Kan–Quillenモデル構造の組合せ的構成

1。 $(gf)^*=f^*g^*$ と、集合の写像の全単射についての 2 out of 3 による。$f$ が $g$ の射の圏でのレトラクトなら、$[-,Z]$ を施すと集合の写像として $f^*$ は $g^*$ のレトラクトになり、全単射のレトラクトは全単射である。
2。 ホモトピー同値とアノダイン拡大は Kan–Quillenモデル構造 の補題「アノダイン拡大と Kan 複体への写像」による。自明 Kan ファイブレーション $p\colon X\to Y$ は、同記事の命題「弱同値の基本性質」の 2 の前半の切断 $s$（$ps=\mathrm{id}_Y$）と $\mathrm{id}_X$ から $sp$ へのホモトピーにより、ホモトピー同値である。
3。 $\eta$ は自然なので $\operatorname{Ex}^\infty f\circ\eta_X=\eta_Y\circ f$ であり、$\eta_X,\eta_Y$ はアノダイン拡大だから 2 により $\mathcal W_{\mathrm c}$ に入る。1 の 2 out of 3 から従う。
4。 ホモトピー同値なら 2 による。逆に Kan 複体の間の $u\colon A\to B$ が $\mathcal W_{\mathrm c}$ に入るとする。$Z=A$ での全射性から $[vu]=[\mathrm{id}_A]$ となる $v\colon B\to A$ がある。$u^*[uv]=[uvu]=[u]=u^*[\mathrm{id}_B]$ なので、$Z=B$ での単射性から $[uv]=[\mathrm{id}_B]$ である。$\square$

$\operatorname{Map}(E,E)$ の頂点は写像 $E\to E$、辺はホモトピーである。§1 の最後の段落により、$p$ との合成 $p_*\colon\operatorname{Map}(E,E)\to\operatorname{Map}(E,Y)$ は Kan ファイブレーションである。$pq=psp=p$ に注意する。$h$ は頂点 $q$ から $\mathrm{id}_E$ への辺、$qh=q\circ h$ は $q^2=q$ から $q$ への辺なので、$d_2=h$、$d_1=qh$ とするホーン $\Lambda^2_0\to\operatorname{Map}(E,E)$ が定まる（共通の頂点 $0$ はどちらも $q$）。底には 2 単体 $\beta:=s_1(ph)\in\operatorname{Map}(E,Y)_2$ をとる。単体的恒等式から
$$ d_2\beta=ph,\qquad d_1\beta=ph,\qquad d_0\beta=s_0d_0(ph)=s_0(p) $$
であり（$ph$ の終点は $p\circ\mathrm{id}_E=p$）、$p_*(h)=ph$、$p_*(qh)=pqh=ph$ なので正方形は可換である。$p_*$ の持ち上げ $\alpha\colon\Delta^2\to\operatorname{Map}(E,E)$ をとり、$H:=d_0\alpha$ とおく。$H$ は頂点 $1$（$\mathrm{id}_E$）から頂点 $2$（$q$）への辺で、$p_*(H)=d_0\beta=s_0(p)$ は $p$ の定値のホモトピー、つまり $p\circ H=p\circ\mathrm{pr}_E$ である。$\square$

$E$ も Kan 複体である（ホーン $\Lambda^n_k\to E$ の像を $Y$ で充填し、$p$ で持ち上げる）。(a) と (b) の同値は prop-kqc-basic の 4、(c) から (b) は同じ命題の 2 の証明による。(b) から (c) を示す。
切断を作る。 ホモトピー逆 $g\colon Y\to E$ をとる。$Y$ は Kan 複体なので $pg$ から $\mathrm{id}_Y$ へのホモトピー $K\colon Y\times\Delta^1\to Y$ がある。$Y\times\{0\}\subset Y\times\Delta^1$ は Gabriel–Zisman の定理の 1（$\emptyset\subset Y$）によりアノダイン拡大なので、上辺 $g$、下辺 $K$ の正方形に持ち上げ $\tilde K$ がある。$s:=\tilde K|_{Y\times\{1\}}$ とおくと $ps=K|_{Y\times\{1\}}=\mathrm{id}_Y$ であり、$\tilde K$ は $g$ から $s$ へのホモトピーなので $[sp]=[gp]=[\mathrm{id}_E]$ である。$E$ は Kan 複体なので $sp$ から $\mathrm{id}_E$ へのホモトピー $h$ があり、lem-kqc-fiberwise により $\mathrm{id}_E$ から $sp$ への $H$ で $pH=p\circ\mathrm{pr}_E$ となるものがある。
持ち上げる。 単射 $i\colon A\subset B$ と可換な正方形 $u\colon A\to E$、$v\colon B\to Y$（$pu=vi$）をとる。$P:=A\times\Delta^1\cup B\times\{1\}\subset B\times\Delta^1$ の上の写像を、$A\times\Delta^1$ では $H\circ(u\times\mathrm{id})$、$B\times\{1\}$ では $sv$ と定める。共通部分 $A\times\{1\}$ で $H_1u=spu=svi$ なので貼り合わさる。$p$ との合成は $A\times\Delta^1$ で $pu\circ\mathrm{pr}=vi\circ\mathrm{pr}$、$B\times\{1\}$ で $psv=v$ なので、下辺 $v\circ\mathrm{pr}_B\colon B\times\Delta^1\to Y$ との正方形は可換である。$P\subset B\times\Delta^1$ は $i\mathbin{\square}(\{1\}\subset\Delta^1)$ で、Gabriel–Zisman の定理の 1 によりアノダイン拡大なので、持ち上げ $L\colon B\times\Delta^1\to E$ がある。$\ell:=L|_{B\times\{0\}}$ は $\ell i=H_0u=u$、$p\ell=v$ をみたす。とくに $i=(\partial\Delta^n\subset\Delta^n)$ として $p\in I^\square$ である。$\square$

可換な正方形 $u\colon\partial\Delta^n\to X$、$v\colon\Delta^n\to Y$ をとる。引き戻し $q\colon E:=\Delta^n\times_YX\to\Delta^n$ は Kan ファイブレーションで、$u':=(\mathrm{incl},u)\colon\partial\Delta^n\to E$ は $qu'=\mathrm{incl}$ をみたす。順序写像 $[n]\times[1]\to[n]$、$(i,0)\mapsto i$、$(i,1)\mapsto n$ の脈体を $c\colon\Delta^n\times\Delta^1\to\Delta^n$ とする。
$E\times\{0\}\subset E\times\Delta^1$ は Gabriel–Zisman の定理の 1（$\emptyset\subset E$）によりアノダイン拡大なので、上辺 $\mathrm{id}_E$、下辺 $c\circ(q\times\mathrm{id})$ の正方形に持ち上げ $H\colon E\times\Delta^1\to E$ がある。$qH|_{E\times\{1\}}$ は頂点 $n$ の定値写像なので、$H_1:=H|_{E\times\{1\}}$ は $q$ の $n$ 上のファイバー $F\cong X_{v(n)}$ に入る。仮定から $F\to\Delta^0$ は自明 Kan ファイブレーションなので、$H_1u'\colon\partial\Delta^n\to F$ は $t\colon\Delta^n\to F$ に延びる。
$\partial\Delta^n\times\Delta^1$ の上の $H\circ(u'\times\mathrm{id})$ と $\Delta^n\times\{1\}$ の上の $t$ は $\partial\Delta^n\times\{1\}$ で一致し、$q$ との合成はどちらも $c$ の制限である。この包含は Kan–Quillenモデル構造 の補題「角柱の補題」（$\varepsilon=1$）によりアノダイン拡大なので、$qG=c$ をみたす延長 $G\colon\Delta^n\times\Delta^1\to E$ がある。$G_0:=G|_{\Delta^n\times\{0\}}$ は $qG_0=\mathrm{id}$、$G_0|_{\partial\Delta^n}=H_0u'=u'$ をみたすので、$G_0$ と $E\to X$ の合成が元の正方形の持ち上げである。$n=0$ でも同じ議論が使える（$\partial\Delta^0=\emptyset$）。$\square$

$I^\square\subset\mathcal W_{\mathrm c}$ は prop-kqc-basic の 2 である。$p\in\mathcal W_{\mathrm c}$ とする。Ex∞関手 により、$\operatorname{Ex}^\infty p$ は Kan 複体の間の Kan ファイブレーションであり、prop-kqc-basic の 3 により $\mathcal W_{\mathrm c}$ に入る。thm-kqc-whitehead により $\operatorname{Ex}^\infty p\in I^\square$ である。
頂点 $y$ をとる。$\operatorname{Ex}^\infty$ は引き戻しを保ち $\operatorname{Ex}^\infty\Delta^0=\Delta^0$ なので、$\operatorname{Ex}^\infty(X_y)$ は $\operatorname{Ex}^\infty p$ の頂点 $\eta_Y(y)$ 上のファイバーであり、$I^\square$ は引き戻しで保たれるので $\operatorname{Ex}^\infty(X_y)\to\Delta^0$ は $I^\square$、したがって $\mathcal W_{\mathrm c}$ に入る。prop-kqc-basic の 3 を $X_y\to\Delta^0$ に当てると、$X_y\to\Delta^0$ も $\mathcal W_{\mathrm c}$ に入る。$X_y$ は Kan ファイブレーションのファイバーなので Kan 複体で、$X_y\to\Delta^0$ は Kan 複体 $\Delta^0$ の上の Kan ファイブレーションだから、thm-kqc-whitehead により $I^\square$ に入る。lem-kqc-fiber により $p\in I^\square$ である。$\square$

極限と余極限。 単体的集合の極限と余極限は次数ごとに計算される（単体的集合 の定理「極限と余極限の次数ごとの計算」）。
2 out of 3 とレトラクト。 $\mathcal W_{\mathrm c}$ は prop-kqc-basic の 1 による。単射のレトラクトは単射で、$\mathcal F=J^\square$ は右持ち上げ性質で定まるのでレトラクトで閉じている。
2 の前半。 thm-kqc-heart である。
2 の後半。 $\mathcal A\subset\mathcal C$ は §1 の表（系「単射とアノダイン拡大の特徴づけ」の 2）、$\mathcal A\subset\mathcal W_{\mathrm c}$ は prop-kqc-basic の 2 による。逆に $m\colon A\to B$ を $\mathcal C\cap\mathcal W_{\mathrm c}$ の元とし、小対象の議論で $m=qj$（$j\colon A\to E$ は $J$ 胞体複体、$q\in\mathcal F$）と分解する。2 out of 3 から $q\in\mathcal W_{\mathrm c}$、2 の前半から $q\in I^\square$ である。$m$ は単射なので $I^\square$ に対して左持ち上げ性質をもち、上辺 $j$、下辺 $\mathrm{id}_B$ の正方形の持ち上げ $r\colon B\to E$（$rm=j$、$qr=\mathrm{id}_B$）がある。$(\mathrm{id}_A,r)\colon m\to j$ と $(\mathrm{id}_A,q)\colon j\to m$ の合成は恒等なので、$m$ は $j$ のレトラクトであり、$\mathcal A$ はレトラクトで閉じているので $m\in\mathcal A$ である。
持ち上げ。 $\mathcal C$ は $\mathcal F\cap\mathcal W_{\mathrm c}=I^\square$ に対して左持ち上げ性質をもつ（$\mathcal C={}^\square(I^\square)$）。$\mathcal C\cap\mathcal W_{\mathrm c}=\mathcal A={}^\square\mathcal F$ である。
分解。 小対象の議論を $I$ に使うと $f=pi$（$i$ は $I$ 胞体複体なので単射、$p\in I^\square=\mathcal F\cap\mathcal W_{\mathrm c}$）、$J$ に使うと $f=qj$（$j$ は $J$ 胞体複体なので $\mathcal A=\mathcal C\cap\mathcal W_{\mathrm c}$ に入り、$q\in\mathcal F$）を得る。以上で 1 と 2 が示された。
3。 Kan–Quillenモデル構造 の定理「Kan–Quillen モデル構造」により、$(\mathcal W,\mathcal C,\mathcal F)$ もモデル構造で、$\mathcal C\cap\mathcal W=\mathcal A$ である。2 つのモデル構造はコファイブレーションと自明コファイブレーションが等しいので、モデル圏 の命題「二つのクラスが決めるモデル構造」により $\mathcal W_{\mathrm c}=\mathcal W$ である。$\square$