{j-1}\circ\rho$ もホモトピー同値写像で、$\partial_-M$ の上で包含写像に等しい。
lem-mcw-critical により、$Y_j:=M^{c_j-\varepsilon_j}\cup e_{m_{j-1}+1}\cup\dots\cup e_{m_j}$ は $M^{t_j}$ の強変形レトラクトで、そのレトラクション $r\colon M^{t_j}\to Y_j$ はホモトピー同値写像で $Y_j$ の点を動かさない。また $Y_j$ は $M^{c_j-\varepsilon_j}$ に胞体を $\psi_{m_{j-1}+1},\dots,\psi_{m_j}$（$\psi_i\colon S^{\lambda_i-1}\to M^{c_j-\varepsilon_j}$）で順に貼った空間と、$M^{c_j-\varepsilon_j}$ の上で恒等写像になる同相写像で同一視できる。lem-mcw-attach の 2 を胞体 1 つずつに使うと、$g$ を延長するホモトピー同値写像
$$ G\colon Y_j\longrightarrow X_{m_j}:=X_{m_{j-1}}\cup_{g\circ\psi_{m_{j-1}+1}}D^{\lambda_{m_{j-1}+1}}\cup\dots\cup_{g\circ\psi_{m_j}}D^{\lambda_{m_j}} $$
が得られる（2 つ目以降の胞体の貼り付けの写像も $M^{c_j-\varepsilon_j}$ に値をとるので、その前までに作った延長と合成すると $g\circ\psi_i$ になる）。$h_j:=G\circ r$ はホモトピー同値写像で、$\partial_-M$ の上では $g$、すなわち包含写像に等しい。
最後に $[t_l,b]$ は臨界値を含まないので、$M=M^b$ は $M^{t_l}$ を強変形レトラクトにもつ。そのレトラクションと $h_l$ の合成を $h$ とすればよい。貼った胞体は臨界点と 1 対 1 に対応し、指数 $\lambda_i\le n$ の次元をもつ。
2：$X_0=\emptyset$ である。$i$ に関する帰納法で、有限 CW 複体 $K_i$ とホモトピー同値写像 $k_i\colon X_i\to K_i$ を作る（$K_0:=\emptyset$）。胞体近似定理 の定理「胞体近似定理」により、$k_{i-1}\circ\varphi_i\colon S^{\lambda_i-1}\to K_{i-1}$ は、$K_{i-1}$ の $(\lambda_i-1)$ 次元以下の胞体の和（$(\lambda_i-1)$ 骨格）に値をとる写像 $\varphi_i'$ とホモトピックである（$S^{\lambda_i-1}$ には 0 胞体と $(\lambda_i-1)$ 胞体を 1 つずつもつ CW 構造を入れる）。$K_i:=K_{i-1}\cup_{\varphi_i'}D^{\lambda_i}$ は、$K_{i-1}$ に $\lambda_i$ 胞体を 1 つ加えた有限 CW 複体である。lem-mcw-attach の 2 と 1 により
$$ X_i=X_{i-1}\cup_{\varphi_i}D^{\lambda_i}\ \simeq\ K_{i-1}\cup_{k_{i-1}\circ\varphi_i}D^{\lambda_i}\ \simeq\ K_{i-1}\cup_{\varphi_i'}D^{\lambda_i}=K_i $$
である。$K:=K_m$ と、1 の $h$ と $k_m$ の合成が求めるものである。$\square$

1：Morse関数の存在 の定理「境界付き多様体の上の Morse 関数」を $V_0:=\emptyset$、$V_1:=\partial M$ として使うと、$\partial_-M=\emptyset$、$\partial_+M=\partial M$ の許容的な Morse 関数 $f\colon M\to[0,1]$ が得られる。thm-mcw-main の 2 を使えばよい。2：$a< \min f$、$b>\max f$ とすれば $f\colon M\to[a,b]$ は $\partial_\pm M=\emptyset$ の許容的な関数で、$\nu_k=c_k$ である。$\square$

要点：thm-mcw-main の $h$ と 五項補題 により $H_*(M,\partial_-M;F)\cong H_*(X,\partial_-M;F)$ で、胞体を 1 つ貼るたびに相対ホモロジーは次数 $\lambda_i$ に $F$ が 1 つ増えるだけなので、交代和は $(-1)^{\lambda_i}$ ずつ増える。2 つ目の等式は $-f$ に 1 つ目を使う。

Morse関数の存在 の定理「境界付き多様体の上の Morse 関数」を $V_0:=\partial M$、$V_1:=\emptyset$ として使うと、$\partial_-M=\partial M$、$\partial_+M=\emptyset$ の許容的な Morse 関数がある。cor-mcw-euler から $\chi(M)=\chi(M,\emptyset)=(-1)^n\chi(M,\partial M)$ である。$M$ と $\partial M$ は cor-mcw-compact により有限 CW 複体とホモトピー同値なので、ホモロジーは有限次元で、対の長完全列から $\chi(M)=\chi(\partial M)+\chi(M,\partial M)$ である。2 つを合わせればよい。$\square$